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第20章 勾股定理（10大题型）
目录：
一、勾股定理基础计算（已知两边求第三边）
二、勾股定理的几何意义（正方形面积问题）
三、勾股定理与角平分线结合
四、勾股定理与垂直平分线结合
五、勾股定理与网格结合
六、勾股定理证明（面积法验证）
七、勾股定理的逆定理（判断直角三角形）
八、勾股数的识别与规律探究
九、勾股定理的实际应用（直角三角形模型直接应用）
十、勾股定理的综合应用
一、勾股定理基础计算（已知两边求第三边）
1．（2025秋 泗洪县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝4，若AC＝3，那么BC的值是（ ）
A．1 B．5 C． D．
2．（2025秋 德化县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．已知AB＝15，BC＝24，则AD的长为（ ）
A．9 B．13 C．6 D．12
3．（2025秋 海门区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4．
（1）求AB的长；
（2）作∠ABC的平分线交AC于点D，求CD的长．
4．（2025秋 承德县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接DE．
（1）若点E为BC的中点，BC＝8，DE＝3，BD＝5，则△BDE是 直角 三角形；（填“等腰”“等边”或“直角”）
（2）如图1，连接AE，若AE平分∠BAC，DE⊥AB，BD＝4，BC＝8，求BE的长；
（3）如图2，点P在边AC上运动，连接PD，PD始终保持与PA相等，EF是BD的垂直平分线，交BD于点F．
①判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
②若AC＝4，BC＝6，PA＝1，求DE的长．
二、勾股定理的几何意义（正方形面积问题）
1．（2025秋 莲湖区期末）如图，已知正方形A的面积为4，正方形B的面积为3，则正方形C的面积（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
2．（2025秋 西安期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若S1+S4＝80，S3＝20，则S2＝（ ）
A．50 B．60 C．100 D．110
3．（2025秋 宜兴市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC、AB为边向外作正方形ACDE、正方形CBHP、正方形BAFG，其面积分别为S1、S2，S3，则S1、S2、S3之间的等量关系为 S1+S2＝S3 ；分别以GH、PD、EF为边向外作正方形，其面积分别为S4、S5、S6，则S4、S5、S6之间的等量关系为 S4+S6＝5S5 ．
三、勾股定理与角平分线结合
1．（2025秋 长丰县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是边AB上的一点，且DE＝DC．若BC＝6.5，AB＝5，则BE的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
2．（2025秋 济阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AF平分∠CAB，点D为边BC上一点，连接AD．若AD＝BD＝5，则BF的长是 4 ．
四、勾股定理与垂直平分线结合
1．（2025秋 西安校级月考）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，BC相交于点D，E，则线段CE的长为 ．
2．（2025秋 如皋市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，DE垂直平分AC，垂足为D，交边AB于点E，FG垂直平分BC，垂足为G，交线段DE于点F，连接BF，CF，若∠ACF＝22°，则∠ABF度数为 8 °，若DE＝1，，则EF＝ ．
五、勾股定理与网格结合
1．（2025秋 坊子区期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形ABCD的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（ ）
A．AD B．BC C．AB D．CD
2．（2025秋 嵩县期末）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P．那么∠APB的大小是（ ）
A．80° B．60° C．45° D．30°
3．（2025秋 高青县期末）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 45 °．
六、勾股定理证明（面积法验证）
1．（2025秋 蓬莱区期末）勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2025秋 襄都区期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025秋 永年区期末）如图，这是小刚根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的．若∠ACD＝90°，AC＝5，BC＝6则“数学风车”的周长为（ ）
A．20 B．24 C．52 D．76
4．（2025秋 永州期末）公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的边长是（ ）
A． B．2 C．4 D．8
5．（2025秋 祁阳市校级期末）在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形ABCD内部，其中点E，F，G，H分别在长方形的边AD，AB，BC，CD上，若AB＝13，BC＝8，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．3
6．（2025秋 衡南县期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2025秋 临河区期末）意大利著名画家达 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（ ）
A． B．
C．S1＝S2 D．a2+b2＝c2
8．（2025秋 资阳校级期末）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝5，则长方形的面积为 30 ．
9．（2025秋 三明期末）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 10 ．
10．（2025秋 金山区期末）【问题情境】
数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
【定理探究】
（1）若直角三角形ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理．
【实践应用】
（2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）．
11．（2024秋 威海期末）（1）材料学习：勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1，图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．材料中的方法体现的数学思想是C ．
A．函数思想
B．分类讨论思想
C．数形结合思想
D．整体思想
（2）灵活运用：某同学提出了一种证明勾股定理的方法，如图3，点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，该同学用面积不变的方法证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．（提示，可连接BF试试）
12．（2025秋 浙江校级月考）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．其中∠AGB＝∠DFA＝∠CED＝∠BHC＝90°，连接AE交BG于点P，连接BE，得到图1．若∠ABE＝∠AEB．
（1）求证：EF＝DF；
（2）延长AE，交BC于点M，若AB＝5，求CM的长．
13．（2025秋 和平区期末）
项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展“勾股定理”数学项目研究．
素材 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角三角形ABC的三条边为边分别向外作正方形，边BC，边AC，边AB的长分别用a，b，c来表示．
解决问题
任务一 （1）为了计算图2中正方形ABDE的面积，对这个正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形FKHG，请用图2验证勾股定理．
任务二 （2）为了计算图3中正方形ABDE的面积，对这个正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形CNML，请用图3验证勾股定理．
任务三 （3）对图4中正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的8个直角三角形和正方形FKHG及正方形CNML．求图4中所有正方形的面积和（结果用只含c的代数式表示）．
七、勾股定理的逆定理（判断直角三角形）
1．（2025秋 温岭市期末）下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6
2．（2025秋 天台县期末）下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝5 B．∠A＝35°，∠B＝55°
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C
3．（2025秋 常州期末）由下列线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a：b：c＝2：3：4
4．（2025秋 洛宁县期末）已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为 2或4 ．
5．（2025秋 聊城期末）如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 1 ．
6．（2025秋 松江区期末）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的是 ①②③ ．
①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③（b+c）（b﹣c）＝a2；④a＝1，，c＝3．
7．（2025秋 大庆校级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是 等腰直角 三角形．
8．（2025秋 禹王台区校级期末）如图所示四边形ABCD，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求：
（1）AC的长；
（2）该四边形ABCD的面积．
9．（2025秋 朝阳区校级期末）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边长．我们可以利用a，b，c之间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边长是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形．
请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 锐角 三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是8，15，x，则当x的值是多少时，这个三角形是直角三角形？
10．（2025秋 黔江区期末）如图，△ABC的顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）若，试说明△ABC是直角三角形；
（2）在（1）的条件下，BC边所在的直线上是否存在一点D，使得△ABD是等腰三角形？若存在，请直接写出CD的值；若不存在，请说明理由．
八、勾股数的识别与规律探究
1．（2025秋 亭湖区期末）下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．1，， B．3，4，5
C．2，3，2 D．0.5，1.2，1.3
2．（2025秋 景德镇期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（ ）
A．0.6，0.8，1 B．8，15，17 C． D．4，5，6
3．（2024秋 富平县期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 25 ．
4．（2025秋 成都期末）若a，b，c是一组勾股数，且a＝20252+20262，b＝4050×2026，a＞c，则c＝ 4051 ．
5．（2025秋 岳阳县期末）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 11，60，61． ．
6．（2025秋 稷山县校级期末）勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第4个勾股数组为 （9，40，41） ．
7．（2025秋 调兵山市月考）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；
⑤11，60，61
…
根据上述规律，写出第⑥组勾股数为 13，84，85 ．
8．（2025秋 鼓楼区校级期中）如果满足等式a2+b2＝c2的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数．
（1）已知m，n，k是正整数且m＞n，证明：a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数．
（2）请写出任意一组含有68的“勾股数”： 68，285，293（答案不唯一） ．
9．（2024春 嘉鱼县期中）阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：
【问题呈现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2＝c2，那么a，b，c称为一组勾股数．
关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．
【问题解决】
（1）根据柏拉图的研究，当m＝6时，请直接写出一组勾股数： 12，35，37 ；
（2）若m表示大于1的整数，试证明（m2﹣1，2m，m2+1）是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．
九、勾股定理的实际应用（直角三角形模型直接应用）
1．（2025秋 坪山区期末）生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．当梯子稳定摆放时，它的顶端离地4m，则梯子长度约为（ ）
A．2m B．4m C． D．
2．（2025秋 市北区期末）有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们计算一下这块草坪的面积（ ）
A．24m2 B．36m2 C．48m2 D．60m2
3．（2025秋 苏州期末）某型号推拉式窗户如图①所示，当窗户关闭时点A与点B重合．窗户拉开时，如图②，AB＝15cm，此时，窗户的最低点B相对于未开启时的最低点A升高了2cm，则该窗户的高OA为（ ）
A．57cm B．56.25cm C．54cm D．58.25cm
4．（2025秋 贵州期末）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（ ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈＝10尺）
A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺
5．（2025秋 洛宁县期末）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（ ）
A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4
6．（2025秋 泰兴市期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于AB时，AO＝2.4m，BO＝1.8m．如果梯子顶端下滑0.4m（即AC＝0.4m），那么梯子的底端B向右滑动 （1.8） m．
7．（2025秋 中原区校级期末）如图，树根下有一个蛇洞，树高15m，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去，如果鹰与蛇的速度相等且鹰与蛇的路线都是直线段，则鹰应向距离树根 20 米处扑击才能恰好抓到蛇．
8．（2025秋 银川校级期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为4m，地毯的价格为100元/m2，则购买地毯需花费 6800 元．
9．（2025秋 龙海区期末）某条高速路限速100km/h，如图，一辆大巴车在这条高速路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方50m的B处，过了4s，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为130m．
（1）求A、B两地的距离；
（2）请判断这辆大巴车是否超速，并说明理由．
10．（2025秋 浚县期末）据中央气象台消息，超强台风桦加沙于2025年9月24日在广东阳江海陵岛第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线AB的方向以20km/h的速度移动，已知距台风中心250km的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：BC＝400km，AC＝300km，AB＝500km．问：
（1）海港C会不会受到台风的影响？
（2）若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？
十、勾股定理的综合应用
1．（2025秋 莱州市期末）图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：a2+b2＝c2．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
请利用上述方法解决下面的问题：
（1）如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，求AB边上的高；
（2）如图3，在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC＝4，AD是BC边上的高，求AD的值；
（3）如图4，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，请写出点M表示的数 ．
2．（2025秋 石家庄校级期末）阅读材料，解答问题：
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的重要工具．它不但应用广泛，证明方法也是层出不穷．
（1）验证定理：如图1，点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，设△ACB的三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF的位置，如图2，则利用图形的面积不变能够验证勾股定理．下面是该方法验证勾股定理的过程，请你将其补充完整（用含a，b，c的式子表示）：
验证过程：连接BF，由拼图可知△ABF是直角三角形，∠BAF＝90°，
∴S△ABF＝ ，S△BDF＝
又∵S正方形ACDE＝S四边形ABDF
∴b2 ＝ + ，
整理得勾股定理a2+b2＝c2 ．
（2）定理应用：如图3，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推至C处时，水平距离CD＝2m，踏板离地的垂直高度CF＝1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
3．（2025秋 嵩县期末）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD；连接AC、CE．已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．
（1）①用含x的代数式表示AC+CE的长；
②求出AC+CE的最小值．
（2）根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值．
（3）若正实数a，b，c满足a+b＝5﹣c，请构图求出代数式的最小值．中小学教育资源及组卷应用平台
第20章 勾股定理（10大题型）
目录：
一、勾股定理基础计算（已知两边求第三边）
二、勾股定理的几何意义（正方形面积问题）
三、勾股定理与角平分线结合
四、勾股定理与垂直平分线结合
五、勾股定理与网格结合
六、勾股定理证明（面积法验证）
七、勾股定理的逆定理（判断直角三角形）
八、勾股数的识别与规律探究
九、勾股定理的实际应用（直角三角形模型直接应用）
十、勾股定理的综合应用
一、勾股定理基础计算（已知两边求第三边）
1．（2025秋 泗洪县期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，且AB＝4，若AC＝3，那么BC的值是（ ）
A．1 B．5 C． D．
【答案】C
【分析】根据勾股定理直接求出BC的长即可．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝4，AC＝3，
∴，
故C正确．
故选：C．
2．（2025秋 德化县期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．已知AB＝15，BC＝24，则AD的长为（ ）
A．9 B．13 C．6 D．12
【答案】A
【分析】由等腰三角形三线合一的性质得出AD⊥BC，，再由勾股定理即可得出AD．
【解答】解：∵△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC．BC＝24，
∴AD⊥BC，，
在直角三角形ABD中，AB＝15，
由勾股定理得：，
故选：A．
3．（2025秋 海门区期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝4．
（1）求AB的长；
（2）作∠ABC的平分线交AC于点D，求CD的长．
【答案】（1）4；
（2）22．
【分析】（1）由勾股定理求出AB4；
（2）过D作DH⊥AB于H，由角平分线的性质推出DH＝DC，由三角形的面积公式得到（4+4）×CD＝32，即可求出CD的长．
【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝8，BC＝4．
∴AB4；
（2）过D作DH⊥AB于H，
∵∠C＝90°，
∴DC⊥BC，
∵BD平分∠ABC，
∴DH＝DC，
∵△ABC的面积＝△BCD的面积+△ABD的面积，
∴AC BCBC CDAB DH，
∴8×4＝4×CD+4CD，
∴（4+4）×CD＝32，
CD＝22．
4．（2025秋 承德县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接DE．
（1）若点E为BC的中点，BC＝8，DE＝3，BD＝5，则△BDE是 直角 三角形；（填“等腰”“等边”或“直角”）
（2）如图1，连接AE，若AE平分∠BAC，DE⊥AB，BD＝4，BC＝8，求BE的长；
（3）如图2，点P在边AC上运动，连接PD，PD始终保持与PA相等，EF是BD的垂直平分线，交BD于点F．
①判断DE与DP的位置关系，并说明理由；
②若AC＝4，BC＝6，PA＝1，求DE的长．
【答案】（1）直角；
（2）BE＝5；
（3）①DE⊥DP，理由见解析；②．
【分析】（1）利用勾股定理逆定理即可得出结论；
（2）根据角平分线的性质定理结合勾股定理进行求解即可；
（3）①等边对等角得到∠A＝∠PDA，中垂线的性质结合等边对等角得到∠EDB＝∠B，进而推出∠PDA+∠EDB＝90°，即可得证；②连接PE，设DE＝BE＝x，则CE＝6﹣x，利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：（1）∵点E为BC的中点，BC＝8，
∴BEBC8＝4，
∵DE＝3，BD＝5，且32+42＝52，
∴DE2+BE2＝BD2，
∴△BDE是直角三角形，
故答案为：直角；
（2）∵AE平分∠BAC，DE⊥AB，∠ACB＝90°，
∴CE＝DE．
设BE＝a，则DE＝CE＝8﹣a，
在Rt△BDE中，BD2+DE2＝BE2，
∴42+（8﹣a）2＝a2，
∴a＝5，
即BE＝5．
（3）①DE⊥DP．
理由如下：
由题意知PD＝PA，
∴∠A＝∠PDA．
∵EF是BD的垂直平分线，
∴DE＝BE（线段垂直平分线的性质），
∴∠EDB＝∠B．
∵∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°，
∴∠PDA+∠EDB＝90°，
∴∠PDE＝180°﹣（∠PDA+∠EDB）＝180°﹣90°＝90°．
∴DE⊥DP．
②如图，连接PE．
设DE＝BE＝x，则CE＝6﹣x．
∵PA＝1，AC＝4，
∴PD＝1，PC＝3．
由勾股定理，得PE2＝PC2+CE2＝32+（6﹣x）2，PE2＝PD2+DE2＝12+x2，
即32+（6﹣x）2＝12+x2，
∴，
∴DE的长为．
二、勾股定理的几何意义（正方形面积问题）
1．（2025秋 莲湖区期末）如图，已知正方形A的面积为4，正方形B的面积为3，则正方形C的面积（ ）
A．1 B．5 C．7 D．25
【答案】C
【分析】根据正方形的面积公式以及勾股定理即可得出结论．
【解答】解：∵正方形A的面积为4，正方形B的面积为3，
∴正方形C的面积＝3+4＝7．
故选：C．
2．（2025秋 西安期末）如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝∠BCD＝90°，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形．若S1+S4＝80，S3＝20，则S2＝（ ）
A．50 B．60 C．100 D．110
【答案】B
【分析】利用勾股定理的几何意义解答．
【解答】解：由题意可知：S1＝AB2，S2＝BC2，S3＝CD2，S4＝AD2，
连接BD，在直角三角形ABD和BCD中，
BD2＝AD2+AB2＝CD2+BC2，
即S1+S4＝S3+S2，
因此S2＝80﹣20＝60，
故选：B．
3．（2025秋 宜兴市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，分别以AC、BC、AB为边向外作正方形ACDE、正方形CBHP、正方形BAFG，其面积分别为S1、S2，S3，则S1、S2、S3之间的等量关系为 S1+S2＝S3 ；分别以GH、PD、EF为边向外作正方形，其面积分别为S4、S5、S6，则S4、S5、S6之间的等量关系为 S4+S6＝5S5 ．
【答案】S1+S2＝S3；S4+S6＝5S3．
【分析】设BC＝a，AC＝b，AB＝c，由勾股定理得c2＝a2+b2，再由正方形面积公式得S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2，据此可得S1，S2，S3之间的等量关系；过点E作EM⊥EA，交EA的延长线于点M，过点G作GN⊥HB，交HB的延长线于点N，证明△FAM和△BAC全等得MF＝BC＝a，AM＝AC＝b，则EM＝2a，进而得S6＝a2+4b2，再证明△GBN和△ABC全等得GN＝AC＝b，BN＝BC＝a，则HN＝2a，进而得S4＝4a2+b2，则S4+S6＝5a2+5b2，再求出S3＝a2+b2，据此可得S4，S6，S3之间的等量关系．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，设BC＝a，AC＝b，AB＝c，
由勾股定理得：AB2＝BC2+AC2，
∴c2＝a2+b2，
由正方形的面积公式得：S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2，
∴S1+S2＝S3；
过点E作EM⊥EA，交EA的延长线于点M，过点G作GN⊥HB，交HB的延长线于点N，如图所示：
∴∠M＝∠N＝∠ACB＝90°，
由正方形性质得：∠FAB＝∠MAC＝90°，∠GBA＝∠NBC＝90°，AF＝AB＝BG，AE＝AC＝b，BH＝BC＝a，
∴∠FAB﹣∠MAB＝∠MAC﹣∠MAB，
∴∠FAM＝∠BAC，
在△FAM和△BAC中，
∠M＝∠ACB＝90°，∠FAM＝∠BAC，AF＝AB，
∴△FAM≌△BAC（AAS），
∴MF＝BC＝a，AM＝AC＝b，
∴EM＝AE+AM＝2a，
在Rt△EFM中，由勾股定理得：EF2＝MF2+EM2＝a2+（2b）2＝a2+4b2，
∴S6＝EF2＝a2+4b2，
∵∠GBA＝∠NBC＝90°，
∠GBA﹣∠NBA＝∠NBC﹣∠NBA，
∠GBN＝∠ABC，
在△GBN和△ABC中，
∠N＝∠ACB＝90°，∠GBN＝∠ABC，BG＝AB，
∴△GBN≌△ABC（AAS），
∴GN＝AC＝b，BN＝BC＝a，
∴HN＝BH+BN＝2a，
在Rt△HNG中，由勾股定理得：HG2＝GN2+HN2＝b2+（2a）2＝4a2+b2，
∴S4＝HG2＝4a2+b2，
∴S4+S6＝5a2+5b2，
在Rt△PCD中，CD＝AC＝b，PC＝BC＝a，
由勾股定理得：PD2＝PC2+CD2＝a2+b2，
∴S3＝PD2＝a2+b2，
∴S4+S6＝5S3．
故答案为：S1+S2＝S3；S4+S6＝5S3．
三、勾股定理与角平分线结合
1．（2025秋 长丰县期末）如图，在△ABC中，∠A＝90°，BD平分∠ABC，E是边AB上的一点，且DE＝DC．若BC＝6.5，AB＝5，则BE的长为（ ）
A．2.5 B．3 C．3.5 D．4
【答案】C
【分析】过D作DF⊥BC于F，利用角平分线的性质得出AD＝DF，进而利用HL证明Rt△ADE与Rt△DFC全等，进而解答即可．
【解答】解：过D作DF⊥BC于F，
∵∠A＝90°，BD平分∠ABC，
∴AD＝DF，
在Rt△ADE与Rt△DFC中，
，
∴Rt△ADE≌Rt△DFC（HL），
∴AE＝CF，
同理可得，AB＝BF＝5，
∴AE＝CF＝BC﹣BF＝6.5﹣5＝1.5，
∴BE＝AB﹣AE＝5﹣1.5＝3.5，
故选：C．
2．（2025秋 济阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝8，AF平分∠CAB，点D为边BC上一点，连接AD．若AD＝BD＝5，则BF的长是 4 ．
【答案】4．
【分析】过点F作FE⊥AB于E，根据勾股定理列式求出CD，根据角平分线的性质得到FC＝FE，证明Rt△ACF≌Rt△AEF，根据全等三角形的性质得到AE＝AC＝4.8，进而求出BE，再根据勾股定理计算即可．
【解答】解：如图，过点F作FE⊥AB于E，
在Rt△ACD中，AC2＝AD2﹣CD2＝25﹣CD2，
在Rt△ACB中，AC2＝AB2﹣CB2＝64﹣（5+CD）2，
则25﹣CD2＝64﹣（5+CD）2，
解得：CD＝1.4，
∴AC4.8，BC＝CD+BD＝6.4，
∵AF平分∠CAB，∠C＝90°，FE⊥AB，
∴FC＝FE，
在Rt△ACF和Rt△AEF中，
，
∴Rt△ACF≌Rt△AEF（HL），
∴AE＝AC＝4.8，
∴BE＝AB﹣AE＝8﹣4.8＝3.2，
在Rt△BEF中，BE2＝BF2﹣EF2，即3.22＝BF2﹣（6.4﹣BF）2，
解得：BF＝4，
故答案为：4．
四、勾股定理与垂直平分线结合
1．（2025秋 西安校级月考）如图，在△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧（弧所在的圆的半径都相等），两弧相交于M，N两点，直线MN分别与边AB，BC相交于点D，E，则线段CE的长为 ．
【答案】．
【分析】连接AE，由线段垂直平分线的性质推出AE＝BE，由勾股定理的逆定理推出∠C＝90°，令CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x，由勾股定理得到x2+32＝（4﹣x）2，求出x，即可得到CE的长．
【解答】解：连接AE，
由题意知：MN垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴∠C＝90°，
∴AC2+CE2＝AE2，
令CE＝x，则BE＝BC﹣CE＝4﹣x，
∴AE＝4﹣x，∴x2+32＝（4﹣x）2，
∴x，
∴CE．
故答案为：．
2．（2025秋 如皋市期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝30°，DE垂直平分AC，垂足为D，交边AB于点E，FG垂直平分BC，垂足为G，交线段DE于点F，连接BF，CF，若∠ACF＝22°，则∠ABF度数为 8 °，若DE＝1，，则EF＝ ．
【答案】8；．
【分析】连接AF，根据DE垂直平分AC得AF＝CF，进而得∠FAC＝∠ACF＝22°，由此得∠BAF＝8°，再根据FG垂直平分BC得BF＝CF，继而得AF＝BF，据此得∠ABF＝∠BAF＝8°；过点B作BH⊥DE，交DE的延长线于点H，先在Rt△ADE中，求出AD，在Rt△BEH中，根据∠EBH＝30°得EHBE，BH，设EF＝a，则DF＝1﹣a，HF，在Rt△ADF和Rt△BFH中，由勾股定理得AF2＝AD2+DF2，BF2＝HF2+BH2，再根据AF＝BF得，由此解出a，继而可得EF的长．
【解答】解：连接AF，如图1所示：
∵DE垂直平分AC，点F在DE上，
∴AF＝CF，
∴∠FAC＝∠ACF＝22°，
∵∠BAC＝30°，
∴∠BAF＝∠BAC﹣∠FAC＝30°﹣22°＝8°，
∵FG垂直平分BC，
∴BF＝CF，
∴AF＝BF，
∴∠ABF＝∠BAF＝8°；
过点B作BH⊥DE，交DE的延长线于点H，如图2所示：
∴△BEH和△BFH都是直角三角形，
∵DE垂直平分AC，
∴△ADE和△ADF都是直角三角形，
在Rt△ADE中，DE＝1，∠BAC＝30°，
∴∠AED＝90°﹣∠BAC＝60°，AE＝2DE＝2，
由勾股定理得：AD，
在Rt△BEH中，BE＝√3，∠BEH＝∠AED＝60°，
∴∠EBH＝90°﹣∠BEH＝30°，
∴EHBE，
由勾股定理得：BH，
设EF＝a，
∴DF＝DE﹣EF＝1﹣a，HF＝EH+EF，
在Rt△ADF中，由勾股定理得：AF2＝AD2+DF2，
在Rt△BFH中，由勾股定理得：BF2＝HF2+BH2，
∵AF＝BF，
∴，
解得：a，
∴EF＝a．
故答案为：8；．
五、勾股定理与网格结合
1．（2025秋 坊子区期末）如图，方格纸上每个小正方形的边长都是1，梯形ABCD的顶点都在网格线的交点上，其中长度为无理数的边是（ ）
A．AD B．BC C．AB D．CD
【答案】D
【分析】根据勾股定理得出AB，CD，进而利用无理数判断即可．
【解答】解：由图可知，AD＝3，BC＝7，由勾股定理可得：AB，CD，
∴长度为无理数的边是CD，
故选：D．
2．（2025秋 嵩县期末）如图，在3×3的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A，B，C，D都在格点上，连接AC，BD相交于P．那么∠APB的大小是（ ）
A．80° B．60° C．45° D．30°
【答案】C
【分析】过B作BM∥AC，如图，连接DM，根据勾股定理求出DM、BM、BD，根据勾股定理的逆定理和等腰三角形的判定得出△DMB是等腰直角三角形，求出∠DBM＝45°，再根据平行线的性质得出即可．
【解答】解：过B作BM∥AC，如图，连接DM，
由勾股定理得：DM，BM，BD，AC，
∴DM＝BM，DM2+BM2＝BD2，
∴△DMB是等腰直角三角形，
∴∠DBM＝45°，
∵AC∥BM，
∴∠APB＝∠DBM＝45°，
故选：C．
3．（2025秋 高青县期末）如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数为 45 °．
【答案】45．
【分析】连接AC，利用勾股定理计算出AC2、BC2、AB2，然后利用勾股定理逆定理可判断出△ABC是直角三角形，进而可得答案．
【解答】解：连接AC，
由勾股定理得：AC2＝22+12＝5，
BC2＝22+12＝5，
AB2＝12+32＝10，
∴AC2+BC2＝5+5＝10＝BA2，
∴△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
∴∠ABC＝45°，
故答案为：45．
六、勾股定理证明（面积法验证）
1．（2025秋 蓬莱区期末）勾股定理的证明方法多样，体现了数学的精妙．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由正方形面积公式、三角形面积公式以及梯形面积公式分别对各个选项进行判断即可．
【解答】解：A、梯形的面积为：（a+b）（a+b）（a2+b2）+ab，
也可看作是2个直角三角形和一个等腰直角三角形组成，则其面积为：ab×2c2＝abc2，
∴（a2+b2）+ab＝abc2，
∴a2+b2＝c2，故A选项能证明勾股定理；
B、大正方形的面积为：（a+b）2；
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+c2＝2ab+c2，
∴（a+b）2＝2ab+c2，
∴a2+b2＝c2，故B选项能证明勾股定理；
C、大正方形的面积为：（a+b）2，
也可看作是2个矩形和2个小正方形组成，则其面积为：a2+b2+2ab，
∴（a+b）2＝a2+b2+2ab，
∴C选项不能证明勾股定理；
D、大正方形的面积为：c2，
也可看作是4个直角三角形和一个小正方形组成，则其面积为：ab×4+（b﹣a）2＝a2+b2，
∴a2+b2＝c2，故D选项能证明勾股定理；
故选：C．
2．（2025秋 襄都区期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】以直角三角形三边为边长作正方形，若两个较小的正方形面积和等于最大的正方形面积，那么可证明直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，即可证明勾股定理，据此可得答案．
【解答】解：由题意知，3+4＝7≠5，所以四幅图中只有D选项中的图形不能用面积验证勾股定理，
综上所述，只有选项D正确，符合题意，
故选：D．
3．（2025秋 永年区期末）如图，这是小刚根据“赵爽弦图”设计的“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的．若∠ACD＝90°，AC＝5，BC＝6则“数学风车”的周长为（ ）
A．20 B．24 C．52 D．76
【答案】D
【分析】“数学风车”的周长为（AD+BD）×4，利用勾股定理将AD、BD求出即可．
【解答】解：∵“数学风车”模型，它是将赵爽弦图中四个全等的直角三角形中较长的直角边分别向外延长一倍得到的，
∴BC＝BD＝6，
∴CD＝12，
∴，
∴“数学风车”的周长为（13+6）×4＝76．
故选：D．
4．（2025秋 永州期末）公元3世纪初，我国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形．如图，设勾a＝6，弦c＝10，则小正方形ABCD的边长是（ ）
A． B．2 C．4 D．8
【答案】B
【分析】先用勾股定理计算出股b，用大正方形的面积减去4个直角三角形的面积，得出小正方形ABCD的面积，进而利用算术平方根求出边长．
【解答】解：∵勾a＝6，弦c＝10，
∴股，
∴小正方形ABCD的面积：，
∴小正方形ABCD的边长为：，
故选：B．
5．（2025秋 祁阳市校级期末）在学习了勾股定理的赵爽弦图后，小明尝试将4个全等的小正方形嵌入到长方形ABCD内部，其中点E，F，G，H分别在长方形的边AD，AB，BC，CD上，若AB＝13，BC＝8，则小正方形的边长为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】B
【分析】根据赵爽弦图，将正方形分成4个全等的直角三角形，和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为a，长的直角边为b，那么BC＝2b+a＝8，AB＝2a+3b＝13，然后解方程组，进而勾股定理即可求解．
【解答】解：如图所示：将每个正方形分成四个全等的直角三角形和一个小正方形，设直角三角形短的直角边为a，长的直角边为b，
那么AB＝2a+3b＝13，BC＝2b+a＝8，
∴a＝2，b＝3，
∴正方形的边长为，
故选：B．
6．（2025秋 衡南县期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1），某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：△ABC为等边三角形，AD、BE、CF围成的△DEF也是等边三角形．已知点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，若△ABC的面积为14，则△DEF的面积是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】连接BF，由题意知S△ABD＝S△AFC＝S△BEC，再由点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，可得S△BDF＝S△DEF，S△BDF＝S△ABF，即可得出S△ABC＝7S△DEF即可求解．
【解答】解：如图，连接BF，
∵点D、E、F分别是BE、CF、AD的中点，
∴S△BDF＝S△DEF，S△BDF＝S△ABF，
由题意可知，S△ABD＝S△AFC＝S△BEC，
∴S△ABD＝S△AFC＝S△BEC＝2S△DEF，
∴S△ABC＝S△ABD+S△BCE+S△AFC+S△EDF＝7S△DEF，
∵S△ABC＝14，
∴S△DEF＝2，
故选：B．
7．（2025秋 临河区期末）意大利著名画家达 芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为S1，图2中空白部分的面积为S2，则下列对S1，S2所列等式不正确的是（ ）
A． B．
C．S1＝S2 D．a2+b2＝c2
【答案】A
【分析】根据勾股定理、直角三角形以及正方形的面积公式计算，即可解决问题．
【解答】解：a2+b2＝c2，
，
故选项A符合题意．
故选：A．
8．（2025秋 资阳校级期末）我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式．后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图所示的长方形由两个这样的图形拼成，若a＝3，b＝5，则长方形的面积为 30 ．
【答案】30．
【分析】根据勾股定理，设小正方形的边长为x，在直角三角形ABC中，再建立x的方程即可解答．
【解答】解：如图：
设小正方形的边长为x，则AB＝a+x，BC＝b+x，
∵a＝3，b＝5，
∴AC＝5+3＝8，
在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，
∴82＝（3+x）2+（5+x）2，
∴64＝（x2+6x+9）+（x2+10x+25），
∴整理得x2+8x＝15，
∴长方形的面积为：（x+a）（x+b）
＝x2+（a+b）x+ab
＝x2+8x+15
＝15+15
＝30，
故答案为：30．
9．（2025秋 三明期末）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，已知b﹣a＝3，a2+b2＝29，则图2中的阴影部分面积为 10 ．
【答案】10
【分析】根据题意可得△IJC≌△KAM可以求出S△IJC＝S△KAM，即可得到图2中的阴影部分面积为S△GDC+S△BCM，用a，b表示后计算即可．
【解答】解：如图2，
∵朱方对应正方形GDJH的边长为a，青方对应正方形ABCD的边长为b，
∴GD＝GH＝a，CD＝BC＝b，
∵朱入与朱出的三角形全等，
∴△FNK≌△GHI，
∴FN＝GH＝a，
∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，
∴△IJC≌△KAM，△GFN≌△CMB，
∴S△IJC＝S△KAM，BM＝FN＝a，
∴阴影部分面积为S四边形GDJI+S△KAM+S△BCM
＝S四边形GDJI+S△IJC+S△BCM
＝S△GDC+S△BCM
＝ab，
∵b﹣a＝3，a2+b2＝29，
∴，
即阴影部分的面积为10，
故答案为：10．
10．（2025秋 金山区期末）【问题情境】
数学课上老师让同学们探究勾股定理的证明方法．某综合与实践小组通过阅读课本学习了我国汉代数学家赵爽证明勾股定理的方法．赵爽在注解《周髀算经》时，给出了“赵爽弦图”（图1），通过此图的切割、拼接，巧妙地利用面积关系证明了勾股定理．
【定理探究】
（1）若直角三角形ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，请你利用图1中的“赵爽弦图”证明勾股定理．
【实践应用】
（2）有两个正方形如图2所示放置在网格中，请你通过切割、拼接，把这两个正方形转化成一个大正方形，请设计出你的方案（画出分割线和拼成的大正方形）．
【分析】（1）先求出中间小正方形的边长为（b﹣a），再分别求出小正方形的面积和大正方形的面积，利用面积的关系即可得出结论；
（2）根据题意设计方案即可．
【解答】（1）证明：由图可知，，
，
∴，
∴a2+b2＝c2．
（2）解：根据题意设计方案即可，如图所示：
11．（2024秋 威海期末）（1）材料学习：勾股定理的学习中，我们已经学会了运用图1，图2的图形，验证著名的勾股定理，这种根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明”．材料中的方法体现的数学思想是C ．
A．函数思想
B．分类讨论思想
C．数形结合思想
D．整体思想
（2）灵活运用：某同学提出了一种证明勾股定理的方法，如图3，点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF位置，该同学用面积不变的方法证明了勾股定理．请你写出该方法证明勾股定理的过程．（提示，可连接BF试试）
【分析】（1）根据题意可得它体现的数学思想是数形结合思想；
（2）连接BF，由图1可得正方形ACDE的面积为b2，由图2可得四边形ABDF的面积为三角形ABF与三角形BDF面积之和，再利用正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等即可证明．
【解答】（1）解：根据图形直观推论或验证数学规律和公式的方法，体现的数学思想是数形结合思想，
故答案为：C；
（2）证明：如图，连接BF，
∵AC＝b，
∴正方形ACDE的面积为b2，
∵CD＝DE＝AC＝b，BC＝a，EF＝BC＝a，
∴BD＝CD﹣BC＝b﹣a，DF＝DE+EF＝a+b，
∵∠CAE＝90°，
∴∠BAC+∠BAE＝90°，
∵∠BAC＝∠EAE，
∴∠EAF+∠BAE＝90°，
∴△BAF为等腰直角三角形，
∴四边形ABDF的面积为：c2（b﹣a）（a+b）c2（b2﹣a2），
∵正方形ACDE的面积与四边形ABDF的面积相等，
∴b2c2（b2﹣a2），
∴b2c2b2a2，
∴a2b2c2，
∴a2+b2＝c2．
12．（2025秋 浙江校级月考）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．其中∠AGB＝∠DFA＝∠CED＝∠BHC＝90°，连接AE交BG于点P，连接BE，得到图1．若∠ABE＝∠AEB．
（1）求证：EF＝DF；
（2）延长AE，交BC于点M，若AB＝5，求CM的长．
【分析】（1）根据等角对等边得出AB＝AE，进而可得AD＝AE，根据三线合一，即可得证；
（2）先证明ME＝MC，设ME＝MC＝x，则AM＝AE+EM＝5+x，由△BGA≌△CHB，得到AB＝BC＝5，∠ABG＝∠BCH，则BM＝BC﹣CM＝5﹣x，继而可得∠ABG+∠HBC＝∠ABC＝90°，再对Rt△ABM运用勾股定理求解即可．
【解答】（1）证明：∵∠ABE＝∠AEB，
∴AB＝AE，
∵AB＝AD，
∴AE＝AD，
∵∠DFA＝90°，
∴EF＝DF；
（2）解：如图，
由（1）知AE＝AD，
∵∠DFA＝90°，
∴∠1＝∠3，
∵△AFD≌△CHB，
∴∠1＝∠2，
∵∠AGB＝∠BHC＝90°，
∴∠AGB＝∠GHC＝90°，
∴AF∥CH，
∴∠3＝∠4＝∠5，
∴∠2＝∠5，
∴ME＝MC，设ME＝MC＝x，
∴AM＝AE+EM＝5+x，
∵△BGA≌△CHB，
∴AB＝BC＝5，∠ABG＝∠BCH，
∴BM＝BC﹣CM＝5﹣x，
∵∠BHC＝90°＝∠BCH+∠HBC
∴∠ABG+∠HBC＝∠ABC＝90°，
∴AB2+BM2＝AM2，
∴52+（5﹣x）2＝（5+x）2，
25+25+x2﹣10x＝25+x2+10x，
解得，
∴若AB＝5，则．
13．（2025秋 和平区期末）
项目背景 某校八年级数学兴趣小组成员自主开展“勾股定理”数学项目研究．
素材 如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以直角三角形ABC的三条边为边分别向外作正方形，边BC，边AC，边AB的长分别用a，b，c来表示．
解决问题
任务一 （1）为了计算图2中正方形ABDE的面积，对这个正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形FKHG，请用图2验证勾股定理．
任务二 （2）为了计算图3中正方形ABDE的面积，对这个正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的4个直角三角形和正方形CNML，请用图3验证勾股定理．
任务三 （3）对图4中正方形ABDE适当割补后得到与原直角三角形全等的8个直角三角形和正方形FKHG及正方形CNML．求图4中所有正方形的面积和（结果用只含c的代数式表示）．
【分析】（1）利用面积求和法验证勾股定理即可；
（2）利用面积作差法验证勾股定理即可；
（3）利用总面积等于五个正方形面积和列等式即可解答．
【解答】解：（1）根据题意可知，RT△ABC≌RT△ABF≌RT△DBK，
∴AC＝BF＝b，BK＝CB＝AF＝a，
∴FK＝b﹣a，
∵S正方形ABDE＝S正方形FKHG+4S△AFB，
∴AB2＝FK2+4AF×BF，
∴c2＝（b﹣a）2+4ab，
∴a2+b2＝c2；
（2）根据题意可知，RT△ABC≌RT△BDN，
∴AC＝BN＝b，
∵S正方形ABDE＝S正方形LCNM﹣4S△ABC，
∴AB2＝CN2﹣4AC×BC，
∴c2＝（a+b）2﹣2ab，
∴a2+b2＝c2；
（3）根据题意可知，RT△ABC≌RT△ABF≌RT△DBK≌RT△BDN，
∴AC＝BN＝BF＝b，BK＝CB＝AF＝a，
∴FK＝b﹣a，CN＝CB+BN＝a+b，
∵S总＝S正方形LCNM+S正方形AEDB+S正方形FKHG+S正方形OTCA+S正方形CSRB，
∴S总＝CN2+AB2+FK2+AC2+BC2
＝（a+b）2+c2+（a﹣b）2+b2+a2
＝3（a2+b2）+c2，
∵c2＝a2+b2，
∴S总＝3c2+c2＝4c2．
七、勾股定理的逆定理（判断直角三角形）
1．（2025秋 温岭市期末）下列各组中的三条线段，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6
【答案】C
【分析】根据构成三角形的条件及勾股定理逆定理逐项验证即可得到答案．
【解答】解：A、由1+2＝3可知，这三条线段不能构成三角形，不符合题意；
B、2，3，4满足构成三角形的条件，但是22+32＝13≠16＝42，三条线段首尾相连不能组成直角三角形，不符合题意；
C、5，12，13满足构成三角形的条件，且52+122＝169＝132，三条线段首尾相连能组成直角三角形，符合题意；
D、4，5，6满足构成三角形的条件，但是42+52＝41≠36＝62，三条线段首尾相连不能组成直角三角形，不符合题意；
故选：C．
2．（2025秋 天台县期末）下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（ ）
A．AB＝3，BC＝4，AC＝5 B．∠A＝35°，∠B＝55°
C．∠A+∠B＝∠C D．∠A＝2∠B＝3∠C
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理和三角形的内角和定理进行判断即可．
【解答】解：A、∵32+42＝25，52＝25，
∴AB2+BC2＝AC2，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A＝35°，∠B＝55°，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、∵∠A+∠B＝∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴2∠C＝180°，
则∠C＝90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
D、∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A∠A∠A＝180°，
∴∠A，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意，
故选：D．
3．（2025秋 常州期末）由下列线段a，b，c组成的三角形不是直角三角形的是（ ）
A．a＝3，b＝4，c＝5 B．
C．a＝5，b＝12，c＝13 D．a：b：c＝2：3：4
【答案】D
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一判断即可．
【解答】解：A、32+42＝52，组成的三角形是直角三角形，不符合题意；
B、12+（）2＝（）2，组成的三角形是直角三角形，不符合题意；
C、52+122＝132，组成的三角形是直角三角形，不符合题意；
D、（2x）2+（3x）2≠（4x）2，组成的三角形不是直角三角形，符合题意；
故选：D．
4．（2025秋 洛宁县期末）已知三角形两边长为2和6，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为 2或4 ．
【答案】2或4．
【分析】根据勾股定理：分两种情况第三边是斜边和不是斜边的两种结果计算即可．
【解答】解：根据勾股定理分两种情况：
（1）当第三边为斜边时，第三边长2；
（2）当斜边为6时，第三边长4；
故答案为：2或4．
5．（2025秋 聊城期末）如图，点D在△ABC内，∠BDC＝90°，AB＝3，AC＝BD＝2，CD＝1，则图中阴影部分的面积为 1 ．
【答案】1．
【分析】根据勾股定理和∠BDC＝90°，BD＝2，CD＝1，可以先求出BC的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断△ABC的形状，从而可以求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵∠BDC＝90°，BD＝2，CD＝1，
∴BC，
∵AB＝3，AC＝2，
∴AC2+BC2＝22+（）2＝4+5＝9＝32＝AB2，
∴△ACB是直角三角形，∠ACB＝90°，
∴S阴影＝S△ACB﹣S△BDC1，
故答案为：1．
6．（2025秋 松江区期末）在△ABC中，a，b，c分别是∠A，∠B，∠C的对边，下列条件能判断△ABC是直角三角形的是 ①②③ ．
①∠A﹣∠B＝∠C；②∠A：∠B：∠C＝1：2：3；③（b+c）（b﹣c）＝a2；④a＝1，，c＝3．
【答案】①②③．
【分析】根据直角三角形的判定方法，逐一用勾股定理的逆定理和三角形内角和定理分析各选项是否存在90°角即可判断①、②、③；根据三角形三边关系即可判断④．
【解答】解：①∠A﹣∠B＝∠C，结合内角和得∠A+∠B+∠C＝180°，
由∠A+∠B+∠A﹣∠B＝180°，解得∠A＝90°，
∴△ABC为直角三角形，符合题意；
②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则最大角，
∴△ABC为直角三角形，符合题意；
③（b+c）（b﹣c）＝a2，展开得b2﹣c2＝a2，即b2＝a2+c2，
∴△ABC为直角三角形，符合题意；
④a＝1，，c＝3，∵，
∴a+b＜c，
∴不能构成三角形，不符合题意；
故答案为：①②③．
7．（2025秋 大庆校级期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，且满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是 等腰直角 三角形．
【答案】等腰直角．
【分析】根据非负数的性质求出a﹣b＝0，且a2+b2﹣c2＝0，进而判断出△ABC的形状．
【解答】解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，
∴a﹣b＝0，且a2+b2﹣c2＝0，
∴a＝b，且a2+b2＝c2，
∴△ABC是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角．
8．（2025秋 禹王台区校级期末）如图所示四边形ABCD，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，∠B＝90°，求：
（1）AC的长；
（2）该四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，运用勾股定理求得；
（2）根据三角形面积公式得到，根据勾股定理的逆定理推出△ACD是直角三角形，根据三角形面积公式得到．推出S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD．
【解答】解：（1）∵△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠B＝90°，
∴；
（2），
∵在△ACD中，CD＝12，AD＝13，AC＝5，
∴CD2+AC2＝122+52＝132＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°，
∴．
∴S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝6+30＝36．
9．（2025秋 朝阳区校级期末）阅读下列内容：设a，b，c是一个三角形的三条边的长，且a是最长边长．我们可以利用a，b，c之间的数量关系来判断这个三角形的形状：①若a2＝b2+c2，则该三角形是直角三角形；②若a2＞b2+c2，则该三角形是钝角三角形；③若a2＜b2+c2，则该三角形是锐角三角形．例如，若一个三角形的三边长分别是4，5，6，则最长边长是6，62＝36＜42+52，故由③可知该三角形是锐角三角形．
请解答以下问题：
（1）若一个三角形的三边长分别是7，8，9，则该三角形是 锐角 三角形．
（2）若一个三角形的三边长分别是8，15，x，则当x的值是多少时，这个三角形是直角三角形？
【分析】（1）先求出两小边的平方和，再求出最大边的平方，再得出答案即可；
（2）分为两种情况，12为最长边或x为最长边，根据勾股定理求出即可．
【解答】解：（1）∵72+82＝113，92＝81，
∴92＜72+82，
∴该三角形是锐角三角形，
故答案为：锐角；
（2）当最长边是15时，x；
当最长边是x时，x17，
即x＝17或这个三角形是直角三角形．
10．（2025秋 黔江区期末）如图，△ABC的顶点A，B，C所对的边分别为a，b，c．
（1）若，试说明△ABC是直角三角形；
（2）在（1）的条件下，BC边所在的直线上是否存在一点D，使得△ABD是等腰三角形？若存在，请直接写出CD的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）先根据非负数性质求解a，b，c，再由勾股定理逆定理求解即可；
（2）分三种情况讨论，根据等腰三角形的性质以及勾股定理建立方程求解即可．
【解答】（1）证明：∵，
∴根据非负数的性质得，a﹣5＝0，b﹣12＝0，c﹣13＝0，
∴a＝5，b＝12，c＝13，
∵52+122＝132，
∴a2+b2＝c2，
∴根据勾股定理的逆定理得，∠C＝90°
∴△ABC是直角三角形；
（2）解：存在，
①AB＝AD时，以A为圆心，AB长为半径画弧，交直线CB于点D1，
∵AC⊥BD1
∴CD1＝BC＝5；
②BA＝BD＝13时，以B为圆心，BA长为半径画弧，交直线CB于点D2、D3，
∴CD3＝BD3+BC＝13+5＝18；CD2＝BD2﹣BC＝13﹣5＝8；
③DA＝DB时，作AB的垂直平分线交直线CB于点D4，设CD4＝x，则D4A＝D4B＝CD4+BC＝x+5，
∵AC⊥CD4，
∴，
∴122+x2＝（x+5）2，
整理得，10x＝119，
解得，即，
综上所述，CD的值为5或8或18或．
八、勾股数的识别与规律探究
1．（2025秋 亭湖区期末）下列各组数中，是“勾股数”的是（ ）
A．1，， B．3，4，5
C．2，3，2 D．0.5，1.2，1.3
【答案】B
【分析】根据勾股数的概念判断即可．
【解答】解：A、∵1，，不都是正整数，
∴1，，不是勾股数，不符合题意；
B、∵32+42＝52，
∴3，4，5是勾股数，符合题意；
C、∵22+22≠32，
∴2，3，2不是勾股数，不符合题意；
D、∵0.5，1.2，1.3都不是正整数，
∴0.5，1.2，1.3不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
2．（2025秋 景德镇期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中是“勾股数”的是（ ）
A．0.6，0.8，1 B．8，15，17 C． D．4，5，6
【答案】B
【分析】根据勾股数的定义，逐一验证各选项即可．
【解答】解：A：0.6，0.8均非正整数，故不是勾股数，不符合题意；
B：8，15，17均为正整数，且82+152＝64+225＝289，172＝289，则82+152＝172，是勾股数，符合题意；
C：非整数，故不是勾股数，不符合题意；
D：4，5，6均为正整数，但42+52＝16+25＝41，62＝36，41≠36，故不是勾股数，不符合题意；
故选：B．
3．（2024秋 富平县期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是24和7，则第三个数是 25 ．
【答案】25
【分析】设第三个数为x，根据勾股定理的逆定理得：①x2+72＝242，②242+72＝x2．再解x即可．
【解答】解：设第三个数为x，
∵是一组勾股数，
∴①x2+72＝242，
解得：x（不合题意，舍去），
②242+72＝x2，
解得：x＝25，
故答案为：25．
4．（2025秋 成都期末）若a，b，c是一组勾股数，且a＝20252+20262，b＝4050×2026，a＞c，则c＝ 4051 ．
【答案】4051．
【分析】根据勾股数的概念计算即可．
【解答】解：∵a，b，c是一组勾股数，a＞c，
∴c
＝4051，
故答案为：4051．
5．（2025秋 岳阳县期末）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41； 根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 11，60，61． ．
【答案】11，60，61．
【分析】通过观察，得出规律：这类勾股数分别为2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1，由此可写出第⑤组勾股数．
【解答】解：通过观察得：
第①组勾股数分别为：2×1+1＝3，2×12+2×1＝4，2×12+2×1+1＝5；
第②组勾股数分别为：2×2+1＝5，2×22+2×2＝12，2×22+2×2+1＝13；
第③组勾股数分别为：2×3+1＝7，2×32+2×3＝24，2×32+2×3+1＝25；
第④组勾股数为：2×4+1＝9，2×42+2×4＝40，2×42+2×4+1＝41；
所以第⑤组勾股数为：2×5+1＝11，2×52+2×5＝60，2×52+2×5+1＝61．
故答案为：11，60，61．
6．（2025秋 稷山县校级期末）勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，满足这个方程的正整数解（a，b，c）通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，根据该公式可以构造出如下勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股数组可以发现，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面规律，第4个勾股数组为 （9，40，41） ．
【答案】（9，40，41）．
【分析】由勾股数组：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…可知，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第4个勾股数组中间的数为：4×（9+1）＝40，即可得出结论．
【解答】解：根据图中给出的数据可得：
由4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…第四个为4×（9+1）＝40，
∴第4组中间的数为4×（9+1）＝40．
故答案为：（9，40，41）．
7．（2025秋 调兵山市月考）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：
①3，4，5；
②5，12，13；
③7，24，25；
④9，40，41；
⑤11，60，61
…
根据上述规律，写出第⑥组勾股数为 13，84，85 ．
【答案】13，84，85．
【分析】观察勾股数序列，第一个数字为连续奇数，第⑥组第一个数字为13，设第二个数字为b，则第三个数字为b+1，根据勾股定理列方程求解．
【解答】解：设第二个数字为b，第⑥组勾股数的第一个数字为13，
则第三个数字为b+1，
由勾股定理，得132+b2＝（b+1）2，
即169+b2＝b2+2b+1，
整理得169＝2b+1，
解得b＝84，
故b+1＝85．
因此第⑥组勾股数为13，84，85．
故答案为：13，84，85．
8．（2025秋 鼓楼区校级期中）如果满足等式a2+b2＝c2的a，b，c是三个正整数，我们称a，b，c为勾股数．
（1）已知m，n，k是正整数且m＞n，证明：a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数．
（2）请写出任意一组含有68的“勾股数”： 68，285，293（答案不唯一） ．
【分析】（1）根据完全平方公式、勾股数的定义证明；
（2）根据2mn＝68，得到mn＝34，根据（1）中结论计算，得到答案．
【解答】（1）证明：a2+b2＝（2mn）2+（m2﹣n2）＝4m2n2+m4﹣2m2n2+n4＝m4+2m2n2+n4，
c2＝（m2+n2）＝m4+2m2n2+n4，
则a2+b2＝c2，
∵m，n是正整数，m＞n，
∴a＝2mn，b＝m2﹣n2，c＝m2+n2是勾股数；
（2）解：2mn＝68，
则mn＝34，
当m＝17，n＝2时，m2﹣n2＝172﹣22＝285，m2+n2＝172+22＝293，
∴68，285，293是一组含有68的“勾股数”，
故答案为：68，285，293（答案不唯一）．
9．（2024春 嘉鱼县期中）阅读下列内容，并解决问题．
一道习题引发的思考
小明在学习《勾股定理》一章内容时，遇到了一个习题，并对有关内容进行了研究：
【问题呈现】古希腊的哲学家柏拉图曾指出，如果m表示大于1的整数，a＝2m，b＝m2﹣1，c＝m2+1，那么a，b，c为勾股数．你认为对吗？如果对，你能利用这个结论得出一些勾股数吗？
【资料搜集】定义：勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数．一般地，若三角形三边长a，b，c都是正整数，且满足a2+b2＝c2，那么a，b，c称为一组勾股数．
关于勾股数的研究；我国西周初数学家商高在公元前1000年发现了“勾三，股四，弦五”，这组数（3、4、5）是世界上最早发现的一组勾股数．毕达哥拉斯学派、柏拉图学派、我国数学家刘徽、古希腊数学家丢番图都进行过勾股数的研究，习题中的表达式是柏拉图给出的勾股数公式，这个表达式未给出全部勾股数．世界上第一次给出勾股数通解公式的是《九章算术》．
【问题解决】
（1）根据柏拉图的研究，当m＝6时，请直接写出一组勾股数： 12，35，37 ；
（2）若m表示大于1的整数，试证明（m2﹣1，2m，m2+1）是一组勾股数；
（3）请举出一个反例（即写出一组勾股数），说明柏拉图给出的勾股数公式不能构造出所有的勾股数．
【分析】（1）把m＝6代入计算即可；
（2）根据完全平方公式、勾股数的概念证明；
（3）举出最小数是奇数的一组勾股数即可．
【解答】（1）解：当m＝6时，2m＝12，m2﹣1＝35，m2+1＝37，
则这组勾股数是12，35，37，
故答案为：12，35，37；
（2）证明：（m2﹣1）2+（2m）2＝m4﹣2m2+1+4m2＝m4+2m2+1，（m2+1）2＝m4+2m2+1，
∴（m2﹣1）2+（2m）2＝（m2+1）2，
∵m表示大于1的整数，
∴m2﹣1，2m，m2+1都是正整数，
∴m2﹣1，2m，m2+1是一组勾股数；
（3）5、12、13，是柏拉图给出的勾股数公式不能构造出的勾股数，（答案不唯一）．
九、勾股定理的实际应用（直角三角形模型直接应用）
1．（2025秋 坪山区期末）生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端到墙的距离约为梯子长度的，则梯子比较稳定．当梯子稳定摆放时，它的顶端离地4m，则梯子长度约为（ ）
A．2m B．4m C． D．
【答案】C
【分析】设梯子底端到墙的距离为xm，根据勾股定理列出方程，解方程得到答案．
【解答】解：设梯子底端到墙的距离为xm，则梯子长度为3xm，
由勾股定理得：（3x）2﹣x2＝42，
解得：x（负值舍去），
则3x＝3，
∴梯子长度为3m，
故选：C．
2．（2025秋 市北区期末）有一块草坪如图所示，测量了草坪各边得：AB＝3米，BC＝4米，AD＝12米，CD＝13米，且AB⊥CB．请同学们计算一下这块草坪的面积（ ）
A．24m2 B．36m2 C．48m2 D．60m2
【答案】B
【分析】如图：连接AC，根据勾股定理可求得AC，再根据勾股定理的逆定理判定△ACD是直角三角形，最后根据这块草坪的面积等于两个直角三角形的面积之和即可解答．
【解答】解：连接AC，如图，
∵AB⊥CB，
∴∠ABC＝90°，
∵AB＝3米，BC＝4米，
∴AC＝5米，
∵AD＝12米，CD＝13米，
∴AC2+AD2＝CD2，
∴△ACD为直角三角形，
∴这块草坪的面积＝S△ABC+S△ACD＝3×4÷2+5×12÷2＝6+30＝36（m2）．
故选：B．
3．（2025秋 苏州期末）某型号推拉式窗户如图①所示，当窗户关闭时点A与点B重合．窗户拉开时，如图②，AB＝15cm，此时，窗户的最低点B相对于未开启时的最低点A升高了2cm，则该窗户的高OA为（ ）
A．57cm B．56.25cm C．54cm D．58.25cm
【答案】B
【分析】结合勾股定理，先计算出BC的长度，令OB＝ x cm，则OC＝（x﹣2）cm，可根据OB2＝BC2+OC2得方程，解出方程即可．
【解答】解：根据题意，可得AB＝15cm，AC＝2cm，
∴BC2＝AB2﹣AC2＝221（cm2），
令OB＝xcm，则OC＝（x﹣2）cm，
由勾股定理得OB2＝BC2+OC2，
得方程x2＝221+（x﹣2）2，
解得，
故选：B．
4．（2025秋 贵州期末）今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？（选自《九章算术》），题目大意：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，那么它的顶端恰好到达岸边的水面．这个水池的深度和这根芦苇的长度各是（ ）（“尺”“丈”是我国传统长度单位，1丈＝10尺）
A．10尺，11尺 B．11尺，12尺 C．12尺，13尺 D．13尺，14尺
【答案】C
【分析】设OA＝x尺，则OC＝OB＝OA+AB＝（x+1）尺，在Rt△OAC中，利用勾股定理进行求解即可．
【解答】解：设OA＝x尺，则：OC＝OB＝OA+AB＝（x+1）尺，
在Rt△OAC中，OC2＝OA2+AC2，
∴，
解得x＝12，
∴OA＝12尺，OB＝13尺，
即这个水池的深度和这根芦苇的长度各是12尺，13尺，
故选：C．
5．（2025秋 洛宁县期末）如图，是一种饮料的包装盒，长、宽、高分别为4cm、3cm、12cm，现有一长为16cm的吸管插入到盒的底部，则吸管露在盒外的部分h的取值范围为（ ）
A．3＜h＜4 B．3≤h≤4 C．2≤h≤4 D．h＝4
【答案】B
【分析】根据题中已知条件，首先要考虑吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长为16﹣12＝4cm；最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，用勾股定理解答进而求出露在杯口外的长度最短．
【解答】解：①当吸管放进杯里垂直于底面时露在杯口外的长度最长，最长为16﹣12＝4（cm）；
②露出部分最短时与底面对角线和高正好组成直角三角形，
底面对角线直径为5cm，高为12cm，
由勾股定理可得杯里面管长为13cm，则露在杯口外的长度最长为16﹣13＝3cm；
则可得露在杯口外的长度在3cm和4cm范围变化．
故选：B．
6．（2025秋 泰兴市期末）如图，一个梯子斜靠在一竖直的墙上，当梯子位于AB时，AO＝2.4m，BO＝1.8m．如果梯子顶端下滑0.4m（即AC＝0.4m），那么梯子的底端B向右滑动 （1.8） m．
【答案】（1.8）．
【分析】先在Rt△AOB中利用勾股定理求出AB，再在Rt△OCD中利用勾股定理求出OD，从而得解．
【解答】解：在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，AO＝2.4m，BO＝1.8m，
根据勾股定理得，AB，
∴CD＝AB＝3m，
∵AC＝0.4m，
∴OC＝AO﹣AC＝2m，
在Rt△OCD中，ODm，
∴BD＝OD﹣OB＝（1.8）m，
即梯子的底端B应向右滑动（1.8）m．
故答案为：（1.8）．
7．（2025秋 中原区校级期末）如图，树根下有一个蛇洞，树高15m，树顶有一只鹰，它看见一条蛇迅速向洞口爬去，与洞口的距离还有3倍树高时，鹰向蛇扑过去，如果鹰与蛇的速度相等且鹰与蛇的路线都是直线段，则鹰应向距离树根 20 米处扑击才能恰好抓到蛇．
【答案】20．
【分析】设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得DB＝AB，设CB的长为xm，则BC＝15×3﹣x，根据勾股定理列出方程求解即可．
【解答】解：如图，设点D处为树顶，鹰向点B处扑去才能正好抓住蛇，由题意，得DB＝AB，
设CB的长为xm，则BC＝15×3﹣x，
∴BD2＝BC2+CD2，
则x2＝（15×3﹣x）2+152，
解得x＝25，
∴BC＝45﹣25＝20（m），
∴鹰向离树根20m的地方扑击才能恰好抓到蛇，
故答案为：20．
8．（2025秋 银川校级期末）某公司举行开业一周年庆典，准备在一个长13m，高5m的台阶上铺设地毯（如图），若台阶的宽为4m，地毯的价格为100元/m2，则购买地毯需花费 6800 元．
【答案】6800．
【分析】先利用勾股定理求出台阶最上面和最下面的水平距离，再求出需要铺设的地毯面积即可得到答案．
【解答】解：∵长13m，高5m的台阶，
由勾股定理可得：台阶最上面和最下面的水平距离，
∴购买地毯需花费的钱数为：（12×4+5×4）×100＝68×100＝6800（元），
故答案为：6800．
9．（2025秋 龙海区期末）某条高速路限速100km/h，如图，一辆大巴车在这条高速路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪C处的正前方50m的B处，过了4s，大巴车到达A处，此时测得大巴车与车速检测仪间的距离为130m．
（1）求A、B两地的距离；
（2）请判断这辆大巴车是否超速，并说明理由．
【分析】（1）利用勾股定理求解；
（2）用路程除以时间求出速度，与限速进行比较即可．
【解答】解：（1）由题意知，△ABC是直角三角形，AC＝130m，BC＝50m，
可得（m），
所以AB的长是120m．
（2）大巴车的速度为：30m/s＝108km/h＞100km/h，
∴这辆大巴车超速了．
10．（2025秋 浚县期末）据中央气象台消息，超强台风桦加沙于2025年9月24日在广东阳江海陵岛第一次登陆．如图，海港C接到台风警报，一台风中心在沿着直线AB的方向以20km/h的速度移动，已知距台风中心250km的区域（包括边界）都属于受台风影响区，经工作人员测量：BC＝400km，AC＝300km，AB＝500km．问：
（1）海港C会不会受到台风的影响？
（2）若海港C会受到台风的影响，那么受台风影响的时间为多少小时？
【分析】（1）通过勾股定理逆定理判断△ABC为直角三角形，利用面积法求出C到AB的距离CD，比较CD与250km的大小，确定海港是否受影响；
（2）以C为圆心、250km为半径作圆，交AB于E、F，利用勾股定理求出ED的长度，得到EF的距离，再根据速度公式计算台风影响的持续时间．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥AB于点D，AC＝300km，BC＝400km，AB＝500km，
∵3002+4002＝5002，即AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形．∠ACB＝90°，
∵S△ABC，
∴300×400＝500×CD，
解得：CD240，
∵以台风中心为圆心周围250km以内（包括250km）为受影响区域，
∴海港C受台风影响；
（2）如图2，设台风中心移动到点E，F处时刚好影响海港C，连接CE，CF，则EC＝FC＝250km，
在直角三角形CDE中，由勾股定理得：ED70（km），
∵ED＝FD，
∴EF＝2ED＝140km．
∵台风中心移动的速度为20km/h，
∴140÷20＝7（h），
∴受台风影响的时间为7h．
十、勾股定理的综合应用
1．（2025秋 莱州市期末）图1是著名的赵爽弦图，图1中大正方形的面积有两种求法，一种是等于c2，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得勾股定理：a2+b2＝c2．这种用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”．
请利用上述方法解决下面的问题：
（1）如图2，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，求AB边上的高；
（2）如图3，在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC＝4，AD是BC边上的高，求AD的值；
（3）如图4，在长方形ABCD中，AB＝3，BC＝2，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，请写出点M表示的数 ．
【分析】（1）勾股定理求出AB的长，设AB边上的高为h，等积法求出h即可；
（2）设CD＝x，则BD＝BC+CD＝4+x，利用双求法，列出方程进行求解即可；
（3）连接AC，勾股定理求出AC的长，进而得到AM的长，再利用两点间的距离公式进行求解即可．
【解答】解：（1）根据勾股定理可得，，
设AB边上的高为h，
∴，
∵S△ABC
＝16﹣4﹣2﹣4＝6，
∴，
∴；
（2）设CD＝x，则BD＝BC+CD＝4+x，
∵AD是BC边上的高，
∴AD⊥BD，
∵AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣x2，
AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣（x+4）2，
∴132﹣x2＝152﹣（x+4）2，
解得x＝5，
∴；
（3）∵四边形ABCD是长方形，
∴∠ABC＝90°，
∴，
∴AC＝AM，
∵数轴上点A表示的数是﹣2，
∴点M表示的数为．
故答案为：．
2．（2025秋 石家庄校级期末）阅读材料，解答问题：
勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，是用代数思想解决问题的重要工具．它不但应用广泛，证明方法也是层出不穷．
（1）验证定理：如图1，点B是正方形ACDE边CD上一点，连接AB，得到直角三角形ACB，设△ACB的三边分别为a，b，c，将△ACB裁剪拼接至△AEF的位置，如图2，则利用图形的面积不变能够验证勾股定理．下面是该方法验证勾股定理的过程，请你将其补充完整（用含a，b，c的式子表示）：
验证过程：连接BF，由拼图可知△ABF是直角三角形，∠BAF＝90°，
∴S△ABF＝ ，S△BDF＝
又∵S正方形ACDE＝S四边形ABDF
∴b2 ＝ + ，
整理得勾股定理a2+b2＝c2 ．
（2）定理应用：如图3，某公园有一秋千，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝0.5m，将它往前推至C处时，水平距离CD＝2m，踏板离地的垂直高度CF＝1.5m，它的绳索始终拉直，求绳索AC的长．
【分析】（1）根据图形的面积关系完成填空即可；
（2）由题意可得DE＝CF＝1.5m，即得DB＝DE﹣BE＝1m，设绳索AC的长为xm，则AD＝（x﹣1）m，再利用勾股定理解答即可求解．
【解答】解：（1）验证过程：连接BF，由拼图可知△ABF是直角三角形，∠BAF＝90°，
∴根据三角形的面积公式得，，，
又∵S正方形ACDE＝S四边形ABDF，
∴，
整理得a2+b2＝c2，
故答案为：，，b2，，，a2+b2＝c2；
（2）根据题意可得，DE＝CF＝1.5m，
∴DB＝DE﹣BE＝1.5﹣0.5＝1m，
设绳索AC的长为xm，则AB＝AC＝xm，
∴AD＝（x﹣1）m，
在Rt△ADC中，根据勾股定理得，AD2+CD2＝AC2，
∴（x﹣1）2+22＝x2，
整理得，2x＝5，
解得x＝2.5，
答：绳索AC的长为2.5m．
3．（2025秋 嵩县期末）如图，C为线段BD上一动点，分别过点B、D作AB⊥BD，ED⊥BD；连接AC、CE．已知AB＝3，DE＝2，BD＝12，设CD＝x．
（1）①用含x的代数式表示AC+CE的长；
②求出AC+CE的最小值．
（2）根据（1）中的规律和结论，重新构图求出代数式的最小值．
（3）若正实数a，b，c满足a+b＝5﹣c，请构图求出代数式的最小值．
【分析】（1）①根据勾股定理即可表示出AC+CE的长；②过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，连接AE，当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，再利用勾股定理求出AC+CE的最小值；
（2）根据题意构造图形，过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，连接AE，交BD于点C，所以代数式的最小值为AE的长，由勾股定理求得AC+CE的最小值；
（3）由条件得a+b+c＝5，将看作直角三角形的斜边，通过平移可得水平位移的总长为a+b+c，垂直位移为3+4+5，再根据两点间距离最短，可得的最小值．
【解答】解：（1）①∵BD＝12，CD＝x，
∴BC＝12﹣x，
由勾股定理可得：，，
∴．
②过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，连接AE，如图，
∴当A、C、E三点共线时，AC+CE的值最小，
∴，
∴AC+CE的最小值为13．
（2）AB⊥BD，ED⊥BD，AB＝5，DE＝1，BD＝8，如图：
过点D作DF⊥BD，过点A作AF⊥AB，连接AE，交BD于点C，
∴代数式的最小值为AE的长，
由勾股定理可得：，
∴原式的最小值为10．
（3）∵a+b＝5﹣c，
∴a+b+c＝5，
将、、看作直角三角形的斜边，
通过平移可得水平位移的总长为a+b+c＝5，垂直位移总长为3+4+5＝12，
∴的最小值为．
