河北省定州中学2025-2026学年高一上学期12月考试数学试题
1．（2025高一上·定州月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
易知，则.
故答案为：A.
【分析】根据集合的补集运算先求，再根据集合的交集运算求解即可.
2．（2025高一上·定州月考）已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：因为点是第四象限的点，
所以且.
所以角的终边位于第二象限.
故答案为：B
【分析】先根据点P所在象限，确定 ， 的符号，再结合各象限三角函数的符号规律，判断角终边的位置。
3．（2025高一上·定州月考）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：在上单调递减，
又因为，，，
所以，且有唯一零点，零点在区间内.
故答案为：C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
4．（2025高一上·定州月考）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：对数函数在定义域上单调递增，且，则，
指数函数在定义域上单调递增，且，则，
指数函数在定义域上单调递减，且，则，
故.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数，对数函数的单调性，结合中间值0和1比较大小即可.
5．（2025高一上·定州月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意可得：函数在上单调递增，
不等式，即，即，解得，
则实数的取值范围为．
故答案为：C.
【分析】由题意可得在上单调递增，根据函数的奇偶性以及单调性，不等式转化为，结合对数函数的单调性求解即可.
6．（2025高一上·定州月考）猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（ ）（参考数据：）
A．8 B．9 C．7 D．6
【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由题意可得：经过年后，猪血木的数列为，
该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则，即，
两边同时取对数，则，
因为，所以，即，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：经过年后，猪血木的数列为，由题意列不等式，根据对数运算，结合对数不等式的解法求解即可.
7．（2025高一上·定州月考）已知，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：因为对任意，存在，使得，
所以函数在的值域是函数在的值域的子集.
当时，；
当时，结合对勾函数性质知.
所以当时，函数的值域为.
若，当时，，
由，所以；
若，当时，，
此时不成立，故不合题意；
若，当时，，
由，所以.
综上可知：或.
故答案为：B
【分析】题目要求“对任意 ，存在 ，使得 ”，等价于 在 上的值域是 在 上的值域的子集。
8．（2025高一上·定州月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则对函数描述正确的是
A．是偶函数 B．的值域为
C．是奇函数 D．不是周期函数
【答案】B
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由于，所以，
由此画出函数图象如下图所示，
由图可知，是非奇非偶函数，是周期为的周期函数，且值域为.
故答案为：B.
【分析】函数 f(x)=x [x]表示x的小数部分，我们可以从奇偶性、值域、周期性三方面来分析。
9．（2025高一上·定州月考）下列说法正确的是（ ）
A．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为或
B．已知，则的解析式为
C．已知，则
D．已知，则
【答案】B,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：A、易知，且是方程的两根，
由韦达定理可得，解得，，
不等式化为，即，
即，解得，故A错误；
B、令，则，，
，则的解析式为，故B正确；
C、，则，故C正确；
D、因为，所以，
即，解得，
又因为，所以，所以，
则，即，，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据根与系数的关系，以及一元二次不等式的解法求解即可判断A；利用换元法求解析式即可判断B；利用同角三角函数基本关系，化弦为切即可判断C；将已知式子平方关系求，再结合平方关系求解即可判断D.
10．（2025高一上·定州月考）已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．若的定义域为，则
B．若的定义域为，则
C．若的值域为，则
D．若在上单调递增，则
【答案】A,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；一元二次方程的根与系数的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A，因为的定义域为，则不等式的解集为，
所以关于的方程的两根为、，且，
所以，解得，A正确；
B，若的定义域为，则对任意的，，
当时，则有，符合题意，
当时，则有，解得，
综上所述，若的定义域为，则，B错误；
C，若的值域为，则函数的值域包含，
当时，，不符合题意，
当时，则，解得.
综上所述，若的值域为，则，C正确；
D，因为在上单调递增，令，
当时，，不符合题意，
当时，二次函数的对称轴方程为，
因为外层函数为增函数，则在上为增函数，
且对任意的，恒成立，
所以，解得，
综上所述，若在上单调递增，则，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】核心是处理复合函数 中内层函数 的性质。
11．（2025高一上·定州月考）已知实数都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值
C．的最小值为 D．的最大值为
【答案】A,D
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A：因为，当且仅当时取等号，
所以的最大值是，故A正确；
对于B：因为，，
当时，取得最小值，故B错误；
对于C：因为，
当且仅当时取等号，
又因为，所以，
则的最小值为，故C错误；
对于D：因为，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由和已知条件，从而得出的最大值，则判断出选项A；由消元法化为二次函数，再利用二次函数求最值的方法，则判断出选项B；由“1”的代换和基本不等式求最值的方法，则判断出选项C；由，从而得出的最大值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2025高一上·定州月考）若扇形的圆心角是，弧长为，则扇形的半径为 .
【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：该扇形圆心角为，且该扇形的弧长为，
故该扇形的半径为.
故答案为：.
【分析】计算扇形的半径，我们先把角度从度数转成弧度，再用弧长公式求解。
13．（2025高一上·定州月考）已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是 ．
【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；二次函数的性质
【解析】【解答】解：若时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在上不单调，不符合题意；
若时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
此时函数在上为增函数，
根据题意可知，函数在上为增函数，则，解得；
若时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
由于函数在上单调，则且，解得，
此时函数在上为减函数，
根据题意可知，函数在上为减函数，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分情况讨论分段函数 f(x) 在R上的单调性，保证两段函数的单调性一致，并且在分段点x=1处满足衔接条件。
14．（2025高一上·定州月考）已知函数，当时恒成立，则的最小值为 .
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设，，
则，且在单调递增，
当时，；
当时，，
当时恒成立，函数为上的连续函数，
所以有一个零点为1，且当时，；当时，，
所以，
令，
因为，所以有一个零点，且当时，；当时，，
所以，且，
所以.
故答案为：.
【分析】通过分析的零点和函数在零点两侧函数值的正负，从而得出在时的零点和函数在零点两侧函数值的正负，再利用研究二次函数的零点分布情况，从而得出实数a的取值范围，进而得出实数a的最小值.
15．（2025高一上·定州月考）已知集合，集合．
（1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围．
（2）若；求实数的取值范围．
【答案】（1）解： 若是的充分条件，则，即 ，解得，
故实数的取值范围 ；
（2）解：易知 ，要使 ，则 或 ，解得 或 ，
故实数的取值范围 ．
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；充分条件
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据集合的包含关系列不等式求解即可；
（2）易知，要使 ，则需满足 或 ，解关于的不等式求范围即可.
（1）命题 ，命题 ，若是的充分条件，则有 ．
所以 解得： ．
所以实数的取值范围 ．
（2）因为 ，要使 ，只需 或 ，
解得： 或 ．
所以实数的取值范围 ．
16．（2025高一上·定州月考）已知角顶点为原点且始边在轴非负半轴，终边上有一点且点不与坐标原点重合.
（1）若点坐标是且，求的值；
（2）若角满足
①求的值；
②求的值.
【答案】（1）解：因为且，所以点在第一或第二象限，
又 ，所以在第一象限且，
由三角函数概念知：，
故实数的值为
（2）解：①因为角满足，
则，
所以，
又因为，则且，
所以，
由且，有，
所以，
②由①知：，则，
则.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1) 利用三角函数的定义 （ 为点到原点的距离）建立方程求解。
(2) ① 对 两边平方，求出 ，再利用 计算，结合 判断符号。
② 利用①的结果求出 和 的值，代入表达式计算；或用 进行整体代换。
（1）因为且，所以点在第一或第二象限，
又 ，所以在第一象限且，
由三角函数概念知：，
故实数的值为；
（2）①因为角满足，
则，
所以，
又因为，则且，
所以，
由且，有，
所以，
②由①知：，则，
则.
17．（2025高一上·定州月考）已知函数为奇函数，且不为常函数.
（1）求的值；
（2）若，用定义法证明：在上单调递减；
（3）若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：因为为奇函数，则所以，
则，即，解得，
当时，函数为常函数，与已知矛盾，故；
（2）证明：由（1）知，，
任取，则，
因为，则，所以，
所以，即所以，
故函数在上单调递减；
（3）解：对任意的，，
即，得，
记函数，，
则函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最大值为，
则，即实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，可得，列关于的方程，结合对数的运算求得，再结合函数“不为常函数”确定a的值即可；
（2）由（1）知，，根据函数单调性的定义证明即可；
（3）分离参数，构造关于的函数，利用对数函数的单调性求出最大值，由大于该最大值确定参数范围即可.
（1）由为奇函数，则对定义域内的每一个都有，
所以，即，所以，
当时，函数为常函数，与已知矛盾，
所以.
（2）由（1）知，，
任取，则，
，则，，
，即所以，
所以函数在上单调递减.
（3）对任意的，，
即，得，
记函数，，
则函数在区间上单调递减，
函数在区间上的最大值为，
，因此，实数的取值范围是.
18．（2025高一上·定州月考）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，．
（1）求的值，并证明：当时，；
（2）判断的单调性，并证明你的结论；
（3）对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围．
【答案】（1）解：由对任意的，都有，且当时，，
令，可得，即，解得，
当时，令，其中，可得，
因为，所以，
所以当时，.
（2）解：函数在上为单调递减函数.
证明如下：设且，则，由（1）知：，
则，即，
所以函数在上为单调递减函数.
（3）解：由（2）知，函数在上为单调递减函数，
所以不等式，即为，
因为对于任意的，不等式恒成立，
所以不等式对任意上恒成立，
即不等式对任意上恒成立，
设，因为，可得，所以对任意上恒成立，
又由在上为单调递增函数，
所以，所以，即实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)利用函数方程 ，令 求 ；对 ，令 （），结合 推出 。
(2)任取 ，则 ，利用 与 比较 与 的大小，判断单调性。
(3)由函数的单调性，将不等式 转化为 ，分离参数 后，构造函数求最小值，从而确定 的取值范围。
（1）解：由对任意的，都有，且当时，，
令，可得，即，解得，
当时，令，其中，可得，
因为，所以，
所以当时，.
（2）解：函数在上为单调递减函数.
证明如下：设且，则，由（1）知：，
则，即，
所以函数在上为单调递减函数.
（3）解：由（2）知，函数在上为单调递减函数，
所以不等式，即为，
因为对于任意的，不等式恒成立，
所以不等式对任意上恒成立，
即不等式对任意上恒成立，
设，因为，可得，所以对任意上恒成立，
又由在上为单调递增函数，
所以，所以，即实数的取值范围为.
19．（2025高一上·定州月考）已知函数.
（1）写出函数的单调递增区间（不需要说明理由）；
（2）关于的方程有四个根，，，，且，求的取值范围；
（3）关于的方程的所有根中有两个正根分别为，，证明：．
【答案】（1）解：当时，，由在上单调递增，在上单调递减，
所以可得在上单调递减，
当时，，由在上单调递增，在上单调递增，
所以可得在上单调递增，
当时，，由对数函数的性质可得在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为和.
（2）解：因为，所以，所以，又，
作出函数的图像如图所示，
关于的方程有四个根，
则函数和有四个交点，所以，
因为，所以可得，
所以，，
由，得，所以，所以，
所以，又，所以，
又，所以，所以，所以，
所以.
（3）证明：关于的方程的所有根中有两个正根分别为，，
所以，，又，
所以，所以，
所以，所以或，所以（舍去）或，
所以且，所以.
【知识点】函数的单调性及单调区间；指数型复合函数的性质及应用；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)分段分析函数单调性，直接写出递增区间。
(2)利用 的四个根的对称性，得到 和 的关系，进而求出乘积的范围。
(3)设 ，由 推出 ，再用基本不等式证明 。
（1）当时，，由在上单调递增，在上单调递减，
所以可得在上单调递减，
当时，，由在上单调递增，在上单调递增，
所以可得在上单调递增，
当时，，由对数函数的性质可得在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为和.
（2）因为，所以，所以，又，
作出函数的图像如图所示，关于的方程有四个根，
则函数和有四个交点，所以，
因为，所以可得，
所以，，
由，得，所以，所以，
所以，又，所以，
又，所以，所以，所以，
所以.
（3）关于的方程的所有根中有两个正根分别为，，
所以，，又，
所以，所以，
所以，所以或，所以（舍去）或，
所以且，所以.
1 / 1河北省定州中学2025-2026学年高一上学期12月考试数学试题
1．（2025高一上·定州月考）已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高一上·定州月考）已知点是第四象限的点，则角的终边位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2025高一上·定州月考）函数的零点所在的区间是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高一上·定州月考）已知，，，则、、的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5．（2025高一上·定州月考）已知函数是定义在上的偶函数，且在上单调递减，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．（2025高一上·定州月考）猪血木又名阳春红檀，是中国特有的单种属濒危植物，属于国家一级保护植物和极小种群野生植物．某地引种猪血木1000株，假设该地的猪血木数量以每年的比例增加，且该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则（ ）（参考数据：）
A．8 B．9 C．7 D．6
7．（2025高一上·定州月考）已知，，若任给，存在，使得，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025高一上·定州月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，，已知函数，则对函数描述正确的是
A．是偶函数 B．的值域为
C．是奇函数 D．不是周期函数
9．（2025高一上·定州月考）下列说法正确的是（ ）
A．已知关于的不等式的解集为，则不等式的解集为或
B．已知，则的解析式为
C．已知，则
D．已知，则
10．（2025高一上·定州月考）已知函数，则下列选项正确的有（ ）
A．若的定义域为，则
B．若的定义域为，则
C．若的值域为，则
D．若在上单调递增，则
11．（2025高一上·定州月考）已知实数都是正数，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．的最大值为 B．的最小值
C．的最小值为 D．的最大值为
12．（2025高一上·定州月考）若扇形的圆心角是，弧长为，则扇形的半径为 .
13．（2025高一上·定州月考）已知函数在上是单调函数，则实数的取值范围是 ．
14．（2025高一上·定州月考）已知函数，当时恒成立，则的最小值为 .
15．（2025高一上·定州月考）已知集合，集合．
（1）命题，命题，若是的充分条件，求实数的取值范围．
（2）若；求实数的取值范围．
16．（2025高一上·定州月考）已知角顶点为原点且始边在轴非负半轴，终边上有一点且点不与坐标原点重合.
（1）若点坐标是且，求的值；
（2）若角满足
①求的值；
②求的值.
17．（2025高一上·定州月考）已知函数为奇函数，且不为常函数.
（1）求的值；
（2）若，用定义法证明：在上单调递减；
（3）若（2）中的对，不等式恒成立，求实数的取值范围.
18．（2025高一上·定州月考）已知函数的定义域为，对任意的，都有．当时，．
（1）求的值，并证明：当时，；
（2）判断的单调性，并证明你的结论；
（3）对于任意的，不等式恒成立，试求常数的取值范围．
19．（2025高一上·定州月考）已知函数.
（1）写出函数的单调递增区间（不需要说明理由）；
（2）关于的方程有四个根，，，，且，求的取值范围；
（3）关于的方程的所有根中有两个正根分别为，，证明：．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算；补集及其运算
【解析】【解答】解：因为集合，，
易知，则.
故答案为：A.
【分析】根据集合的补集运算先求，再根据集合的交集运算求解即可.
2．【答案】B
【知识点】三角函数值的符号
【解析】【解答】解：因为点是第四象限的点，
所以且.
所以角的终边位于第二象限.
故答案为：B
【分析】先根据点P所在象限，确定 ， 的符号，再结合各象限三角函数的符号规律，判断角终边的位置。
3．【答案】C
【知识点】函数零点存在定理
【解析】【解答】解：在上单调递减，
又因为，，，
所以，且有唯一零点，零点在区间内.
故答案为：C
【分析】首先判断函数的单调性，再根据零点存在性定理判断即可.
4．【答案】B
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；利用对数函数的单调性比较大小
【解析】【解答】解：对数函数在定义域上单调递增，且，则，
指数函数在定义域上单调递增，且，则，
指数函数在定义域上单调递减，且，则，
故.
故答案为：B.
【分析】根据指数函数，对数函数的单调性，结合中间值0和1比较大小即可.
5．【答案】C
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；指、对数不等式的解法
【解析】【解答】解：由题意可得：函数在上单调递增，
不等式，即，即，解得，
则实数的取值范围为．
故答案为：C.
【分析】由题意可得在上单调递增，根据函数的奇偶性以及单调性，不等式转化为，结合对数函数的单调性求解即可.
6．【答案】A
【知识点】指数式与对数式的互化；对数的性质与运算法则；“对数增长”模型
【解析】【解答】解：由题意可得：经过年后，猪血木的数列为，
该地的猪血木数量超过2000株至少需要经过年，则，即，
两边同时取对数，则，
因为，所以，即，
又因为，所以.
故答案为：A.
【分析】由题意可得：经过年后，猪血木的数列为，由题意列不等式，根据对数运算，结合对数不等式的解法求解即可.
7．【答案】B
【知识点】函数的值域
【解析】【解答】解：因为对任意，存在，使得，
所以函数在的值域是函数在的值域的子集.
当时，；
当时，结合对勾函数性质知.
所以当时，函数的值域为.
若，当时，，
由，所以；
若，当时，，
此时不成立，故不合题意；
若，当时，，
由，所以.
综上可知：或.
故答案为：B
【分析】题目要求“对任意 ，存在 ，使得 ”，等价于 在 上的值域是 在 上的值域的子集。
8．【答案】B
【知识点】函数的值域；分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的奇偶性；函数的周期性
【解析】【解答】解：由于，所以，
由此画出函数图象如下图所示，
由图可知，是非奇非偶函数，是周期为的周期函数，且值域为.
故答案为：B.
【分析】函数 f(x)=x [x]表示x的小数部分，我们可以从奇偶性、值域、周期性三方面来分析。
9．【答案】B,C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：A、易知，且是方程的两根，
由韦达定理可得，解得，，
不等式化为，即，
即，解得，故A错误；
B、令，则，，
，则的解析式为，故B正确；
C、，则，故C正确；
D、因为，所以，
即，解得，
又因为，所以，所以，
则，即，，故D错误.
故答案为：BC.
【分析】根据根与系数的关系，以及一元二次不等式的解法求解即可判断A；利用换元法求解析式即可判断B；利用同角三角函数基本关系，化弦为切即可判断C；将已知式子平方关系求，再结合平方关系求解即可判断D.
10．【答案】A,C,D
【知识点】函数的定义域及其求法；一元二次方程的根与系数的关系；对数型复合函数的图象与性质
【解析】【解答】解：A，因为的定义域为，则不等式的解集为，
所以关于的方程的两根为、，且，
所以，解得，A正确；
B，若的定义域为，则对任意的，，
当时，则有，符合题意，
当时，则有，解得，
综上所述，若的定义域为，则，B错误；
C，若的值域为，则函数的值域包含，
当时，，不符合题意，
当时，则，解得.
综上所述，若的值域为，则，C正确；
D，因为在上单调递增，令，
当时，，不符合题意，
当时，二次函数的对称轴方程为，
因为外层函数为增函数，则在上为增函数，
且对任意的，恒成立，
所以，解得，
综上所述，若在上单调递增，则，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】核心是处理复合函数 中内层函数 的性质。
11．【答案】A,D
【知识点】函数的最大（小）值；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：对于A：因为，当且仅当时取等号，
所以的最大值是，故A正确；
对于B：因为，，
当时，取得最小值，故B错误；
对于C：因为，
当且仅当时取等号，
又因为，所以，
则的最小值为，故C错误；
对于D：因为，当且仅当时取等号，
所以的最大值为，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】由和已知条件，从而得出的最大值，则判断出选项A；由消元法化为二次函数，再利用二次函数求最值的方法，则判断出选项B；由“1”的代换和基本不等式求最值的方法，则判断出选项C；由，从而得出的最大值，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】扇形的弧长与面积
【解析】【解答】解：该扇形圆心角为，且该扇形的弧长为，
故该扇形的半径为.
故答案为：.
【分析】计算扇形的半径，我们先把角度从度数转成弧度，再用弧长公式求解。
13．【答案】
【知识点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的单调性及单调区间；二次函数的性质
【解析】【解答】解：若时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，
此时函数在上不单调，不符合题意；
若时，二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，
此时函数在上为增函数，
根据题意可知，函数在上为增函数，则，解得；
若时，二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，
由于函数在上单调，则且，解得，
此时函数在上为减函数，
根据题意可知，函数在上为减函数，则，解得.
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分情况讨论分段函数 f(x) 在R上的单调性，保证两段函数的单调性一致，并且在分段点x=1处满足衔接条件。
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：设，，
则，且在单调递增，
当时，；
当时，，
当时恒成立，函数为上的连续函数，
所以有一个零点为1，且当时，；当时，，
所以，
令，
因为，所以有一个零点，且当时，；当时，，
所以，且，
所以.
故答案为：.
【分析】通过分析的零点和函数在零点两侧函数值的正负，从而得出在时的零点和函数在零点两侧函数值的正负，再利用研究二次函数的零点分布情况，从而得出实数a的取值范围，进而得出实数a的最小值.
15．【答案】（1）解： 若是的充分条件，则，即 ，解得，
故实数的取值范围 ；
（2）解：易知 ，要使 ，则 或 ，解得 或 ，
故实数的取值范围 ．
【知识点】集合间关系的判断；并集及其运算；充分条件
【解析】【分析】（1）由题意可得，根据集合的包含关系列不等式求解即可；
（2）易知，要使 ，则需满足 或 ，解关于的不等式求范围即可.
（1）命题 ，命题 ，若是的充分条件，则有 ．
所以 解得： ．
所以实数的取值范围 ．
（2）因为 ，要使 ，只需 或 ，
解得： 或 ．
所以实数的取值范围 ．
16．【答案】（1）解：因为且，所以点在第一或第二象限，
又 ，所以在第一象限且，
由三角函数概念知：，
故实数的值为
（2）解：①因为角满足，
则，
所以，
又因为，则且，
所以，
由且，有，
所以，
②由①知：，则，
则.
【知识点】任意角三角函数的定义；同角三角函数间的基本关系
【解析】【分析】(1) 利用三角函数的定义 （ 为点到原点的距离）建立方程求解。
(2) ① 对 两边平方，求出 ，再利用 计算，结合 判断符号。
② 利用①的结果求出 和 的值，代入表达式计算；或用 进行整体代换。
（1）因为且，所以点在第一或第二象限，
又 ，所以在第一象限且，
由三角函数概念知：，
故实数的值为；
（2）①因为角满足，
则，
所以，
又因为，则且，
所以，
由且，有，
所以，
②由①知：，则，
则.
17．【答案】（1）解：因为为奇函数，则所以，
则，即，解得，
当时，函数为常函数，与已知矛盾，故；
（2）证明：由（1）知，，
任取，则，
因为，则，所以，
所以，即所以，
故函数在上单调递减；
（3）解：对任意的，，
即，得，
记函数，，
则函数在区间上单调递减，
则函数在区间上的最大值为，
则，即实数的取值范围是.
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数的最大（小）值；函数的奇偶性
【解析】【分析】（1）根据函数为奇函数，可得，列关于的方程，结合对数的运算求得，再结合函数“不为常函数”确定a的值即可；
（2）由（1）知，，根据函数单调性的定义证明即可；
（3）分离参数，构造关于的函数，利用对数函数的单调性求出最大值，由大于该最大值确定参数范围即可.
（1）由为奇函数，则对定义域内的每一个都有，
所以，即，所以，
当时，函数为常函数，与已知矛盾，
所以.
（2）由（1）知，，
任取，则，
，则，，
，即所以，
所以函数在上单调递减.
（3）对任意的，，
即，得，
记函数，，
则函数在区间上单调递减，
函数在区间上的最大值为，
，因此，实数的取值范围是.
18．【答案】（1）解：由对任意的，都有，且当时，，
令，可得，即，解得，
当时，令，其中，可得，
因为，所以，
所以当时，.
（2）解：函数在上为单调递减函数.
证明如下：设且，则，由（1）知：，
则，即，
所以函数在上为单调递减函数.
（3）解：由（2）知，函数在上为单调递减函数，
所以不等式，即为，
因为对于任意的，不等式恒成立，
所以不等式对任意上恒成立，
即不等式对任意上恒成立，
设，因为，可得，所以对任意上恒成立，
又由在上为单调递增函数，
所以，所以，即实数的取值范围为.
【知识点】函数单调性的判断与证明；抽象函数及其应用；函数恒成立问题；指数函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)利用函数方程 ，令 求 ；对 ，令 （），结合 推出 。
(2)任取 ，则 ，利用 与 比较 与 的大小，判断单调性。
(3)由函数的单调性，将不等式 转化为 ，分离参数 后，构造函数求最小值，从而确定 的取值范围。
（1）解：由对任意的，都有，且当时，，
令，可得，即，解得，
当时，令，其中，可得，
因为，所以，
所以当时，.
（2）解：函数在上为单调递减函数.
证明如下：设且，则，由（1）知：，
则，即，
所以函数在上为单调递减函数.
（3）解：由（2）知，函数在上为单调递减函数，
所以不等式，即为，
因为对于任意的，不等式恒成立，
所以不等式对任意上恒成立，
即不等式对任意上恒成立，
设，因为，可得，所以对任意上恒成立，
又由在上为单调递增函数，
所以，所以，即实数的取值范围为.
19．【答案】（1）解：当时，，由在上单调递增，在上单调递减，
所以可得在上单调递减，
当时，，由在上单调递增，在上单调递增，
所以可得在上单调递增，
当时，，由对数函数的性质可得在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为和.
（2）解：因为，所以，所以，又，
作出函数的图像如图所示，
关于的方程有四个根，
则函数和有四个交点，所以，
因为，所以可得，
所以，，
由，得，所以，所以，
所以，又，所以，
又，所以，所以，所以，
所以.
（3）证明：关于的方程的所有根中有两个正根分别为，，
所以，，又，
所以，所以，
所以，所以或，所以（舍去）或，
所以且，所以.
【知识点】函数的单调性及单调区间；指数型复合函数的性质及应用；对数函数的图象与性质
【解析】【分析】(1)分段分析函数单调性，直接写出递增区间。
(2)利用 的四个根的对称性，得到 和 的关系，进而求出乘积的范围。
(3)设 ，由 推出 ，再用基本不等式证明 。
（1）当时，，由在上单调递增，在上单调递减，
所以可得在上单调递减，
当时，，由在上单调递增，在上单调递增，
所以可得在上单调递增，
当时，，由对数函数的性质可得在上单调递增，
所以函数的单调递增区间为和.
（2）因为，所以，所以，又，
作出函数的图像如图所示，关于的方程有四个根，
则函数和有四个交点，所以，
因为，所以可得，
所以，，
由，得，所以，所以，
所以，又，所以，
又，所以，所以，所以，
所以.
（3）关于的方程的所有根中有两个正根分别为，，
所以，，又，
所以，所以，
所以，所以或，所以（舍去）或，
所以且，所以.
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