人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步8.1第1课时棱柱、棱锥、棱台课件(共58张PPT)

(共58张PPT)
1.通过对实物模型的观察、归纳，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.理解棱柱、棱锥、棱台之间的关系.
3.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单几何体的结构并进行有关计算.
[学习目标]
[情境导入]
立体几何是研究现实世界中物体的形状、大小与位置关系的数学分支，在解决实际问题中有着广泛的应用.本章我们将从对空间几何体的整体观察入手，从我们身边熟悉的几何体出发，研究它们的结构特征，学习它们的表示方法，了解它们的表面积和体积的计算方法，借助长方体，从构成立体图形的基本元素——点、直线、平面入手，研究它们的性质以及相互之间的位置关系，特别是对直线、平面的平行与垂直的关系展开研究，从而进一步认识空间几何体的性质.今天，我们先来了解空间几何体的结构特征.
知识点一　空间几何体的相关概念
1.空间几何体：在我们周围存在着各种各样的物体，它们都占据着空间的一部分.如果只考虑这些物体的____和____，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的____
_____就叫做空间几何体.
形状
大小
空间
图形
平面多边形
2.空间几何体的分类及相关概念
类别 多面体 旋转体
定义 由若干个____________围成的几何体叫做多面体 一条_________(包括直线)绕它所在平面内的一条______旋转所形成的曲面叫做旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体
平面曲线
定直线
类别 多面体 旋转体
图形及
表示
相关
概念 面：围成多面体的各个多边形；
棱：两个面的公共边；
顶点：棱与棱的公共点 轴：形成旋转体所绕的定直线
[例1]　(多选)下列说法正确的是(　　)
A.由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体
B.一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面
C.多面体的顶点为多面体所有棱的公共点
D.足球、铅锤都符合旋转体的特征
解析　根据多面体的定义知，选项A正确；根据旋转面的定义知，选项B正确；多面体的顶点不一定是所有棱的公共点，选项C错误；足球、铅锤符合旋转体的特征，选项D正确.
ABD
[反思归纳]
1.多面体与旋转体都是封闭的几何体.
2.多面体的所有面都是多边形；旋转体的侧面是曲面，底面是圆面.
1.(多选)下列物体中属于多面体的有(　　)
A.腰鼓 B.建筑用的方砖
C.茶杯 D.埃及的金字塔
解析　对于A选项，腰鼓是旋转体，故错误；对于B选项，建筑用的方砖是由几个平面多边形围成的几何体，属于多面体，故正确；对于C选项，茶杯一般为圆柱体，属于旋转体，故错误；对于D选项，埃及的金字塔是由几个平面多边形围成的几何体，属于多面体，故正确.
BD
知识点二　棱柱的结构特征
平行
1.棱柱的定义、图形及相关概念
棱柱
定义 有两个面互相_____，其余各面都是________，并且相邻两个四边形的公共边都__________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
图形及表示
可记作：
棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′
四边形
互相平行
棱柱
相关概念 底面：两个互相平行的面；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：侧面与底面的公共顶点
2.棱柱的分类及特殊棱柱
(1)按底面多边形的边数，可以分为三棱柱、四棱柱、五棱柱……
(2)直棱柱：_____垂直于底面的棱柱.
(如图①③)
(3)斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱.
(如图②④)
(4)正棱柱：底面是_________的___棱柱.
(如图③)
侧棱
正多边形
直
(5)平行六面体：底面是__________的四棱柱.(如图④)
平行四边形
[例2]　如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？
(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由.
解　(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面，是互相平行的，其余各面都是矩形，且四条侧棱互相平行，符合棱柱的定义.
(2)截面BCNM右上方部分是三棱柱BB1M－CC1N，左下方部分是四棱柱ABMA1－DCND1.
[反思归纳]　棱柱结构特征的辨析方法
1.扣定义：判定一个几何体是否为棱柱的关键是棱柱的定义.
(1)看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行且全等的面作为底面，其余各面都是平行四边形.
(2)看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行.
2.举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除.
2.(多选)下列关于棱柱的说法，正确的是(　　)
A.所有的面都是平行四边形
B.每一个面都不会是三角形
C.两底面平行，并且各侧棱也平行
D.被平面截成的两部分可以都是棱柱
解析　A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B错误，棱柱的底面可以是三角形；C正确，由棱柱的定义易知；D正确，棱柱可以被平面截成两个棱柱.
CD
知识点三　棱锥、棱台的结构特征
1.棱锥的定义、图形及相关概念
棱锥
定义 有一个面是_______，其余各面都是有一个________的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图形及表示
可记作：棱锥S－ABCD
多边形
公共顶点
棱锥
相关概念 底面：多边形面；
侧面：有公共顶点的各个三角形面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：各侧面的公共顶点
2.棱台的定义、图形及相关概念
平行于
棱台
定义 用一个______棱锥底面的平面去截棱锥，我们把_____和______之间那部分多面体叫做棱台
图形及表示
可记作：棱台ABCD－A′B′C′D′
底面
截面
棱台
相关概念 上底面：原棱锥的截面；
下底面：原棱锥的底面；
侧面：其余各面；
侧棱：相邻侧面的公共边；
顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
3.棱锥、棱台的分类
(1)按底面多边形的边数，棱锥可以分为三棱锥、四棱锥、五棱锥……
特殊地，底面是_________，并且_____与__________的连线垂直于底面的棱锥叫做正棱锥.
(2)棱台的分类
依据：由几棱锥截得.
举例：三棱台(由三棱锥截得)、四棱台(由四棱锥截得)……
正多边形
顶点
底面中心
4.空间四边形、四面体、正四面体的概念
(1)空间四边形：四条边不在同一平面内的四边形.
(2)四面体：由四个三角形围成的多面体，即三棱锥.
(3)正四面体：四个面都是正三角形的四面体.
[例3]　(1)(多选)下列说法中，正确的是(　　)
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的侧棱互相平行
D.有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
AB
解析　由棱锥的定义知，棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，如图所示的几何体均满足D项条件，但都不是棱锥，故D错误.
(2)(多选)下列选项中，不正确的是(　　)
A.用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台
B.有两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台
C.有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台
D.棱台的侧棱延长后必交于一点
ABC
解析　A中的平面不一定平行于底面，故A错误；B，C可用反例去检验，如图所示，侧棱延长线不能相交于一点，故B，C错误；由棱台的定义知，D正确.
[反思归纳]　判断棱锥、棱台形状的两个方法
1.举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
2.直接法
项目 棱锥 棱台
定底面 只有一个面与其他面均有公共边，此面即为底面 两个互相平行的面，即为底面
看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点
3.下列关于棱锥、棱台的说法：
①棱台的侧面一定不会是平行四边形；②由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是________.
①②
解析　①正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形；②正确，由四个平面围成的封闭图形只能是三棱锥；③错误，如图所示，四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.
知识点四　空间几何体的平面展开图
[例4]　(1)如图，这是正方体外表面展开图，则该正方体可能为(　　)
B
解析　由正方体外表面展开图可知，圆与月亮是相对面，“×”和“V”是相对面，可排除A，D，“V”的尖角对着“□”，故C错误.
(2)在三棱锥A－BCD中，∠BAC＝∠CAD＝∠DAB＝40°，AB＝AC＝AD＝2，一只蜗牛从B点出发，绕三棱锥三个侧面爬行一周后，到棱AB的中点E，则蜗牛爬行的最短距离是(　　)
D
[反思归纳]
1.多面体的展开与折叠
(1)在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图.
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推.
2.求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体的侧面展开，转化为求平面上两点间的最短距离问题.
4.如图所示的平面图形可以折叠成的立体图形为(　　)
A.三棱锥　　 B.四棱锥
C.四棱柱 D.平行六面体
解析　由展开图可知，该几何体有四个三角形面与一个四边形面，故该几何体为四棱锥.故选B.
B
D
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
不要忽略棱锥和棱台之间的关系.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)棱柱的底面互相平行.( )
(2)棱柱的各个侧面都是平行四边形.( )
(3)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体叫做棱锥.( )
√
√
×
2.下列命题中为真命题的是(　　)
A.长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
B.棱柱的每个面都是平行四边形
C.有两个侧面是矩形的四棱柱是直四棱柱
D.正四棱柱是平行六面体
解析　对于A，直四棱柱包括长方体.当底面不是矩形时，直四棱柱不是长方体，故A错误；对于B，棱柱的上、下底面可能不是平行四边形，比如三棱柱、五棱柱等，故B错误；对于C，可以是两对称面为矩形的平行六面体，故C错误；对于D，正四棱柱是平行六面体，故D正确.
D
D
3.一个几何体由六个面组成，其中两个面是互相平行且相似的四边形，其余各面都是全等的等腰梯形，则这个几何体是(　　)
A.三棱柱 B.三棱台
C.四棱柱 D.四棱台
解析　不妨假定两个平行的面是上、下底面，并且必须是6个面，显然三棱柱和三棱台不满足要求，四棱柱要求各侧面均为平行四边形，上、下两个平面为全等的四边形，不满足要求，四棱台上、下两个底面相互平行，其余各面都是梯形，故满足条件的几何体是四棱台.
4.如图是一个正方体的平面展开图，将其复原为正方体后，互相重合的点是________.
①A与B　②D与E　③B与D　④C与F
①②④
解析　根据题意，标记如图，
还原得
由图知，A与B，D与E，C与F重合.
[基础巩固]
1.有一个多面体，由五个面围成，只有一个面不是三角形，则这个几何体为(　　)
A.四棱柱 B.四棱锥　
C.三棱柱 D.三棱锥
解析　根据棱锥的定义可知该几何体是四棱锥.
B
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2.(多选)观察如图所示的四个几何体，其中判断正确的是(　　)
ACD
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A.①是棱柱 B.②不是棱锥
C.③不是棱锥 D.④是棱台
解析　结合棱柱、棱锥、棱台的定义可知①是棱柱，②是棱锥，④是棱台，③不是棱锥，故ACD正确.
3.下列关于棱柱的说法中，错误的是(　　)
A.三棱柱的底面为三角形
B.一个棱柱至少有五个面
C.若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等
D.五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形
解析　显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；当棱柱是斜棱柱时，则侧面是不全等的平行四边形，故C错误、D正确.
C
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4.下列说法中正确的是(　　)
A.棱柱的侧面可以是三角形
B.正方体和长方体都是特殊的四棱柱
C.所有的几何体的表面都能展成平面图形
D.棱柱的各棱长都相等
解析　棱柱的侧面都是四边形，A错误；正方体和长方体都是特殊的四棱柱，B正确；并非所有的几何体的表面都能展成平面图形，例如球不能展开为平面图形，C错误；棱柱的各侧棱长都相等，但各棱长不一定相等，所以D错误.
B
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5.五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱对角线的条数共有(　　)
A.20 B.15
C.12 D.10
4
D
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解析　如图，在五棱柱ABCDE－A1B1C1D1E1中，从顶点A出发的对角线有两条：AC1，AD1，同理从B，C，D，E点出发的对角线均有两条，共2×5＝10(条).
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6.(多选)下列说法错误的是(　　)
A.棱台的侧面可以是平行四边形
B.底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥
C.如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为六棱锥
D.如果一个棱柱的所有面都是长方形，那么这个棱柱是长方体
解析　棱台的侧面一定是梯形，不可能是平行四边形，故A错误；根据棱锥的概念知，B正确；当棱锥的各个侧面的共顶点的角之和是360°时，各侧面构成平面图形，故这个棱锥不可能为六棱锥，故C错误；若每个侧面都是长方形，则说明侧棱与底面垂直，又底面也是长方形，符合长方体的定义，故D正确.
4
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AC
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2
3
5
6
7
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7.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是________.
解析　由棱台的结构特征知，棱台上、下底面是相似多边形，面积之比为对应边之比的平方.
4
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1∶4
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8.一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.
9.(12分)如图是三个几何体的平面展开图，请问各是什么几何体？
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解　①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台.
10.(13分)试从正方体ABCD－A1B1C1D1的八个顶点中任取若干个点，连接后构成以下空间几何体，画图并用适当的符号表示出来.
(1)只有一个面是等边三角形的三棱锥；
(2)四个面都是等边三角形的三棱锥.
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解　(1)如图所示，三棱锥A1－AB1D1(或三棱锥A－A1BD，三棱锥B－AB1C，三棱锥C－BDC1，三棱锥D－ACD1，三棱锥B1－A1BC1，三棱锥C1－B1CD1，三棱锥D1－A1C1D答案不唯一).
(2)如图所示，三棱锥B1－ACD1(或三棱锥A1－BDC1答案不唯一).
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[综合应用]
11.如图，设P为单位立方体ABCD－A1B1C1D1中AB1上的一点，则PA1＋PC1的最小值为(　　)
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A
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12.对如图所示的几何体的描述：
①这是一个四棱台；②这是一个四棱柱；③此几何体可由三棱柱截去一个小三棱柱而得到；④此几何体可由四棱柱截去一个三棱柱而得到，
其中正确的序号是________.
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②③④
解析　①错误，因为侧棱的延长线不能交于一点；②正确，如果把几何体正面和背面作为底面就会发现是一个四棱柱；③④都正确，如图所示.
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13.(8分)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长.
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解　沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法：
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[拓展提升]
14.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是(　　)
C
A.A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4
B.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝3
C.A1B1＝1，AB＝2，B1C1＝1.5，BC＝3，A1C1＝2，AC＝4
D.AB＝A1B1，BC＝B1C1，CA＝C1A1
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