人教A版高中数学必修第二册第八章立体几何初步8.6.3第2课时平面与平面垂直的性质课件(共55张PPT)

(共55张PPT)
1.借助长方体，通过直观感知，归纳出平面与平面垂直的性质定理，并加以证明.
2.能用平面与平面垂直的性质定理解决一些简单的空间线面位置关系问题.
[学习目标]
[情境导入]
我们上一节课学面与平面垂直的判定方法，知道由“线面垂直”可以得到“面面垂直”，那么若已知“面面垂直”是否可以得到“线面垂直”呢？这就是我们本节课要研究的平面与平面垂直的性质.
知识点一　平面与平面垂直的性质定理
垂直
文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线_____于这两个平面的______，那么这条直线与另一个平面_____
符号语言 α⊥β，α∩β＝c，b α，b⊥c b⊥β
图形语言
交线
垂直
[例1]　如图所示，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD，G为AD边的中点.求证：
(1)BG⊥平面PAD；
(2)AD⊥PB.
证明　(1)因为四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，
所以△ABD是正三角形，因为G为AD的中点，所以BG⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，BG 平面ABCD，
所以BG⊥平面PAD，
(2)因为侧面PAD为正三角形，G为AD边的中点，
所以PG⊥AD，又由(1)可知BG⊥AD，
又BG∩PG＝G，BG，PG 平面PBG，
所以AD⊥平面PBG，又PB 平面PBG，所以AD⊥PB.
[反思归纳]
1.由面面垂直证明线面垂直，一定注意两点：(1)直线必须在其中一个平面内；(2)直线必须垂直两平面交线.
2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线.
1.如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ACC1A1⊥平面ABC，AC＝BC＝CC1，D是AA1的中点，且∠ACB＝90°，∠DAC＝60°.证明：AA1⊥平面CBD.
证明　连接CA1，
由题意可知，△ACA1为等边三角形，且D是AA1的中点，所以CD⊥AA1，
因为平面ACC1A1⊥平面ABC，平面ACC1A1∩平面ABC＝AC，AC⊥BC，BC 平面ABC，
所以BC⊥平面ACC1A1，
且AA1 平面ACC1A1，可得BC⊥AA1，
CD∩BC＝C，CD，BC 平面CBD，
所以AA1⊥平面CBD.
知识点二　垂直关系的相互转化
ABC
[例2]　(多选)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD，E为AD的中点，则下列结论成立的是(　　)
A.PE⊥AC
B.PE⊥BC
C.平面PBE⊥平面ABCD
D.平面PBE⊥平面PAD
解析　因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，
所以PE⊥平面ABCD，又AC，BC 平面ABCD，
所以PE⊥AC，PE⊥BC，所以A，B成立；
又PE 平面PBE，所以平面PBE⊥平面ABCD，所以C成立；
若平面PBE⊥平面PAD，且PE⊥AD，
而平面PBE∩平面PAD＝PE，AD 平面PAD，
所以AD⊥平面PBE，又BE 平面PBE，
则AD⊥BE，但此关系不一定成立，故D错误.
[反思归纳]　空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是孤立的，而是相互关联的，它们之间的转化关系如下：
2.(多选)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，翻折△ABD和△ACD，使得平面ABD⊥平面ACD.下列结论正确的是(　　)
A.BD⊥AC
B.△ABC是等边三角形
C.三棱锥D－ABC是正三棱锥
D.平面ACD⊥平面ABC
ABC
解析　对于A选项，翻折前，因为AB＝AC，D为BC的中点，则AD⊥BD，
翻折后，对应地有AD⊥BD，
因为平面ABD⊥平面ACD，平面ABD∩平面ACD＝AD，BD 平面ABD，
所以BD⊥平面ACD，因为AC 平面ACD，故BD⊥AC，A正确；
对于B选项，设AD＝a，翻折前，因为△ABC为等腰直角三角形，
D为BC的中点，则BD＝CD＝AD＝a，且AD⊥BD，AD⊥CD，
对于C选项，在三棱锥D－ABC中，因为△ABC为等边三角形，DA＝DB＝DC，
故三棱锥D－ABC为正三棱锥，C正确；
对于D选项，假设平面ACD⊥平面ABC，如图所示：
取AC的中点E，连接DE，BE，因为AD＝CD，E为AC的中点，则DE⊥AC，
若平面ACD⊥平面ABC，因为平面ACD∩平面ABC＝AC，DE 平面ACD，
所以DE⊥平面ABC，
设等边△ABC的中心为点O，连接DO，由正棱锥的性质可知，DO⊥平面ABC，
因为过点D作平面ABC的垂线，有且只有一条，故假设不成立，
即平面ACD与平面ABC不垂直，D错误.
知识点三　线面垂直与面面垂直的综合应用
[例3]　在如图所示的几何体中，DE∥BF，DE⊥平面ABCD，四边形ABCD为菱形，AB＝BF＝4，DE＝2，∠DAB＝60°，点M为AB的中点.
(1)证明：DM⊥平面ABF.
(2)证明：平面AEF⊥平面ABF.
(3)求直线EM与平面ADE所成角的正弦值.
(1)证明　因为DE∥BF，DE⊥平面ABCD，所以BF⊥平面ABCD，
因为DM 平面ABCD，所以DM⊥BF，
因为△ABD是等边三角形，M为AB的中点，所以DM⊥AB，
又BF∩AB＝B，BF，AB 平面ABF，所以DM⊥平面ABF.
由(1)知DM⊥平面ABF，所以EN⊥平面ABF，
因为EN 平面AEF，所以平面AEF⊥平面ABF.
[反思归纳]　空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则.解题时，要抓住几何图形自身的特点，如等腰(边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等.还可以通过解三角形产生一些题目所需要的条件，对于一些较复杂的问题，注意应用转化思想解决问题.
3.如图，AB是圆O的直径，AB＝2，C是圆O上的动点，PA⊥平面ABC，过点A作AE⊥PC，过点E作EF⊥PB，连接AF.
(1)求证：BC⊥AE；
(2)求证：平面AEF⊥平面PAB；
(3)当C为弧 的中点时，直线PA与平面PBC所成的角为45°，
求四棱锥A－EFBC的体积.
(1)证明　由于AB为圆O的直径，所以BC⊥AC，
因为PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以PA⊥BC，
又因为PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC，
又因为AE 平面PAC，所以BC⊥AE.
(2)证明　由(1)得，BC⊥AE，PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
所以AE⊥平面PBC，又由于PB 平面PBC，那么AE⊥PB，
又因为EF⊥PB，AE∩EF＝E，AE，EF 平面AEF，
所以PB⊥平面AEF，又由于PB 平面PAB，那么平面PAB⊥平面AEF.
1.知识网络
[课堂小结]
2.特别提醒
面面垂直性质定理中要注意的是在其中一个平面内作交线的垂线，与另一个平面垂直.
1.思考辨析.(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α.( )
(2)三个两两垂直的平面的交线两两垂直.( )
(3)若平面α不垂直于平面β，则平面α内一定存在直线垂直于平面β内的直线.( )
√
√
√
2.在四面体ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是(　　)
A.锐角(非等边)三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.等边三角形
解析　作AE⊥BD于点E(图略)，因为平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，AE 平面ABD，所以AE⊥平面BCD.又因为BC 平面BCD，所以AE⊥BC.因为DA⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以DA⊥BC.又因为AE∩DA＝A，AE，DA 平面ABD，所以BC⊥平面ABD.因为AB 平面ABD，所以BC⊥AB，即△ABC为直角三角形.故选B.
B
①②
3.已知l，m是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列说法：
①若α∥β，且β⊥γ，则α⊥γ；
②若α∩β＝l，且l⊥γ，则α⊥γ且β⊥γ；
③若l⊥α，α⊥β，则l∥β.
其中正确的是________(填序号).
解析　对于①，因为两个平行平面中的一个平面与已知平面垂直，则另一个平面也与这个平面垂直，故①正确；对于②，如果一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直，故②正确；对于③，可能l β，故③错误.
4.在一个直二面角α－l－β的棱l上有两点A，B，线段AC α，线段BD β，并且AC⊥l，BD⊥l，AB＝AC＝BD＝6，则CD的长为________.
[基础巩固]
1.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α⊥β，m∥α，则m⊥β；③若m⊥α，m β，则α⊥β.其中，正确的命题个数为(　　)
A.0 B.1 C.2 D.3
解析　若n∥α，过直线n的平面β与α的交线a满足a∥n，则a α.∵m⊥α，∴m⊥a.∵a∥n，则m⊥n，命题①正确.若α⊥β，m∥α，则m⊥β或m∥β，或相交但不垂直，或m β，故②错误.根据面面垂直的判断定理可知，若m⊥α，m β，则α⊥β，命题③正确.
C
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
2.下列说法正确的是(　　)
A.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等，则这两个平面平行
C.若两条直线和同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行
D.若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面平行
解析　若一条直线平行于两个相交平面，则由直线与平面平行的性质定理知这条直线与这两个平面的交线平行，故A正确；若三点共线或三点在平面的两侧，则这两个平面不平行，故B错误；若两条直线和同一个平面所成的角相等，根据等角定理可知，则这两条直线相交、平行或异面，故C错误；若两个平面都垂直于第三个平面，则这两个平面相交或平行，故D错误.
A
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
3.设a是直线，α是平面，则能推出a∥α的条件是(　　)
A.存在一条直线b，a∥b，b α
B.存在一条直线b，a⊥b，b⊥α
C.存在一个平面β，a β，α∥β
D.存在一个平面β，a⊥β，α⊥β
解析　对于A，若a α，可以满足a∥b，b α，此时a∥α不成立，A错误；对于B，若a α，满足b⊥α，也满足a⊥b，此时a∥α不成立，B错误；对于C，由面面平行的性质知：若α∥β，a β，则a∥α，C正确；对于D，若a α，满足α⊥β，且a垂直于α与β的交线，也满足a⊥β，此时a∥α不成立，D错误.
C
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
4.如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，且BC1⊥AC，若过点C1作C1H⊥平面ABC，垂足为H，则点H在(　　)
A.直线AC上 B.直线AB上
C.直线BC上 D.△ABC内部
解析　连接AC1(图略)，∵BC1⊥AC，BA⊥AC，且BC1∩BA＝B，
∴AC⊥平面ABC1，又AC 平面ABC，∴平面ABC⊥平面ABC1，
∵平面ABC∩平面ABC1＝AB，要过点C1作C1H⊥平面ABC，则只需过C1作C1H⊥AB即可，故点H在直线AB上，故选B.
B
11
12
13
14
1
2
3
5
6
7
8
9
10
5.如图所示，三棱锥P－ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面PAC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是(　　)
A.一条线段
B.一条直线
C.一个圆
D.一个圆，但要去掉两个点
解析　∵平面PAC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面PAC∩平面PBC＝PC，AC 平面PAC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC 平面PBC，∴AC⊥BC，∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点.
4
D
11
12
13
14
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
BCD
A.平面SBC⊥平面SAB
B.BC与平面SAB不可能垂直
C.直线SA与平面ABC所成的角为45°
D.AS与BC是异面直线
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
1
2
3
5
6
7
8
9
10
7.已知正方体ABCD－A1B1C1D1，P为线段B1D1上的点，则满足C1P⊥平面BDD1B1的点P的个数为_____.
4
11
12
13
14
1
解析　在正方体ABCD－A1B1C1D1中，BB1⊥平面A1B1C1D1，所以平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，且平面BDD1B1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，连接A1C1，交B1D1于点P，则有A1C1⊥B1D1，即C1P⊥B1D1，由面面垂直的性质定理有C1P⊥平面BDD1B1，又在平面A1B1C1D1内过点C1作直线B1D1的垂线有且仅有一条，故垂足点P有且仅有一个.
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
8.如图所示，已知两个正方形ABCD和DCEF不在同一平面内，M，N分别为AB，DF的中点.若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，则线段MN的长等于________.
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
10.(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝2CD＝2PB＝2，∠PBA＝90°.
(1)求证：PB⊥AD；
(2)若直线PD与BC所成的角为60°，求四棱锥P－ABCD的体积.
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
(1)证明　由平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD＝AB，
∠PBA＝90°，PB 平面PAB，所以PB⊥平面ABCD.
又AD 平面ABCD，则PB⊥AD.
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
(2)解　过点D作BC的平行线DE，交AB于点E，连接PE.
由∠ABC＝90°，得AB⊥BC，
由(1)的证明可知PB⊥平面ABCD，又BC 平面ABCD，∴PB⊥BC.
PB，AB 平面PAB，PB∩AB＝B，∴BC⊥平面PAB.
又PE 平面PAB，∴BC⊥PE.
又DE∥BC，∴DE⊥PE.
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
[综合应用]
1
2
3
5
6
7
8
9
10
C
4
11
12
13
14
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
(1)求证：CD∥平面ABFE；
(2)求证：平面ABFE⊥平面CDEF；
(3)在线段CD上是否存在点N，使得FN⊥平面ABFE？请说明理由.
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
(1)证明　在五面体ABCDEF中，因为四边形ABCD是正方形，所以AB∥CD.
又CD 平面ABFE，AB 平面ABFE，所以CD∥平面ABFE.
(2)证明　因为AE＝DE＝，AD＝2，
所以AE2＋DE2＝AD2，所以∠AED＝90°，即AE⊥DE.
因为四边形ABCD是正方形，所以AB⊥AD.
因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD＝AD，AB 平面ABCD，
所以AB⊥平面ADE.
因为DE 平面ADE，所以AB⊥DE.
因为AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABFE，所以DE⊥平面ABFE.
因为DE 平面CDEF，所以平面ABFE⊥平面CDEF.
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
[拓展提升]
13.已知正方形ABCD所在平面与正方形CDEF所在平面互相垂直，且CD＝2，P是对角线CE的中点，Q是对角线BD上一个动点，则P，Q两点之间距离的最小值为(　　)
C
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14
14.(多选)如图，边长为2a的正三角形ABC的中线AF与中位线DE相交于点G.已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，则下列结论正确的是(　　)
ABC
A.动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上
B.三棱锥A′－FED的体积有最大值
C.恒有平面A′GF⊥平面BCED
D.异面直线A′E与BD不可能互相垂直
1
2
3
5
6
7
8
9
10
4
11
12
13
14