湘教八下1.4 三角形的中位线定理 同步练习（含答案）

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1.4 三角形的中位线定理
一、单选题
1．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，BC＝3，AB＝4，点D，E分别是AB，AC的中点，CF平分Rt△ABC的一个外角∠ACM，交DE的延长线于点F，则DF的长为（　　）
A．4 B．5 C．5.5 D．6
2．如图所示，一架长5m的梯子（AB），斜靠在与地面（OM）垂直的墙（ON）上，这时梯子的顶端A距地面4m.梯子的正中间P点处有一只老鼠，梯子顶端A的正下方墙角O处有一只猫.下列说法错误的是（　　）
A．梯子的底端B到墙的距离为3m
B．P处的老鼠离地面的距离为2m
C．梯子顶端沿墙下滑的长度和梯子底端沿地面向右滑行的距离不一定相等
D．梯子下滑的时候老鼠就会离猫越来越近
3．如图，在中，D，E，F分别为三边的中点，，则四边形AEDF的周长为（　　）
A．40 B．30 C．20 D．10
4．已知 的周长为 ，D，E，F分别为AB，BC，CA的中点，且 ， ，那么DE的长是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，要测定被池塘隔开的A，B两点的距离.可以在AB外选一点C，连接AC，BC，并分别找出它们的中点D，E，连接DE.现测得AC＝30m，BC＝40m，DE＝24m，则AB＝（　　）
A．50m B．48m C．45m D．35m
6．如图，平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E是BC的中点．若OE=3cm，则AB的长为（　　）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
7．如图，在 中， ，点 ， 分别是边 ， 的中点，那么 的长为
A．2 B．1.5 C．4 D．3
8．如图，AB∥CD，E，F分别为AC，BD的中点，若AB=5，CD=3，则EF的长是（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
9．如图，四边形中，，点分别为线段上的动点，点分别为的中点，则的长度可能为（　　）
A．2 B．2.3 C．4 D．7
10．如图，在四边形 中，点P是边 上的一个动点，点Q是边 上的一个定点，连接 和 ，点E和F分别是 和 的中点，则随着点P的运动，线段 的长（　　）
A．逐渐变大 B．逐渐变小
C．先变小再变大 D．始终不变
二、填空题
11．如图，中，，，，点是边上的一个动点，将线段绕点顺时针旋转60°得到线段，连接，则在点运动过程中，线段的最小值为　 　.
12．如图，点D，E是 的边AB，AC上的点，已知F，G，H分别是DE，BE，BC中点，连接BE，FH，若BD=8，CE=6，∠FGH=90°，则FH长为　 　.
13．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB=90°，若AB=16，BC=18，则EF的长为　 　．
14．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90 ，D、E、F分别为AB、BC、CA的中点，若BF＝6，则DE＝　 　.
15．直角△ABC中，∠BAC =90°，D、E、F分别为AB、BC、AC的中点，已知DF=3，则AE= 　 　.
三、解答题
16．如图，中，是中线，是角平分线，于F，，，求的长．
17．如图，在中，点D、E分别是边的中点，连接，点F是线段上的一点，连接，若，求的长度．
18．如图，在四边形 中， ，接 ，E，F，M分别是 ， ， 的中点，连接 ， .求证： .
19．完成下列证明过程，求证：三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半．
已知：
求证：
20．如图所示，在四边形ABCD中，AB=CD，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∠ABD=20°，∠BDC=70°，求∠PMN的度数.
21．加图，在 中， .点 是斜边 的中点， ，垂足为 ，若 ，求 的长.
22．【提出问题】
如图1，和都是等腰直角三角形，，连接，取的中点，连接，．当点，分别在边，上时，线段和的数量关系是 ．
【类比探究】
已知等边，等腰且，将绕点顺时针旋转一定角度后得到，如图，连接，点为线段的中点，连接、，探索与的数量关系．
（1）通过特例可以猜想一般结论．请你在备用图上画出一个符合条件的特殊图形，猜想： ；
（2）在一般情形下，请利用图2验证你的猜想．
【迁移应用】
如图3，等腰中，，，，等腰中，，，点为线段的中点，则 ．(请用含有，的式子表示)
23．已知△ABC为等边三角形，D为AC的中点，∠EDF＝120°，DE交线段AB于E，DF交直线BC于F．
（1）如图（1），求证：DE＝DF；
（2）如图（2），若BE＝3AE，求证：CF＝BC．
（3）如图（3），若BE＝AE，则CF＝　 　BC；在图（1）中，若BE＝4AE，则CF＝　 　BC．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】等腰三角形的性质；勾股定理；三角形的中位线定理
2．【答案】D
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
3．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
4．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
5．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
6．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
7．【答案】A
【知识点】三角形的中位线定理
8．【答案】D
【知识点】全等三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
9．【答案】C
【知识点】直角三角形的性质；三角形的中位线定理
10．【答案】D
【知识点】三角形的中位线定理
11．【答案】4
【知识点】垂线段最短及其应用；含30°角的直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形的中位线定理
12．【答案】5
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
13．【答案】1
【知识点】三角形的中位线定理
14．【答案】6
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
15．【答案】3
【知识点】三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
16．【答案】
【知识点】三角形的中位线定理
17．【答案】2
【知识点】等腰三角形的判定；三角形的中位线定理
18．【答案】证明： ，F分别是 ， 的中点，
是 的中位线，
.
， 是 的中点，
.
【知识点】直角三角形的性质；三角形的中位线定理
19．【答案】已知：在△ABC中，AD=DB，AE=EC求证：DE∥BC，DE= BC证明：延长ED到点F，使DF=DE，连接FA、FB、BE．∵AD=BD，DE=DF∴四边形AEBF是平行四边形．∴BF∥AE，BF=AE，DE= EF，∵AE=EC，∴BF∥CE，BF=CE，∴四边形BCEF是平行四边形．∴DE∥BC，EF=BC，∴DE= EF= BC．
【知识点】三角形的中位线定理
20．【答案】解：∵在四边形ABCD中，M、N、P分别是AD、BC、BD的中点，∴PN，PM分别是△CDB与△DAB的中位线，∴PM= AB，PN= DC，PM∥AB，PN∥DC，∵AB=CD，∴PM=PN，∴△PMN是等腰三角形，∵PM∥AB，PN∥DC，∴∠MPD=∠ABD=20°，∠BPN=∠BDC=70°，∴∠MPN=∠MPD+∠NPD=20°+110°=130°，∴∠PMN= =25°．
【知识点】平行线的性质；等腰三角形的判定与性质；三角形的中位线定理
21．【答案】解： 在 中， ，
∴ ∥ ，
点 为 中点，
∴DE为△ABC的中位线，又 ，
，
在 中， ，
由勾股定理得 ，
∴在 中，由勾股定理得： .
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理
22．【答案】[提出问题] ，[类比探究]（1）；（2）；[迁移应用]
【知识点】相似三角形的判定与性质；旋转的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
23．【答案】证明：（1）如图1中，连接BD，作DM⊥AB于M，DN⊥BC于N，
∵∠DMB＝∠DNB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠MDN＝120°，
∵∠EDF＝120°，
∴∠EDF=∠MDN，
∴∠MDE＝∠NDF，
∵在△ABC是等边三角形中AD＝DC，
∴∠DBA＝∠DBC，
∵DM⊥AB，DN⊥BC
∴DM＝DN，
∴△DME≌△DNF，
∴DE＝DF．
（2）如图2中，作DK∥BC交AB于K．设AE＝a，则BE＝3a，AB＝AC＝BC＝4a，
∵AD＝DC，DK∥CB，
∴AK＝BK＝2a，DK＝BC＝2a
∵在△ABC是等边三角形中，DK∥CB
∴
∴△ADE是等边三角形
∴AD=AK=DK=2a
∵AE＝a，AK＝2a
∴EK=AE＝a，
∴DE⊥AK，
∴∠BED＝90°，
∵∠BED+∠BFD＝180°，
∴∠DFB＝90°，
在Rt△CDF中，∵∠C＝60°，
∴CF＝CD＝a，
∴CF＝BC．
（3），．
【知识点】三角形全等及其性质；等边三角形的性质；含30°角的直角三角形；三角形的中位线定理
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