浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·西湖月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·西湖月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高一上·西湖月考）下列四个命题，其中为真命题的是（ ）
A．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数
B．和表示同一函数
C．函数的单调增区间为
D．若函数的值域是，则实数或
4．（2025高一上·西湖月考）已知函数，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·西湖月考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·西湖月考）某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
7．（2025高一上·西湖月考）已知正实数，，满足，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025高一上·西湖月考）已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
9．（2025高一上·西湖月考）下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
10．（2025高一上·西湖月考）已知，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为2
C．的最小值为 D．的最小值为4
11．（2025高一上·西湖月考）设函数满足，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象关于中心对称
C．是函数的图象的一条对称轴
D．
12．（2025高一上·西湖月考）已知（且），则的取值范围是 .
13．（2025高一上·西湖月考）已知，则的值为 ．
14．（2025高一上·西湖月考）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ．
15．（2025高一上·西湖月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
（1）求，的值；
（2）求的值.
16．（2025高一上·西湖月考）已知函数，其中.
（1）求函数的单调区间和值域；
（2）解关于的不等式.
17．（2025高一上·西湖月考）某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下：
元 1 2 3 4
万件 3 2 1.5 1.2
为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：．
（1）选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？
18．（2025高一上·西湖月考）已知函数．
（1）写出函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围；
（3）若，且，求的取值范围．
19．（2025高一上·西湖月考）已知函数，记（）.
（1）若，解不等式：；
（2）设为实数，当时，若存在实数，使得成立，求的取值范围；
（3）记（其中、均为实数），若对于任意的，均有，求正数的最小值及此时、的值.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
即集合，集合，
则．
故答案为：D．
【分析】根据对数有意义列式求得x的范围，再根据集合交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：若 ，可得，，
则.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数基本关系求得，再利用诱导公式求解即可.
3．【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；同一函数的判定；函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A，取，易知在上是增函数，在上也是增函数，
但在上不具有单调性，
则不是增函数，故选项A错误；
对于B，因为的值域为，的值域为，
所以和不表示同一函数，故选项B错误；
对于C，因为，
当时，，对称轴为，图象开口向上，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，，对称轴为，图象开口向上，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以的单调增区间为，，故选项C错误；
对于D，因为函数的值域是，
又因为的对称轴为，图象开口向上，
则，
解得或，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】取，利用单调函数的定义，则判断出选项A；利用相同函数的判断方法，即定义域和对应关系都相同，则两函数相同，则判断出选项B；利用单调函数的定义得出函数的单调递增区间，则可判断选项C；利用二次函数的对称性和开口方向，从而判断出二次函数的单调性，从而得出二次函数的值域，再利用已知条件得出实数a的值，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
4．【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为函数，定义域为，且，
所以，函数为偶函数，
又因为当时，在上单调递增，
又因为，
又因为，
所以，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】先根据偶函数的定义和增函数的定义，从而判断出函数为偶函数且在上单调递增，再利用换底公式和函数的奇偶性、单调性，从而比较出a，b，c的大小.
5．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：易知二次函数开口向下，对称轴为，
由在上单调递增，可得，解得，
则实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】易知二次函数开口向下，求对称轴，根据分段函数的单调性，列不等式组求解即可.
6．【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设无盖贮水池的底面长为，宽为，
由题意可得：，即，
设池底面积为，则，解得，
池底每平方米的造价为元，则池底总造价为元，
池壁四个侧面面积为，
池壁每平方米的造价为元，则池壁总造价为元，
综上所述，水池的总造价为元，
令，又因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取得最小值.
故答案为：C.
【分析】设无盖贮水池的底面长为，宽为，由题意，列出总造价关于的关系式，利用基本不等式求解即可.
7．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设，
则，
所以关于的方程在上有解，
对于，
其图象开口向上且对称轴为，
所以，只需，
则，
所以，
则取值范围为.
故答案为：B.
【分析】设，将已知条件转化为关于的方程有解，再利用判别式法和一元二次不等式求解方法，从而得出的取值范围，进而得出的取值范围.
8．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：，且在上单调，
，为常数，
，
，
在上单调递增，
对，，使得成立，
，
当时，；
当时，，
则，
，，
又因为，．
故答案为：C．
【分析】由题意得，为常数，则，从而得出的值，进而得出函数的解析式，由已知条件可知，再利用的单调性求最值的方法，再结合，从而得出的最小值．
9．【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，因为，，
所以向左平移2个单位可以得到，故选项A正确；
对于B，假设 ，
变形可得，
不存在a，b的值满足该式，故选项B错误；
对于C，因为，
所以可以由向左平移 个单位长度得到，故选项C正确；
对于D，因为 ，
将的图象向上平移lg3个单位，可得的图象，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用函数图象的平移变换和指数的运算法则、对数的运算法则，从而逐项判断找出通过平移后能重合的函数图象.
10．【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，，，
，
则，当且仅当时等号成立，
则的最大值为，故选项错误；
对于B，，，
又因为，
所以，
可得，当且仅当时等号成立，
则的最大值为2，故选项B正确；
对于C，，，
，
当且仅当时等号成立，即当的最小值为，故选项C正确；
对于D，令，显然满足，
又因为，
所以的最小值不是4，故选项D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用基本不等式求最值的方法，则可判断选项A和选项B；妙用“1”结合基本不等式求最值的方法，则可判断选项C；取特殊值结合已知条件，再利用最值求解方法，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令，代入等式可得，
则，
开方后解得，所以选项A正确；
对于B，令，
则原等式变为，
因为，
所以，
则，
移项可得，
根据偶函数的定义，可知函数是偶函数，所以选项B错误；
对于C，令，原等式变为，
因为，
则，
则.
令，则，
那么，
根据周期函数的定义，
所以是函数的一个周期，
当，时，
可得，
可得，①
当时，可得 ，②
由①+②可得，
因为，
所以，
代入②式得到，
因为，解得.
令，原等式变为，
因为，
所以，
移项可得，
又因为，
所以，
根据函数对称中心的性质可知是函数图象的一个对称中心，
因为是函数的一个周期，，
所以也是函数图象的一个对称中心，所以选项C错误；
对于D，根据前面的分析，得，，，，
且是函数的一个周期，
所以，
因为，
所以所以选项D正确.
故答案为：AD.
【分析】围绕函数，依据给定的等式关系，再通过对不同变量赋值来判断函数的奇偶性、周期性、对称中心以及计算函数值，从而逐项判断找出结论正确的选项.
12．【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，
所以，
当时，，所以；
当时，，所以，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】把变形为，再对 和进行分类讨论并结合对数单调性求解即可.
13．【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，
解得或，
又因为，
所以.
故答案为：.
【分析】先根据与的关系列式得出m的值，再利用辅助角公式和正弦型函数求值域的方法，从而得出实数m的值.
14．【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由，则，
所以，且函数在定义域内单调递增，
则，，
所以，，
令，，
则，，
所以，，
则是关于的方程的两不同非负根，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法结合函数单调性，从而可得、是关于的方程的两个不同根，再利用根的判别式法和韦达定理，从而得出实数k的取值范围.
15．【答案】（1）解：由三角函数定义，
得，.
（2）解：由诱导公式，
则原式.
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据已知条件和三角函数的定义，从而得出，的值.
（2）根据已知条件和诱导公式将所求式子化简可求值.
（1）由三角函数定义，得，.
（2）由诱导公式，得原式.
16．【答案】（1）解：由，
则，
可得函数的定义域为，
由二次函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，函数在上单调递增，
可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，，则，
则函数的值域为.
（2）解：当时，关于的不等式可为，
可化为或.
可得或，
则关于的不等式的解集为.
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性，即同增异减，从而得出函数的单调区间，再利用函数的单调性求出函数的值域.
（2）根据函数的单调性转化为，再利用分类讨论的方法结合绝对值定义，从而去掉绝对值符号得出不等式组，解不等式组结合并集的运算法则，从而得出不等式的解集.
（1）由，有，可得函数的定义域为，
又由二次函数的增区间为，减区间为，
当时，函数在上单调递增，
可得函数的增区间为，减区间为.
当时，，有，
故函数的值域为.
（2）当时，关于的不等式可为，
可化为或.
可得或，
故关于的不等式的解集为.
17．【答案】（1）解：若选择模型，将代入可得，即，
经验证，均不满足，故模型不合适；
若选择模型，因为过点，所以模型不合适；
若选择模型，将代入，可得，即，
经验证，，均满足，则模型最合适，且；
（2）解：由成本与销量Q的关系为，
要使生产的产品可以获得利润，则，
因为，所以，即，
又因为，所以，
故该产品的销售单价应该高于元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；不等式的解集
【解析】【分析】（1）将点代入函数模型求解判断即可；
（2）由成本与销量Q的关系为，列出不等式，求解即可.
（1）解：若选择模型，将代入可得，即，
经验证，均不满足，故模型不合适．
若选择模型，因为过点，所以模型不合适．
若选择模型，将代入可得，即，
经验证，，均满足，故模型最合适，且．
（2）解：由成本与销量Q的关系为．
要使生产的产品可以获得利润，则．
因为，所以，即．
因为，所以．
故该产品的销售单价应该高于元．
18．【答案】（1）解：因为
所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）解：因为函数在单调递减，在单调递增，
所以，函数在的最小值为，
同理可得，函数在的最小值为，
结合图象，可得函数有两个零点时需满足
解得：或，
解得：，
综上所述：或．
（3）解：由题意，得：，
则且，
则，
因为，
所以，
则，
所以，
又因为，
所以，
则单调递增，
所以单调递增，
则．
所以的取值范围为．
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由结合分段函数的图象，从而得出分段函数的单调区间.
（2）先利用分段函数的单调性得出分段函数的最值，从而作出分段函数图象，再利用数形结合法结合函数零点，则由或，从而求解得出实数a的取值范围.
（3）利用已知条件得出，再由题干条件得到，进而得出，再由函数的单调性，得出函数的值域可得．
（1）则的单调递增区间是，单调递减区间是，
（2）函数在单调递减，在单调递增，
故在的最小值为，
同理，在的最小值为，
故结合图象可得，函数有两个零点时需满足
解得：．
或
解得：．
综上所述：或．
（3）由题意得：，
则．
且，
则
因为，所以，
故．
所以．
又，则，
故单调递增，
所以单调递增，
故．
因此的取值范围为．
19．【答案】（1）解：函数，
当时，，
不等式，即，整理得，
即，即，解得，
故不等式的解集为；
（2）解：当时，函数，则，
存在实数，使得成立，即在上有解，
即在上有解，
令，易知在上为增函数，则，
为增函数，则，
为减函数，则，
的值域为，故；
（3）解：函数，则，
令，，则，
因为对于任意的，均有，所以对任意的恒成立，
分别取，得，
故
，
当且仅当时等号成立，则，即的最小值为，
此时，整理得，
故，故，从而，所以，
下证：在上恒成立，
设，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，故在上恒成立，
综上，，.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；指、对数不等式的解法；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）当时，不等式，即，因式分解，结合指数不等式求得求解法求解即可；
（2）将代入，原方程转化为在上有解，利用换元法，结合函数的单调性求在上的值域，即可得k的取值范围；
（3）原不等式恒成立等价于在上恒成立，取特殊值后利用绝对值不等式求得的最小值为，从而关于的不等式组，从而可得它们的值，再进行检验即可得解.
（1）因为，，
当时，，
由，得，整理得，
即，所以，即，
故不等式的解集为.
（2）当时，，
则，
因为存在实数，使得成立，
所以在上有解，
整理得到在上有解，
因为在上为增函数，则，
而为增函数，则，
而为减函数，则，
所以的值域为，
故.
（3）因为，
所以，
令，，则，
因为对于任意的，均有，
所以对任意的恒成立，
分别取，得，
故
，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的最小值为，
此时，整理得，
故，故，从而，所以.
下证：在上恒成立.
设，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，故在上恒成立.
综上，，.
1 / 1浙江省杭州学军中学2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·西湖月考）已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】交集及其运算；函数的定义域及其求法
【解析】【解答】解：要使函数有意义，则，解得，
即集合，集合，
则．
故答案为：D．
【分析】根据对数有意义列式求得x的范围，再根据集合交集运算求解即可.
2．（2025高一上·西湖月考）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】同角三角函数基本关系的运用；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：若 ，可得，，
则.
故答案为：B.
【分析】利用同角三角函数基本关系求得，再利用诱导公式求解即可.
3．（2025高一上·西湖月考）下列四个命题，其中为真命题的是（ ）
A．若函数在上是增函数，在上也是增函数，则是增函数
B．和表示同一函数
C．函数的单调增区间为
D．若函数的值域是，则实数或
【答案】D
【知识点】命题的真假判断与应用；同一函数的判定；函数的值域；函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：对于A，取，易知在上是增函数，在上也是增函数，
但在上不具有单调性，
则不是增函数，故选项A错误；
对于B，因为的值域为，的值域为，
所以和不表示同一函数，故选项B错误；
对于C，因为，
当时，，对称轴为，图象开口向上，在区间上单调递减，在区间上单调递增；
当时，，对称轴为，图象开口向上，在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以的单调增区间为，，故选项C错误；
对于D，因为函数的值域是，
又因为的对称轴为，图象开口向上，
则，
解得或，故选项D正确.
故答案为：D.
【分析】取，利用单调函数的定义，则判断出选项A；利用相同函数的判断方法，即定义域和对应关系都相同，则两函数相同，则判断出选项B；利用单调函数的定义得出函数的单调递增区间，则可判断选项C；利用二次函数的对称性和开口方向，从而判断出二次函数的单调性，从而得出二次函数的值域，再利用已知条件得出实数a的值，则判断出选项D，从而找出真命题的选项.
4．（2025高一上·西湖月考）已知函数，记，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】奇偶性与单调性的综合；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：因为函数，定义域为，且，
所以，函数为偶函数，
又因为当时，在上单调递增，
又因为，
又因为，
所以，
则，
所以.
故答案为：C.
【分析】先根据偶函数的定义和增函数的定义，从而判断出函数为偶函数且在上单调递增，再利用换底公式和函数的奇偶性、单调性，从而比较出a，b，c的大小.
5．（2025高一上·西湖月考）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质
【解析】【解答】解：易知二次函数开口向下，对称轴为，
由在上单调递增，可得，解得，
则实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】易知二次函数开口向下，求对称轴，根据分段函数的单调性，列不等式组求解即可.
6．（2025高一上·西湖月考）某工厂建造一个无盖贮水池，其容积为，深度为.池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元，设计水池的最低总造价约为（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：设无盖贮水池的底面长为，宽为，
由题意可得：，即，
设池底面积为，则，解得，
池底每平方米的造价为元，则池底总造价为元，
池壁四个侧面面积为，
池壁每平方米的造价为元，则池壁总造价为元，
综上所述，水池的总造价为元，
令，又因为，所以，
则，
当且仅当，即时，取得最小值.
故答案为：C.
【分析】设无盖贮水池的底面长为，宽为，由题意，列出总造价关于的关系式，利用基本不等式求解即可.
7．（2025高一上·西湖月考）已知正实数，，满足，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：设，
则，
所以关于的方程在上有解，
对于，
其图象开口向上且对称轴为，
所以，只需，
则，
所以，
则取值范围为.
故答案为：B.
【分析】设，将已知条件转化为关于的方程有解，再利用判别式法和一元二次不等式求解方法，从而得出的取值范围，进而得出的取值范围.
8．（2025高一上·西湖月考）已知定义在上的单调函数满足．若对，使得成立，则的最小值为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：，且在上单调，
，为常数，
，
，
在上单调递增，
对，，使得成立，
，
当时，；
当时，，
则，
，，
又因为，．
故答案为：C．
【分析】由题意得，为常数，则，从而得出的值，进而得出函数的解析式，由已知条件可知，再利用的单调性求最值的方法，再结合，从而得出的最小值．
9．（2025高一上·西湖月考）下列各组函数的图象，通过平移后能重合的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】A,C,D
【知识点】指数函数的图象与性质；对数函数的图象与性质
【解析】【解答】解：对于A，因为，，
所以向左平移2个单位可以得到，故选项A正确；
对于B，假设 ，
变形可得，
不存在a，b的值满足该式，故选项B错误；
对于C，因为，
所以可以由向左平移 个单位长度得到，故选项C正确；
对于D，因为 ，
将的图象向上平移lg3个单位，可得的图象，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用函数图象的平移变换和指数的运算法则、对数的运算法则，从而逐项判断找出通过平移后能重合的函数图象.
10．（2025高一上·西湖月考）已知，且，则（ ）
A．的最小值为 B．的最大值为2
C．的最小值为 D．的最小值为4
【答案】B,C
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A，，，
，
则，当且仅当时等号成立，
则的最大值为，故选项错误；
对于B，，，
又因为，
所以，
可得，当且仅当时等号成立，
则的最大值为2，故选项B正确；
对于C，，，
，
当且仅当时等号成立，即当的最小值为，故选项C正确；
对于D，令，显然满足，
又因为，
所以的最小值不是4，故选项D错误.
故答案为：BC.
【分析】利用基本不等式求最值的方法，则可判断选项A和选项B；妙用“1”结合基本不等式求最值的方法，则可判断选项C；取特殊值结合已知条件，再利用最值求解方法，则可判断选项D，从而找出正确的选项.
11．（2025高一上·西湖月考）设函数满足，，且，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．的图象关于中心对称
C．是函数的图象的一条对称轴
D．
【答案】A,D
【知识点】函数的奇偶性；奇偶函数图象的对称性；函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】解：对于A，令，代入等式可得，
则，
开方后解得，所以选项A正确；
对于B，令，
则原等式变为，
因为，
所以，
则，
移项可得，
根据偶函数的定义，可知函数是偶函数，所以选项B错误；
对于C，令，原等式变为，
因为，
则，
则.
令，则，
那么，
根据周期函数的定义，
所以是函数的一个周期，
当，时，
可得，
可得，①
当时，可得 ，②
由①+②可得，
因为，
所以，
代入②式得到，
因为，解得.
令，原等式变为，
因为，
所以，
移项可得，
又因为，
所以，
根据函数对称中心的性质可知是函数图象的一个对称中心，
因为是函数的一个周期，，
所以也是函数图象的一个对称中心，所以选项C错误；
对于D，根据前面的分析，得，，，，
且是函数的一个周期，
所以，
因为，
所以所以选项D正确.
故答案为：AD.
【分析】围绕函数，依据给定的等式关系，再通过对不同变量赋值来判断函数的奇偶性、周期性、对称中心以及计算函数值，从而逐项判断找出结论正确的选项.
12．（2025高一上·西湖月考）已知（且），则的取值范围是 .
【答案】
【知识点】对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，
所以，
当时，，所以；
当时，，所以，
则的取值范围是.
故答案为：.
【分析】把变形为，再对 和进行分类讨论并结合对数单调性求解即可.
13．（2025高一上·西湖月考）已知，则的值为 ．
【答案】
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：因为，且，
所以，
解得或，
又因为，
所以.
故答案为：.
【分析】先根据与的关系列式得出m的值，再利用辅助角公式和正弦型函数求值域的方法，从而得出实数m的值.
14．（2025高一上·西湖月考）若函数的定义域为，值域为，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】函数的定义域及其求法；函数单调性的性质；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由，则，
所以，且函数在定义域内单调递增，
则，，
所以，，
令，，
则，，
所以，，
则是关于的方程的两不同非负根，
所以，
解得.
故答案为：.
【分析】利用偶次根式函数求定义域的方法结合函数单调性，从而可得、是关于的方程的两个不同根，再利用根的判别式法和韦达定理，从而得出实数k的取值范围.
15．（2025高一上·西湖月考）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边经过点.
（1）求，的值；
（2）求的值.
【答案】（1）解：由三角函数定义，
得，.
（2）解：由诱导公式，
则原式.
【知识点】任意角三角函数的定义；运用诱导公式化简求值
【解析】【分析】（1）根据已知条件和三角函数的定义，从而得出，的值.
（2）根据已知条件和诱导公式将所求式子化简可求值.
（1）由三角函数定义，得，.
（2）由诱导公式，得原式.
16．（2025高一上·西湖月考）已知函数，其中.
（1）求函数的单调区间和值域；
（2）解关于的不等式.
【答案】（1）解：由，
则，
可得函数的定义域为，
由二次函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，函数在上单调递增，
可得函数的单调递增区间为，单调递减区间为，
当时，，则，
则函数的值域为.
（2）解：当时，关于的不等式可为，
可化为或.
可得或，
则关于的不等式的解集为.
【知识点】函数的值域；函数的单调性及单调区间；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据对数型复合函数的单调性，即同增异减，从而得出函数的单调区间，再利用函数的单调性求出函数的值域.
（2）根据函数的单调性转化为，再利用分类讨论的方法结合绝对值定义，从而去掉绝对值符号得出不等式组，解不等式组结合并集的运算法则，从而得出不等式的解集.
（1）由，有，可得函数的定义域为，
又由二次函数的增区间为，减区间为，
当时，函数在上单调递增，
可得函数的增区间为，减区间为.
当时，，有，
故函数的值域为.
（2）当时，关于的不等式可为，
可化为或.
可得或，
故关于的不等式的解集为.
17．（2025高一上·西湖月考）某企业生产的一款新产品，在市场上经过一段时间的销售后，得到销售单价x（单位：元）与销量Q（单位：万件）的数据如下：
元 1 2 3 4
万件 3 2 1.5 1.2
为了描述销售单价与销量的关系，现有以下三种模型供选择：．
（1）选择你认为最合适的一种函数模型，并求出相应的函数解析式；
（2）已知每生产一件该产品，需要的成本（单位：元）与销量Q（单位：万件）的关系为，不考虑其他因素，结合（1）中所选的函数模型，若要使生产的产品可以获得利润，问该产品的销售单价应该高于多少元？
【答案】（1）解：若选择模型，将代入可得，即，
经验证，均不满足，故模型不合适；
若选择模型，因为过点，所以模型不合适；
若选择模型，将代入，可得，即，
经验证，，均满足，则模型最合适，且；
（2）解：由成本与销量Q的关系为，
要使生产的产品可以获得利润，则，
因为，所以，即，
又因为，所以，
故该产品的销售单价应该高于元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；不等式的解集
【解析】【分析】（1）将点代入函数模型求解判断即可；
（2）由成本与销量Q的关系为，列出不等式，求解即可.
（1）解：若选择模型，将代入可得，即，
经验证，均不满足，故模型不合适．
若选择模型，因为过点，所以模型不合适．
若选择模型，将代入可得，即，
经验证，，均满足，故模型最合适，且．
（2）解：由成本与销量Q的关系为．
要使生产的产品可以获得利润，则．
因为，所以，即．
因为，所以．
故该产品的销售单价应该高于元．
18．（2025高一上·西湖月考）已知函数．
（1）写出函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同零点，求实数的取值范围；
（3）若，且，求的取值范围．
【答案】（1）解：因为
所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是.
（2）解：因为函数在单调递减，在单调递增，
所以，函数在的最小值为，
同理可得，函数在的最小值为，
结合图象，可得函数有两个零点时需满足
解得：或，
解得：，
综上所述：或．
（3）解：由题意，得：，
则且，
则，
因为，
所以，
则，
所以，
又因为，
所以，
则单调递增，
所以单调递增，
则．
所以的取值范围为．
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的性质；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）由结合分段函数的图象，从而得出分段函数的单调区间.
（2）先利用分段函数的单调性得出分段函数的最值，从而作出分段函数图象，再利用数形结合法结合函数零点，则由或，从而求解得出实数a的取值范围.
（3）利用已知条件得出，再由题干条件得到，进而得出，再由函数的单调性，得出函数的值域可得．
（1）则的单调递增区间是，单调递减区间是，
（2）函数在单调递减，在单调递增，
故在的最小值为，
同理，在的最小值为，
故结合图象可得，函数有两个零点时需满足
解得：．
或
解得：．
综上所述：或．
（3）由题意得：，
则．
且，
则
因为，所以，
故．
所以．
又，则，
故单调递增，
所以单调递增，
故．
因此的取值范围为．
19．（2025高一上·西湖月考）已知函数，记（）.
（1）若，解不等式：；
（2）设为实数，当时，若存在实数，使得成立，求的取值范围；
（3）记（其中、均为实数），若对于任意的，均有，求正数的最小值及此时、的值.
【答案】（1）解：函数，
当时，，
不等式，即，整理得，
即，即，解得，
故不等式的解集为；
（2）解：当时，函数，则，
存在实数，使得成立，即在上有解，
即在上有解，
令，易知在上为增函数，则，
为增函数，则，
为减函数，则，
的值域为，故；
（3）解：函数，则，
令，，则，
因为对于任意的，均有，所以对任意的恒成立，
分别取，得，
故
，
当且仅当时等号成立，则，即的最小值为，
此时，整理得，
故，故，从而，所以，
下证：在上恒成立，
设，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，故在上恒成立，
综上，，.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题；指、对数不等式的解法；函数零点存在定理
【解析】【分析】（1）当时，不等式，即，因式分解，结合指数不等式求得求解法求解即可；
（2）将代入，原方程转化为在上有解，利用换元法，结合函数的单调性求在上的值域，即可得k的取值范围；
（3）原不等式恒成立等价于在上恒成立，取特殊值后利用绝对值不等式求得的最小值为，从而关于的不等式组，从而可得它们的值，再进行检验即可得解.
（1）因为，，
当时，，
由，得，整理得，
即，所以，即，
故不等式的解集为.
（2）当时，，
则，
因为存在实数，使得成立，
所以在上有解，
整理得到在上有解，
因为在上为增函数，则，
而为增函数，则，
而为减函数，则，
所以的值域为，
故.
（3）因为，
所以，
令，，则，
因为对于任意的，均有，
所以对任意的恒成立，
分别取，得，
故
，
当且仅当时，等号成立，
所以，即的最小值为，
此时，整理得，
故，故，从而，所以.
下证：在上恒成立.
设，
故在上为减函数，在上为增函数，
故，故在上恒成立.
综上，，.
1 / 1
