人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步8.6.2第2课时直线与平面垂直的性质课件(共48张PPT)

(共48张PPT)
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线和平面垂直的性质定理，并加以证明.
2.会应用性质定理判断两条直线的平行.
3.了解空间中距离的概念，会求空间中的距离.
[学习目标]
[情境导入]
我们上一节课学习了直线与平面垂直的定义和判定方法.现在如果已知直线a⊥平面α，直线b⊥平面α，那么直线a与b有怎样的位置关系？这就是我们本节课要学习的直线与平面垂直的性质.
知识点一　直线与平面垂直的性质定理
平行
文字语言 垂直于同一个平面的两条直线____
符号语言 a⊥α，且b⊥α ____
图形语言
作用 ①线面垂直 线线平行；②作平行线
a∥b
[微点拨]　直线与平面垂直的性质定理给出了判断两条直线平行的另一种方法，即“线面垂直，则线线平行”，它揭示了“平行”与“垂直”的内在联系，证明线线平行可转化为线面垂直，即转化为证明这两条直线同时垂直于一个平面.
[例1]　(多选)在空间中，设m，n为两条不同的直线，α为一个平面，下列结论正确的是(　　)
A.m∥α，且n α，则m⊥n B.m⊥α，n∥α，则m⊥n
C.m∥α，n∥α，则m∥n D.m⊥α，n⊥α，则m∥n
解析　对于A，m∥α，n α，若直线n是过直线m的平面与平面α的交线，则有m∥n，A错误；对于B，由n∥α，得存在过直线n的平面与平面α相交，令交线为l，则n∥l，又m⊥α，则有m⊥l，因此m⊥n，B正确；对于C，由m∥α，n∥α，知m与n可以相交、可以平行、也可以是异面直线，C错误；对于D，m⊥α，n⊥α，由线面垂直的性质，知m∥n，D正确.
BD
[反思归纳]
1.线面垂直的性质定理揭示了“垂直”与“平行”这两种特殊位置关系之间的转化.
2.常用的线面垂直的性质还有：(1)b⊥α，a α b⊥a；(2)a⊥α，b∥a b⊥α；(3)a⊥α，a⊥β α∥β.
1.(多选)设直线m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中一定正确的是(　　)
A.若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β
B.若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β
C.若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β
D.若m⊥α，m，n不平行，则n与α不垂直
CD
解析　对于A选项，若m∥α，n∥β，m⊥n，则α，β平行或相交(不一定垂直)，A错误；对于B选项，若m∥α，n∥β，m∥n，则α，β平行或相交，B错误；对于C选项，若m⊥α，n⊥β，m∥n，则m⊥β，故α∥β，C正确；对于D选项，假设n⊥α，又因为m⊥α，则m∥n，这与题设矛盾，假设不成立，故n与α不垂直，D正确.
知识点二　直线与平面垂直性质定理的应用
[例2]　如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点.求证：AF∥平面BCE.
证明　因为AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，则AB∥DE，
取CE的中点M，连接BM，MF，
因为M，F分别为CE，CD的中点，则MF∥DE，且DE＝2MF，
由题意可得，AB∥DE，且DE＝2AB，
则AB∥MF，且AB＝MF，则四边形ABMF为平行四边形，
可得AF∥BM，且AF 平面BCE，BM 平面BCE，
所以AF∥平面BCE.
[反思归纳]
1.在证明与垂直相关的平行问题时，可以考虑线面垂直的性质定理，利用已知的垂直关系构造线面垂直，关键是确定与要证明的两条直线都垂直的平面.
2.注意线面垂直性质定理的推论的应用，利用平行关系转化为垂直关系，或将垂直关系转化为平行关系.
知识点三　空间中的距离
1.直线到平面的距离
一条直线与一个平面平行时，这条直线上________到这个平面的距离，叫做这条直线到这个平面的距离.
2.平面与平面的距离
如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都____，我们把它叫做这两个平行平面间的距离.
任意一点
相等
[例3]　(1)在三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，则点A到平面PBC的距离等于________；
(2)在长方体ABCD－A1B1C1D1中，已知AB＝3，BC＝4，AC1与平面ABCD所成角的大小是30°，那么平面ABCD到平面A1B1C1D1的距离是________.
[反思归纳]　空间中的三种距离：点到平面的距离、直线到与其平行的平面的距离、平行平面之间的距离，常常转化为点到平面的距离，然后利用直线与平面垂直的判定或性质作出垂线段，求出垂线段的长，或利用“等体积法”求解.
3.如图，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD的边长为3，PA＝4，则AB到平面PCD的距离是______.
解析　因为AB∥CD，CD 平面PCD，AB 平面PCD，
所以AB∥平面PCD，即点A到平面PCD的距离等于AB到平面PCD的距离，
过点A作AF⊥PD于点F，
因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又CD⊥AD，PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，所以CD⊥平面PAD，
因为AF 平面PAD，所以CD⊥AF，
又CD∩PD＝D，CD，PD 平面PCD，所以AF⊥平面PCD，
故AF的长即为AB到平面PCD的距离，
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
利用线面垂直的性质定理时要注意其条件的应用，注意转化思想的应用.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)到已知平面距离相等的两条直线平行.( )
(2)如果一条直线与两个平行平面中的一个垂直，那么这条直线也和另一个垂直.( )
(3)垂直于同一条直线的两个平面互相平行.( )
(4)如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.( )
×
√
√
√
2.若直线a与平面α不垂直，那么在平面α内与直线a垂直的直线(　　)
A.只有一条
B.有无数条
C.是平面内的所有直线
D.不存在
解析　当a∥平面α时，在平面α内有无数条直线与直线a是异面垂直直线；当a α时，在α内有无数条平行直线与直线a相交且垂直；当直线a与平面α相交但不垂直时，在平面α内有无数条平行直线与直线a垂直.
B
D
3.直线l垂直于平面α，m α，则有(　　)
A.l∥m B.l和m异面
C.l和m相交 D.l和m不平行
解析　因为l⊥α，m α，所以l⊥m，则l和m可能相交，也可能异面，即l和m不平行.
4.线段AB在平面α的同侧，A，B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为______.
4
解析　如图，设AB的中点为M，分别过A，M，B向α作垂线，垂足分别为A1，M1，B1.
则由线面垂直的性质可知，AA1∥MM1∥BB1，四边形AA1B1B为直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1为其中位线，所以MM1＝4.
[基础巩固]
1.已知直线l垂直于平面α，另一直线m也垂直于平面α，则直线l，m的位置关系是(　　)
A.平行 B.相交
C.垂直 D.异面
解析　根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的直线平行.
A
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2.下列命题中，是假命题的为(　　)
A.垂直于同一平面的两条直线平行
B.平行于同一平面的两个平面平行
C.平行于同一直线的两个平面平行
D.垂直于同一直线的两个平面平行
解析　对于A，由线面垂直的性质可知，垂直于同一平面的两条直线平行，故A为真命题；对于B，根据空间中面面的位置关系可知，平行于同一平面的两个平面平行，故B为真命题；对于C，平行于同一直线的两个平面的位置关系，有平行或相交，故C为假命题；对于D，根据空间中面面的位置关系可知，垂直于同一直线的两个平面平行，故D为真命题.
C
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3.设a，b，c是三条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列条件能使a⊥b成立的是(　　)
A.a⊥c，b⊥c B.α⊥β，a α，b β
C.a⊥α，b∥α D.a⊥α，b⊥α
解析　选项A，B中，a与b相交、平行或异面.选项C中，因为b∥α，所以可过b作一个平面γ，使α∩γ＝l，则b∥l，又a⊥l，所以a⊥b.选项D中，由线面垂直的性质定理，a∥b.
C
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4.如图是正方体的表面展开图，在原正方体中，直线AB与CD所成角的大小为(　　)
D
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5.在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点A1到平面AB1C的距离为(　　)
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D
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6.(多选)如图，四边形ABCD是矩形，沿对角线BD将△ABD折起到△A′BD，且A′在平面BCD上的射影O恰好在CD上，则下列结论正确的是(　　)
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BCD
A.A′C⊥BD B.A′D⊥BC
C.A′C⊥BC D.A′D⊥A′B
解析　∵四边形ABCD是矩形，且A′在平面BCD上的射影O恰好在CD上，∴A′O⊥平面BCD，又BC 平面BCD，∴BC⊥A′O，又BC⊥CD，且DC∩A′O＝O，∴BC⊥平面A′CD，从而BC⊥A′D，BC⊥A′C.显然，由矩形ABCD，易知A′B⊥A′D.故BCD正确.
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7.如图所示，已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝_____.
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解析　∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，则AF∥DE，又∵AF＝DE，则四边形AFED为平行四边形，∴EF＝AD＝6.
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8.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，求A到平面A1BD的距离d＝________.
9.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，∠ADB＝90°，CB＝CD，点E为棱PB的中点.
(1)若PB＝PD，求证：PC⊥BD；
(2)求证：CE∥平面PAD.
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证明　(1)取BD的中点O，连接CO，PO，
因为CD＝CB，所以△CBD为等腰三角形，所以BD⊥CO，
因为PB＝PD，所以△PBD为等腰三角形，所以BD⊥PO.
又PO∩CO＝O，PO，CO 平面PCO，所以BD⊥平面PCO，
因为PC 平面PCO，所以PC⊥BD.
(2)由E为PB的中点，连接EO，则EO∥PD，
又EO 平面PAD，PD 平面PAD，
所以EO∥平面PAD.
由∠ADB＝90°及BD⊥CO，可得CO∥AD，
又CO 平面PAD，AD 平面PAD，
所以CO∥平面PAD.
又CO∩EO＝O，CO，EO 平面COE，
所以平面CEO∥平面PAD，
而CE 平面CEO，所以CE∥平面PAD.
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[综合应用]
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D
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12.△ABC的三个顶点A，B，C到平面α的距离分别为2 cm，3 cm，4 cm，且它们在α的同侧，则△ABC的重心到平面α的距离为________.
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3 cm
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13.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，且四边形ABCD是正方形，E，F，G分别是棱BC，AD，PA的中点.
(1)求证：PE∥平面BFG；
(2)若AB＝2，求点C到平面BFG的距离.
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(1)证明　连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，E，F分别是棱BC，AD的中点，
∴DF＝BE，DF∥BE，
∴四边形BEDF是平行四边形，∴DE∥BF，
∵G是PA的中点，∴FG∥PD，
∵PD，DE 平面BFG，FG，BF 平面BFG，
∴PD∥平面BFG，DE∥平面BFG，
∵PD∩DE＝D，直线PD，DE在平面PDE内，
∴平面PDE∥平面BFG，∵PE 平面PDE，
∴PE∥平面BFG.
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[拓展提升]
14.(多选)如图，等边三角形ABC的边长为1，BC边上的高为AD，沿AD把三角形ABC折起来，则(　　)
ABC
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