人教A版高中数学必修第二册第七章复数7.1.1数系的扩充和复数的概念课件(共49张PPT)

(共49张PPT)
1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程.
2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念.
3.掌握复数的表示方法及分类，理解复数相等的充要条件.
[学习目标]
[情境导入]
知识点一　复数的有关概念
1.定义：我们把形如______(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位.________构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集.
2.表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，其中a与b分别叫做复数z的_____与_____.
a＋bi
全体复数
实部
虚部
[微点拨]　(1)i2＝－1.
(2)i和实数之间能进行加法、乘法运算.
(3)a，b∈R.
[例1]　(1)已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于(　　)
A.－3 B.3
C.－1 D.1
C
解析　复数z1＝1＋3i的实部为1，复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝1，解得a＝－1.
(2)下列四种说法正确的是(　　)
A.如果实数a＝b，那么a－b＋(a＋b)i是纯虚数
B.实数是复数
C.2＋i大于1＋i
D.任何数的偶数次幂都不小于零
B
解析　对于A，若a＝b＝0，则a－b＋(a＋b)i＝0∈R，故A错误；对于B，由复数的概念，可知实数是复数，故B正确；对于C，虚数不能比较大小，故C错误；对于D，i2＝－1，故D错误.故选B.
[反思归纳]
1.对于复数的实部、虚部，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实部、虚部.
2.虚数不能比较大小，但实数可以.若两个复数具有确定的大小关系(不含相等)，则说明两个复数均为实数.
1.若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　)
A
解析　复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，所以b＝2.
2.在复平面内，下列说法正确的是(　　)
A.－i2＝－1
B.(－i)2＝－1
C.若a>b，则a＋i>b＋i
D.若复数z满足z2<0，则z是实数
B
知识点二　复数的分类
1.复数z＝a＋bi(a，b∈R)分类如下：
实数
虚数
a＝0
2.复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系
[微点拨]　a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件.
[例2]　(苏教版必修二例题)实数m取什么值时，复数z＝m(m－1)＋(m－1)i是：
(1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？
解　(1)当m－1＝0，即m＝1时，复数z是实数.
(2)当m－1≠0，即m≠1时，复数z是虚数.
(3)当m(m－1)＝0且m－1≠0，即m＝0时，复数z是纯虚数.
[反思归纳]　复数分类问题的求解方法与步骤
1.化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部.
2.定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
3.下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则：
(1)z为实数 b＝0.
(2)z为虚数 b≠0.
(3)z为纯虚数 a＝0且b≠0.
3.若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)是纯虚数，则(　　)
A.a＝－1 B.a≠－1且a≠2
C.a≠－1 D.a≠2
解析　由题意可得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，又|a－1|－1≠0，所以a＝－1.
A
知识点三　复数相等的条件及应用
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当____________.
a＝c且b＝d
[例3]　(苏教版必修二例题)已知(x＋y)＋(x－2y)i＝(2x－5)＋(3x＋y)i，求实数x，y的值.
[反思归纳]　解决复数相等问题的基本步骤
1.等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式.
2.由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组.
3.解方程组，求出相应的参数.
4.(湘教版必修二例题)设x，y∈R，若复数(2x－4y)＋(3x＋2)i＝5＋6i，求x，y.
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
解决复数相等或分类问题时要化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式.
[教考衔接]
考教对比
【真题示例】(2022·全国乙卷)设(1＋2i)a＋b＝2i，其中a，b为实数，则(　　)
A.a＝1，b＝－1　　 B.a＝1，b＝1
C.a＝－1，b＝1 D.a＝－1，b＝-1
A
解析　由题意知a＋b＋2ai＝2i，又a，b∈R，所以 解得
故选A.
考教对比
【教材原题】(人教A版必修二习题)求适合下列方程的实数x与y的值：
(1)(3x＋2y)＋(5x－y)i＝17－2i；
(2)(x＋y－3)＋(x－4)i＝0.
解　(1)由复数相等的充要条件得
教考解读
真题与教材习题均考查复数相等这一核心知识点，复数相等问题的核心在于利用复数相等的充要条件(实部、虚部分别相等)，将复数方程转化为实数方程(组)求解.解题时需规范展开复数表达式，准确分离实部与虚部建立方程，并通过代入法或消元法求解.教材题侧重基础训练，真题则通过干扰选项考查细节操作能力.教学中需强化复数的代数形式、方程组的规范书写，并引导学生通过虚部方程快速排除错误选项(如由2a＝2直接得a＝1，排除C，D)，提升解题效率与准确性.
[随堂巩固]
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数.( )
(2)复数z1＝3i，z2＝2i，则z1>z2.( )
(3)复数z＝bi(b∈R)是纯虚数.( )
(4)实数集与复数集的交集是实数集.( )
×
×
×
√
2.设复数z＝3－4i，则z的虚部为(　　)
A.4 B.－4
C.4i D.－4i
解析　由题意复数z＝3－4i，则z的虚部为－4.
B
D
3.若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 025i＝2－bi，则a2＋bi等于(　　)
A.2 025＋2i B.2 025＋4i
C.2＋2 025i D.4－2 025i
4.若复数z＝m2－4＋(m＋2)i(i为虚数单位)是纯虚数，则实数m的值为________.
2
[基础巩固]
1.若复数z＝3－5i，则复数z的实部为(　　)
A.5i B.3
C.－5 D.－5i
解析　z＝3－5i的实部为3.
B
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2.若复数z满足z＝6i＋2i2，则z的虚部是(　　)
A.－2i B.6i
C.1 D.6
解析　z＝6i＋2i2＝－2＋6i，则z的虚部为6，故选D.
D
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3.已知a，b∈R，且a－1＋ai＝3＋2bi，则b＝(　　)
C
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A.0 B.1
C.2 D.3
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5.已知复数z＝(k＋1)i＋k－1是纯虚数，则实数k＝(　　)
A.0 B.2
C.－1 D.1
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D
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6.(多选)已知i为虚数单位，下列命题正确的是(　　)
A.若x，y∈C，则x＋yi＝1＋i的充要条件是x＝y＝1
B.(a2＋1)i(a∈R)是纯虚数
C.－1没有平方根
D.当m＝4时，复数lg (m2－2m－7)＋(m2＋5m＋6)i是纯虚数
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BD
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8.若复数z＝sin 2α－(1－cos 2α)i是纯虚数，则α＝________________.
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10.(12分)求解下列各题：
(1)若(4x－2y)i＝x＋1，求实数x，y的值；
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[综合应用]
11.已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－1，3)
B.(－∞，－1)∪(3，＋∞)
C.(－3，1)
D.(－∞，－3)∪(1，＋∞)
解析　由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1，因此，实数a的取值范围是(－∞，－1)∪(3，＋∞).
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B
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12.使不等式m2－(m2－3m)i<(m2－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________.
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{3}
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13.(9分)已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1，1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值.
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[拓展提升]
C
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15.(12分)已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋2sin θ＋(cos θ－2)i(其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R).
(1)若z1为纯虚数，求实数m的值；
(2)若z1＝z2，求实数λ的取值范围.
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