人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步8.1第2课时圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体课件(共45张PPT)

(共45张PPT)
1.了解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.
3.了解简单组合体的概念及结构特征.
[学习目标]
[情境导入]
你到过孔子六艺城吗？在孔
子六艺城中有一个地方是数学爱
好者必去的，那就是“数厅”，
如图，以圆柱体为基座，巨型球体悬其之上，形成了国内少有的圆形建筑物，甚为壮观，你知道其中隐含的数学知识吗？今天我们就一起来研究吧！
知识点一　旋转体的结构特征
1.圆柱的概念及结构特征
矩形的一边
圆柱 图形及表示
定义 以____________所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
图中圆柱
记作
圆柱O′O

相关概念 圆柱的轴：________；
底面：_________的边旋转而成的圆面；
侧面：_________的边旋转而成的曲面；
母线：无论旋转到什么位置，__________的边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
平行于轴
一条直角边
2.圆锥的概念及结构特征
圆锥 图形及表示
定义 以直角三角形的_____________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体
图中圆锥
记作
圆锥SO
相关概念 圆锥的轴：旋转轴；
底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；
侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
3.圆台的概念及结构特征
平行于圆锥底面
圆台 图形及表示
定义 用______________的平面去截圆锥，__________之间的部分叫做圆台
图中圆台
记作
圆台O′O
相关概念 圆台的轴：旋转轴；
底面：垂直于轴的边旋转一周所形成的圆面；
侧面：不垂直于轴的边旋转一周所形成的曲面；
母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边
底面与截面
4.球的概念及结构特征
半圆以它的直径
球 图形及表示
定义 ______________所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球
图中的球
记作
球O
相关概念 球心：半圆的_____；
半径：连接_____和球面上任意一点的_____；
直径：连接球面上____并且经过球心的____
圆心
球心
线段
两点
线段
[例1]　(多选)下列说法正确的是(　　)
A.圆台的母线的延长线交于点
B.以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台
C.底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形
D.以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
解析　A.由圆台的定义知，A正确；B.以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周可得到圆台，故正确；C.底面半径为r，母线长为2r的圆锥的轴截面为等边三角形，故正确；D.以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，故错误.
ABC
[反思归纳]
1.判断旋转体结构特征的方法
(1)明确由哪个平面图形旋转而成.
(2)明确旋转轴是哪条直线.
2.(1)旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现旋转体结构特征的关键量.
(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
1.下列命题中正确的有(　　)
①圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面　②圆柱不是旋转体　③半圆围绕直径旋转半周得到一个球　④圆台的轴截面是等腰梯形
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
解析　①圆柱的纵截面是矩形，矩形的长是圆柱的高，矩形的宽是圆内的弦，轴截面的宽是过圆心的直径，故圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的截面，故①正确；②根据旋转体的概念可知圆柱是旋转体，故②错误；③半圆围绕直径旋转半周得到半个球面，故③错误；④圆台的上、下底面是平行且不相等的圆面，且母线等长，所以其轴截面是等腰梯形，④正确.综上所述：正确的为①④.
B
知识点二　组合体的结构特征
简单几何体
1.简单组合体的定义
由__________组合而成的几何体叫做简单组合体.
2.简单组合体的构成形式
一种是由简单几何体____而成的；另一种是由简单几何体_____________一部分而成的.
拼接
截去或挖去
[例2]　(1)如图所示的螺母可以看成一个组合体，对其结构特征最接近的表述是(　　)
A.一个六棱柱中挖去一个棱柱
B.一个六棱柱中挖去一个棱锥
C.一个六棱柱中挖去一个圆柱
D.一个六棱柱中挖去一个圆台
解析　螺母这个组合体的外部轮廓图是六棱柱，由于螺母是旋拧在螺杆上的，则挖去的部分是圆柱，选项C表述准确.
C
(2)如图，若直角三角形ABC及其内部各点绕斜边AB所在的直线旋转360°，则所得到的旋转体为(　　)
A.圆锥
B.圆台
C.圆锥与圆台的组合体
D.两个圆锥形成的组合体
D
解析　直角三角形ABC及其内部各点绕斜边AB所在的直线旋转360°，过点C作CD⊥AB于点D，则△ACD绕AB所在的直线旋转得到的是一个圆锥，△BCD绕AB所在的直线旋转得到一个圆锥，故得到的旋转体为两个圆锥形成的组合体.
[反思归纳]　判断组合体构成的方法
1.判定实物图是由哪些简单几何体组成的问题时，首先要熟练掌握简单几何体的结构特征；其次要善于将复杂的组合体“分割”为几个简单的几何体.
2.组合体是由简单几何体拼接或截去一部分构成的.要仔细观察组合体的构成，结合柱、锥、台、球的结构特征，先分割，后验证.
2.如图的组合体是由______组合而成(　　)
A.两个棱柱
B.棱柱和圆柱
C.圆柱和棱台
D.圆锥和棱柱
解析　由题图可知该组合体由圆柱和六棱柱组合而成，故选B.
B
3.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括(　　)
A.一个圆台、两个圆锥
B.两个圆柱、一个圆锥
C.两个圆台、一个圆柱
D.一个圆柱、两个圆锥
D
解析　图1是一个等腰梯形，CD为较长的底边，以CD边所在直线为旋转轴旋转一周所得几何体为一个组合体，如图2，包括一个圆柱、两个圆锥.
知识点三　旋转体的有关计算
[例3]　已知球O的半径为5.
若球O有两个半径分别为3和4的平行截面，求这两个截面之间的距离.
[反思归纳]
1.用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构造相关几何变量的方程(组)而得解.
2.利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
同一平面图形绕不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)直角三角形绕一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥.( )
(2)夹在圆柱的两个平行截面间的几何体是圆柱.( )
(3)圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台.( )
(4)半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球.( )
×
×
√
√
2.一个几何体，它的轴截面一定是圆面，则这个几何体是(　　)
A.圆柱 B.圆锥
C.圆台 D.球
解析　对于A，圆柱的轴截面是矩形，故A不符合题意；对于B，由于圆锥的轴截面是一个等腰三角形，故B不符合题意；对于C，圆台轴截面是等腰梯形，故C不符合题意；对于D，用任意的平面去截球，得到的截面均为圆，故D符合题意.
D
A
3.下列命题正确的是(　　)
A.以直角三角形的一条直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥
B.以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台
C.圆柱、圆锥、圆台都有两个底面
D.圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径
解析　对于A，根据圆锥的特点，以直角三角形的一条直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥，故A正确；对于B，以直角梯形的直角腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，故B错误；对于C，圆柱、圆台都有两个底面，而圆锥只有一个底面，故C错误；对于D，圆锥的侧面展开图为扇形，此扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误.
1
[基础巩固]
1.正方形ABCD绕对角线AC所在直线旋转一周所得到的几何体(　　)
A.由两个圆台组成
B.由一个圆锥和一个圆台组成
C.由两个圆锥组成
D.由两个棱台组成
解析　由题意，将正方形绕对角线所在的直线旋转一周，根据旋转体的定义，可知得到的组合体是两个同底的圆锥.
C
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2.下列说法错误的是(　　)
A.一个棱柱至少有5个面
B.斜棱柱的侧面中没有矩形
C.圆柱的母线平行于轴
D.正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
解析　由棱柱的性质可知A正确、B错误；由圆柱的性质可知C正确；由正棱锥的性质可知D正确.
B
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3.铜钱又称方孔钱，是古代钱币最常见的一种，其平面图形由一个圆和一个正方形组成(如图所示)，若绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体是(　　)
A.一个球
B.一个球挖去一个圆柱
C.一个圆柱
D.一个球挖去一个正方体
解析　题设中的平面图形绕旋转轴(虚线)旋转一周，形成的几何体为一个球挖去一个圆柱，故选B.
B
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4.下列说法正确的是(　　)
A.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段
C.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥
D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台
解析　对于A，虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误；对于B，球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确；对于C，以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误；对于D，用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误.故选B.
B
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5.一条排水管的截面如图.已知排水管的截面圆半径OB是10，水面宽AB是16，则截面水深CD是(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
4
B
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6.(多选)以钝角三角形的某条边所在的直线为轴，其他两边旋转一周所得到的几何体可以是(　　)
A.两个圆锥拼接而成的组合体
B.一个圆台
C.一个圆锥
D.一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥
解析　以钝角三角形的最长边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体是两个同底圆锥拼接而成的组合体，所以A正确；以钝角三角形的较短边所在的直线为轴，旋转一周所得到的几何体都是一个大圆锥挖去一个同底的小圆锥，所以D正确；同时排除B，C.故选AD.
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AD
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7.已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，则此圆柱的底面半径为________(用Q表示).
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4 cm
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8.已知圆锥的底面半径为2 cm，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为________.
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10.(8分)一个圆锥的高为2 cm，母线与轴的夹角为30°，求圆锥的母线长及圆锥的轴截面的面积.
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[综合应用]
11.上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为(　　)
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D
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12.(多选)如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的组合体，现用一个竖直的平面去截这个组合体，则截面图形可能是(　　)
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AD
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解析　一个圆柱挖去一个圆锥后，剩下的几何体被一个竖直的平面所截后，圆柱的轮廓是矩形除去一条边，圆锥的轮廓是三角形除去一条边或抛物线的一部分.
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13.边长为5的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从点E沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________.
解析　把圆柱的侧面沿HE剪开，然后展开成为平面图形HEE′H′，且四边形HEE′H′为矩形，如图所示，可知EG的长即为所求的最短距离.
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14.(10分)一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2，求：
(1)圆台的高；
(2)将圆台还原为圆锥后，圆锥的母线长.
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[拓展提升]
15.已知一个棱长为6 cm的正方体铁盒(无上盖)，上口放着一个半径为5 cm的钢球，则球心到盒底的距离为________ cm.
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16. (12分)如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5 cm，10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：
(1)绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离.
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