云南师大附中2025-2026学年高一年级上学期教学测评期末卷数学（含答案）

云南师大附中2028届高一年级上学期教学测评期末卷
数学
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．第I卷第1页至第2页，
第II卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150
分，考试用时120分钟．
第I卷（选择题，共58分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号
在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每个小题5分，共40分．在每小题给出的
选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
2．若扇形面积为，圆心角为，则该扇形的半径为（ ）
A． B．3
C． D．18
3．已知，都是非零向量，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．为了得到函数的图象，可以将的图象上所有的点（ ）
A．向左平移个单位长度
B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度
D．向右平移个单位长度
5．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递减的是（ ）
A． B．
C． D．
6．物体在常温下冷却的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度为，经过分钟后的温度为，则，其中为环境温度，为参数（，且）．小王通过多次测量求平均值的方法得到初始温度为的水在的室温中，9分钟后水温降至．则在上述条件下，水温从降至所需的时间约为（ ）分钟．（参考数据：，）
A．14.4 B．13.6 C．12 D．10
7．已知，，则的值为（ ）
A． B．
C． D．
8．定义在上的函数满足，且关于点对称，已知当时，，则（ ）
A．2 B．1 C．0 D．-1
二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9．已知向量，，则下列结论中正确的是（ ）
A．与可以作为所在平面的一组基底
B．
C．
D．，
10．若，则下列结论中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数的部分图象如图，则下列结论正确的是（ ）
A．的值为
B．函数的图象关于直线对称
C．若函数恰有4条对称轴和3个零点落在区间内，则实数的取值范围是
D．若方程（，且）在内至少有3个不同的根，则实数的取值范围是
第II卷（非选择题，共92分）
注意事项：第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知函数在区间内存在一个零点，用二分法计算这个零点的近似值时，给定精确度为0.1，其参考数据如下：
则这个零点的近似值为________．（精确到0.1）
13．给定集合，定义函数，若，，则．
14．已知函数，若关于的不等式有解但没有整数解，则实数的取值范围为________．
四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．如图，在平面直角坐标系中，锐角和的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，角的终边分别与单位圆交于，两点．已知点的纵坐标为，点的横坐标为．
（1）求的值；
（2）求的值．
16．如图，在中，是的中点，，设，．
（1）用向量与表示向量，；
（2）若，求证：，，三点共线．
17．已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）若，求实数的取值范围．
18．已知函数，若的最小正周期为．
（1）求的解析式；
（2）求函数在上的单调递增区间；
（3）若函数为偶函数，求的最小值．
19．悬链线作为一种重要的数学曲线，其历史可追溯至文艺复兴时期，达·芬奇在画作《抱银貂的女人》中描绘了女子脖颈上的项链，其自然下垂的形状引发了他的思考：一条均匀柔软的链条，两端固定且在重力作用下自由下垂，会形成怎样的曲线？随着微积分的创立和发展，悬链线的数学本质被揭示，其方程与自然常数紧密相关，可用双曲函数表示．双曲函数是一类重要的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数与双曲余弦函数．记双曲正弦函数为，双曲余弦函数为，已知这两个最基本的双曲函数为
，．
（1）求的值；
（2）证明：有唯一的正零点，并比较和的大小；
（3）令，关于的方程有且仅有三个解，，，且满足，求实数的值．
1．D
2．C
3．B
4．C
5．C
6．A
7．A
8．B
9．AC
10．ABD
11.ACD
12.1.4
13．2
14．
15．（1）；
（2）
（1）点的纵坐标为，故，
又为锐角，故，，
故，
（2）点的横坐标为，故，
又为锐角，故，
，
又，故，
故．
16．（1），，是的中点，
故，
，故；
（2）
，
即，，
所以，，
故，而，有公共点，所以，，三点共线.
17.（1）由题意得，即，故，
解得，故定义域为；
（2）由（1）知，的定义域为，
且，
故为奇函数；
（3）令，，
显然在上单调递增，
取且，
则 ，
因为 且 ，故 ，，，
所以 ，，
所以 在 上单调递增，
由复合函数单调性可知 在 上单调递增，
因为 为奇函数，
所以 ，
又 在 上单调递增，
故 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ；
18.（1） ；
（2） ，；
（3）
（1）
，
的最小正周期为，故，故，
故；
（2），，
令和，解得和，
故在上的单调递增区间为，；
（3），
为偶函数，故，解得，
故，显然当时，取得最小值，最小值为.
19.（1）；
（2）由题意得，
当时，易知在上单调递增，
且，，即，
由零点存在性定理可得在上存在唯一实数，使得，
可得有唯一的正零点，即，
即，两边取对数得，
所以
因为在上单调递增，所以，
因此
故；
（3），
定义域为，
当时，恒正且单调递增，故在上单调递减，
当且趋向于0时，趋向于，
当趋向于时，趋向于0，
当时，恒负且单调递增，故在上单调递减，
当且趋向于0时，趋向于，
当趋向于时，趋向于0，趋向于，
画出的图象，如下：
令，则画出的图象如下：
则关于的方程化为，
因为有且仅有三个解，，，
所以必有两个不相等的解，设为，，
则，，由 得，
由题意得，，解得，，
，故，整理可得，
即，，
即，，
又，解得，正值舍去，
综上，。