人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步8.6.2第1课时直线与平面垂直的判定课件(共52张PPT)

(共52张PPT)
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面垂直的判定定理，并加以证明.
2.会应用直线与平面垂直的判定定理证明直线与平面垂直.
3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题.
[学习目标]
[情境导入]
在日常生活中，我们对直线与平面垂直有很多感性认识.比如，旗杆与地面的位置关系(如图)，教室里相邻墙面的交线与地面的位置关系等，都给我们以直线与平面垂直的形象.
知识点一　直线与平面垂直的定义
1.定义
一般地，如果直线l与平面α内的________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直，记作____.
任意一条
l⊥α
公共点
2.有关概念
垂线 直线l叫做平面α的垂线
垂面 平面α叫做直线l的垂面
垂足 直线与平面垂直时，它们唯一的_______P叫做垂足
垂线段 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段
点到平面的距离 _______的长度
垂线段
3.图示
画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直.
[微点拨]　(1)定义中的“任意一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.
[例1]　下列命题中，正确的序号是________.
①若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；
②若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；
③若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线；
④若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直；
⑤过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条.
解析　当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以①不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以②不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以③不正确、④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确.故填④⑤.
④⑤
[反思归纳]
1.直线和平面垂直的定义是描述性定义，对直线的任意性要注意理解.实际上，“任何一条”与“所有”表达相同的含义.当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线.由此可知，如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
2.由定义可得线面垂直 线线垂直，即若a⊥α，b α，则a⊥b.
1.设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)
A.若l⊥m，m α，则l⊥α
B.若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C.若l∥α，m α，则l∥m
D.若l∥α，m∥α，则l∥m
解析　对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面.
B
知识点二　直线与平面垂直的判定定理
两条相交
文字语言 如果一条直线与一个平面内的__________直线垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言 m α，n α，_____＝P，l⊥m，l⊥n l⊥α
图形语言
m∩n
[微点拨]　(1)判定定理的条件中，“平面内两条相交直线”是关键性词语，此处强调相交，若两条直线不相交(即平行)，即使直线垂直于平面内无数条直线也不能判断直线与平面垂直.
(2)要判断一条已知直线和一个平面是否垂直，只需要在该平面内找出两条相交直线与已知直线垂直即可.至于这两条直线是否与已知直线有交点，这是无关紧要的.
[例2]　如图，在三棱锥P－ABC中，D，E分别为AB，PB的中点，EB＝EA，且PA⊥AC，PC⊥BC.求证：BC⊥平面PAC.
证明　∵在△AEB中，D是AB的中点，EB＝EA，∴ED⊥AB，
∵E是PB的中点，D是AB的中点，∴ED∥PA，∴PA⊥AB，
又PA⊥AC，AB∩AC＝A，AB 平面ABC，AC 平面ABC，
∴PA⊥平面ABC，∵BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又PC⊥BC，PA∩PC＝P，PA 平面PAC，PC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
[反思归纳]　利用线面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤
1.在这个平面内找两条直线，使它们和这条直线垂直.
2.确定这个平面内的该两条直线是相交的直线.
3.根据判定定理得出结论.
2.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.已知AD＝2，PA＝2，PD＝2.证明AD⊥平面PAB.
证明　∵四边形ABCD为矩形，∴AD⊥AB，
∵PA＝2，AD＝2，PD＝2，∴AD2＋PA2＝PD2，
∴AD⊥PA，又∵PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
∴AD⊥平面PAB.
知识点三　直线与平面所成的角
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α_____，但不与这个平面____，这条直线叫做这个平面的斜线
斜足 斜线和平面的____A叫做斜足
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引____PO，过____O和____A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影
相交
垂直
交点
垂线
垂足
斜足
直线和平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是____；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是__
取值范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是____________
90°
0°
0°≤θ≤90°
[微点拨]　(1)斜线上不同于斜足的点P的选取是任意的.
(2)斜线在平面上的射影是过斜足和垂足的一条直线而不是线段.
[反思归纳]　求直线与平面所成角的一般步骤
1.作图：作(或找)出斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.
2.证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
3.计算：通常在垂线段、斜线段及其射影所组成的直角三角形中计算.
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
注意在定理中，直线必须垂直于平面内两条相交直线.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若a⊥b，b⊥α，则a∥α.( )
(2)若直线l与平面α垂直，则直线l与平面α内所有直线所成的角均为90°.( )
(3)若直线l与平面α所成的角为0°，则直线l∥平面α.( )
×
√
×
2.若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　　)
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
解析　∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC 平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
C
B
3.已知直线m，n是异面直线，则过直线n且与直线m垂直的平面(　　)
A.有且只有一个 B.至多有一个
C.有一个或无数个 D.不存在
解析　若异面直线m，n垂直，则符合要求的平面有一个，否则不存在.
4.线段AB的长等于它在平面α内的射影长的2倍，则AB所在直线与平面α所成的角为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.120°
C
[基础巩固]
1.空间中直线l和三角形的两边AC，BC同时垂直，则这条直线和三角形的第三边AB的位置关系是(　　)
A.平行 B.垂直
C.相交 D.不确定
解析　因为三角形的两边AC，BC有交点C，且直线l和AC，BC同时垂直，所以直线l垂直平面ABC，故该直线与AB垂直.
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2.已知直线a，b，l和平面α，则下列命题正确的是(　　)
A.若a∥b，a∥α，则b∥α
B.若a∥b，a α，b α，a∥α，则b∥α
C.若l⊥a，l⊥b，a α，b α，则l⊥α
D.若a⊥b，a⊥α，则b∥α
解析　A选项，若a∥b，a∥α，可能b α，所以A选项错误；B选项，若a∥b，a α，b α，a∥α，则b∥α，所以B选项正确；C选项，若l⊥a，l⊥b，a α，b α，当a∥b时，l与α不一定垂直，所以C选项错误；D选项，若a⊥b，a⊥α，可能b α，所以D选项错误.
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3.如图所示，如果MC⊥菱形ABCD所在的平面，那么MA与BD的位置关系是(　　)
A.平行
B.垂直相交
C.垂直但不相交
D.相交但不垂直
解析　因为四边形ABCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，BD 平面ABCD，则BD⊥MC，因为AC∩ MC＝C，且AC，MC 平面AMC，所以BD⊥平面AMC，又MA 平面AMC，所以MA⊥BD，显然直线MA与直线BD不共面，因此直线MA与BD的位置关系是垂直但不相交.
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4.在三棱锥S－ABC中，SA＝SB＝SC，则点S在平面ABC的射影一定在(　　)
A.BC边的中线上 B.BC边的高线上
C.BC边的中垂线上 D.∠BAC的平分线上
解析　由SA＝SB＝SC可知，它们的投影长度相等，则点S的投影是底面的外心，即在BC边的中垂线上.
C
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5.如图，在棱长为2的正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为棱CC′，AB的中点，则EF与平面ABCD所成角的正切值是(　　)
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D
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6.(多选)在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，AC与BD交于点O，则(　　)
A.AD1∥平面BOC1
B.BD⊥平面COC1
C.C1O与平面ABCD所成的角为45°
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ABD
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7.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP⊥BD1，则动点P的轨迹是______________.
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线段B1C
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解析　如图，连接AC，AB1，B1C，∵正方体ABCD－A1B1C1D1中，BD1⊥CB1，BD1⊥AC，又CB1与AC交于点C，∴BD1⊥平面B1AC，又知点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，根据平面的基本性质可得，平面B1AC与平面BCC1B1的交线段为B1C，即为动点P的轨迹.
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9.(8分)如图所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，A1A＝AB＝a，G，E，F分别是A1C1，AB，BC的中点，求证：直线EF⊥直线GB.
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证明　连接B1G.在三角形A1B1C1中，G是A1C1的中点，所以B1G⊥A1C1.
因为B1B⊥平面A1B1C1，A1C1 平面A1B1C1，所以B1B⊥A1C1，
因为B1G∩B1B＝B1，B1G，B1B 平面B1BG，所以A1C1⊥平面B1BG，
因为BG 平面B1BG，所以A1C1⊥BG，
又因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC，所以EF∥A1C1，
所以直线EF⊥直线GB.
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[综合应用]
11.(多选)(2025·全国Ⅰ卷)在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，则(　　)
A.AD⊥A1C B.B1C1⊥平面AA1D
C.AD∥A1B1 D.CC1∥平面AA1D
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BD
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解析　由三棱柱的性质可知，AA1⊥平面ABC，则AA1⊥AD，假设AD⊥A1C，又AA1∩A1C＝A1，AA1，A1C 平面AA1C1C，所以AD⊥平面AA1C1C，矛盾，所以AD与A1C不垂直，故A错误；因为三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱，所以AA1⊥平面ABC，则AA1⊥BC，因为D为BC的中点，AC＝AB，所以AD⊥BC，又AD∩AA1＝A，AD，AA1 平面AA1D，所以BC⊥平面AA1D，又BC∥B1C1，所以B1C1⊥平面AA1D，故B正确；AB∥A1B1，AD与AB相交，所以AD与A1B1异面，故C错误；CC1∥AA1，CC1 平面AA1D，AA1 平面AA1D，所以CC1∥平面AA1D，故D正确.故选BD.
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12.如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中正确的有________个.
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①AC⊥SB；②AB∥平面SCD；③SA与平面ABCD所成的角是∠SAD；④AB与SC所成的角等于DC与SC所成的角.
解析　∵SD⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴SD⊥AC.∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，又SD∩BD＝D，∴AC⊥平面SBD，∵SB 平面SBD，∴AC⊥SB，故①正确.∵AB∥CD，AB 平面SDC，CD 平面SDC，∴AB∥平面SCD，故②正确.∵SD⊥平面ABCD，∴SA在底面上的射影为AD，∴SA与底面ABCD所成的角为∠SAD，③正确.∵AB∥CD，故④也正确.
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13.(15分)如图，PA⊥矩形ABCD所在的平面，M，N分别是AB，PC的中点.
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若PD与平面ABCD所成的角为45°，求证：MN⊥平面PCD.
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[拓展提升]
14.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件_____________时，有AB1⊥BC1.(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)
∠A1C1B1＝90°
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解析　如图所示，连接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C，因此，要证AB1⊥BC1，则只要证明BC1⊥平面AB1C，即只要证AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC即可.因为A1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要证A1C1⊥B1C1即可.(或者能推出A1C1⊥B1C1的条件，如∠A1C1B1＝90°等)