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第19章 二次根式题型突破
题型目录：
题型一 二次根式的定义
题型二 二次根式有意义的条件
题型三 二次根式的性质与化简
题型四 最简二次根式
题型五 二次根式的乘除法
题型六 二次根式的加减法
题型七 二次根式的混合运算
题型八 二次根式的化简求值
题型九 二次根式的应用
题型一 二次根式的定义
1．（2025秋 江北区校级期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．在式子，，，，中，是二次根式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．（2025春 汉阴县校级期末）当x＝12时，二次根式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025春 龙沙区期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
5．（2025春 襄阳期末）请任意写一个二次根式： ．
6．（2025春 鹿城区校级月考）当x＝ 时，二次根式的值为0．
7．（2025春 海淀区校级期中）若是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是 ．
8．（2025春 温州期中）已知二次根式的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为 ．
9．（2025春 游仙区月考）当x分别取下列值时，求二次根式的值．
（1）x＝0；
（2）x；
（3）x＝﹣2．
题型二 二次根式有意义的条件
10．（2025秋 玉田县期末）在二次根式中，a的取值可以是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
11．（2025秋 西固区校级期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0
12．（2025秋 金山区校级期末）若二次根式有意义，则实数x满足的条件是 ．
题型三 二次根式的性质与化简
13．（2025秋 仁寿县期末）化简的结果是（ ）
A．2 B．±2 C． D．±
14．（2025 雁峰区校级自主招生）若3﹣x成立，则x满足的条件是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
15．（2025 四川校级模拟）若1＜x＜2，则|x﹣3|的值为（ ）
A．2x﹣4 B．2 C．4﹣2x D．﹣2
16．（2025春 望花区期末）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ）
A．﹣2a﹣b﹣2c B．﹣2a﹣b C．b D．﹣2a+b
17．（2025秋 醴陵市期末）化简 ．
18．（2025 克什克腾旗一模）若x3，则的值为 ．
19．（2025春 云梦县期中）我们根据二次根式的相关知识容易知道：，类比上述式子，若，则n＝ ．
20．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
21．（2025秋 金水区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，若6，求a的值．
22．（2025秋 福州校级期末）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当2≤a≤5时，化简： ；
（2）若等式4成立，则a的取值范围是 ；
（3）若8，求a的取值．
题型四 最简二次根式
23．（2025秋 衡阳期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
24．（2025秋 张家口期末）若（ ），则“（ ）”内的最简二次根式是 ．
25．（2025春 丰宁县期末）若是最简二次根式，则整数m的最小值为 ．
26．（2025春 宿城区校级月考）二次根式，，，，中是最简二次根式的是 ．
题型五 二次根式的乘除法
27．（2025春 龙口市校级期中）把根号外面的因式移到根号内得（ ）
A． B． C． D．
28．（2025秋 西固区校级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．22
C．（）2＝9 D．
29．（2025春 龙马潭区校级期中）给出四个算式：
（1）3412；（2）5 55；（3）2 36；（4）7．
其中正确的算式有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
30．（2025秋 阳城县期末）计算： ．
31．（2025春 商南县期末）设a，b，请用含有a、b的式子表示 ．
32．（2025秋 顺义区校级期中）若成立，则x满足的条件是 ．
33．（2025春 岳西县月考）计算：
（1）；
（2）．
34．（2025春 绥棱县期末）已知：，．求下列各式的值．
（1）xy；
（2）x2﹣xy+y2．
35．你能找到规律吗？
（1）计算： ； ； ； ；
（2）由（1）的结果猜想： （a≥0，b≥0）；
（3）请按照找到的规律计算：
①；
②．
（4）已知：，则 ．（用含a、b的式子表示）
题型六 二次根式的加减法
36．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
37．（2025春 凤庆县校级期末）有下列四个算式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．③④ C．②③ D．①③
38．（2025秋 滨海新区校级期末）计算：12 ．
39．（2025春 海淀区校级期中）计算：
（1）3；
（2）．
40．（2025春 黄陂区月考）计算：
（1）234；
（2）263．
题型七 二次根式的混合运算
41．（2025秋 长宁县期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
42．（2025秋 宿州期末）计算：（） ．
43．（2025秋 东营期末）计算下列各式：
（1）；
（2）．
44．（2025秋 玉田县期末）下面是嘉嘉同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应任务．
计算：． 解：原式第一步 ＝5﹣1…第二步 ＝4…第三步
（1）嘉嘉的解题过程从第 步开始错误，正确的计算结果是 ；
（2）计算：．
题型八 二次根式的化简求值
45．（2025秋 松江区期末）已知a+b＝﹣2，ab＝1，则化简求的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
46．已知，则代数式x2﹣2xy+y2的值为（ ）
A．28 B．20 C． D．
47．（2025春 朝阳区校级期末）已知，，则 等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
48．（2025秋 澧县期末）先化简，再求值：，其中．
49．（2025秋 长宁区期中）先化简，再求值：，其中．
50．（2024秋 吴川市校级期末）已知，，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）．
51．求代数式的值，其中a＝10．如图是小明和小颖的解答过程：
（1）填空： 的解法是错误的；
（2）求代数式的值，其中a＝﹣2024．
52．（2025秋 红谷滩区校级期末）阅读下面的文字后，回答问题：
对题目“化简并求值：m，其中m＝5”，甲、乙两人的解答不同：
甲的解答：原式＝mm+1﹣3m＝1﹣2m＝1﹣2×5＝﹣9
乙的解答：原式＝mm+3m﹣1＝4m﹣1＝4×5﹣1＝19
（1）你认为 的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质： ；
（2）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中m．
53．（2025秋 义乌市校级期中）【阅读理解】阅读下列材料：
∴，即，
∴的整数部分为1，小数部分为．
根据材料提示，进行解答：
（1）的整数部分是 ，的小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值．
54．（2025春 湖北期中）问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．
小明是这样分析与解答的：
∵
∴，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题：
（1） ；
（2）计算：；
（3）若，求a3﹣3a2+2a的值．
题型九 二次根式的应用
55．（2025秋 桂林期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从60m的高空落到地面的时间是（ ）
A． B． C． D．12s
56．（2025秋 下花园区期末）一个长方形一组邻边的长度和为，长为，这个长方形的面积为 ．
57．（2025春 蔡甸区校级月考）一个三角形的三边长分别为，，．
（1）求该三角形的周长；
（2）请你给一个适当的a值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
58．（2025秋 阳城县期末）如图，某农家乐有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为m，宽AB为m，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为（1）m，宽为（1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
59．（2025春 青山湖区期中）著名数学教育家G 波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料：
数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如：
．
解决问题：
（1）根据上述思路，试将予以化简；
（2）根据上述思路，化简并求出的值；
（3）当1≤x≤2时，化简．
60．（2025秋 桂林期末）阅读材料：
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
；
．
【类比归纳】
（1）填空：
① ；
② ± ）2（a≥0，b≥0）．
（2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方；
【拓展提升】
（3）如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG，若两小正方形的面积分别为5cm2和，求剩余部分的面积．中小学教育资源及组卷应用平台
第19章 二次根式题型突破
题型目录：
题型一 二次根式的定义
题型二 二次根式有意义的条件
题型三 二次根式的性质与化简
题型四 最简二次根式
题型五 二次根式的乘除法
题型六 二次根式的加减法
题型七 二次根式的混合运算
题型八 二次根式的化简求值
题型九 二次根式的应用
题型一 二次根式的定义
1．（2025秋 江北区校级期末）下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据二次根式的定义逐项分析即可．
【解答】解：A、﹣3＜0，则该式子不是二次根式，不符合题意；
B、该式子符合二次根式的定义，符合题意；
C、当a+3＜0时，该式子不是二次根式，不符合题意；
D、该式子是开3次方，不是二次根式，不符合题意；
故选：B．
2．在式子，，，，中，是二次根式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】二次根式的定义：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，进而得出答案．
【解答】解：，，是二次根式，共3个．
故选：B．
3．（2025春 汉阴县校级期末）当x＝12时，二次根式的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】利用代入法，代入所求的式子即可．
【解答】解：当x＝12时，3．
故选：C．
4．（2025春 龙沙区期末）已知n是正整数，是整数，则n的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】D
【分析】首先把被开方数分解质因数，然后再确定n的值．
【解答】解：2，
∵是整数，
∴n的最小值是5，
故选：D．
5．（2025春 襄阳期末）请任意写一个二次根式： （答案不唯一） ．
【答案】（答案不唯一）．
【分析】根据二次根式的定义即可求解．
【解答】解：由题意得，一个二次根式可写为（答案不唯一）．
故答案为：（答案不唯一）．
6．（2025春 鹿城区校级月考）当x＝ 2 时，二次根式的值为0．
【答案】2．
【分析】根据题意易得：x﹣2＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：当x﹣2＝0，即x＝2时，二次根式的值为0，
故答案为：2．
7．（2025春 海淀区校级期中）若是有理数，则满足条件的最大正整数a的值是 10 ．
【答案】10．
【分析】先根据算术平方根的非负性得到10﹣a≥0，即可求出a的取值范围，再根据是有理数得到10﹣a是完全平方数，即可求解．
【解答】解：根据算术平方根的非负性可得，10﹣a≥0，
解得：a≤10，
由条件可知正整数a＝10或9或6或1，
则满足条件的最大正整数a的值是10，
故答案为：10．
8．（2025春 温州期中）已知二次根式的值是正整数，其中n为整数，则n的最小值为 3 ．
【答案】3．
【分析】先化简二次根式，再根据题意求出n的最小值即可．
【解答】解：，
∵二次根式的值是正整数，其中n为整数，
∴n的最小值为3，
故答案为：3．
9．（2025春 游仙区月考）当x分别取下列值时，求二次根式的值．
（1）x＝0；
（2）x；
（3）x＝﹣2．
【分析】直接将（1）x＝0；（2）x；（3）x＝﹣2；代入二次根式求出即可，注意开方时容易出错．
【解答】解：（1）把x＝0，代入二次根式3；
（2）把x，代入二次根式；
（3）把x＝﹣2，代入二次根式5．
题型二 二次根式有意义的条件
10．（2025秋 玉田县期末）在二次根式中，a的取值可以是（ ）
A．﹣3 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【答案】D
【分析】根据二次根式的被开方数必须为非负数，进行判定即可．
【解答】解：根据题意可知，a≥0，
∴a的取值可以是2，
而选项A、B、C均为负数，不满足条件．
故选：D．
11．（2025秋 西固区校级期末）若代数式有意义，则实数x的取值范围是（ ）
A．x＞﹣2且x≠0 B．x≠0 C．x≥﹣2 D．x≥﹣2且x≠0
【答案】D
【分析】根据分式、二次根式有意义的条件即可求出答案．
【解答】解：由题意可知：，
∴x≥﹣2且x≠0，
故选：D．
12．（2025秋 金山区校级期末）若二次根式有意义，则实数x满足的条件是x≥﹣4.5 ．
【答案】x≥﹣4.5．
【分析】根据二次根式（a≥0）可得：2x+9≥0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：2x+9≥0，
解得：x≥﹣4.5，
故答案为：x≥﹣4.5．
题型三 二次根式的性质与化简
13．（2025秋 仁寿县期末）化简的结果是（ ）
A．2 B．±2 C． D．±
【答案】A
【分析】结合二次根式的性质进行求解即可．
【解答】解：2．
故选：A．
14．（2025 雁峰区校级自主招生）若3﹣x成立，则x满足的条件是（ ）
A．x≥3 B．x≤3 C．x＞3 D．x＜3
【答案】B
【分析】利用二次根式的性质得到|3﹣x|＝3﹣x，利用绝对值的意义得到3﹣x≥0，然后解不等式即可．
【解答】解：∵|3﹣x|＝3﹣x，
∴3﹣x≥0，解得x≤3．
故选：B．
15．（2025 四川校级模拟）若1＜x＜2，则|x﹣3|的值为（ ）
A．2x﹣4 B．2 C．4﹣2x D．﹣2
【答案】B
【分析】根据题意确定x﹣3和x﹣1的符号，根据绝对值的性质和二次根式的性质化简即可．
【解答】解：∵1＜x＜2，
∴x﹣3＜0，x﹣1＞0，
则|x﹣3|
＝3﹣x+x﹣1
＝2，
故选：B．
16．（2025春 望花区期末）实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得（ ）
A．﹣2a﹣b﹣2c B．﹣2a﹣b C．b D．﹣2a+b
【答案】B
【分析】先根据数轴得到b＜c＜0＜a，|a|＜|b|，则a+b＜0，a﹣c＞0，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可．
【解答】解：由数轴可知a+b＜0，a﹣c＞0，
∴原式＝﹣c﹣a﹣b﹣（a﹣c）
＝﹣c﹣a﹣b﹣a+c
＝﹣2a﹣b，
故选：B．
17．（2025秋 醴陵市期末）化简 2025 ．
【答案】2025
【分析】利用二次根式的性质化简即可．
【解答】解：原式＝|﹣2025|＝2025，
故答案为：2025．
18．（2025 克什克腾旗一模）若x3，则的值为 1 ．
【答案】1
【分析】先将被开方数分解因式，再把x代入二次根式，运用平方差公式进行计算．
【解答】解：∵x3，
∴
1．
19．（2025春 云梦县期中）我们根据二次根式的相关知识容易知道：，类比上述式子，若，则n＝ 80 ．
【答案】80．
【分析】根据已知条件中的等式，找出规律，然后按照此规律，求出n即可．
【解答】解：∵①；
②；
③；
...，
∴第k个式子为：，
∵，
∴k+1＝9，
解得：k＝8，
∴n＝（8+1）2﹣1
＝92﹣1
＝81﹣1
＝80，
故答案为：80．
20．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
【分析】根据数轴上点的位置判断出a+1，b﹣1，a﹣b的正负，原式利用二次根式性质及绝对值的代数意义化简，计算即可得到结果．
【解答】解：根据题意得：﹣1＜a＜0＜b＜1，
∴a+1＞0，b﹣1＜0，a﹣b＜0，
则原式＝|a+1|﹣|b﹣1|﹣|a﹣b|＝a+1+b﹣1+a﹣b＝2a．
21．（2025秋 金水区校级期中）已知a，b，c是△ABC的三边长，若6，求a的值．
【分析】直接利用三角形三边关系得出a+c﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0，进而化简二次根式求出答案．
【解答】解：∵a，b，c是三角形的三边，
∴a+c﹣b＞0，c﹣a﹣b＜0，
则a﹣b+c﹣（c﹣a﹣b）＝6，
整理得：2a＝6，
解得：a＝3．
22．（2025秋 福州校级期末）阅读下列解题过程
例：若代数式的值是2，求a的取值范围．
解：原式＝|a﹣1|+|a﹣3|，
当a＜1时，原式＝（1﹣a）+（3﹣a）＝4﹣2a＝2，解得a＝1（舍去）；
当1≤a≤3时，原式＝（a﹣1）+（3﹣a）＝2＝2，符合条件；
当a＞3时，原式＝（a﹣1）+（a﹣3）＝2a﹣4＝2，解得a＝3（舍去）
所以，a的取值范围是1≤a≤3
上述解题过程主要运用了分类讨论的方法，请你根据上述理解，解答下列问题
（1）当2≤a≤5时，化简： 3 ；
（2）若等式4成立，则a的取值范围是 3≤a≤7 ；
（3）若8，求a的取值．
【分析】（1）根据二次根式的性质即可求出答案；
（2）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
（3）先将等式的左边进行化简，然后分情况讨论即可求出答案；
【解答】解：（1）∵2≤a≤5，
∴a﹣2≥0，a﹣5≤0，
∴原式＝|a﹣2|+|a﹣5|
＝a﹣2﹣（a﹣5）
＝3；
（2）由题意可知：|3﹣a|+|a﹣7|＝4，
当a≤3时，∴3﹣a≥0，a﹣7＜0，
∴原方程化为：3﹣a﹣（a﹣7）＝4，
∴a＝3，符合题意；
当3＜a＜7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7＜0，
∴﹣（3﹣a）﹣（a﹣7）＝4，
∴4＝4，故3＜a＜7符合题意；
当a≥7时，
∴3﹣a＜0，a﹣7≥0，
∴﹣（3﹣a）+（a﹣7）＝4，
∴a＝7，符合题意；
综上所述，3≤a≤7；
（3）原方程可化为：|a+1|+|a﹣5|＝8，
当a≤﹣1时，∴a+1≤0，a﹣5＜0，
∴原方程化为：﹣a﹣1﹣（a﹣5）＝8，
∴a＝﹣2，符合题意；
当﹣1＜a＜5时，
∴a+1＞0，a﹣5＜0，
∴（a+1）﹣（a﹣5）＝8，
∴此方程无解，故﹣1＜a＜5不符合题意；
当a≥5时，
∴a+1＞0，a﹣5≥0，
∴a+1+a﹣5＝8，
∴a＝6，符合题意；
综上所述，a＝﹣2或a＝6；
故答案为：（1）3；（2）3≤a≤7
题型四 最简二次根式
23．（2025秋 衡阳期末）下列二次根式中属于最简二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】最简二次根式需满足被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数．
【解答】解：是最简二次根式，符合题意；
，不是最简二次根式，不符合题意；
，被开方数为分数，不是最简二次根式，不符合题意；
，含平方因数4，不是最简二次根式，不符合题意；
故选：A．
24．（2025秋 张家口期末）若（ ），则“（ ）”内的最简二次根式是 ．
【答案】．
【分析】最简二次根式，用除以即可求解．
【解答】解：根据题意可知，“（ ）”内的最简二次根式是．
故答案为：．
25．（2025春 丰宁县期末）若是最简二次根式，则整数m的最小值为 3 ．
【答案】3．
【分析】根据最简二次根式的定义，被开方数不含能开方开的尽的因式或因数，不含分母，进行求解即可．
【解答】解：根据二次根式的定义可得：3m﹣6≥0，
∴m≥2，
∵m为整数，
∴当m＝2时，，不符合题意；
当m＝3时，，符合题意；
故答案为：3．
26．（2025春 宿城区校级月考）二次根式，，，，中是最简二次根式的是 ．
【答案】．
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：2，5，3，2，
∴二次根式，，，，中是最简二次根式的是，
故答案为：．
题型五 二次根式的乘除法
27．（2025春 龙口市校级期中）把根号外面的因式移到根号内得（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据二次根式有意义，可知x﹣1＞0，则1﹣x＜0，再根据二次根式的性质解答即可．
【解答】解：∵二次根式有意义，
∴x﹣1＞0，则1﹣x＜0，
∴原式＝﹣（x﹣1）
．
故选：D．
28．（2025秋 西固区校级期末）下列各式计算正确的是（ ）
A． B．22
C．（）2＝9 D．
【答案】A
【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则以及二次根式的性质分别化简，进而得出答案．
【解答】解：A．，故此选项符合题意；
B．21，故此选项不合题意；
C．（）2＝9，故此选项不合题意；
D．3，故此选项不合题意．
故选：A．
29．（2025春 龙马潭区校级期中）给出四个算式：
（1）3412；（2）5 55；（3）2 36；（4）7．
其中正确的算式有（ ）
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
【答案】C
【分析】根据二次根式的乘法法则和除法法则进行计算，然后选择正确选项．
【解答】解：（1）3424，故本项错误；
（2）5 525，故本项错误；
（3）2 36，故本项正确；
（4）7，故本项错误．
正确的只有（3）．
故选：C．
30．（2025秋 阳城县期末）计算： 4 ．
【答案】4
【分析】根据二次根式的乘法法则求解．
【解答】解：原式
＝4．
故答案为：4．
31．（2025春 商南县期末）设a，b，请用含有a、b的式子表示 3ab ．
【答案】3ab
【分析】把化简成含，的式子，再表示出来．
【解答】解：∵3，a，b，
∴3ab．
32．（2025秋 顺义区校级期中）若成立，则x满足的条件是 2≤x＜3 ．
【答案】2≤x＜3
【分析】根据二次根式的乘法法则的条件求x的范围．
【解答】解：∵成立
∴，解得2≤x＜3．
33．（2025春 岳西县月考）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解；
（2）根据二次根式的乘除法法则计算，即可求解．
【解答】解：（1）原式
；
（2）
．
34．（2025春 绥棱县期末）已知：，．求下列各式的值．
（1）xy；
（2）x2﹣xy+y2．
【分析】（1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可；
（2）根据二次根式的加法法则求出x+y的值，先根据完全平方公式进行变形，再代入，最后根据二次根式的运算法则进行计算即可．
【解答】解：（1）∵x，y，
∴xy＝（）×（）
＝（）2﹣（）2
＝7﹣5
＝2；
（2）∵x，y，
∴x+y＝（）+（）＝2，
∵xy＝2，
∴x2﹣xy+y2
＝x2+2xy+y2﹣2xy﹣xy
＝（x+y）2﹣3xy
＝（2）2﹣3×2
＝28﹣6
＝22．
35．你能找到规律吗？
（1）计算： 6 ； 6 ； 20 ； 20 ；
（2）由（1）的结果猜想： （a≥0，b≥0）；
（3）请按照找到的规律计算：
①；
②．
（4）已知：，则a2b ．（用含a、b的式子表示）
【分析】（1）根据二次根式的运算法则计算即可；
（2）由（1）的规律得出（a≥0，b≥0）；
（3）根据（2）的结论即可求解；
（4）利用（2）的结论的逆运算即可求解．
【解答】解：（1）；；
；；
故答案为：6；6；20；20；
（2）由（1）得：；；
猜想：
故答案为：；
（3）①；
②；
（4）解：∵，，
∴；
故答案为：a2b．
题型六 二次根式的加减法
36．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的加减法则逐项计算判断即可．
【解答】解：A、，故此选项符合题意；
B、与不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、3与不能合并，故此选项不符合题意；
故选：A．
37．（2025春 凤庆县校级期末）有下列四个算式：①；②；③；④．其中正确的是（ ）
A．①④ B．③④ C．②③ D．①③
【答案】C
【分析】利用二次根式的加减法的法则进行运算即可．
【解答】解：①与不属于同类二次根式，不能运算，故①不符合题意；
②，故②符合题意；
③，故③符合题意；
④，故④不符合题意．
故选：C．
38．（2025秋 滨海新区校级期末）计算：12 ．
【答案】．
【分析】先把每个二次根式化为最简二次根式，再计算即可．
【解答】解：12
．
39．（2025春 海淀区校级期中）计算：
（1）3；
（2）．
【分析】（1）首先把二次根式化为最简二次根式，可得：原式，然后再合并同类二次根式即可；
（2）根据，可得，从而可得：，然后再把算式中的二次根式化为最简二次根，再合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）∵，
∴，
∴，
原式
．
40．（2025春 黄陂区月考）计算：
（1）234；
（2）263．
【分析】（1）根据合并同类二次根式法则进行计算即可；
（2）先把各个二次根式化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．
【解答】解：（1）原式
；
（2）原式
．
题型七 二次根式的混合运算
41．（2025秋 长宁县期末）下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据二次根式的除法法则对A选项进行判断；根据二次根式的乘法法则对B选项进行判断；根据二次根式的减法运算对C选项进行判断；根据二次根式的加法运算对D选项进行判断．
【解答】解：A． ，所以A选项符合题意；
B．236×3＝18，所以B选项不符合题意；
C．2，所以C选项不符合题意；
D． 与不能合并，所以D选项不符合题意；
故选：A．
42．（2025秋 宿州期末）计算：（） 2 ．
【答案】2
【分析】先把二次根式化为最简二次根式，然后把括号内合并后进行二次根式的除法运算．
【解答】解：原式＝（42）
＝2
＝2．
故答案为2．
43．（2025秋 东营期末）计算下列各式：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算乘除，再算加减即可；
（2）先算乘法，乘方，再算加减即可．
【解答】解：（1）
3
＝23
＝4；
（2）
＝3﹣9﹣（3+1﹣2）
＝3﹣9﹣4+2
＝210．
44．（2025秋 玉田县期末）下面是嘉嘉同学进行二次根式运算的过程，请认真阅读，完成相应任务．
计算：． 解：原式第一步 ＝5﹣1…第二步 ＝4…第三步
（1）嘉嘉的解题过程从第 一， 步开始错误，正确的计算结果是 ；
（2）计算：．
【分析】（1）利用完全平方公式进行计算即可；
（2）先利用完全平方公式进行乘方运算和平方差公式进行乘法运算，再进行加减即可．
【解答】解：（1）嘉嘉的解题过程从第一步开始错误，正确的计算结果是，
故答案为：一，；
（2）原式
．
题型八 二次根式的化简求值
45．（2025秋 松江区期末）已知a+b＝﹣2，ab＝1，则化简求的值是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【答案】B
【分析】把原式根据二次根式的性质计算化简，代入计算即可．
【解答】解：∵a+b＝﹣2，ab＝1，
∴a＜0，b＜0，
，
当a+b＝﹣2，ab＝1，原式＝﹣1×（﹣2）＝2，
故选：B．
46．已知，则代数式x2﹣2xy+y2的值为（ ）
A．28 B．20 C． D．
【答案】B
【分析】求出x﹣y的值，再运用完全平方公式得出x2﹣2xy+y2＝（x﹣y）2，代入计算即可．
【解答】解：∵，，
∴，
∴．
故选：B．
47．（2025春 朝阳区校级期末）已知，，则 等于（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】C
【分析】利用完全平方公式，进行计算即可解答．
【解答】解：∵，，
∴（x1+x2）2﹣2x1x2
＝（）2﹣2（）（）
＝（2）2﹣2×（3﹣2）
＝12﹣2
＝10，
故选：C．
48．（2025秋 澧县期末）先化简，再求值：，其中．
【分析】依据题意，先根据平方差公式和单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案．
【解答】解：由题意，原式＝a2﹣3+a2﹣a
＝2a2﹣a﹣3，
∴当时，原式．
49．（2025秋 长宁区期中）先化简，再求值：，其中．
【分析】先去括号，然后化简每一个二次根式，再把被开方数相同的二次根式进行合并，得到化简结果，最后把x、y的值代入计算即可．
【解答】解：原式
，
当时，原式．
50．已知，，求下列各式的值：
（1）x2+2xy+y2；
（2）．
【分析】（1）将所求式子因式分解得到x2+2xy+y2＝（x+y）2，再将已知代入即可；
（2）化简所求式子得到，再将已知代入．
【解答】解：（1）∵，
∴x2+2xy+y2＝（x+y）2；
（2）
＝﹣1．
51．求代数式的值，其中a＝10．如图是小明和小颖的解答过程：
（1）填空： 小明 的解法是错误的；
（2）求代数式的值，其中a＝﹣2024．
【分析】（1）根据图中的信息，可知小明的解法是错误的；
（2）根据a＝﹣2024，可以将所求代数式化简，然后将a的值代入计算即可．
【解答】解：（1）由图可知，
小明的解法是错误的，理由是：a＝10时，1﹣a＝﹣9＜0，开方时错了，
故答案为：小明；
（2）∵a＝﹣2024，
∴a﹣3＝﹣2027＜0，
∴
＝a+2
＝a﹣2（a﹣3）
＝a﹣2a+6
＝﹣a+6
＝﹣（﹣2024）+6
＝2024+6
＝2030．
52．（2025秋 红谷滩区校级期末）阅读下面的文字后，回答问题：
对题目“化简并求值：m，其中m＝5”，甲、乙两人的解答不同：
甲的解答：原式＝mm+1﹣3m＝1﹣2m＝1﹣2×5＝﹣9
乙的解答：原式＝mm+3m﹣1＝4m﹣1＝4×5﹣1＝19
（1）你认为 甲 的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质： |a| ；
（2）模仿上面正确的解答，化简并求值：，其中m．
【分析】（1）根据二次根式的性质|a|，即可解答；
（2）利用完全平方公式，和二次根式的性质|a|，即可解答．
【解答】解：（1）当m＝5时，1﹣3m＜0，
∴|1﹣3m|＝3m﹣1，
∴我认为甲的解答是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质：|a|，
故答案为：甲，|a|；
（2）
＝|m﹣5|+|3﹣m|
当m时，m﹣5＜0，3﹣m＜0，
∴原式＝5﹣m+m﹣3
＝2．
53．（2025秋 义乌市校级期中）【阅读理解】阅读下列材料：
∴，即，
∴的整数部分为1，小数部分为．
根据材料提示，进行解答：
（1）的整数部分是 3 ，的小数部分是 ；
（2）如果的小数部分为m，的整数部分为n，求的值．
【分析】（1）因为，得出的整数部分是3，则的小数部分是，即可作答．
（2）与（1）同理，求出，n＝4，再代入，即可作答．
【解答】解：（1）∵，
即，
∴的整数部分为3．小数部分为，
故答案为：3，；
（2）∵，
即，
∴的整数部分为2，
∴．
∵，即．
∴的整数部分为4，
∴n＝4，
∴．
54．（2025春 湖北期中）问题：已知，求2a2﹣8a+1的值．
小明是这样分析与解答的：
∵
∴，
∴（a﹣2）2＝3，a2﹣4a+4＝3
∴a2﹣4a＝﹣1，
∴2a2﹣8a+1＝2（a2﹣4a）+1＝2×（﹣1）+1＝﹣1．
请你根据小明的分析与解答过程，解决如下问题：
（1） ；
（2）计算：；
（3）若，求a3﹣3a2+2a的值．
【分析】（1）根据例题可得：对每个式子的分子和分母中同时乘以与分母中的式子相乘符合平方差公式的根式，去掉分母，然后合并同类二次根式即可求解；
（2）将式子中的每一个分式进行分母有理化，问题随之得解；
（3）先求出，变形求出a2﹣2a＝1，然后将a3﹣3a2+2a变形求值即可．
【解答】解：（1）由题意，
；
故答案为：；
（2）原式
＝22；
（3）由题意，∵，
∴．
∴（a﹣1）2＝2，
∴a2﹣2a+1＝2，
∴a2﹣2a＝1，
∴a3﹣3a2+2a
＝a（a2﹣3a+2）
＝a（a2﹣2a﹣a+2）
＝a（1﹣a+2）
＝a（3﹣a）
＝﹣a2+3a
＝﹣（a2﹣2a）+a
＝﹣1+a
．
题型九 二次根式的应用
55．（2025秋 桂林期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和高度h（m）近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从60m的高空落到地面的时间是（ ）
A． B． C． D．12s
【答案】A
【分析】直接将h＝60代入公式计算即可．
【解答】解：直接将h＝60代入公式计算可得：
，
故答案为：A．
56．（2025秋 下花园区期末）一个长方形一组邻边的长度和为，长为，这个长方形的面积为 2 ．
【答案】2．
【分析】依据题意，由一个长方形一组邻边的长度和为，长为，则宽，进而可得这个长方形的面积为（）（）＝5﹣3＝2，即可得解．
【解答】解：由题意，∵一个长方形一组邻边的长度和为，长为，
∴宽＝2
．
∴这个长方形的面积为（）（）＝5﹣3＝2．
故答案为：2．
57．（2025春 蔡甸区校级月考）一个三角形的三边长分别为，，．
（1）求该三角形的周长；
（2）请你给一个适当的a值，使它的周长为整数，并求出此时三角形周长的值．
【分析】（1）把三角形的三边长相加，即为三角形的周长．再运用二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并．
（2）该题答案不唯一，只要使它的周长为整数即可．
【解答】解：（1）由题意，周长＝7a4a24a
＝14aa4a
＝19a．
（2）由题意，当a＝2时，周长（答案不唯一）．
58．（2025秋 阳城县期末）如图，某农家乐有一块长方形空地ABCD，长方形空地的长BC为m，宽AB为m，现要在空地中划出一块长方形区域作为小鱼塘（即图中阴影部分），其余部分种植蔬菜，长方形小鱼塘的长为（1）m，宽为（1）m．
（1）长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式）
（2）若市场上蔬菜8元/千克，农家乐种植该种蔬菜，每平方米可以产15千克的蔬菜，如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为多少元？
【分析】（1）利用长方形的周长公式即可求解；
（2）先求得蔬菜地的面积，再计算收入即可求解．
【解答】解：（1）由题意得，长方形ABCD的周长；
答：长方形ABCD的周长是；
（2）由题意得，蔬菜地的面积
＝48﹣（10﹣1）＝39（m2），
∴销售收入＝39×8×15＝4680（元）．
答：如果将所种蔬菜全部销售完，销售收入为4680元．
59．（2025春 青山湖区期中）著名数学教育家G 波利亚有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料：
数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a，且，则可变形为，从而达到化去一层根号的目的，例如：
．
解决问题：
（1）根据上述思路，试将予以化简；
（2）根据上述思路，化简并求出的值；
（3）当1≤x≤2时，化简．
【分析】（1）根据题意，，计算求解即可；
（2）根据题意，将原式化简为，计算求解即可；
（3）根据题意，将原式化简为，根据1≤x≤2，计算求解即可．
【解答】解：（1）原式
．
；
（2）原式
．
＝9；
（3）原式
＝2．
60．（2025秋 桂林期末）阅读材料：
在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：
；
．
【类比归纳】
（1）填空：
① ① 1 ；
② ± ）2（a≥0，b≥0）．
（2）请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方；
【拓展提升】
（3）如图，从一个大正方形ABCD中裁去两个小正方形DHFM和BEFG，若两小正方形的面积分别为5cm2和，求剩余部分的面积．
【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；
（2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可；
（3）设小正方形的边长为xcm，大正方形的边长为ycm，根据题意得：x2＝5，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为2xy，代值计算即可．
【解答】解：（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式可得：
①；
②；
故答案为：①；1；②；；
（2）；
（3）设小正方形的边长为xcm，大正方形的边长为ycm，
根据题意得：x2＝5，，
∴，，
则．
