人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步8.6.3第1课时平面与平面垂直的判定课件(共55张PPT)

(共55张PPT)
1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小.
2.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的判定定理，并加以证明.
3.会应用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直.
[学习目标]
[情境导入]
观察任何一个长方体，可以发现长方体的任何两个相邻的面都给我们以相互垂直的形象.我们知道，两条直线互相垂直，是说它们的夹角是直角，一条直线与一个平面相互垂直，那么线面角为直角.由此可以猜测，两个平面相互垂直，那么这两个平面的夹角也应该是直角.
知识点一　二面角
1.二面角的概念
半平面
概念 半平面：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为_______.
二面角：从一条直线出发的两个______所组成的图形叫做二面角.这条直线叫做二面角的__，这两个半平面叫做二面角的__
图示
记法 棱为l，面分别为α，β的二面角记作二面角________.如图所示，也可在α，β内(棱以外的半平面部分)分别取点P，Q，将这个二面角记作二面角_________
半平面
棱
面
α－l－β
P－l－Q
2.二面角的平面角的概念
平面角 文字 在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角
图示
符号 OA α，OB β，α∩β＝l，O∈l，OA⊥l，OB⊥l ∠AOB是二面角的平面角
平面角
平面角 范围 0°≤∠AOB≤180°
规定 二面角的大小可以用它的______来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是____的二面角叫做直二面角
直角
[微点拨]　二面角的平面角的定义是两条“射线”的夹角，不是两条直线的夹角，因此，二面角的取值范围是0°≤θ≤180°.
[例1]　正四棱锥P－ABCD的所有棱长均为2，则侧面与底面所成二面角的余弦值为(　　)
D
[反思归纳]　求二面角的平面角的大小的步骤
1.作：作出平面角，一般在交线上找一特殊点，分别在两个半平面内向交线作垂线.
2.证：证明所作的角满足定义，并指出二面角的平面角.
3.求：将作出的角放到三角形中，利用解三角形求出角的大小.
4.结论.
1.我国古代数学名著《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”.在如图所示的“堑堵”中，AC＝CB＝CC1，则二面角C1－AB－C的正切值为(　　)
D
知识点二　平面与平面垂直的定义和判定定理
1.平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直.平面α与平面β垂直，记作_____.
(2)画法：如图，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成_____.
直二面角
α⊥β
垂直
2.两平面垂直的判定定理
自然语言 图形语言 符号语言
如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直 a α，a⊥β α⊥β
所以DE∥FG，且DE＝FG，
则四边形DEFG为平行四边形，
所以EF∥DG且EF＝DG，
因为DA＝DC，所以DG⊥AC，所以EF⊥AC，
又因为∠BAC＝90°，所以AB⊥AC，
又因为AB∩EF＝F，AB，EF 平面ABE，
所以AC⊥平面ABE，
又因为AC 平面ABC，
所以平面ABE⊥平面ABC.
[反思归纳]
1.证明面面垂直主要有两种方法：(1)面面垂直的定义；(2)面面垂直的判定定理.
2.利用面面垂直的判定定理：要证面面垂直，只需证线面垂直，即在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直.这是证明面面垂直的常用方法，其基本步骤为：
2.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，△ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，∠APC＝90°.证明：平面PAB⊥平面PAC.
证明　如图，连接CO并延长，交AB于点E.
因为O为△ABC外接圆的圆心，△ABC为正三角形，所以CE⊥AB，即CO⊥AB，
在圆锥中，易知PO⊥平面ABC，因为AB 平面ABC，所以PO⊥AB，
因为CO∩PO＝O，CO 平面POC，PO 平面POC，
所以AB⊥平面POC，所以AB⊥PC，
因为∠APC＝90°，所以AP⊥PC，
又因为AB∩AP＝A，AB 平面PAB，AP 平面PAB，所以PC⊥平面PAB，
又PC 平面PAC，所以平面PAB⊥平面PAC.
知识点三　平面与平面垂直条件的探索
[例3]　如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BD＝BC，BD⊥AC，M是棱BB1上一点.
(1)求证：MD⊥AC；
(2)当M在BB1上的何处时，有平面DMC1⊥平面CC1D1D.
(1)证明　在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，则BB1⊥AC，而BD⊥AC，且BD∩BB1＝B，BD，BB1 平面BB1D1D，于是AC⊥平面BB1D1D，而MD 平面BB1D1D，所以MD⊥AC.
[反思归纳]　关于垂直关系的探究
在动点、动直线的垂直关系的探究中，关键是构造线线垂直，可以先从特殊点(如中点)入手，验证是否符合线线、线面垂直的条件，若不符合，再探究其他的点是否符合.
3.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，侧面PAD为等边三角形.
(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边上的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD？并证明你的结论.
(1)证明　取AD的中点G，连接PG，BG，如图.因为△PAD为等边三角形，所以PG⊥AD.在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，所以BG⊥AD.
又因为BG∩PG＝G，BG，PG 平面PGB，所以AD⊥平面PGB.
因为PB 平面PGB，所以AD⊥PB.
(2)解　当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
证明如下：
如图，取PC的中点F，连接DF，EF，DE，
则在△PBC中，EF∥PB，从而EF∥平面PGB，
在菱形ABCD中，GB∥DE，
从而DE∥平面PGB，
而EF 平面DEF，DE 平面DEF，
EF∩DE＝E，
所以平面DEF∥平面PGB.
由(1)得AD⊥平面PGB，而AD 平面ABCD，
所以平面PGB⊥平面ABCD.
所以平面DEF⊥平面ABCD.
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
判定定理应用的关键是在平面内寻找另一个面的垂线.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)平面α和β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β.( )
(2)若平面α内的一条直线垂直于平面β内两条平行线，则α⊥β.( )
(3)应用面面垂直的判定定理的关键是在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化.( )
×
×
√
2.在正方体ABCD－A1B1C1D1的侧面中，与面ABCD垂直的面有(　　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
D
解析　如图，在正方体中，侧棱与底面都是垂直的，所以侧面与底面ABCD垂直.面A1ABB1，面BCC1B1，面CDD1C1，面DAA1D1均与面ABCD垂直.
3.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A1－BC－A的大小是________.
4.若l为一条直线，α，β，γ为三个互不重合的平面，给出下面四个命题：①α⊥γ，β⊥γ α⊥β；②l∥α，l⊥β α⊥β；③l∥α，l∥β α∥β.其中正确命题的序号有________.
②
解析　如果α，β是长方体相对的两侧面，则它们都垂直于底面，但这两个平面互相平行，故α，β也可能平行，①不正确.l∥α，则存在l′∥l，l′ α，l⊥β，则由面面垂直的判定定理l′⊥β，l′ α α⊥β，②正确.如果α，β是长方体相邻的两侧面，l为长方体不在这两个面内的侧棱，l∥α，l∥β，α，β也可能相交，③不正确.综上，正确的命题的序号是②.
[基础巩固]
1.在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，若∠AOB是二面角α－l－β的平面角，则必须具有的条件是(　　)
A.AO⊥BO，AO α，BO β
B.AO⊥l，BO⊥l
C.AB⊥l，AO α，BO β
D.AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
解析　由二面角的平面角定义，应满足的条件为D项.
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2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是(　　)
A.m⊥n，m∥α，n∥β
B.m⊥n，α∩β＝m，n α
C.m∥n，n⊥β，m α
D.m∥n，m⊥α，n⊥β
解析　∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β，又m α，由面面垂直的判定定理得α⊥β.
C
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3.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列结论中正确的是(　　)
①若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β；②若m∥α，n∥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥α，n⊥β，且m∥n，则α∥β；④若m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β.
A.①②③ B.①③④
C.②④ D.③④
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解析　对于①，如图1，满足m∥α，n∥β，且m∥n，但α，β不平行，①错误；
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对于②，如图2，满足m∥α，n∥β，且m⊥n，则α，β不垂直，②错误；
对于③，因为m⊥α，且m∥n，所以n⊥α，
又n⊥β，故α∥β，③正确；
对于④，因为m⊥α，n⊥β，所以直线m，n之间的夹角即为平面α，β之间的夹角，
又m⊥n，故平面α，β之间的夹角为直角，则α⊥β，④正确.
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4.如图，PA垂直于正方形ABCD所在平面，则以下关系错误的是(　　)
A.平面PCD⊥平面PAD
B.平面PCD⊥平面PBC
C.平面PAB⊥平面PBC
D.平面PAB⊥平面PAD
B
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解析　对于A，因为底面为正方形，所以CD⊥AD，因为PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，而PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD，又因为CD 平面PCD，所以平面PCD⊥平面PAD，故A正确；对于C，因为底面为正方形，所以BC⊥AB，因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC，而PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，又因为BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，故C正确；对于D，因为AD∥BC，由选项C可得AD⊥平面PAB，而AD 平面PAD，所以平面PAB⊥平面PAD，故D正确；对于B，平面PCD与平面PBC不垂直，故B错误.
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5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E是CC1的中点，则二面角E－DB－C的正弦值为(　　)
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6.(多选)如图AB为圆O的直径，点C在圆周上(异于A，B两点)，直线PA垂直于圆所在的平面，M为线段PB的中点，则以下四个命题正确的是(　　)
A.PB⊥AC
B.OC⊥平面PAB
C.MO∥平面PAC
D.平面PAC⊥平面PBC
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CD
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解析　对于A，假设PB⊥AC，由已知可得AC⊥PA，又PA∩PB＝P，PA，PB 平面PAB，∴AC⊥平面PAB，而AB 平面PAB，则AC⊥AB，与∠CAB是锐角矛盾，故A错误；对于B，∵C是圆周上的任意一点，∴OC与AB不一定垂直，若OC⊥平面PAB，则OC一定与AB垂直，故B错误；对于C，∵M为线段PB的中点，O为AB的中点，∴OM∥PA，而OM 平面PAC，PA 平面PAC，∴MO∥平面PAC，故C正确；对于D，∵PA垂直于圆所在的平面，∴PA⊥BC，由已知得BC⊥AC，且PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，∴BC⊥平面PAC，而BC 平面PBC，则平面PAC⊥平面PBC，故D正确.
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7.如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足___________________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)
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DM⊥PC(或MB⊥PC)
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解析　连接AC，因为底面ABCD各边都相等，所以AC⊥BD，因为PA⊥底面ABCD，BD 底面ABCD，所以PA⊥BD，又AC∩PA＝A，AC，PA 平面PAC，所以BD⊥平面PAC，因为PC 平面PAC，所以BD⊥PC.所以当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，PC与平面MBD内两条相交直线垂直，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，所以平面MBD⊥平面PCD.
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8.如图，已知三棱锥A－BCD的各棱长均为2，则面ACD和面BCD所成二面角的余弦值为____________.
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则四边形AMCD为矩形，∴AM∥CD.
在△SAM中，SA2＝MA2＋SM2，∴SM⊥MA，
而SM⊥BC，MA∩BC＝M，MA，BC 平面ABCD，∴SM⊥平面ABCD，
而SM 平面SBC，故平面SBC⊥平面ABCD.
10.(10分)如图，已知边长为a的正方形ABCD外有一点P，且PA⊥平面ABCD，PA＝a，求二面角B－PA－C的大小及二面角P－BC－A的大小.
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解　因为PA⊥平面ABCD，AB，AC 平面ABCD，
所以PA⊥AB，PA⊥AC，
所以∠BAC是二面角B－PA－C的平面角.
在△ABC中，因为∠ABC＝90°，又BC＝AB＝a，所以∠BAC＝45°，
所以二面角B－PA－C的大小为45°.
因为PA⊥平面ABCD，BC 平面ABCD，所以PA⊥BC，
又BC⊥AB，PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，
所以BC⊥平面PAB，PB 平面PAB，
所以BC⊥PB，又BC⊥AB，
所以∠PBA是二面角P－BC－A的平面角，
在△PAB中，因为∠PAB＝90°，又AB＝a，PA＝a，
所以∠PBA＝45°，
所以二面角P－BC－A的大小为45°.
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12.如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________.
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13.(13分)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面正方形ABCD，E为侧棱PD的中点，PA＝AD＝2.
(1)求四棱锥P－ABCD的体积.
(2)在线段AB上是否存在一点F，使得平面PFC⊥平面PCD？若存在，请说明点F的位置；若不存在，请说明理由.
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所以EG＝AF，EG∥AF，所以四边形AEGF为平行四边形，所以AE∥FG.
因为PA⊥底面ABCD，CD 平面ABCD，所以PA⊥CD，
又因为底面ABCD为正方形，所以CD⊥AD，且PA∩AD＝A，PA，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，因为AE 平面PAD，所以CD⊥AE，
又因为PA⊥AD，PA＝AD，E为PD的中点，所以AE⊥PD，
又因为PD∩CD＝D，PD，CD 平面PCD，所以AE⊥平面PCD，
又因为AE∥FG，所以FG⊥平面PCD，
又因为FG 平面PFC，所以平面PFC⊥平面PCD.
故当F为AB的中点时，平面PFC⊥平面PCD.
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[拓展提升]
14.(多选)如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB＝1，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD沿BD折起，点A到达A′的位置，此时A′C＝，构成三棱锥A′－BCD，则(　　)
A.平面A′BD⊥平面BDC
B.平面A′BD⊥平面A′BC
C.平面A′DC⊥平面BDC
D.平面A′DC⊥平面A′BC
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