湘教八下1.7 正方形 同步练习（含答案）

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1.7 正方形
一、单选题
1．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边CD上，且CE=1，连结AE，点F在边AD上，连结BF，把沿BF翻折，点A恰好落在AE上的点G处，下列结论：①AE=BF；②AD=3DF；③；④GE=0.2，其中正确的是（　　）
A．①②③④ B．①③④ C．①②③ D．①③
2．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，要得到一个正方形，剪口与折痕所成锐角的大小为（　　）
A． B． C． D．
3．如图所示，四边形ABCD是菱形，添加一个条件仍不能使它成为正方形的是（　　）
A．∠BAD=90° B．AC=BD C．∠BAD=∠ABC D．AD=BD
4．如图，已知正方形的边长为4，点P是对角线上一点，于点E，于点F，连接．给出下列结论：
①；②四边形的周长为8；
③；④；⑤的最小值为．
其中正确结论的序号为（　　）
A．①②③⑤ B．②③④ C．②③④⑤ D．②③⑤
5．如图，在四边形ABCD的外侧，以四边形的边为边分别作四个小正方形，连接相邻的两个顶点，得到四个阴影三角形，则这四个阴影三角形的面积a、b、c、d满足（　　）
A．a+b=c+d B．a2+b2=c2+d2 C．a+c=b+d D．a2+c2=b2+d2
6．如图，以正方形ABCD的边AD为一边作等边△ADE，则∠AEB等于（　　）
A．10° B．15° C．20° D．12.5°
7．如图，在正方形 中， 是 上的一点，且 ，则 的度数是（　　）
A．20度 B．22.5度 C．30度 D．45度
8．如图，正方形OABC的两边OA、OC分別在x轴、y轴上，点D(5，3)在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是（　　）
A．(1，10) B．(-2，0)
C．(2，10)或(-2，0) D．(10，2)或(-2，0)
9．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交EG于点T，交FG于点P，则GT＝（　　）
A． B．2 C．2 D．1
10．如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，E.F分别是AB，BC的中点，若沿左下图中的虚线剪开，拼成如下图所示的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．10
二、填空题
11．已知：如图，正方形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O.E、F分别是边AD、CD上的点，若AE＝4cm，CF＝3cm，且OE⊥OF，则EF的长为　 　cm.
12．如图，四边形 是正方形，延长 到点 ，使 ，则 的度数是　 　。
13．已知：正方形ABCD的边长为8，点E、F分别在AD、CD上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为　 　.
14．两个面积都为8的正方形纸片，其中一个正方形的顶点与另一个正方形对角线的交点重合，则两个正方形纸片重叠部分的面积为　 　.
15．如图，一个正方形摆放在桌面上，那么这个正方形的边长为 　 　．
三、解答题
16．如图，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在CD、AD、BC上，FG⊥BE，垂足为O，OB=OE，BC=8，EC=3．求AF的长．
17．如图1，将长为，宽为的矩形分割成四个全等的直角三角形，拼成“赵爽弦图”（如图2），得到大小两个正方形．若图2中阴影小正方形的面积为49．则a的值为．
18．如图，正方形纸片ABCD的边长为3，点E、F分别在边BC、CD上，将AB、AD分别沿AE、AF折叠，点B、D恰好都落在点G处，已知BE=1，求EF的长.
19．在正方形ABCD中，E为BC的中点，F是CD上一点，且FC= 试说明：AE⊥EF.
20．如图所示， 是一个正方形花园，E，F是它的两个门，且 .要修建两条路 和 ，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？
21．如图，在正方形ABCD中，E，F分别BC，CD边上的一点，且BE＝2EC，FC＝ DC，连接AE，AF，EF，求证：△AEF是直角三角形.
22．已知：如图，在正方形ABCD中，E为DC上一点，AF平分∠BAE且交BC于点F.
求证：BF+DE=AE.
23．正方形ABCD中，P为对角线BD上一点，PE⊥BC，垂足为E，PF⊥CD， 垂足为F，求证：EF＝AP
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的面积；勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）；三角形全等的判定-ASA
2．【答案】B
【知识点】正方形的判定与性质
3．【答案】D
【知识点】正方形的判定
4．【答案】C
【知识点】正方形的性质；四边形的综合
5．【答案】C
【知识点】正方形的性质
6．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理；等边三角形的性质；正方形的性质
7．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质
8．【答案】C
【知识点】正方形的性质；坐标与图形变化﹣旋转
9．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质；等腰直角三角形
10．【答案】B
【知识点】正方形的性质
11．【答案】5
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-ASA
12．【答案】22.5°
【知识点】正方形的性质
13．【答案】5
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角三角形斜边上的中线
14．【答案】2
【知识点】正方形的性质
15．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-AAS
16．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质
17．【答案】4
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
18．【答案】解：折叠得到，
.
.
折叠得到，
.
.
正方形边长为 3，
.
，
.
设，则.
，.
在中，，
.
.
.
.
【知识点】勾股定理；正方形的性质；翻折变换（折叠问题）
19．【答案】证明：连接AF，
设FC=a，则DC=DA=AB=BC=4a
所以DF=3a，CE=EB=2a．
由勾股定理得AF=5a，
EF= a，AE=2 a从而由
（ a）2+（2 a）2=（5a）2
即EF2+AE2=AF2
∴△AEF为直角三角形，斜边为AF，
故∠AEF=90°，
即AE⊥EF．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
20．【答案】解：BE=AF，BE⊥AF；
理由：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CD，DE=CF，
∴AE=DF，
又∠BAE=∠D=90°，AB=AD，
∴△BAE≌△ADF
∴BE=AF，∠ABE=∠FAD，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠FAD+∠AEB=90°，
∴BE⊥AF.
故BE=AF，BE⊥AF.
【知识点】三角形内角和定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
21．【答案】证明：设FC＝2a，则DC＝9a，DF＝7a.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝CD＝9a， .
∵BE＝2CE，
∴BE＝6a，EC＝3a.
在Rt△ECF中，EF2＝EC2＋FC2＝（3a）2＋（2a）2＝13a2.
在Rt△ADF中，AF2＝AD2＋DF2＝（9a）2＋（7a）2＝130a2.
在Rt△ABE中，AE2＝AB2＋BE2＝（9a）2＋（6a）2＝117a2.
∵13a2＋117a2＝130a2，
∴EF2＋AE2＝AF2.
∴△AEF是以∠AEF为直角的直角三角形.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；正方形的性质
22．【答案】解：证明：∵ABCD是正方形，
∴△ABF以点A为中心顺时针旋转90°，AB必与AD重合，设点F的对应点为F′，得△ADF′，且有△ABF≌△ADF′，如图所示.
∵∠ADF′+∠ADE=180°，
∴F′，D，E，C四点共线.
∵AD∥BC，
∴∠DAF=∠AFB.
又∵∠3=∠2=∠1，
∴∠F′AE=∠DAF=∠AFB.
而∠AF′D=∠AFB，
∴∠AF′D=∠F′AE，
∴AE=EF′=DF′+DE.
∵DF′=BF，
∴BF+DE=AE.
【知识点】平行线的性质；正方形的性质；旋转的性质
23．【答案】证明：分别延长FP、EP交AB于F'，AD于E'，可知四边形BEPF'和FPE′D是正方形，∴PE=PF'=AE'，PF=PE'．且∠AE'P=∠EPF．∴△APE'≌△EFP．∴AP=EF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；正方形的性质
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