广东省惠州市惠阳区2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题
1．（2025高一上·惠阳月考）已知集合A＝{x∈Z｜－2≤x＜3}，B＝{0，2，4}，则A∩B＝（ ）
A．{0，2，4} B．{0，2} C．{0，1，2} D．
2．（2025高一上·惠阳月考）已知命题，那么是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高一上·惠阳月考）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一上·惠阳月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．（2025高一上·惠阳月考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·惠阳月考）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高一上·惠阳月考）函数的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
8．（2025高一上·惠阳月考）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
9．（2025高一上·惠阳月考）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．（2025高一上·惠阳月考）下列命题正确的有（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．（2025高一上·惠阳月考）高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一 享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如.已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．方程在区间上有4个实数根
C．若，则
D．，都有
12．（2025高一上·惠阳月考）函数在区间上的最小值为 ．
13．（2025高一上·惠阳月考）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ．
14．（2025高一上·惠阳月考）已知函数，则 ；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是 .
15．（2025高一上·惠阳月考）已知全集，集合，.
（1）当时，求与；
（2）若，求实数的取值范围.
16．（2025高一上·惠阳月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元．设底面的某一边长为x（单位：米），无盖长方体水池总造价为y（单位：元）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价为多少元
17．（2025高一上·惠阳月考）已知二次函数．
（1）若为偶函数，求在上的值域；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
18．（2025高一上·惠阳月考）已知函数，其中且．
（1）求的值和函数的定义域；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）求不等式的解集．
19．（2025高一上·惠阳月考）函数对任意的实数m，n，有，当时，有．
（1）求证：．
（2）求证：在上为增函数．
（3）若，解不等式．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】化简 ，
因为 ，
故 ，
故答案为：B.
【分析】化简集合 ，利用交集的定义求解即可.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题为全称命题，
则命题p的否定为.
故答案为：C.
【分析】根据全称命题的否定为存在命题，从而写出命题p的否定.
3．【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数的定义域为.
因为函数是增函数，且在和上分别单调递增，
所以在和上分别单调递增.
当时，恒成立，所以无零点；
当时，，，
所以函数的零点所在区间为.
故答案为：B.
【分析】分析函数的单调性，并根据零点存在定理判断区间端点对应的函数值，可确定函数的零点所在区间.
4．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
由，解得或，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：A.
【分析】将代入求值判断充分性成立，解，求得x的值判断必要性不成立，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
5．【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，
所以，则，
因为，
所以，，
则.
故答案为：C.
【分析】借助中间量0和1，再根据指数函数的单调性、对数函数的单调性，从而判断出a，b，c的大小.
6．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，得或，
设，或，，
则函数，或，且函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为为减函数，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数的单调递增区间是.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和复合函数单调性的判断方法，即同增异减，从而得出函数的单调递增区间.
7．【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为，满足，则为奇函数，
当时，，排除BC；
当时，，，，
因为指数函数比幂函数增长的速度要快，所以当，函数值趋近于零，排除.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再根据时函数值的正负以及函数图象的变化趋势判断即可确定正确答案.
8．【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由函数是幂函数，可得，解得或．
当时，；当时，．
因为函数在上是单调递增函数，故．
又，所以，
所以，则．
故答案为：A．
【分析】由已知条件求出m的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可.
9．【答案】A,B,C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：对于A，
因为，所以选项A正确；
对于B，根据函数是单调递增函数，可知，所以选项B正确；
对于C，根据指对恒等式，可知，所以选项C正确；
对于D，因为，所以选项D不正确.
故答案为：ABC.
【分析】利用对数的运算法则判断出选项A、选项C和选项D；利用指数函数的单调性判断出选项B，从而找出结论正确的选项.
10．【答案】A,C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，若，则，
由不等式的性质，故A正确；
对于B，当时，不成立，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，
所以，则，
由不等式的性质，得，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据不等式的基本性质，从而逐项判断找出真命题的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，
则函数在上不是单调递增，故A不正确；
对于B，当时，，此时的解为；
当时，，此时的解为；
当时，，此时的解为；
当时，，此时的解为；
当时，，此时无解，
则方程在区间上有4个实数根，故B正确；
对于C，由题意，可知，所以，
则，所以，
则，故C正确；
对于D，由选项C可知，得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据高斯函数的定义，从而化简，再结合单调函数的定义、函数零点与方程的根的等价关系、绝对值不等式求解方法、恒成立问题求解方法，从而逐项判断找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：设，则，
因为函数是增函数，是增函数，
所以函数是增函数.
则函数在区间上的最小值为.
故答案为：.
【分析】通过判断函数和函数的单调性，即同增异减，从而判断出在区间上的单调性，进而得出函数在区间上的最小值.
13．【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：因为函数是定义在R上的奇函数， 当时，，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意，根据奇函数的性质求解即可.
14．【答案】 ；
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则‘
当时，单调递减，且；
当时，单调递减，且，则；
则，作出函数的图象如下：
若方程有两个不同解，等价于函数与有两个不同交点，
结合图象，可得，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：；.
【分析】根据分段函数解析式和代入法，从而得出的值；根据题意求出函数的解析式并作出分段函数的图象，再利用方程的根与两函数图象的交点的横坐标的等价关系，从而得出函数与有两个不同交点，再结合分段函数的图象，从而得出实数k的取值范围.
15．【答案】解：（1）由已知，得当时，，
则，或，
或.
（2）∵，∴，
则，
解得，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）利用m的值得出集合B，再利用交集的运算法则、并集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合和集合.
（2）由得，再利用集合间的包含关系，再分类讨论，从而借助数轴得出实数m的取值范围.
16．【答案】（1）解：设池底的一边长为，
则另一边长为，总造价为元，
所以，.
（2）解：，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意结合棱柱的体积公式和表面积公式，从而列式得出总造价y关于底面的某一边长x的函数表达式.
（2）利用（1）中y关于x的函数表达式结合基本不等式求最值的方法，从而得出当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元.
（1）池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元，
则，.
（2），
当且仅当，即时，等号成立，
所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元．
17．【答案】（1）解：因为函数定义域为R，且为偶函数，
所以，
则，
所以，
因为，所以，，
则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以在上的值域为.
（2）解：当时，恒成立，
则恒成立.
所以当时，恒成立，
则恒成立.
令，易知是减函数.
所以.所以.
则实数a的取值范围是．
【知识点】函数的值域；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义得出的值，从而得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性，从而得出二次函数在上的值域.
（2）由题可知，当时，恒成立，再分离参数得出在上恒成立，再构造函数，求出函数的值域（最小值），从而得到实数a的取值范围．
（1）因为函数定义域为R，且为偶函数，所以，
即，即.
因为，所以，.
所以.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又.
所以在上的值域为.
（2）当时，恒成立，即恒成立.
所以当时，恒成立，即恒成立.
令，易知是减函数.
所以.所以.
所以实数a的取值范围是．
18．【答案】（1）解：由题意，得，
可得，
又因为，所以，
则，
所以，
则函数的定义域为.
（2）解：为奇函数，证明如下：
由（1）知：定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数.
（3）解：因为，
又因为在上单调递减，在定义域上单调递增，
所以在上单调递减，且，
则，所以，
结合函数定义域知，
不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意和对数的运算性质，从而可得，进而得出参数m的值，则得出函数的解析式，再利用对数型函数的定义域求解方法，最后解分式不等式得出函数的定义域.
（2）利用奇偶性的定义判断并证明出函数的奇偶性.
（3）根据函数的解析式和复合函数的单调性，从而得出不等式的解集．
（1）由题设，可得，
又，故，则，
所以，即定义域为.
（2）为奇函数，证明如下：
由（1）知：定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数.
（3）由，而在上递减，在定义域上递增，
所以在上递减，且，
故，有，结合定义域知：解集为.
19．【答案】（1）证明：令，则，解得；
（2）证明：令，则，即，即，
则对任意的，都有，即是奇函数．
在上任取，，且，则，
，即，
故函数在上为增函数；
（3）原不等式可化为，
由（2）知在上为增函数，可得，即，
因为，所以，解得，
故原不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数对任意的实数m，n，有， 利用赋值法，
令，代入等式证明即可；
（2）利用赋值法，令，代入等式，结合（1）的结论，可得，判断函数是奇函数，再根据函数单调性的定义证明在上为增函数即可；
（3）原不等式可化为，结合（2）的结论，根据指数不等式的解法求解解不等式即可.
1 / 1广东省惠州市惠阳区2025-2026学年高一上学期12月联考数学试题
1．（2025高一上·惠阳月考）已知集合A＝{x∈Z｜－2≤x＜3}，B＝{0，2，4}，则A∩B＝（ ）
A．{0，2，4} B．{0，2} C．{0，1，2} D．
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】化简 ，
因为 ，
故 ，
故答案为：B.
【分析】化简集合 ，利用交集的定义求解即可.
2．（2025高一上·惠阳月考）已知命题，那么是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】解：命题为全称命题，
则命题p的否定为.
故答案为：C.
【分析】根据全称命题的否定为存在命题，从而写出命题p的否定.
3．（2025高一上·惠阳月考）函数的零点所在区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：函数的定义域为.
因为函数是增函数，且在和上分别单调递增，
所以在和上分别单调递增.
当时，恒成立，所以无零点；
当时，，，
所以函数的零点所在区间为.
故答案为：B.
【分析】分析函数的单调性，并根据零点存在定理判断区间端点对应的函数值，可确定函数的零点所在区间.
4．（2025高一上·惠阳月考）“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：当时，，即充分性成立；
由，解得或，即必要性不成立，
故“”是“”的充分不必要条件．
故答案为：A.
【分析】将代入求值判断充分性成立，解，求得x的值判断必要性不成立，再根据充分、必要条件的定义判断即可.
5．（2025高一上·惠阳月考）已知，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】解：因为，
所以，则，
因为，
所以，，
则.
故答案为：C.
【分析】借助中间量0和1，再根据指数函数的单调性、对数函数的单调性，从而判断出a，b，c的大小.
6．（2025高一上·惠阳月考）函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：令，得或，
设，或，，
则函数，或，且函数在上单调递减，在上单调递增，
又因为为减函数，
所以函数在上单调递增，在上单调递减，
则函数的单调递增区间是.
故答案为：A.
【分析】利用已知条件和复合函数单调性的判断方法，即同增异减，从而得出函数的单调递增区间.
7．（2025高一上·惠阳月考）函数的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【知识点】函数的奇偶性；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为，满足，则为奇函数，
当时，，排除BC；
当时，，，，
因为指数函数比幂函数增长的速度要快，所以当，函数值趋近于零，排除.
故答案为：D.
【分析】先求函数的定义域，根据函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性，再根据时函数值的正负以及函数图象的变化趋势判断即可确定正确答案.
8．（2025高一上·惠阳月考）幂函数在区间上单调递增，且，则的值（ ）
A．恒大于0 B．恒小于0 C．等于0 D．无法判断
【答案】A
【知识点】复合函数的单调性；幂函数的图象与性质
【解析】【解答】由函数是幂函数，可得，解得或．
当时，；当时，．
因为函数在上是单调递增函数，故．
又，所以，
所以，则．
故答案为：A．
【分析】由已知条件求出m的值，则可得幂函数的解析式，再利用幂函数的性质判断即可.
9．（2025高一上·惠阳月考）下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,B,C
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数的性质与运算法则
【解析】【解答】解：对于A，
因为，所以选项A正确；
对于B，根据函数是单调递增函数，可知，所以选项B正确；
对于C，根据指对恒等式，可知，所以选项C正确；
对于D，因为，所以选项D不正确.
故答案为：ABC.
【分析】利用对数的运算法则判断出选项A、选项C和选项D；利用指数函数的单调性判断出选项B，从而找出结论正确的选项.
10．（2025高一上·惠阳月考）下列命题正确的有（ ）
A．若，，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A,C
【知识点】利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，若，则，
由不等式的性质，故A正确；
对于B，当时，不成立，故B错误；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，若，则，
所以，则，
由不等式的性质，得，故D错误.
故答案为：AC.
【分析】根据不等式的基本性质，从而逐项判断找出真命题的选项.
11．（2025高一上·惠阳月考）高斯是著名的数学家，近代数学奠基者之一 享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，也被称为“高斯函数”，例如.已知函数，下列说法中正确的是（ ）
A．函数在上单调递增
B．方程在区间上有4个实数根
C．若，则
D．，都有
【答案】B,C,D
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于A，因为，
所以，
则函数在上不是单调递增，故A不正确；
对于B，当时，，此时的解为；
当时，，此时的解为；
当时，，此时的解为；
当时，，此时的解为；
当时，，此时无解，
则方程在区间上有4个实数根，故B正确；
对于C，由题意，可知，所以，
则，所以，
则，故C正确；
对于D，由选项C可知，得，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】根据高斯函数的定义，从而化简，再结合单调函数的定义、函数零点与方程的根的等价关系、绝对值不等式求解方法、恒成立问题求解方法，从而逐项判断找出正确的选项.
12．（2025高一上·惠阳月考）函数在区间上的最小值为 ．
【答案】
【知识点】函数的最大（小）值；指数型复合函数的性质及应用
【解析】【解答】解：设，则，
因为函数是增函数，是增函数，
所以函数是增函数.
则函数在区间上的最小值为.
故答案为：.
【分析】通过判断函数和函数的单调性，即同增异减，从而判断出在区间上的单调性，进而得出函数在区间上的最小值.
13．（2025高一上·惠阳月考）若函数是定义在R上的奇函数，当时，，则 ．
【答案】
【知识点】函数的奇偶性；函数的值
【解析】【解答】解：因为函数是定义在R上的奇函数， 当时，，
所以.
故答案为：.
【分析】由题意，根据奇函数的性质求解即可.
14．（2025高一上·惠阳月考）已知函数，则 ；若关于x的方程恰有两个不同的解，则实数k的取值范围是 .
【答案】 ；
【知识点】函数单调性的性质；函数的值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：因为，
所以，
则‘
当时，单调递减，且；
当时，单调递减，且，则；
则，作出函数的图象如下：
若方程有两个不同解，等价于函数与有两个不同交点，
结合图象，可得，
所以实数k的取值范围是.
故答案为：；.
【分析】根据分段函数解析式和代入法，从而得出的值；根据题意求出函数的解析式并作出分段函数的图象，再利用方程的根与两函数图象的交点的横坐标的等价关系，从而得出函数与有两个不同交点，再结合分段函数的图象，从而得出实数k的取值范围.
15．（2025高一上·惠阳月考）已知全集，集合，.
（1）当时，求与；
（2）若，求实数的取值范围.
【答案】解：（1）由已知，得当时，，
则，或，
或.
（2）∵，∴，
则，
解得，
所以，实数的取值范围为.
【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算；交、并、补集的混合运算；子集与交集、并集运算的转换
【解析】【分析】（1）利用m的值得出集合B，再利用交集的运算法则、并集的运算法则和补集的运算法则，从而得出集合和集合.
（2）由得，再利用集合间的包含关系，再分类讨论，从而借助数轴得出实数m的取值范围.
16．（2025高一上·惠阳月考）某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为，深度为3m．如果池底每平方米的造价为100元，池壁每平方米的造价为80元．设底面的某一边长为x（单位：米），无盖长方体水池总造价为y（单位：元）．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价为多少元
【答案】（1）解：设池底的一边长为，
则另一边长为，总造价为元，
所以，.
（2）解：，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元．
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意结合棱柱的体积公式和表面积公式，从而列式得出总造价y关于底面的某一边长x的函数表达式.
（2）利用（1）中y关于x的函数表达式结合基本不等式求最值的方法，从而得出当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元.
（1）池底的一边长为，则另一边长为，总造价为元，
则，.
（2），
当且仅当，即时，等号成立，
所以当水池设计成底面边长为40m的正方形时，总造价最低，最低为198400元．
17．（2025高一上·惠阳月考）已知二次函数．
（1）若为偶函数，求在上的值域；
（2）当时，恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）解：因为函数定义域为R，且为偶函数，
所以，
则，
所以，
因为，所以，，
则，
所以在上单调递减，在上单调递增，
又因为，
所以在上的值域为.
（2）解：当时，恒成立，
则恒成立.
所以当时，恒成立，
则恒成立.
令，易知是减函数.
所以.所以.
则实数a的取值范围是．
【知识点】函数的值域；奇函数与偶函数的性质；函数恒成立问题
【解析】【分析】（1）利用偶函数的定义得出的值，从而得出函数的解析式，再利用二次函数的单调性，从而得出二次函数在上的值域.
（2）由题可知，当时，恒成立，再分离参数得出在上恒成立，再构造函数，求出函数的值域（最小值），从而得到实数a的取值范围．
（1）因为函数定义域为R，且为偶函数，所以，
即，即.
因为，所以，.
所以.
所以在上单调递减，在上单调递增.
又.
所以在上的值域为.
（2）当时，恒成立，即恒成立.
所以当时，恒成立，即恒成立.
令，易知是减函数.
所以.所以.
所以实数a的取值范围是．
18．（2025高一上·惠阳月考）已知函数，其中且．
（1）求的值和函数的定义域；
（2）判断并证明函数的奇偶性；
（3）求不等式的解集．
【答案】（1）解：由题意，得，
可得，
又因为，所以，
则，
所以，
则函数的定义域为.
（2）解：为奇函数，证明如下：
由（1）知：定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数.
（3）解：因为，
又因为在上单调递减，在定义域上单调递增，
所以在上单调递减，且，
则，所以，
结合函数定义域知，
不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；奇偶性与单调性的综合；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）由题意和对数的运算性质，从而可得，进而得出参数m的值，则得出函数的解析式，再利用对数型函数的定义域求解方法，最后解分式不等式得出函数的定义域.
（2）利用奇偶性的定义判断并证明出函数的奇偶性.
（3）根据函数的解析式和复合函数的单调性，从而得出不等式的解集．
（1）由题设，可得，
又，故，则，
所以，即定义域为.
（2）为奇函数，证明如下：
由（1）知：定义域关于原点对称，且，
所以为奇函数.
（3）由，而在上递减，在定义域上递增，
所以在上递减，且，
故，有，结合定义域知：解集为.
19．（2025高一上·惠阳月考）函数对任意的实数m，n，有，当时，有．
（1）求证：．
（2）求证：在上为增函数．
（3）若，解不等式．
【答案】（1）证明：令，则，解得；
（2）证明：令，则，即，即，
则对任意的，都有，即是奇函数．
在上任取，，且，则，
，即，
故函数在上为增函数；
（3）原不等式可化为，
由（2）知在上为增函数，可得，即，
因为，所以，解得，
故原不等式的解集为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的奇偶性；抽象函数及其应用；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】（1）根据函数对任意的实数m，n，有， 利用赋值法，
令，代入等式证明即可；
（2）利用赋值法，令，代入等式，结合（1）的结论，可得，判断函数是奇函数，再根据函数单调性的定义证明在上为增函数即可；
（3）原不等式可化为，结合（2）的结论，根据指数不等式的解法求解解不等式即可.
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