人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步8.6.1直线与直线垂直课件(共50张PPT)

(共50张PPT)
1.借助长方体，了解空间中直线与直线垂直的关系.
2.理解并掌握异面直线所成的角，会求任意两条直线所成的角.
[学习目标]
[情境导入]
在平面几何中，我们可以通过夹角精确描述一条直线相对于另一条直线的倾斜程度.然而，当我们将视角扩展到三维空间时，如何有效刻画两条异面直线之间的位置关系呢？这正是本节课的核心问题.通过本节内容的学习，我们将系统探讨空间几何中异面直线的相对位置及其数学表征方法，从而建立对这一概念的清晰理解.
知识点一　异面直线所成的角
1.定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线______所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
2.空间两条直线所成角α的取值范围是___________.
[微点拨]　(1)两条异面直线所成的角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关.
(2)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.
a′与b′
0°≤α≤90°
60°
[例1]　(1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝BB1＝1，则AB1与BC1所成角的大小为__________；
(2)如图所示，圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，F为 的中点，E为SB的中点，则直线SA与EF所成角的大小为__________.
解析　(1)如图，设BC1∩B1C＝D，设E是AC的中点，连接BE，DE，
[反思归纳]　求两条异面直线所成的角的一般步骤
1.构造角：根据异面直线所成角的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线所成角的相关角，并加以证明.
2.计算角：求角度，常利用三角形.
3.确定角：若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角.
1.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别为AA1，AB，BB1，B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于(　　)
A.45° B.60° C.90° D.120°
B
解析　如图，连接A1B，BC1，A1C1，
由题意EF∥A1B，GH∥BC1，
所以异面直线EF与GH所成的角是∠A1BC1或其补角，
由正方体性质知△A1BC1是等边三角形，所以∠A1BC1＝60°，
所以异面直线EF与GH所成的角是60°.
2.如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，M为A1C1的中点，则AM与BC1所成角的余弦值为(　　)
D
知识点二　直线与直线垂直
如果两条异面直线所成的角是____，那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b垂直，记作____.
[微点拨]　两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形.
直角
a⊥b
[例2]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，CD1与DC1相交于点O，求证：AO⊥A1B.
证明　∵ABCD－A1B1C1D1是正方体，∴A1D1綉BC，
∴四边形A1D1CB是平行四边形，∴A1B∥D1C，
∴直线AO与A1B所成的角即为直线AO与D1C所成的角，
如图，连接AC，AD1，易证AC＝AD1，
又O为CD1的中点，∴AO⊥D1C，∴AO⊥A1B.
[反思归纳]　证明空间两条直线垂直的方法
1.定义法：利用两条直线所成的角为90°证明两直线垂直.
2.平面几何图形性质法：利用勾股定理、菱形的对角线相互垂直、等腰三角形(等边三角形)底边的中线和底边垂直等.
3.如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.
证明　如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，
知识点三　异面直线所成角的综合问题
D
[反思归纳]　当已知条件中含有异面直线所成的角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成的角，也可能是其补角，应分情况讨论.
4.在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点.若AC＝BD＝2，且AC与BD所成的角为60°，则EG的长为(　　)
C
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
不要忽视异面直线所成角θ的范围是0°<θ≤90°.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)异面直线所成的角的大小与点O的位置有关，即点O的位置不同时，这一角的大小也不同.( )
(2)异面直线a与b所成的角可以是0°.( )
(3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直.( )
(4)和两条异面直线都相交的两直线必是异面直线.( )
×
×
√
×
2.已知三条直线l1，l2，l3满足l1∥l2且l2⊥l3，则l1与l3(　　)
A.平行 B.垂直
C.共面 D.异面
解析　若l1∥l2且l2⊥l3，根据空间直线垂直的定义，可得l1⊥l3，有可能共面也有可能异面.
B
A
3.在长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱中，与面对角线AC垂直且不相交的棱的条数是(　　)
A.2 B.4
C.6 D.8
解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的12条棱中，与面对角线AC垂直的棱只有侧棱，又与AC不相交的棱有BB1和DD1.
4.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为(　　)
C
[基础巩固]
1.若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c(　　)
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是异面直线 D.一定相交
解析　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.
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2.在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，在三棱柱所有的棱中，和AC垂直且异面的直线有(　　)
A.1条 B.2条
C.3条 D.4条
解析　和AC垂直且异面的直线有A1B1和BB1.
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A.90° B.60°
C.45° D.30°
解析　∠PQR(或其补角)为所求，由勾股定理的逆定理可知∠PQR＝90°.
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4.设a，b，c是直线，则(　　)
A.若a⊥b，c⊥b，则a∥c
B.若a⊥b，c⊥b，则a⊥c
C.若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等
D.若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c是异面直线
解析　对于A，B，若a⊥b，c⊥b，则a与c可平行、可垂直，所以A，B错误；对于C，若a∥b，则a与c，b与c所成的角相等，所以C正确；对于D，若a与b是异面直线，c与b也是异面直线，则a与c可平行、可异面、可相交，所以D错误.
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5.(多选)四棱锥P－ABCD的所有棱长都相等，M，N分别为PA，CD的中点，下列说法正确的是(　　)
A.MN与PD是异面直线
B.MN∥平面PBC
C.MN∥AC
D.MN⊥PB
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ABD
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解析　如图，MN与PD是异面直线，A正确；取PB的中点为H，连接MH，HC，可得MN∥HC，又HC 平面PBC，MN 平面PBC，所以MN∥平面PBC，B正确；由MN∥HC，HC∩AC＝C，得MN不平行于AC，C不正确；因为HC⊥PB，所以MN⊥PB，D正确.
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6.(多选)一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是(　　)
A.AB⊥EF
B.AB与CM所成的角为60°
C.EF与MN是异面直线
D.MN∥CD
解析　把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有A，C正确.
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AC
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7.在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点，则在所有的棱中与直线CD和AA1都垂直的直线有____________.
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AB，A1B1
解析　由正三棱柱的性质可知与直线CD和AA1都垂直的直线有AB，A1B1.
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8.在如图所示的正方体中，M，N分别为棱BC和CC1的中点，则异面直线AC和MN所成的角为________.
解析　如图所示，连接BC1，AD1，∵MN∥BC1∥AD1，∴∠D1AC或其补角是异面直线AC和MN所成的角，连接CD1.∵△ACD1是等边三角形，∴∠D1AC＝60°.即异面直线AC和MN所成的角为60°.
9.(7分)正四棱锥P－ABCD的所有棱长均相等，E是PC的中点，求异面直线BE与PA所成角的余弦值.
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10.(8分)如图，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝AB，E，F分别是BD1和AD的中点，求证：CD1⊥EF.
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∴∠DGD1(或其补角)是异面直线CD1与EF所成的角.
又∵A1A＝AB，∴四边形ABB1A1、四边形CDD1C1都是正方形，
又G为CD1的中点，∴DG⊥CD1，
∴∠D1GD＝90°，∴异面直线CD1与EF所成的角为90°，所以CD1⊥EF.
[综合应用]
11.如图，在圆柱O′O中，AB，A′B′分别为圆O，圆O′的直径，C为 上靠近A的三等分点，C′为 上靠近A′的三等分点，且AO＝AA′＝OO′＝2，则异面直线AC′与OC夹角的正切值为(　　)
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12.如图，在三棱锥P－ABC中，异面直线AC与PB所成的角为60°，E，F分别为棱PA，BC的中点，若AC＝2，PB＝4，则EF＝(　　)
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13.当动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是(　　)
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14.(13分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝1，∠BAC＝90°，且异面直线A1B与B1C1所成的角等于60°，设AA1＝a.
(1)求a的值；
(2)求三棱锥B1－A1BC的体积.
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解　(1)如图所示，连接A1C，B1C，因为B1C1∥BC，所以∠A1BC就是异面直线A1B与B1C1所成的角，
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[拓展提升]
15.在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，E是B1C1的中点，则
(1)直线AE与BC所成角的大小为________；
(2)直线A1B与AC1所成角的余弦值为________.
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