人教A版高中数学必修第二册第七章复数7.2.2复数的乘、除运算课件(共53张PPT)

(共53张PPT)
1.掌握复数的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.掌握在复数范围内解方程的方法.
[学习目标]
[情境导入]
两个实数的积、商是一个实数，那么两个复数的积、商是怎样的？复数的加减运算把i看作一个字母，相当于多项式的合并同类项，那么复数乘法是否可以像多项式乘法那样进行呢？
知识点一　复数乘法的运算法则和运算律
1.复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝_________________.
(ac－bd)＋(ad＋bc)i
z2z1
2.复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝_____
结合律 (z1z2)z3＝_______
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝_________
z1(z2z3)
z1z2＋z1z3
[微点拨]　(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝|z|2.
(2)复数的乘法类似于多项式的乘法，只要把i2换成－1，然后实部与虚部分别合并.
[例1]　(湘教版必修二例题)计算：
(1)(1＋2i)(4－3i)；(2)(1＋i)2；(3)(1－i)2；(4)(1＋i)1 000.
解　(1)(1＋2i)(4－3i)
＝1×4＋1×(－3i)＋2i×4＋2i×(－3i)
＝4－3i＋8i－6i2
＝4－3i＋8i－6×(－1)
＝10＋5i.
(2)(1＋i)2＝12＋2·1·i＋i2＝1＋2i－1＝2i.
(3)(1－i)2＝12－2·1·i＋i2＝1－2i－1＝－2i.
(4)由(2)得，(1＋i)1 000＝[(1＋i)2]500
＝(2i)500＝2500·i500＝2500·1＝2500.
[反思归纳]
1.复数的乘法运算可以把i看作字母，类比多项式的乘法进行，注意要把i2化为－1，进行最后结果的化简.
2.对于能够使用乘法公式计算的两个复数的乘法，用乘法公式更简便.例如平方差公式、完全平方公式等.
1.(北师版必修二例题)计算：(－2－i)(3＋i).
解　(－2－i)(3＋i)＝－2×3－2×i－3×i－i×i
＝－6－2i－3i－i2
＝－6－2i－3i＋1
＝－5－5i.
2.(北师版必修二例题)计算：
(1)(1＋i)4；(2)(2－i)2(2＋i)2.
解　(1)(1＋i)4＝[(1＋i)2]2＝(1＋2i＋i2)2＝(2i)2＝－4；
(2)(2－i)2(2＋i)2＝[(2－i)(2＋i)]2＝(4＋1)2＝25.
知识点二　复数的除法运算
复数的除法法则
[微点拨]　(1)复数的除法法则中分子、分母同乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似.
(2)注意最后结果要将实部与虚部分开，写成a＋bi(a，b∈R)的形式.
知识点三　在复数范围内解方程
[例3]　设常数p∈R，已知关于x的方程x2＋px＋2＝0.
(1)若p＝2，求该方程的复数根；
(2)若方程的两个复数根为α，β，且|α－β|＝1，求p的值.
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
分母实数化时不要忽视i2＝－1，以免造成运算错误.
[教考衔接]
考教对比
A
【教材原题】(人教A版必修二例题)计算(1＋2i)÷(3－4i).
教考解读
真题与教材例题均聚焦复数运算的核心方法，如分母实数化及共轭复数应用.教材例题系统训练基础运算，而高考真题则通过问题变形考查知识迁移能力，强调在掌握教材基本方法的基础上，需灵活运用复数性质解决综合问题，体现“源于教材，高于教材”的命题导向.教学中应夯实运算基础，强化对复数的几何意义与复数的四则运算的理解，以应对高考的灵活考查.
√
×
√
√
C
2.(2025·全国Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为(　　)
A.－1 B.0
C.1 D.6
解析　 (1＋5i)i＝－5＋i，其虚部为1.故选C.
A
[基础巩固]
1.复数z＝(1－2i)(1＋i)在复平面内对应的点位于(　　)
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析　由题得z＝(1－2i)(1＋i)＝1＋i－2i－2i2＝1＋i－2i＋2＝3－i，则在复平面内对应的点的坐标为(3，－1)，所以在复平面内对应的点位于第四象限.
D
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2.复数z满足(1－i)2z＝1＋i(i为虚数单位)，则|z|＝(　　)
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3.若复数z满足(1－i)z＝3＋4i，则复数z的共轭复数的虚部为(　　)
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6.(多选)关于方程x2＋5x＋7＝0，下列说法正确的是(　　)
A.该方程在实数范围内无解
B.该方程可能有3个复数解
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AC
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9.(8分)计算：
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[综合应用]
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B
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14.(10分)在英语中，实数是Real Quantity，一般取Real的前两个字母“Re”表示一个复数的实部；虚数是Imaginary Quantity，一般取Imaginary的前两个字母“Im”表示一个复数的虚部.如：Re(2＋3i)＝2，Im(2＋3i)＝3；Re(－3i)＝0，Im(－3i)＝－3.已知复数z是方程x2＋2x＋2＝0的解.
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[拓展提升]
C
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