浙江省杭州市2026年中考数学专题训练16：相似（含答案）

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浙江省杭州市2026年中考数学专题训练16：相似
一、选择题
1．下列各组长度的线段（单位：厘米）中，是成比例线段的是（　　）
A．3，6，7，9 B．2，5，6，8 C．3，6，9，18 D．1，2，3，4
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，如果AC=3，AB=6，那么AD的值为（　　）
A． B． C． D．3
3． 如图，直线，直线，分别与，，相交于点，，和点，，．若，，则等于（　　）
A． B． C． D．
4． 如图，三个顶点的坐标分别为，，，以点为位似中心，在轴下方作把放大为原来的倍的位似图形，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
5． 如图，嘉嘉在A时测得一棵4米高的树的影长为，若A时和B时两次日照的光线互相垂直，则B时的影长为（　　）
A． B． C． D．
6． 如图，在中，，，则下列比例式中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
7．如图，四边形与四边形位似，其位似中心为点，且，，则的长为（　　）
A．6 B．7 C．14 D．16
8．学习了“两个三角形相似的预备定理”后，在“△ABC中，D. E分别是边AB，AC上的两点”在这个前提条件下，某同学得到以下3个结论：
①若 则 ②若 则DE∥BC；③若 则 其中正确的是(　　)
A．①②. B．①③. C．②③. D．①②③.
9．如图所示，由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形ABCD ，P为CD的中点， 连结PF交GH于点Q， 若2QG =3QH， 则 的值是(　　）
A．4 B．3 C． D．
二、填空题
10．已知线段a=2cm，b=8cm，线段c是线段a、b的比例中项，则线段c的长度为　 　 cm.
11．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以原点为位似中心，相似比为，把放大，则点的对应点的坐标是　 　．
12． 如图， 在平面直角坐标系中， 矩形OABC的顶点坐标分别是O(0， 0)， A(6， 0)， B(6， 4)，C(0，4)．已知矩形OA'B'C'在第一象限，且与矩形OABC位似，位似中心是原点O，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC 的面积的 则点B’的坐标是　 　．
13． 如图，在中，，，，点D在边AB上（不与点A，B重合），过点B作，垂足为点E，则的最小值是　 　．
14．如图，矩形中对角线交于点，，点绕点顺时针旋转得点，连结分别交于点，若，则的值为　 　．
15．一块直角三角形板，，，，测得边的中心投影长为，则长为　 　．
16．如图，AB是⊙O 的直径，点C在半圆上，过点 C作CD⊥AB于点 D， 点 P是BC上一点(不与B，C重合)，连结AP， CP， AP 与CD的相交于点M， CQ平分∠PCD交MP于点 Q， 若 则 的值为　 　．
三、解答题
17． 如图， △ABC中∠ACB=90°， CD⊥AB于D， AE平分∠CAB， 分别交CB、CD于点E和点F.
（1） 求证： △ACF ∽ △ABE；
（2） 若 求BC的长.
18．如图，矩形中，点在边上，连接，于点，，，．
（1）求证：．
（2）求的长．
19．如图， 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点E， 已知.
（1） 若 求 的值；
（2） 若
①设的面积为的面积为求 的值；
②求 的值.
20．数学实践小组利用一盏台灯和一根木棒，开展中心投影的实践活动．如图，他们将一块透明板水平放置，使透明板面与地面平行，台灯底座中心点为点 P，并测得点光源O到板面的垂直距离OM为60cm，点光源O到地面的垂直距离ON为96cm，木棒AB的长度为20cm．实践小组的相关探究如下：
（1）实践探究一：
如图1，将木棒AB水平放置于板面上，AB在直线 PM上．在灯光照射下，木棒AB在地面上形成的投影为CD．从点M出发，将木棒沿PM方向平移，观察其投影CD长度的变化情况．
①请判断CD长度的变化情况为： ▲ ：
A.逐渐变长 B.逐渐变短 C.不变
②请证明①的结论：
（2）实践探究二：
如图2，将木棒AB垂直放置于板面上，在灯光照射下，木棒AB在地面上形成的投影为CD．从点M出发，将木棒沿PM方向平移，观察其投影CD长度的变化情况．
①请判断CD长度的变化情况为： ▲ .
A.逐渐变长 B.逐渐变短 C.不变
②当木棒AB平移至某处时，MA=20cm，请计算此时投影CD的长度．
21．综合与探究：
【课本回顾】如图1，在中，中线，，交于点，点叫做的重心．
【知识探究】（1）如图2，数学兴趣小组发现，当的中线，交于点时，不管的边长如何变化，线段与存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路：
思路一 思路二
第一步 如图3，取中点，连接，证明 如图4，作平行交延长线于点，先证明，再证明；
第二步 利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段与之间的数量关系． 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段与之间的数量关系．
第三步
在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程；
【问题解决】（2）在中，为直径，点是上一点（不与点，重合）．
①如图II，若点是弦的中点，交于点，则的值为_____．
②如图III，在①的条件下，若，求的值．
③如图IV，若，，为弦上一动点，过作，交于点，交于点．设，，，请求出与的函数关系式．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】D
4．【答案】C
5．【答案】A
6．【答案】C
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A
10．【答案】4
11．【答案】或
12．【答案】(3， 2)
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】
16．【答案】
17．【答案】（1）证明：∵∠ACB=90°
∵CD⊥AB
∴∠ACD=∠B
∵AE平分∠CAB
∴∠CAE=∠EAB
∴△ACF∽△ABE
（2）解：∵△ACF∽△ABE
∴AB=10
18．【答案】（1）证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：根据题意，，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
解得，．
19．【答案】（1）证明：∵，，
∴，
∴；

（2）①如图，由(1)得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
设，则，
∵，
∴，
即：，
解得，即，
在中，，
∵，
∴；
②如图，过点作于点，
由①知：，，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
和中，
∵，，
∴，，
∴，
，
∴，
∴．
20．【答案】（1）解：①C
②∵AB∥CD，
∴△OAB∽△OCD，
又∵OM⊥AB， ON⊥CD，
∵OM， ON， AB不变，
∴将木棒AB沿PM方向平移，其投影CD长度不变．
（2）解：①A
②∵∠AEB=∠MEO， ∠BAE=∠OME=90°，
∴△BAE∽△OME，
∴设AE=x， 则ME=x+20，
解得AE=x=10
∵AE∥CD，
∴△OAE∽△OCD.
即
∴CD=16；
21．【答案】解：（1）思路一：如图3，取中点，连接，
，
则，
∵是的中线，
∴，
∴是的中位线，
∴，，
∴，，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴设，则，，
∴，
∴，
∴；
思路二：如图，作平行交延长线于点，
，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵是的中线，
∴，
∴，
∵，
∴，且，
∴，
∴，
∴；
（2）①；
②如图III，连接，，
，
∴，
设，则，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∵，
∴为的中位线，
∴，
∴；
③如图IV，连接，
∵为直径
∴，
∵，，
∴，
∴，，，
过点作于点，交于点，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
整理可得：．
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