浙江省杭州市2026年中考数学专题训练17：解直角三角形（含答案）

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浙江省杭州市2026年中考数学专题训练17：解直角三角形
一、选择题
1．如图，小明在时测得某树的影长为10m，在时又测得该树的影长为4m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为（　　）
A． B．8m C．6m D．
2．如图，AD是△ABC的高，若BD=2CD=6，tanC=2，则边AB的长为（　　）
A． B． C． D．
3．如图，太阳光线与地面成60°的角，照射在地面上的一只皮球上，皮球在地面上投影的长是 ，则皮球的直径是(　　)
A． B．15cm C．10cm D．
4．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都为1，点A，B，C，D都在格点处，AB与CD交于点P，则cos∠APC的值为(　　)
A． B． C． D．
5．如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB'C'D'位置，此时AC的中点恰好与D点重合，AB'交CD于点E，若AB=3，则△AEC的面积为（　　）
A．3 B．1.5 C．2 D．
6．如图，E是菱形ABCD的边BC上的点，连接AE．将菱形ABCD沿AE翻折，点B恰好落在CD的中点F处，则tan∠ABE的值是（　　）
A．4 B．5 C． D．
7．如图，中，，，，是的外接圆，为圆上一点，连接且，过点作的切线与的延长线交于点，则的长为（　　）
A． B．1 C． D．
8．如图，含角的直角三角尺的斜边与矩形直尺的边在同一直线上，此时直尺的另一边与直角三角尺的直角边的交点D恰好是的中点，若，则的长为（　　）
A．4 B． C． D．
9．如图，在正方形ABCD中，△BPC是等边三角形，BP、CP的延长线分别交AD于点E、F，连结BD、DP，BD与CF相交于点H．给出下列结论：①△BDE∽△DPE；②=；③DP2=PH PB；④tan∠DBE=2﹣．其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①③④
10．如图，等边三角形由三个全等的钝角三角形（），和一个等边三角形组合而成，连接．设，若，则（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，某商店营业大厅自动扶梯AB 的倾斜角为31°，AB 的长为12m，则大厅两层之间的高度约为　 　m(结果精确到0.1m).
12． 如图，扇形 AOB 的半径OA=2，弦 AB =2 ，则. 的长为　 　.
13．在中，，，则的值为　 　．
14． 如图，点 P(12，a)在反比例函数 的图象上，PH⊥x轴于点 H，则 tan∠POH的值为　 　.
15．如图，左图为《天工开物》记载的用于春（chōng）捣谷物的工具——“碓（duì）”的结构简图，右图为其平面示意图，已知于点B，与水平线l相交于点O，．若分米，分米．，则点C到水平线l的距离为　 　分米（结果用含根号的式子表示）．
16．如图，在平面直角坐标系中，斜边上的高为1，，将绕原点顺时针旋转得到，点A的对应点C恰好在函数的图象上，若在的图象上另有一点M使得，则点M的坐标为　 　．
三、解答题
17． 如图，AC，BD是矩形ABCD的对角线，，.
（1） 求AC的长.
（2） 求的值.
18．如图，在△ABC中，是BC边上的中线，．
（1）求BC的长；
（2）求的值．
19．图1是某种可调节支撑架，BC为水平固定杆，竖直固定杆，活动杆AD可绕点旋转，CD为液压可伸缩支撑杆，已知.
（1）如图2，当活动杆AD处于水平状态时，求可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）.
（2）如图3，当活动杆AD绕点由水平状态按逆时针方向旋转角度，且（为锐角），求此时可伸缩支撑杆CD的长度（结果保留根号）.
20．如图，在△ABC的外接圆中，弦BD平分∠ABC（∠ABC>90%），连结CD，延长BC至点E，使CE=CD，EF//AC交CD于点F、
（1）若∠ABC=100°，求∠CFE的度数，
（2）①求证：BD=EF；
②若AB∥CD，tan∠CBD=，求的值.
21．（1）【问题呈现】如图1，在中，，在上取点D，过点D作的垂线交于点E．若，求的值；
（2）【类比探究】在（1）的条件下，绕点A逆时针旋转一定角度（点E在的内部），如图2，连接，求的值；
（3）【拓展提升】在（2）的条件下，延长交于点F，交于点G，如图3，求的值．

22．综合与实践
问题：如何将物品搬过直角过道？
情境：如图1是一直角过道示意图，、为直角顶点，过道宽度都是．矩形是某物品经过该过道时的俯视图，宽为．
步骤 动作 目标
1 靠边 将如图1中矩形的一边靠在上
2 推移 矩形沿方向推移一定距离，使点在边上
3 旋转 如图2，将矩形绕点旋转
4 推移 将矩形沿方向继续推移
操作：
探究：
（1）如图2，已知，．小明求得后，说：“，该物品能顺利通过直角过道”．你赞同小明的结论吗？请通过计算说明．
（2）如图3，物品转弯时被卡住（、分别在墙面与上），若，求的长．
（3）请直接写出过道可以通过的物品最大长度，即求的最大值　　　　　．（结果保留根号）
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】D
6．【答案】D
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】D
10．【答案】C
11．【答案】6.2
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）解：在矩形 ABCD 中，，，；
，
.
（2）解：，，，
，
四边形 ABCD 是矩形，
，
.
18．【答案】（1）解：AD⊥BC
∴∠ADC=∠ADB=90°
在Rt△ADC中，由勾股定理得
.
在Rt△ABD中，
∴BD=8.
∴BC=BD+CD=14.
（2）解：∵AE是BC边上的中线，
∴.
∴DE=BD-BE=1，
在Rt△ADE中，由勾股定理得，
∴.
19．【答案】（1）过点作，垂足为，
由题意，得，
，
.
在Rt中，，
可伸缩支撑杆CD的长度为.
（2）过点作，交BC的延长线于点，交于点，
由题意，得.
在Rt中，，
设，则，
.
，
，
解得，
，
，
.
，
，
在Rt中，，
此时可伸缩支撑杆CD的长度为.
20．【答案】（1）解：∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠ABC=×100° =50°.
∵EF//AC，
∴∠CFE=∠ACD，
∵∠ACD=∠ABD，
∴∠CFE=∠ABD=50°.
（2）解：①证明：连结AD.
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴AD=CD=CE，
∵∠BAD+ ∠BCD=180°，∠ECF+∠BCD=180°，
∴∠BAD=∠ECF，
在△ABD与△CFE中，
∴△ABD≌△CFE（AAS)，
∴BD=EF.
②连结DE，过F作FH⊥DE于点H.
∵AB //CD，
∴∠ABD=∠BDC，
∴AD=BC，
∵AD=CD=CE，
∴BC=AD=CD=CE，
∴△BDE是Rt△，
∴∠BDE=90°，
∴∠DFH=∠FDB=∠CBD，
∴tan∠DFH=tan∠CBD=.
不妨设EF=BD=3，由 tan∠CBD=，得 DE=4，
∴BE=5，CD=，BE =
设FH=3x，则 DH=4x，DF=5x，EH=4-4x，
由HE2+HF2=EF2，得(4-4x)2+(3x)2=32，
解得x1=1（舍去)，x2=
.
21．【答案】解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴；
（3）由（2）得：，
∴，
∵，
∴，
∴．
22．【答案】（1）解：如图，连结，由题知，，
则，
该物品不能顺利通过直角过道，故答案为：不赞同．
（2）解：如图，过点作的平行线，交、分别于点、，
，
，
，
，
答：的长为．

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