人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步8.4.2空间点、直线、平面之间的位置关系课件(共44张PPT)

(共44张PPT)
1.了解空间中两直线间的位置关系.
2.理解空间中直线与平面的位置关系.
3.掌握空间中平面与平面的位置关系.
[学习目标]
[情境导入]
前面我们认识了空间中点、直线、平面之间的一些位置关系，如点在平面内，直线在平面内，两个平面相交，等等.空间中点、直线、平面之间还有其他位置关系吗？本节课我们一起探究一下吧！
知识点一　空间中直线与直线的位置关系
1.异面直线
(1)定义：不同在_________平面内的两条直线.
(2)异面直线的画法
任何一个
(3)异面直线的判定方法
方法 内容
定义法 不同在任何一个平面内的两条直线
反证法 既_______，也______的两条直线
不平行
不相交
一个
2.空间两条直线的位置关系
位置关系 特点
共面直线 相交直线 在同一平面内，有且只有_____公共点
平行直线 在同一平面内，_____公共点
异面直线 不同在________平面内，没有______
没有
任何一个
公共点
[微点拨]　(1)在不同平面内的两条直线不一定异面.
(2)没有公共点的两条直线平行或异面.
[例1]　(多选)一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为P2A，P1D，P4D，P4C，P3C的中点.关于该正四棱锥，现有下列四个结论，其中正确的结论为(　　)
A.直线AF与直线BQ是异面直线
B.直线BE与直线MN是异面直线
C.直线BQ与直线MN共面
D.直BE与直线AF是异面直线
BCD
解析　根据展开图，复原几何体，P1，P2，P3，P4重合为P，如图所示.对于A，因为F，M，N，Q分别为P1D，P4D，P4C，P3C的中点，所以FN∥CD，又AB∥CD，则FN∥AB，故F，N，A，B四点共面，故直线AF与直线BN是共面直线，即直线AF与直线BQ是共面直线，故A错误；对于B，E在过F，N，A，B四点的平面外，B和MN都在过F，N，A，B四点的平面内，故直线BE与直线MN是异面直线，故B正确；对于C，N，Q重合，故直线BQ与直线MN共面，故C正确；对于D，E在过F，N，A，B四点的平面外，B和AF都在过F，N，A，B四点的平面内，故直线BE与直线AF是异面直线，故D正确.故选BCD.
[反思归纳]　判断空间两条直线位置关系的诀窍
1.建立空间观念全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线.
2.重视长方体、正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系.
1.(多选)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系可能是(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.重合
ABC
解析　如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，DD′，CC′，故a和c可以平行、相交或异面.
知识点二　空间中直线与平面的位置关系
位置关系 定义 图形语言 符号语言
直线在平面内 有____个公共点 a α
直线在平面外 直线与平面相交 有且只有_____公共点 _______
直线与平面平行 没有公共点 _____
无数
一个
a∩α＝A
a∥α
[例2]　(多选)下列说法中，正确的有(　　)
A.如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行
B.如果一条直线与一个平面相交，那么这条直线与平面内无数条直线相交
C.过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行
D.一条直线上有两点到平面的距离相等，那么这条直线和这个平面可能平行，也可能相交
BD
解析　如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与平面内的直线平行或异面，所以A错误；如果一条直线与一个平面相交，那么在这个平面内作过交点的直线都与这条直线相交，有无数条，所以B正确；对于C，显然有无数条，所以C错误；如图所示，所以D正确.
[反思归纳]　空间中直线与平面只有三种位置关系：直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.在判断直线与平面的位置关系时，这三种情形都要考虑到，避免疏忽、遗漏.另外，我们可以借助空间几何图形，把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中，以便于作出正确判断，避免凭空臆断.
2.下列命题中，正确的命题是(　　)
A.若a∥α，α∥β，则a∥β
B.若a∥α，b α，则a∥b
C.若a α，则a与α有无数个公共点
D.若a α，则a与α没有公共点
解析　对于A，a∥β或a β，所以A错误；对于B，直线a与b可能平行，也可能异面，所以B错误；对于C，直线在平面内时有无数个公共点，所以C正确；对于D，因为直线a与平面α可能相交，此时只有一个公共点，所以D错误.
C
知识点三　空间中平面与平面的位置关系
α∥β
位置关系 图形表示 符号表示 公共点
两个平面平行 ______ 没有公共点
两个平面相交 _______ 有一条公共直线
α∩β＝l
[例3]　(多选)以下四个命题中，正确的命题有(　　)
A.在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B.在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行
D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交
解析　当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以A，B错误，可判断C，D正确.
CD
[反思归纳]
1.平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断，主要说明两个平面没有公共点.
2.常见平面与平面平行的几何模型
(1)棱柱(台)、圆柱(台)的上、下底面.
(2)长方体中三组相对的面平行.
3.如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是(　　)
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.垂直
C
解析　根据题意作图，把自然语言转化为图形语言，即可得出两平面的位置关系.如图所示.
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
正确理解线线、线面、面面位置关系的定义.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两条直线若不是异面直线，则必相交或平行.( )
(2)若直线a在平面α外，则a∥α.( )
(3)若直线与平面不相交，则直线与平面平行.( )
√
×
×
2.若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是(　　)
A.共面 B.平行
C.异面 D.平行或异面
解析　若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线.
D
D
3.若直线l∥平面α，直线a α，则(　　)
A.l∥a B.l与a异面
C.l与a相交 D.l与a没有公共点
解析　若直线l∥平面α，直线a α，则l∥a或l与a异面，故l与a没有公共点.
4.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AA1异面的棱有________条，正方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(平面AA1C1C，平面ABC1D1，平面ADC1B1，平面BB1D1D，平面A1BCD1及平面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面有________个.
4
3
解析　与AA1异面的棱有CD，BC，C1D1，B1C1，共4条；与AA1平行的面有平面BCC1B1，平面CC1D1D，平面BB1D1D，共3个.
[基础巩固]
1.与同一平面平行的两条直线(　　)
A.平行 B.相交
C.异面 D.平行、相交或异面
解析　与同一平面平行的两条直线的位置关系有三种情况：平行、相交或异面.
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2.在棱长为1的正四面体ABCD中，直线AD与BC是(　　)
A.平行直线 B.相交直线
C.异面直线 D.无法判断位置关系
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解析　作出正四面体ABCD，如图，因为BC 平面BCD，D∈平面BCD，D BC，A 平面BCD，所以AD与BC是异面直线.
3.过平面外两点作该平面的平行平面，可以作(　　)
A.0个 B.1个
C.0个或1个 D.1个或2个
解析　平面外两点的连线与已知平面的位置关系有两种情况：①直线与平面相交，可以作0个平行平面；②直线与平面平行，可以作1个平行平面.
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4.若三个平面两两相交，有三条交线，则下列命题中正确的是(　　)
A.三条交线为异面直线
B.三条交线两两平行
C.三条交线交于一点
D.三条交线两两平行或交于一点
解析　三个平面两两相交，有两种情况：一是如三棱柱的三个侧面，三条交线两两平行；二是如三棱锥的三个侧面，三条交线相交于一点.
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5.直线a与直线b相交，直线c也与直线b相交，则直线a与直线c的位置关系是(　　)
A.相交 B.平行
C.异面 D.以上都有可能
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解析　可借助长方体来判断.如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB与AA1相交，A1B1与AA1相交，AB∥A1B1；AD与AA1相交，AB与AA1相交，AB与AD相交；A1D1与AA1相交，AB与AA1相交，AB与A1D1异面.
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6.(多选)以下四个命题中正确的有(　　)
A.三个平面最多可以把空间分成八部分
B.若直线a 平面α，直线b 平面β，则“a与b相交”与“α与β相交”等价
C.若α∩β＝l，直线a 平面α，直线b 平面β，且a∩b＝P，则P∈l
D.若n条直线中任意两条共面，则它们共面
解析　对于A，正确；对于B，逆推“α与β相交”推不出“a与b相交”，也可能a∥b，故B错误；对于C，正确；对于D，反例：正方体的侧棱任意两条都共面，但这4条侧棱却不共面，故D错误.
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AC
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7.如果空间的三个平面两两相交，则下列判断正确的是________(填序号).
①不可能只有两条交线；②必相交于一点；③必相交于一条直线；④必相交于三条平行线.
解析　空间的三个平面两两相交，可能只有一条交线，也可能有三条交线，这三条交线可能交于一点.
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①
解析　以底边所在直线为准进行考察，因为四边形ABCD是平面图形，4条边在同一平面内，不可能组成异面直线，而每一边所在直线能与2条侧棱组成2对异面直线，所以共有4×2＝8对异面直线.
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8.在四棱锥P－ABCD中，各棱所在的直线互相异面的有________对.
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9.(12分)如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系如何？
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系如何？
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系如何？
(4)直线AB与直线B1C的位置关系如何？
解　(1)由长方体性质可知A1D1与BC平行且相等，所以四边形A1BCD1是平行四边形，所以直线A1B与直线D1C平行.
(2)B1C 平面BCC1B1，A1B交平面BCC1B1于B，B B1C，所以直线A1B与直线B1C异面.
(3)直线D1D与直线D1C交于D1，所以两条直线相交.
(4)B1C 平面BCC1B1，AB交平面BCC1B1于B，B B1C，所以直线AB与直线B1C异面.
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10.(8分)如图，在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为B′C′，A′D′的中点，求证：平面ABB′A′与平面CDFE相交.
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[综合应用]
11.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是(　　)
A.相交
B.平行
C.直线在平面内
D.平行或直线在平面内
解析　延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.
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A
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12.不在同一条直线上的三点A，B，C到平面α的距离相等，且A α，给出以下三个命题：①△ABC中至少有一条边平行于α；②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交.其中真命题是________(填序号).
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解析　如图，三点A，B，C可能在α同侧，也可能在α两侧，其中真命题是①.
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13.(8分)已知a，b是两条直线，α是一个平面，a∥b，a∩α＝P.求证：b与平面α相交.
证明　∵a∥b，∴a和b可以确定一个平面，不妨设这个平面为β.
∵a∩α＝P，∴P∈a且P∈α，∴P∈β.
从而点P是平面α与平面β的一个公共点，由此可知平面α与平面β相交于过点P的一条直线.
设α∩β＝c，则c α.
在平面β内，a∥b，a∩c＝P，则b与c也相交.
设b∩c＝Q，则Q∈b，Q∈c，
∴直线b与平面α有一个公共点Q，
故直线b与平面α相交.
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[拓展提升]
14.(多选)如图是一个正方体的展开图，则在原正方体中(　　)
A.CD∥GH B.AB与EF异面
C.AD∥EF D.AB与CD相交
ABD
解析　把展开图还原成正方体，如图所示.由正方体的性质得CD∥GH，AB与EF异面，AD与EF异面，AB与CD相交，故选ABD.
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15.在底面半径为1的圆柱OO1中，过旋转轴OO1作圆柱的轴截面ABCD，其中母线AB＝2，E是弧 的中点，F是AB的中点，则(　　)
A.AE＝CF，AC与EF是共面直线
B.AE≠CF，AC与EF是共面直线
C.AE＝CF，AC与EF是异面直线
D.AE≠CF，AC与EF是异面直线
D
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