人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步8.4.1平面课件(共47张PPT)

(共47张PPT)
1.了解平面的概念，掌握平面的画法及表示方法.
2.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系.
3.掌握关于平面基本性质的三个基本事实及其推论，能利用三个基本事实及其推论解决有关问题.
[学习目标]
[情境导入]
几个同学外出游玩，中午吃饭时发现没有桌子，食品无法摆在一起共享，但有一同学带着一个木质画板，说有办法支起来当作桌子，同学们都等待着.不一会儿，见他找来三根木棍，用绳子在相同的高度扎起来，再分散开放在地上，然后把画板放在上面，说：“好了，我们把好吃的往上放吧.”同学们把各自带来的食品都放在上面，共享了一顿美餐.同学们，你能说出三根木棍能支起画板且很牢固的道理吗？
知识点一　平面的概念及基本性质
1.平面的画法及表示
ABCD
画法 平面水平放置 平面竖直放置
表示 (1)平行四边形的四个顶点：平面________；
(2)相对的两个顶点：平面____或平面____；
(3)希腊字母：平面__、平面__、平面γ等
AC
BD
α
β
A∈l
2.点、直线、平面之间的基本位置的符号表示
文字语言 符号语言
点A在直线l上 _____
点A在直线l外 _____
点A在平面α内 _____
点A在平面α外 _____
直线l在平面α内 _____
直线l不在平面α内 _____
平面α，β相交于直线l ________
A l
A∈α
A α
l α
l α
α∩β＝l
3.三个基本事实
有且只有
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言
基本事实1 过不在一条直线上的三个点，_________一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α
基本事实2 如果一条直线上的_______在一个平面内，那么这条直线在____________ A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ____
两个点
这个平面内
l α
公共直线
基本事实 文字语言 图形语言 符号语言
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的_________ P∈α，且P∈β α∩β＝l，且P∈l
4.基本事实的三个推论
推论 文字语言 图形语言
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面
推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面
[例1]　给出以下命题：
①8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚；
②有一个平面的长是50 m，宽是20 m；
③平面的形状是矩形；
④平面是绝对的平滑、无厚度、可以无限延展的抽象的数学概念；
⑤圆、椭圆等平面图形可以表示平面；
⑥空间图形中，后作的辅助线都是虚线.
其中真命题为________.(填序号)
④⑤
解析　平面是平滑、无厚度、可以无限延展的，故①②是假命题，④是真命题.矩形是平面的一部分，它是不能无限延展的，故③是假命题.有时根据具体情况，可以用其他的平面图形，如矩形、圆、椭圆、正方形等表示平面，故⑤是真命题.
在空间图形中，我们一般把看得见的线画成实线，把被遮住的线画成虚线或不画，即眼见为实，不见为虚，如图，故⑥是假命题.
[例2]　用符号语言表示下列语句，并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B；
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上.
解　(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图①.
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图②.
[反思归纳]
1.平面是原始概念，只能加以描述；三角形、平行四边形、圆等都是平面图形，可以表示平面.
2.用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示.
3.根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别.
1.下列说法正确的是(　　)
A.平行四边形是一个平面
B.任何一个平面图形都是一个平面
C.平静的太平洋面就是一个平面
D.一个平面可以将空间分成两部分
解析　A不正确，我们用平行四边形来表示平面，但不能说平行四边形是一个平面，平行四边形仅是平面上四条线段构成的图形，它是不能无限延展的；B不正确，平面图形和平面是完全不同的两个概念，平面图形是有大小的，它是不可以无限延展的；C不正确，太平洋是有边际的，不是一个平面；D正确，平面是无限延展的，它将空间分成两部分.
D
2.如果点A在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以用集合语言和符号表示为(　　)
A.A a，a α，B∈α B.A∈a，a α，B∈α
C.A a，a∈α，B α D.A∈a，a∈α，B∈α
B
知识点二　点、线共面问题　
[例3]　如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内.
证明　法一(纳入平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.
又∵l2 α，∴B∈α，
同理可证C∈α.
∵B∈l3，C∈l3，∴l3 α，
∴直线l1，l2，l3在同一平面内.
法二(辅助平面法)
∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.
∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.
∵A∈l2，l2 α，∴A∈α.
∵A∈l2，l2 β，∴A∈β，
同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.
∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，
∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内.
[反思归纳]　证明点、线共面的常用方法
1.纳入平面法，先由部分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内.
2.辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面α，再由其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
3.如图，已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：直线a，b，c，l共面.
证明　因为a∥b，所以a和b确定一个平面α，
因为l∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈α，B∈α.故l α.
又a∥c，所以a和c确定一个平面β.
同理l β.
即l和a既在平面α内又在平面β内，且l与a相交，
故平面α，β重合，即直线a，b，c，l共面.
知识点三　点共线、线共点问题
[例4]　如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设梯形ABCD中，AD∥BC，且AB α，CD β.求证：AB，CD，l共点.
证明　因为在梯形ABCD中，AD∥BC，
所以AB，CD是梯形ABCD的两腰，
所以AB，CD必定相交于一点，
如图，设AB∩CD＝M.
又因为AB α，CD β，
所以M∈α，且M∈β，
又因为α∩β＝l，
所以M∈l.即AB，CD，l共点.
[反思归纳]
1.证明三点共线的方法
2.证明三线共点的步骤
4.如图所示，△ABC在平面α外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面α于P，Q，R三点.求证：P，Q，R三点在同一直线上.
证明　由AB∩α＝P，可知点P∈AB，
且AB 平面ABC，可知点P∈平面ABC，又P∈α，
所以点P在平面ABC与平面α的交线上，
同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面α的交线上，所以P，Q，R三点共线.
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
不要忽视三个基本事实及其推论的条件.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若A∈a，a α，则A∈α.( )
(2)两个平面的交线可能是一条线段.( )
(3)经过一条直线和一个点，有且只有一个平面.( )
√
×
×
2.(多选)下列命题正确的是(　　)
A.三个点可以确定一个平面
B.长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体
C.一条直线和一个点可以确定一个平面
D.两条平行直线可以确定一个平面
解析　三个不共线的点可以确定一个平面，A错误；长方体一定是直四棱柱，正四棱柱一定是长方体，B正确；一条直线和直线外一点可以确定一个平面，C错误；根据推论3可知，D正确.
BD
B
3.用符号语言表示下列语句，正确的个数是(　　)
(1)点A在平面α内，但不在平面β内：A α，A β.
(2)直线a经过平面α外的点A，且a不在平面α内：A∈a，A α，a α.
(3)平面α与平面β相交于直线l，且l经过点P：α∩β＝l，P∈l.
A.1 B.2 C.3 D.0
解析　 (1)错误，点A在平面α内应表示为：A∈α，点A不在平面β内应表示为A β，故错误.(2)正确，由题意点A在直线a上，不在平面α内，直线a不在平面α内，表示为：A∈a，A α，a α，故正确.(3)正确，平面α与平面β相交于直线l，表示为：α∩β＝l；l经过点P，即点P在直线l上，表示为：P∈l，故正确.
[基础巩固]
1.两个平面若有三个公共点，则这两个平面(　　)
A.相交 B.重合
C.相交或重合 D.以上都不对
解析　若这三个公共点在一条直线上，则这两个平面相交；若这三个公共点不共线，则这两个平面重合.故选C.
C
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2.下图中的两个相交平面，其中画法正确的是(　　)
D
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解析　对于A，图中没有画出平面α与平面β的交线，另外图中的实、虚线也没有按照画法原则去画，故A的画法不正确.同理可知BC图形的画法不正确，D中图形的画法正确.
3.三个平面不可能将空间分成(　　)
A.5部分 B.6部分
C.7部分 D.8部分
解析　若三个平面互相平行，则可将空间分为4个部分；若三个平面有两个平行，第三个平面与其他两个平面相交，则可将空间分为6个部分；若三个平面交于一条直线，则可将空间分为6个部分；若三个平面两两相交且三条交线平行，则可将空间分为7个部分；若三个平面两两相交且三条交线交于一点，则可将空间分为8个部分，故n的取值为4，6，7，8，所以n不可能是5.
A
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4.如图所示，平面α∩平面β＝l，点A，B∈α，点C∈β，直线AB∩l＝R.设过A，B，C三点的平面为γ，则β∩γ＝(　　)
A.直线AC B.直线BC
C.直线CR D.以上均不正确
解析　∵AB∩l＝R，平面α∩平面β＝l，∴R∈l，R∈AB，l β，∴R∈β.又∵A，B，C三点确定的平面为γ，∴C∈γ，AB γ，∴R∈γ.又∵C∈β，∴C，R是平面β和γ的公共点，∴β∩γ＝CR.
C
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5.在三棱锥A－BCD的边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，若EF∩HG＝P，则点P(　　)
A.一定在直线BD上
B.一定在直线AC上
C.在直线AC或BD上
D.不在直线AC上，也不在直线BD上
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B
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解析　如图，∵EF 平面ABC，HG 平面ACD，EF∩HG＝P，∴P∈平面ABC，P∈平面ACD.又平面ABC∩平面ACD＝AC，∴P∈AC.
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6.(多选)下列说法错误的是(　　)
A.不共面的四点中，其中任意三点不共线
B.若点A，B，C，D共面，点A，B，C，E共面，则点A，B，C，D，E共面
C.若直线a，b共面，直线a，c共面，则直线b，c共面
D.依次首尾相接的四条线段共面
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BCD
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解析　A中，假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以A正确；B中，如图，两个相交平面有三个公共点A，B，C，但A，B，C，D，E不共面，所以B不正确；C显然不正确；D中，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形，所以D不正确.
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7.空间不共线的四点可以确定平面的个数是________.
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1或4
解析　若有三点共线，则这四点可以确定一个平面；若任意三点均不共线，则空间四点可以确定4个平面.
P∈直线DE
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8.如图，已知D，E是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点，若直线AB与平面α的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是____________.
解析　因为P∈AB，AB 平面ABC，所以P∈平面ABC.
又P∈α，平面ABC∩平面α＝DE，所以P∈直线DE.
9.(9分)如图，已知A，B，C，D是空间四点，且点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上.求证：直线AD，BD，CD在同一平面内.
证明　因为点A，B，C在同一直线l上，点D不在直线l上.
所以点A，B，D确定唯一的一个平面，设为α，
所以l α，因为C∈l，所以C∈α，因为A，B，C，D∈α，
所以AD α，BD α，CD α，即直线AD，BD，CD在同一平面内.
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10.(9分)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，设A1C∩平面ABC1D1＝E.证明：点E在平面A1BCD1上.
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证明　∵A1C∩平面ABC1D1＝E，∴E∈A1C.
∵A1C 平面A1BCD1，∴E∈平面A1BCD1.
即点E在平面A1BCD1上.
[综合应用]
11.空间四点A，B，C，D共面而不共线，那么这四点中(　　)
A.必有三点共线 B.必有三点不共线
C.至少有三点共线 D.不可能有三点共线
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B
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解析　如图①②所示，A，C，D均不正确，只有B正确.
12.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，平面D1PQ∩平面ABCD＝l，则下列结论错误的是(　　)
A.l过点B
B.l不一定过点B
C.D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上
D.D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上
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B
解析　连接PB，QB，如图，
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因为P，Q分别是棱AA1，CC1的中点，由勾股定理得D1P＝D1Q＝QB＝BP，所以四边形D1PBQ是菱形，所以D1，P，B，Q四点共面，即B∈平面D1PBQ.又B∈平面ABCD，所以B∈l，故A结论正确、B结论错误.如图，延长D1P与DA的延长线交于点F，延长D1Q与DC的延长线交于点E.因为D1F 平面D1PBQ，所以F∈平面D1PBQ，因为DF 平面ABCD，所以F∈平面ABCD，所以F∈l，同理E∈l，故C，D正确.
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13.(10分)如图，E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，且直线EH与直线FG交于点O.
求证：B，D，O三点共线.
证明　因为E∈AB，H∈AD，
所以E∈平面ABD，H∈平面ABD，
所以EH 平面ABD.
因为EH∩FG＝O，所以O∈平面ABD，
同理O∈平面BCD.
又平面BCD∩平面ABD＝BD，
所以O∈BD，故点B，D，O共线.
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[拓展提升]
14.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为DB的中点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(　　)
A.C1，M，O三点共线
B.C1，M，O，C四点共面
C.C1，O，A，M四点共面
D.D1，D，O，M四点共面
ABC
解析　在题图中，连接A1C1，AC(图略)，则AC∩BD＝O，又A1C∩平面C1BD＝M，∴C1，M，O三点在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，∴A，B，C均正确、D不正确.
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解析　设直线C1M，CD相交于点E，直线C1N，CB相交于点F，连接EF交直线AD于点P，交直线AB于点Q，则五边形C1MPQN为所求截面图形.
C