四川省自贡市第一中学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·自流井月考）设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x| ≤x≤5｝，则M∩N=（ ）
A．｛x|0＜x≤ ｝ B．｛x| ≤x＜4｝
C．｛x|4≤x＜5｝ D．｛x|0＜x≤5｝
2．（2025高一上·自流井月考）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025高一上·自流井月考）已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
4．（2025高一上·自流井月考）若函数是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025高一上·自流井月考）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·自流井月考）函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·自流井月考）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高一上·自流井月考）数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
9．（2025高一上·自流井月考）下列各命题中的假命题是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2025高一上·自流井月考）下列说法正确的有（ ）
A．若函数的定义域是，则函数的定义域是
B．函数的值域为
C．已知函数，则
D．若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是
11．（2025高一上·自流井月考）已知函数，若关于x的方程恰有4个不同的实数根，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的单调递增区间为
B．m的取值范围是
C．
D．的取值范围是
12．（2025高一上·自流井月考）关于的不等式的解集是 .
13．（2025高一上·自流井月考）函数的单调递增区间为 .
14．（2025高一上·自流井月考）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是 ；
15．（2025高一上·自流井月考）计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
16．（2025高一上·自流井月考）在①；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合.
（1）当时，求A∪B；
（2）若_________，求实数a的取值范围.
17．（2025高一上·自流井月考）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2.
（1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
18．（2025高一上·自流井月考）已知函数，且.
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性并证明；
（3）若当时，，求的取值范围.
19．（2025高一上·自流井月考）已知函数，不等式的解集为且．
（1）求在的值域；
（2）记．当的定义域为时，值域为，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上的最小值为，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：M∩N即求集合M，N的公共元素，所以M∩N={x|≤x﹤4}，
故答案为：B
【分析】根据交集的定义求解即可.
2．【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，满足，但，即充分性不成立，
当，满足，但，即必要性不成立，
则“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】取特殊值，根据充分，必要条件的定义判断即可.
3．【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由于函数是幂函数，且在上单调递减，
则，且，解得或（舍），
故答案为：B.
【分析】由幂函数的定义得，由其在上单调递减得.
4．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数，
易知，
因为函数是奇函数，所以，
则，解得.
故答案为：B.
【分析】取特殊值，结合函数为奇函数，由列式求解即可.
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意可知：函数在上单调递增，且为偶函数，
则，即，即，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：函数在上单调递增，根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为，求解即可得解集.
6．【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：由题意可得：函数在上单调递减，
则，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】由题意可知函数在上单调递减，要使函数单调递减，则每段函数均为单调递减，且分界点处左端点函数值大于等于右端点函数值，据此列不等式组求解即可.
7．【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式
【解析】【解答】解：，满足，
由，可得，
则，
当且仅当时等号成立，
恒成立，则，即，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】由，可得，利用基本不等式求的最小值，恒成立，转化为，根据一元二次不等式的解法求解即可．
8．【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，，
所以，，
又因为，所以，
即
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据图形，用表示，，由，利用勾股定理求得，最后根据，求解即可.
9．【答案】A,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：A、取，，则， 为假命题，故A符合；
B、当时，；当时，，则，为真命题，故B不符合；
C、取，，则， 为真命题，故C不符合；
D、当时，，则， 为假命题，故D符合.
故答案为：AD.
【分析】取特殊值即可判断A；分、两种情况讨论即可判断B；解方程，结合有理数集的定义即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；函数的值
【解析】【解答】A、函数的定义域为，则，即，
解得，则函数的定义域为，故A错误；
B、，易知函数在区间上单调递增，且，
，则函数的值域为，故B正确；
C、设，则，即，
则，，，故C正确；
D、因为关于的不等式对任意实数都成立，所以，解得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据抽象函数求定义域的方法求解即可判断A；分离常数，判断函数的单调性，利用函数的单调性求值域即可判断B；利用换元法求函数解析式，再求函数值即可判断C； 要使不等式对任意实数都成立，则，解不等式求的取值范围即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数图象，如图所示：
A、由图可知：函数的单调递增区间为，，故A错误；
B、由图可知：当时，与图象有4个交点，故B正确；
C、由图可知：关于对称，则，即，故C正确；
D、由图象可得：，，即，
则，解得，即，
由图象可得，，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】作出函数的图象，根据图象求单调递增区间即可判断A；根据图象，即可判断B；根据二次函数的对称性求解即可判断C；化简计算，可得，再根据的范围即可判断D.
12．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；不等式的解集
【解析】【解答】解：由，可得，即，整理得，解得.
故答案为：.
【分析】由可得，同分，根据分式不等式的解法求解即可.
13．【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，则，
令，解得或，则函数的定义域为，
且在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，
根据复合函数单调性可知，函数在上单调递增.
故答案为：.
【分析】令，则，求函数的定义域，再根据复合函数单调性求解即可.
14．【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，显然不合题意；
当时，原不等式可化为，即，解得，
要使解集中恰有两个整数，则，即；
当时，原不等式可化为，即，
若时，则或，不合题意；
若时，则或，不合题意；
若时，则，不合题意，
综上可得，的范围是.
故答案为：.
【分析】分 和、讨论，求解不等式，结合解集中恰有两个整数求解即可.
15．【答案】（1）解： ；
（2）解：.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则，从而化简求值。
（2）利用对数的运算法则和换底公式，从而化简求值。
16．【答案】（1）解：当时，集合，
所以.
（2）解：若选择①，
因为，所以，
又，
所以或，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，
因为，所以，
又，
所以或解得，
所以实数a的取值范围是.
若选择③，则，
因为 ，所以 ，
又，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
【知识点】并集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）利用a的值求出集合A，再利用已知条件结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。
（2） 若选择①，利用，所以，再利用得出实数a的取值范围；
若选择②，利用““是“”的充分不必要条件，则，再利用集合间的包含关系和分类讨论的方法，再利用，进而得出实数a的取值范围；
若选择③，利用，则，再利用 ，所以 ，再结合
和集合间的包含关系，再利用分类讨论的方法得出实数a的取值范围。
17．【答案】（1）解：设，，
由图可知：函数和的图象分别过点和，则，，
故，；
（2）解：设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，年收益为万元，
则，，即，
当，即万元时，的最大值为3，
故当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；幂函数模型；二次函数模型
【解析】【分析】（1）设，，由图可知函数分别过点和，代入求解即可；
（2）设用投资风险型产品的资金为万元，用于投资稳健型产品的资金为万元，得年收益的解析式，化为顶点式，结合二次函数的性质求解即可.
（1）由题意可设，，
由图知，函数和的图象分别过点和，
代入解析式可得，，
所以，.
（2）设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，年收益为万元，
则，，
可得，
则当，即万元时，的最大值为3，
所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元．
18．【答案】（1）解：函数，由，可得，解得；
（2）证明：的定义域为，
满足，则是奇函数；
（3）解：由（1）可知：，即，
整理得，两边同乘以，得，
当时，，上式等价于，
，当且仅当，即时等号成立，
故的取值范围是.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，将代入求的值即可；
（2）先求函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义证明即可；
（3）由（1）可知：，即，分离参数可得，利用基本不等式求解即可.
（1）解得：
（2）的定义域为
，所以是奇函数.
（3），即
整理得：，
两边同乘以，得
当时，，
所以上式等价于
因为
当且仅当，即时等号成立
所以的取值范围是.
19．【答案】（1）解：函数，因为，所以，
又因为不等式的解集为，所以 是方程的两个根，
由韦达定理可得，解得，，
则，
当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，.
故在上的值域为；
（2）解：易知图象的开口向上，且对称轴为，
由题意可知：在上单调递增，且是方程，即的两个正根，
则，解得，
故实数的取值范围为；
（3）解：函数图象的开口向上，且对称轴为，
当，即时，函数在上单调递减，；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，；
当时，函数在上单调递增，，
综上可知，函数的最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由，可得的值，再由题意可知 是方程的两个根，利用韦达定理列式求，确定函数的解析式，最后根据二次函数在给定区间上的单调性求值域即可；
（2）先求的解析式，根据二次函数的零点分布问题求参数的取值范围即可；
（3）根据区间和二次函数对称轴的位置关系讨论函数在给定区间上的单调性，求其最小值即可.
（1）因为不等式的解集为，
所以且，
所以，
又，所以，.
所以.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
且，，.
所以在上的值域为.
（2）因为，
其图象是开口向上的抛物线，且对称轴为，
所以在上单调递增.
由题意，是方程即的两个正根，
所以.
故实数的取值范围为.
（3）因为，
其图象是开口向上的抛物线，且对称轴为.
当，即时，函数在上单调递减，所以；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当时，函数在上单调递增，
所以.
综上可知，函数的最小值为.
1 / 1四川省自贡市第一中学校2025-2026学年高一上学期12月月考数学试题
1．（2025高一上·自流井月考）设集合M=｛x|0＜x＜4｝，N=｛x| ≤x≤5｝，则M∩N=（ ）
A．｛x|0＜x≤ ｝ B．｛x| ≤x＜4｝
C．｛x|4≤x＜5｝ D．｛x|0＜x≤5｝
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：M∩N即求集合M，N的公共元素，所以M∩N={x|≤x﹤4}，
故答案为：B
【分析】根据交集的定义求解即可.
2．（2025高一上·自流井月考）已知，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，满足，但，即充分性不成立，
当，满足，但，即必要性不成立，
则“”是“”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D.
【分析】取特殊值，根据充分，必要条件的定义判断即可.
3．（2025高一上·自流井月考）已知函数是幂函数，且在上单调递减，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．3
【答案】B
【知识点】幂函数的概念与表示；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】解：由于函数是幂函数，且在上单调递减，
则，且，解得或（舍），
故答案为：B.
【分析】由幂函数的定义得，由其在上单调递减得.
4．（2025高一上·自流井月考）若函数是奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性
【解析】【解答】解：函数，
易知，
因为函数是奇函数，所以，
则，解得.
故答案为：B.
【分析】取特殊值，结合函数为奇函数，由列式求解即可.
5．（2025高一上·自流井月考）定义在上的偶函数在上单调递减，则不等式的解集（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性
【解析】【解答】解：由题意可知：函数在上单调递增，且为偶函数，
则，即，即，解得，
故不等式的解集为.
故答案为：C.
【分析】由题意可得：函数在上单调递增，根据函数的奇偶性和单调性，不等式转化为，求解即可得解集.
6．（2025高一上·自流井月考）函数，若对，，都有成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数单调性的判断与证明
【解析】【解答】解：由题意可得：函数在上单调递减，
则，解得，
故实数的取值范围为.
故答案为：A.
【分析】由题意可知函数在上单调递减，要使函数单调递减，则每段函数均为单调递减，且分界点处左端点函数值大于等于右端点函数值，据此列不等式组求解即可.
7．（2025高一上·自流井月考）若正实数满足，且恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次不等式及其解法；基本不等式
【解析】【解答】解：，满足，
由，可得，
则，
当且仅当时等号成立，
恒成立，则，即，解得，
故实数的取值范围是.
故答案为：B.
【分析】由，可得，利用基本不等式求的最小值，恒成立，转化为，根据一元二次不等式的解法求解即可．
8．（2025高一上·自流井月考）数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】基本不等式
【解析】【解答】解：因为等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，，
所以，，
又因为，所以，
即
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】根据图形，用表示，，由，利用勾股定理求得，最后根据，求解即可.
9．（2025高一上·自流井月考）下列各命题中的假命题是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A,D
【知识点】全称量词命题；存在量词命题；命题的真假判断与应用
【解析】【解答】解：A、取，，则， 为假命题，故A符合；
B、当时，；当时，，则，为真命题，故B不符合；
C、取，，则， 为真命题，故C不符合；
D、当时，，则， 为假命题，故D符合.
故答案为：AD.
【分析】取特殊值即可判断A；分、两种情况讨论即可判断B；解方程，结合有理数集的定义即可判断D.
10．（2025高一上·自流井月考）下列说法正确的有（ ）
A．若函数的定义域是，则函数的定义域是
B．函数的值域为
C．已知函数，则
D．若关于的不等式对任意实数都成立，则实数的取值范围是
【答案】B,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；函数的值
【解析】【解答】A、函数的定义域为，则，即，
解得，则函数的定义域为，故A错误；
B、，易知函数在区间上单调递增，且，
，则函数的值域为，故B正确；
C、设，则，即，
则，，，故C正确；
D、因为关于的不等式对任意实数都成立，所以，解得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据抽象函数求定义域的方法求解即可判断A；分离常数，判断函数的单调性，利用函数的单调性求值域即可判断B；利用换元法求函数解析式，再求函数值即可判断C； 要使不等式对任意实数都成立，则，解不等式求的取值范围即可判断D.
11．（2025高一上·自流井月考）已知函数，若关于x的方程恰有4个不同的实数根，且，则下列说法正确的是（ ）
A．的单调递增区间为
B．m的取值范围是
C．
D．的取值范围是
【答案】B,C,D
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：函数图象，如图所示：
A、由图可知：函数的单调递增区间为，，故A错误；
B、由图可知：当时，与图象有4个交点，故B正确；
C、由图可知：关于对称，则，即，故C正确；
D、由图象可得：，，即，
则，解得，即，
由图象可得，，则，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】作出函数的图象，根据图象求单调递增区间即可判断A；根据图象，即可判断B；根据二次函数的对称性求解即可判断C；化简计算，可得，再根据的范围即可判断D.
12．（2025高一上·自流井月考）关于的不等式的解集是 .
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法；不等式的解集
【解析】【解答】解：由，可得，即，整理得，解得.
故答案为：.
【分析】由可得，同分，根据分式不等式的解法求解即可.
13．（2025高一上·自流井月考）函数的单调递增区间为 .
【答案】
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，则，
令，解得或，则函数的定义域为，
且在上单调递减，在上单调递增，
函数在上单调递减，
根据复合函数单调性可知，函数在上单调递增.
故答案为：.
【分析】令，则，求函数的定义域，再根据复合函数单调性求解即可.
14．（2025高一上·自流井月考）若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则的范围是 ；
【答案】
【知识点】一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：当时，显然不合题意；
当时，原不等式可化为，即，解得，
要使解集中恰有两个整数，则，即；
当时，原不等式可化为，即，
若时，则或，不合题意；
若时，则或，不合题意；
若时，则，不合题意，
综上可得，的范围是.
故答案为：.
【分析】分 和、讨论，求解不等式，结合解集中恰有两个整数求解即可.
15．（2025高一上·自流井月考）计算下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）解： ；
（2）解：.
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则
【解析】【分析】（1）利用指数幂的运算法则，从而化简求值。
（2）利用对数的运算法则和换底公式，从而化简求值。
16．（2025高一上·自流井月考）在①；②““是“”的充分不必要条件；③这三个条件中任选一个，补充到本题第（2）问的横线处，求解下列问题.
问题：已知集合.
（1）当时，求A∪B；
（2）若_________，求实数a的取值范围.
【答案】（1）解：当时，集合，
所以.
（2）解：若选择①，
因为，所以，
又，
所以或，
解得或，
所以实数a的取值范围是.
若选择②，““是“”的充分不必要条件，则，
因为，所以，
又，
所以或解得，
所以实数a的取值范围是.
若选择③，则，
因为 ，所以 ，
又，
所以，解得，
所以实数a的取值范围是.
【知识点】并集及其运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）利用a的值求出集合A，再利用已知条件结合并集的运算法则，进而得出集合A和集合B的并集。
（2） 若选择①，利用，所以，再利用得出实数a的取值范围；
若选择②，利用““是“”的充分不必要条件，则，再利用集合间的包含关系和分类讨论的方法，再利用，进而得出实数a的取值范围；
若选择③，利用，则，再利用 ，所以 ，再结合
和集合间的包含关系，再利用分类讨论的方法得出实数a的取值范围。
17．（2025高一上·自流井月考）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，其关系如图1；投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比，其关系如图2.
（1）分别写出两种产品的年收益和的函数关系式；
（2）该家庭现有20万元资金，全部用于理财投资，问：怎么分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？
【答案】（1）解：设，，
由图可知：函数和的图象分别过点和，则，，
故，；
（2）解：设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，年收益为万元，
则，，即，
当，即万元时，的最大值为3，
故当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；幂函数模型；二次函数模型
【解析】【分析】（1）设，，由图可知函数分别过点和，代入求解即可；
（2）设用投资风险型产品的资金为万元，用于投资稳健型产品的资金为万元，得年收益的解析式，化为顶点式，结合二次函数的性质求解即可.
（1）由题意可设，，
由图知，函数和的图象分别过点和，
代入解析式可得，，
所以，.
（2）设用于投资稳健型产品的资金为万元，用于投资风险型产品的资金为万元，年收益为万元，
则，，
可得，
则当，即万元时，的最大值为3，
所以当投资稳健型产品的资金为16万元，风险型产品的资金为4万元时年收益最大，最大值为3万元．
18．（2025高一上·自流井月考）已知函数，且.
（1）求的值；
（2）判断的奇偶性并证明；
（3）若当时，，求的取值范围.
【答案】（1）解：函数，由，可得，解得；
（2）证明：的定义域为，
满足，则是奇函数；
（3）解：由（1）可知：，即，
整理得，两边同乘以，得，
当时，，上式等价于，
，当且仅当，即时等号成立，
故的取值范围是.
【知识点】函数的奇偶性；函数恒成立问题；指数型复合函数的性质及应用；基本不等式
【解析】【分析】（1）根据函数的解析式，将代入求的值即可；
（2）先求函数的定义域，再根据函数奇偶性的定义证明即可；
（3）由（1）可知：，即，分离参数可得，利用基本不等式求解即可.
（1）解得：
（2）的定义域为
，所以是奇函数.
（3），即
整理得：，
两边同乘以，得
当时，，
所以上式等价于
因为
当且仅当，即时等号成立
所以的取值范围是.
19．（2025高一上·自流井月考）已知函数，不等式的解集为且．
（1）求在的值域；
（2）记．当的定义域为时，值域为，求实数的取值范围；
（3）若函数在区间上的最小值为，求的最小值．
【答案】（1）解：函数，因为，所以，
又因为不等式的解集为，所以 是方程的两个根，
由韦达定理可得，解得，，
则，
当时，在上单调递减，在上单调递增，且，，.
故在上的值域为；
（2）解：易知图象的开口向上，且对称轴为，
由题意可知：在上单调递增，且是方程，即的两个正根，
则，解得，
故实数的取值范围为；
（3）解：函数图象的开口向上，且对称轴为，
当，即时，函数在上单调递减，；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，；
当时，函数在上单调递增，，
综上可知，函数的最小值为.
【知识点】函数单调性的性质；函数的最大（小）值；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】（1）由，可得的值，再由题意可知 是方程的两个根，利用韦达定理列式求，确定函数的解析式，最后根据二次函数在给定区间上的单调性求值域即可；
（2）先求的解析式，根据二次函数的零点分布问题求参数的取值范围即可；
（3）根据区间和二次函数对称轴的位置关系讨论函数在给定区间上的单调性，求其最小值即可.
（1）因为不等式的解集为，
所以且，
所以，
又，所以，.
所以.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
且，，.
所以在上的值域为.
（2）因为，
其图象是开口向上的抛物线，且对称轴为，
所以在上单调递增.
由题意，是方程即的两个正根，
所以.
故实数的取值范围为.
（3）因为，
其图象是开口向上的抛物线，且对称轴为.
当，即时，函数在上单调递减，所以；
当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增，
所以；
当时，函数在上单调递增，
所以.
综上可知，函数的最小值为.
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