浙江省杭州市2026年中考数学专题训练15：圆（含答案）

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浙江省杭州市2026年中考数学专题训练15：圆
一、选择题
1．在同一平面内，已知⊙O的半径为4，若PO=5，则点P与⊙O的位置关系是(　　)
A．点P在⊙O内 B．点P 在⊙O上
C．点P在⊙O外 D．无法判断
2．如图，在⊙O中，AB＝CD，则下列结论错误的是（　　）
A． B． C． D．
3．如图为一座拱形桥示意图，跨径(弦AB)长度为8m，半径OC垂直AB于点D，OD=3m，则桥拱高CD为(　　)
A．3m B．2.5m C．2m D．1.5m
4． 如图， 点A， B， C， D都在⊙O上， OA⊥BC， ∠CDA=30°， 则∠AOB的度数为 (　　)
A．30° B．40° C．50° D．60°
5．已知为的直径，弦于点E，，，则的直径为（　　）
A．8 B．10 C．16 D．20
6．如图，是的直径，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7． 如图， 点A， B， C在⊙O上， 点D 为⊙O外一点， ∠AOB=50°， BC= OA，则∠D的度数可能是（　　)
A．80° B．75° C．70° D．67°
8．如图，已知点 A，B 和线段 a， 用直尺和圆规作⊙O，使⊙O过点 A，B，且半径为a，则这样的圆可以作(　　)
A．1个 B．2个 C．4个 D．无数个
9． 如图， 正八边形 ABCDEFGH内接于⊙O， 连接CG， HE 相交于点Q， 则∠GQH 的度数为 (　　) .
A．75° B．72° C．67.5° D．62.5°
10． 如图，内接于⊙O，°。分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN交AC于点D，连接BD并延长交⊙O于点E，连接OA，OE，则的度数是（　　）
A．30° B．50° C．60° D．75°
二、填空题
11．若一个扇形的圆心角是50°，半径为1，则它的弧长是　 　.
12．已知⊙O的半径为3， 若点P在⊙O内， 则OP　 　3 (填“<”“>”“=”).
13．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形.若∠A=115°，则∠C=　 　.
14．如图，在扇形中，点C，D在上，将沿弦折叠后恰好与，相切于点E，F．已知，，则的度数为　 　；折痕的长为　 　．
15．如图，直径为AB的圆O上有一点C，连接BC，将绕点B逆时针旋转一定角度得到，点D恰好落在直径AB上．
（1）若，则　 　；
（2）若与相交于点，且，则　 　．
16． 如图， △ABC内接于⊙O， AC=BC=8， AD平分∠CAB交BC于点D， 连结CO并延长交AD于点E， 若OE=1， 则⊙O的半径等于　 　.
三、解答题
17．如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点都在格点上，坐标分别为（2，3），（1，1），（4，1）．
（1）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△，写出的坐标，求出OA扫出的面积．
（2）作出△ABC的外接圆⊙P，不写作法，保留作图痕迹，并直接写出圆心的坐标．
18．如图，AB为⊙O的直径，点D 为弦BC的中点，连接OD 并延长交⊙O于点E，过点B作⊙O的切线交AE的延长线于点 F.记AE 与BC的交点为G.
（1）求证： ∠BOE=∠CBF；
（2）若点 G为CD的中点， ⊙O的半径为3， 求BF的长.
19． 如图，为等边三角形，，图中大圆为的外接圆，小圆为的内切圆．
（1）请分别求出的外接圆和内切圆的半径；
（2）求阴影部分面积．
20． 如图，，是的切线，切点分别为，．连接并延长，交于点，．
（1）求证：平分．
（2）如图，若四边形为菱形，，求的长度．
（3）如图，过圆心作，交的角平分线于点．已知，．设，的面积为，求关于的函数表达式．
21．如图，Rt．过点的直线与以BC为直径的相交于点D，H，（点在直径BC上方），与直径BC交于点．连结BD，CD．
（1）如图1，若，点与圆心重合，求AD的长；
（2）如图2，已知DH平分．
①求证：；
②若，求AD的长．
答案解析部分
1．【答案】C
2．【答案】D
3．【答案】C
4．【答案】D
5．【答案】D
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】C
10．【答案】C
11．【答案】
12．【答案】<
13．【答案】65°
14．【答案】60°；
15．【答案】（1）
（2）
16．【答案】
17．【答案】（1）解：△ABC绕原点O顺时针旋转90°，得到△，
如图1即为所求；由图1可知，的坐标为（1，－4），
∵，OA扫出的面积为；
（2）解：△ABC的外接圆⊙P，如图2即为所求；
∵A（2，3），B（1，1），C（4.1）．
由垂直平分线的性质可知，，设＝m，
∵，∴，
解得：m＝1.5，即圆心的坐标为（2.5，1.5）.
18．【答案】（1）证明： ∵ OE是⊙O的半径， 点D 为弦BC的中点，
∴ OE⊥BC.
∴ ∠ODB=90°.
∴ ∠BOE+∠DBO=90°.
∵ BF切⊙O于点B， 且OB为⊙O的半径，
∴ OB⊥BF.
∴ ∠ABF=∠CBF+∠ABC=90°.
∴ ∠BOE=∠CBF.
（2）解： 如图， 连接AC.
∵ AB 是⊙O 的直径，
∴ ∠ACB=∠CDE=90°.
∵ 点G为CD的中点，
∵ ∠AGC=∠EGD，
∴ △ACG≌△EDG.
∴ AC=ED.
∵ 点O为AB的中点，点D为BC的中点，
∴ AC=ED=2OD， BD=DC.
∵ OE=3，
∴ OD=1.
∵ 在Rt△ODB中， OB=3，
∵ OA=OE，
∴ ∠BAF=∠AEO.
∵ 在 Rt△ABF中， ∠AFB=90°-∠BAF，
在Rt△EDG中，
∴ ∠AFB=∠BGF.
19．【答案】（1）解：为等边三角形，大圆为的外接圆，小圆为的内切圆，
，，
延长交于点，即为的中垂线，
，，
在直角中，，，
，
，
同理得，
的外接圆半径为，内切圆的半径为；
（2）解：由（1）得，，
，
内部阴影部分面积为：，
外接圆与之间阴影部分面积为：，
阴影部分面积为：．
20．【答案】（1）证明：，是的切线，
，，
在与中，
，
，
，
平分．
（2）解：如图，连接，
是的切线，
，
四边形为菱形，
，
，
，，
，
，
，
，
设的半径为，则，，
，
解得，
，
．
（3）解：平分，
，
，，
，即，
，
，，
，，，
，
，
，，，
，
，
，
如图，过点作交于点，连接，
，是的切线，
，，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，，
，即，
，
，
，
，即，
，
，
，
，
即．
21．【答案】（1）为直径
（2）①
方法1（截长法）在CD上取点，使，
，
方法2（补短法或弦图法）如图与法1类似略
方法3（相似法）BC为直径
平分
在Rt中，
（其他解法，酌情给分，如下参考各种旋转法）
②方法1：连结
，又
两式相乘得：，
又Rt三边之比为
又，
方法2：连结平分
易证
不妨设
在Rt中，
方法3：连接OH，过作于点
设
易证：由方法2可得：
易证：
（其他解法，酌情给分）
方法4：连接CH，作于点，易证为等腰直角
又
方法5：作AG//CD交BC延长线于点，连结HG，
易证可得（也可四点共圆）
可得，设，
又
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