北京市顺义区第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题
1．（2025高三上·顺义月考）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意得，，所以.
故答案为：C
【分析】先化简集合B，再求集合A与B的交集，交集指同时属于两个集合的元素组成的集合。
2．（2025高三上·顺义月考）在复平面内，复数，，则对应的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
，
在复平面内，复数对应的点的坐标为，因此对应的点的坐标是.
故答案为：D.
【分析】先通过复数乘法计算 z1 z2 ，再根据复数与复平面点的对应关系可得答案。
3．（2025高三上·顺义月考）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、由，得，该选项错误，符合题意；
C、由，得，，该选项正确，符合题意；
B、由，，因此，该选项错误，不合题意；
D、由，得，，该选项错误，不合题意.
故答案为：C
【分析】由，得，可判断A；同理，，可判断C；同理，，因此，可判断B；由，得，，可判断D.
4．（2025高三上·顺义月考）在的展开式中，常数项为（ ）
A．6 B． C．24 D．
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：的展开式的通项为.
令，得.
所以在的展开式中，常数项为.
故答案为：C.
【分析】用二项式定理写出展开式的通项，再令x的指数为0，即可求出常数项。
5．（2025高三上·顺义月考）已知为角终边上一点，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：当时，，则，充分性成立，
当时，则，可得，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】分别判断“”能否推出“”，以及“”能否推出“”，从而确定条件类型。
6．（2025高三上·顺义月考）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题设，可得，故，
所以双曲线的渐近线为.
故答案为：C
【分析】先根据双曲线的离心率公式求出 a2 的值，再代入渐近线方程即可得到结果。
7．（2025高三上·顺义月考）中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面为矩形，侧棱平面，若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下：，且各侧面与底面ABCD所成角均为，则该“刍甍”的体积为（ ）
A． B．8 C． D．
【答案】C
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；平面与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：过作平面交平面于，过作交于，
交于，过作交于，连接，
平面，平面，，
，，平面，
平面，平面，，
为侧面与底面ABCD所成的角，
各侧面与底面ABCD所成角均为，
，，
平面，平面，
，
，，平面，
平面，平面，
，为侧面与底面ABCD所成的角，
各侧面与底面ABCD所成角均为，
，
，同理，，
，，，
，
过作平面平面，交于，交于，
则五面体可分割为直棱柱和两个体积相同的四棱锥，
，侧棱平面，，
，
，
该五面体的体积为，
该“刍甍”的体积为.
故答案为：C.
【分析】这个 “刍甍” 是一个五面体，我们可以用分割法把它拆成一个直棱柱和两个四棱锥，分别计算体积再相加。
8．（2025高三上·顺义月考）长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；轨迹方程
【解析】【解答】解：设，则，即.
记线段的中点为点，设点的坐标为，则.
所以，即.
所以点的轨迹为以原点为圆心，半径的圆.
点到直线的距离为.
所以点到直线的距离的最大值为.
故答案为：D.
【分析】首先确定线段AB中点的轨迹是一个圆，然后把问题转化为求圆上的点到直线的最大距离，即圆心到直线的距离+圆的半径。
9．（2025高三上·顺义月考）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；解三角形
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以，
因为，
所以，即在方向上的投影长度为1，
设的中点为E，则，连接DE，DA，DC，DB，
所以，所以，
则，
当B、D、C三点共线时取等号，
故答案为：A
【分析】先分析向量条件得到点D的轨迹性质，再利用几何转化求∣BD∣+∣AD∣的最小值。
10．（2025高三上·顺义月考）已知函数，给出下列四个结论：
①，使得为偶函数；
②，使得存在最小值；
③，在上单调递减；
④，使得有三个零点；
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于①，当时，，又，
所以是偶函数，故，使得为偶函数，故①正确；
对于②③，当时，若，，
当时，可得，所以，则，
又，则，又，则，
所以函数在上单调递减，
当时，，所以，则，
所以函数在上单调递减，
综上所述：函数在上单调递减，
又当时，，
又，，所以不存在最小值，故②错误，③正确；
对于④，函数的零点即为方程的根，
即方程的根，即函数与函数的交点，
画出函数与的图像，如图所示：
由函数图象可知和至多有两个交点，
所以至多有两个零点，故④错误.
所以，正确命题的个数为2个.
故答案为：B.
【分析】逐一分析四个结论，利用奇偶性定义、导数判断单调性、零点存在定理来验证每个结论的正确性。
11．（2025高三上·顺义月考）函数的定义域为 ．
【答案】
【知识点】对数函数的概念与表示；简单函数定义域
【解析】【解答】解：由题设有，故，
故答案为：.
【分析】根据解析式得到分母不为0，真数大于0得，其解为函数的定义域.
12．（2025高三上·顺义月考）抛物线的焦点F到其准线的距离为 ；抛物线上一点M，且，则M点的横坐标为 .
【答案】2；6
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线可知其焦准距为，
即其焦点F到准线的距离为2，准线方程为；
设M点横坐标为x，则由，得，
即M点的横坐标为6，
故答案为：2；6
【分析】第一空：利用抛物线的基本定义，焦点到准线的距离就是焦参数 p；
第二空：利用抛物线的焦半径公式，抛物线上任一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
13．（2025高三上·顺义月考）已知函数且，则 ，当时，曲线与直线恰有一个公共点，写出一个满足条件的值 .
【答案】；1（答案不唯一，写出“或”范围内的任意一个值即可）
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：由 得 ，即 ，又 ，解得 ；
此时 ，
，
当 时，令，作出的图象，
由题意得：曲线 与直线 恰有一个公共点时，
即曲线 与直线 恰有一个交点，故或.
故答案为：；1（答案不唯一，写出“或”范围内的任意一个值即可）
【分析】第一空：代入 求出 ；
第二空：化简函数 ，分析在区间 上的取值范围，找到使曲线与直线恰有一个公共点的 值。
14．（2025高三上·顺义月考）已知等差数列与等比数列的首项均为－3，且，，则数列的通项公式为 ，数列的最大值为 .
【答案】；
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，可得公差，
所以；
又因，可得，又因，所以，则得，
所以，
则，显然第一项为正，第二项为负，
当时，奇数项都是负数，偶数项都是正数，并设，
则，所以当时，，
所以数列从往后递减，
又因为，，，，
所以最大项为，则数列的最大值为.
故答案为：；.
【分析】第一空：先求出等差数列 的公差，再写出通项公式；
第二空：求出等比数列 的公比，写出 的表达式，再通过分析单调性找到最大值。
15．（2025高三上·顺义月考）在平面内，到两个定点和的距离之积为常数的点的轨迹是一条优美的曲线，设点P在轨迹曲线C上，有以下结论：
①曲线C关于原点对称；
②当时，P点的横坐标不超过；
③的面积可以等于；
④点P到原点距离．
其中，所有正确结论的序号是 ．
【答案】①②④
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：设点，由题意得.
∴，∴
当点时，，轨迹方程成立，
∴曲线C关于原点对称，①正确；
∵，，
当时，，则，
∴，即，∵，∴，即，②正确；
，令，则
∴，
当且仅当，即时，取最大值为，
∴，∵，∴③错误；
，即，
∵，∴，
∴，④正确.
故答案为：①②④
【分析】先建立曲线方程，再利用对称性、坐标范围、面积公式和距离公式逐一验证各结论。
16．（2025高三上·顺义月考）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面，且，E是的中点，平面与线段交于点F.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
【答案】（1）证明：在矩形中，，
又平面，平面，
所以平面，
又因为平面，且平面平面，
所以.
（2）解：由（1）可知，
又因为E是的中点，所以F是的中点，
因为平面平面，
所以
因为，即，故.
又在矩形中，，
所以两两垂直.
如图以D为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为
由，得，
令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线BE与平面BCF所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)利用矩形的对边平行得到 ，结合线面平行的判定定理得 平面 ，再由线面平行的性质定理推出 。
(2)建立空间直角坐标系，先由 求出 的长度，再求出平面 的法向量，最后用线面角的向量公式计算正弦值。
（1）在矩形中，，
又平面，平面，
所以平面，
又因为平面，且平面平面，
所以.
（2）由（1）可知，
又因为E是的中点，所以F是的中点，
因为平面平面，
所以
因为，即，故.
又在矩形中，，
所以两两垂直.
如图以D为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为
由，得，
令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线BE与平面BCF所成角的正弦值为.
17．（2025高三上·顺义月考）在中，.
（1）求；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：的周长为；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
【答案】（1）解：在中，，
由正弦定理，可得，
整理得，
因为，，所以，即，
因为，所以.
（2）解：选择条件①：因为的周长为，
，则，
由余弦定理，得，
所以，即，
解得，所以的面积；
选择条件②：因为，，
所以，因为，
由正弦定理，可得，
又，，
所以，
所以的面积；
选择条件③：因为，
由正弦定理，可得，
因为，所以不唯一，
因为存在且唯一确定，故条件③不成立．
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】 (1) 利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角恒等变换求出 tanB，从而得到角B。
(2) 条件①：用周长和余弦定理联立求出 c，再用面积公式计算。
条件②：用同角三角函数求出 sinA，再用正弦定理求 b，用和角公式求 sinC，最后计算面积。
条件③：用正弦定理判断三角形解不唯一，不符合题意。
（1）在中，，
由正弦定理，可得，
整理得，
因为，，所以，即，
因为，所以.
（2）选择条件①：因为的周长为，
，则，
由余弦定理，得，
所以，即，
解得，所以的面积；
选择条件②：因为，，
所以，因为，
由正弦定理，可得，
又，，
所以，
所以的面积；
选择条件③：因为，
由正弦定理，可得，
因为，所以不唯一，
因为存在且唯一确定，故条件③不成立．
18．（2025高三上·顺义月考）某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）
车型 低收入群体 （收入<20万元/年） 中收入群体 （收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年）
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
EV 50 20 40 40 30 20
PHEV 25 45 40 40 35 15
假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率.
（1）在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p；
（2）从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为，试比较p和的大小.
【答案】（1）解：由表可知200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人，频率为，
用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为；
（2）解：用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买纯电动版的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买纯电动版的概率估计，
由题意可知X可能取值为0，1，2，3，
分布列如下：
X 0 1 2 3
p
（3）解：低收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；
中收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；
高收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；
利用全概率公式可得：
所以
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；用频率估计概率
【解析】【分析】(1) 用频率估计概率，计算愿意购买纯电动（EV）的总人数，再除以总调查人数得到概率。
(2) 先确定中收入群体和高收入群体愿意购买EV的概率，再分析 X（3人中愿意购买EV的人数）的所有可能取值，分别计算对应概率，最后求期望。
(3) 按C社区的收入群体比例，计算加权平均的购买概率 pA ，再与第 (1) 的p比较大小。
（1）由表可知200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人，频率为，用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为；
（2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买纯电动版的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买纯电动版的概率估计，
由题意可知X可能取值为0，1，2，3，
分布列如下：
X 0 1 2 3
p
（3）低收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；
中收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；
高收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；
利用全概率公式可得：
所以
19．（2025高三上·顺义月考）已知椭圆的上，下顶点分别为，且短轴长为2，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轴交于点，点为椭圆上不同于顶点的一点，且直线与直线交于点，AM与直线交于点，判断是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
【答案】（1）解：由椭圆的短轴长为，可得，解得，
又由椭圆的离心率为，即，所以，
因为，可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由直线与轴的交点为，且椭圆的上下顶点为，
设椭圆上不同于顶点的点，
可得，即，
由直线的斜率为，则直线的方程为，
令，可得，解得，所以，
又由直线的斜率为，则直线的方程为，
令，可得，解得，所以，
假设存在点，使得，则，即，
因为，
可得，解得，所以，所以，
即点的坐标为或，
所以存在点或，使得成立.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用短轴长直接得 ，结合离心率 与 求出 ，从而写出椭圆标准方程。
(2)设点 ，写出直线 、 的方程，求出它们与 的交点 、 的坐标；利用 推出 ，建立方程求解 ，进而得到点 的坐标。
（1）解：由椭圆的短轴长为，可得，解得，
又由椭圆的离心率为，即，所以，
因为，可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由直线与轴的交点为，且椭圆的上下顶点为，
设椭圆上不同于顶点的点，
可得，即，
由直线的斜率为，则直线的方程为，
令，可得，解得，所以，
又由直线的斜率为，则直线的方程为，
令，可得，解得，所以，
假设存在点，使得，则，即，
因为，
可得，解得，所以，所以，
即点的坐标为或，
所以存在点或，使得成立.
20．（2025高三上·顺义月考）已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）设，证明：当时，；
（3）若恒成立，求实数的值．
【答案】（1）解：由函数，可得，
则，即切线的斜率为，切点坐标为，
所以在处的切线方程为.
（2）证明：由函数，可得，
当时，可得，所以，在上单调递增，
所以，
所以当时，.
（3）解：由函数，可得其定义域为，且，
当时，，所以在上单调递增，
当时，；当时，，
设，要使得恒成立，即恒成立，
当时，；当时，，
所以，即，解得，
下面证明：当时，恒成立，
由，可得，
当时，，在上单调递增，；
当时，设，可得，
因为，可得，所以在单调递增，
又由，
所以存在唯一，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为且，
所以当时，恒成立，
综上可得，当时，，即实数的值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求函数在某点的切线方程，先求导数得到切线斜率，再用点斜式写出方程。
(2)证明 时 ，通过求导判断 的单调性，再结合 得出结论。
(3)不等式 恒成立，先分析 的符号区间，再对 提出符号匹配要求，结合 的点和极限情况求解 。
（1）解：由函数，可得，
则，即切线的斜率为，切点坐标为，
所以在处的切线方程为.
（2）证明：由函数，可得，
当时，可得，所以，在上单调递增，
所以，
所以当时，.
（3）解：由函数，可得其定义域为，且，
当时，，所以在上单调递增，
当时，；当时，，
设，要使得恒成立，即恒成立，
当时，；当时，，
所以，即，解得，
下面证明：当时，恒成立，
由，可得，
当时，，在上单调递增，；
当时，设，可得，
因为，可得，所以在单调递增，
又由，
所以存在唯一，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为且，
所以当时，恒成立，
综上可得，当时，，即实数的值为.
21．（2025高三上·顺义月考）项数为的数列满足如下两个性质，则称为一个满足“绝对值关联”的阶数列；
①（其中）；
②.
（1）判断数列是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？说明理由；
（2）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，证明：的最小值为；
（3）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，求的最小值.
【答案】（1）解：不是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，因为．
是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，
因为，且，满足两个性质.
（2）解：因为数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，所以，即．
又，所以，同时，
所以解得.
又数列是一个满足“绝对值关联”的6阶数列，
所以的最小值为.
（3）解：数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，所以，且，
不妨设，，其中，
记，不妨设（否则用代替即可），
，所以．
因为，，
所以且，即不小于和中的最大者，
当或时，和中的最大者均为，所以，
当或时，或者，所以．
综上，当数列前项为正，后项为负时取等号，
此时数列可为：符合题意．
所以的最小值为．
【知识点】数列的应用；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）有定义，代入绝对值得．，，满足两个性质即可判断；
（2）代入绝对值关联”的阶数列定义得得到，得，得数列是一个满足“绝对值关联”的6阶数列；
（3）由“绝对值关联”的阶数列定义得，且，类比（1）、（2）得判断方法可得，，再即，且，再分类讨论当或时，和当或时即可得解.
（1）不是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，
因为．
是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，
因为，且，满足两个性质.
（2）因为数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，
所以，即．
又，所以，同时，
所以解得.
又数列是一个满足“绝对值关联”的6阶数列，
所以的最小值为.
（3）数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，
所以，且，
不妨设，，其中，
记，不妨设（否则用代替即可），
，所以．
因为，，
所以且，即不小于和中的最大者，
当或时，和中的最大者均为，所以，
当或时，或者，所以．
综上，当数列前项为正，后项为负时取等号，
此时数列可为：符合题意．
所以的最小值为．
1 / 1北京市顺义区第一中学2025-2026学年高三上学期12月月考数学试题
1．（2025高三上·顺义月考）已知集合，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2025高三上·顺义月考）在复平面内，复数，，则对应的点的坐标是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025高三上·顺义月考）若，则下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2025高三上·顺义月考）在的展开式中，常数项为（ ）
A．6 B． C．24 D．
5．（2025高三上·顺义月考）已知为角终边上一点，“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．（2025高三上·顺义月考）已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
7．（2025高三上·顺义月考）中国古代数学著作《九章算术》中记载的“刍甍”(如图）是一种五面体，底面为矩形，侧棱平面，若有“刍甍”形状的几何体，且几何体数据如下：，且各侧面与底面ABCD所成角均为，则该“刍甍”的体积为（ ）
A． B．8 C． D．
8．（2025高三上·顺义月考）长度为4的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（ ）
A． B．3 C．4 D．6
9．（2025高三上·顺义月考）在中，，，为所在平面内的动点，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2025高三上·顺义月考）已知函数，给出下列四个结论：
①，使得为偶函数；
②，使得存在最小值；
③，在上单调递减；
④，使得有三个零点；
其中正确的结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．（2025高三上·顺义月考）函数的定义域为 ．
12．（2025高三上·顺义月考）抛物线的焦点F到其准线的距离为 ；抛物线上一点M，且，则M点的横坐标为 .
13．（2025高三上·顺义月考）已知函数且，则 ，当时，曲线与直线恰有一个公共点，写出一个满足条件的值 .
14．（2025高三上·顺义月考）已知等差数列与等比数列的首项均为－3，且，，则数列的通项公式为 ，数列的最大值为 .
15．（2025高三上·顺义月考）在平面内，到两个定点和的距离之积为常数的点的轨迹是一条优美的曲线，设点P在轨迹曲线C上，有以下结论：
①曲线C关于原点对称；
②当时，P点的横坐标不超过；
③的面积可以等于；
④点P到原点距离．
其中，所有正确结论的序号是 ．
16．（2025高三上·顺义月考）如图，在四棱锥中，底面ABCD是矩形，底面，且，E是的中点，平面与线段交于点F.
（1）求证：；
（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.
17．（2025高三上·顺义月考）在中，.
（1）求；
（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件①：的周长为；
条件②：；
条件③：．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18．（2025高三上·顺义月考）某品牌汽车计划推出两款新型车，纯电动（EV)和插混电动版(PHEV)，为了解某市将来市场情况，在该市潜在消费群体中抽取200人进行购买意愿调查，调查数据按收入水平分组如下表（单位：人）
车型 低收入群体 （收入<20万元/年） 中收入群体 （收入20万元-50万元/年） 高收入群体（收入>50万元/年）
愿意 不愿意 愿意 不愿意 愿意 不愿意
EV 50 20 40 40 30 20
PHEV 25 45 40 40 35 15
假设所有潜在消费者的购买意愿都是相互独立，用频率估计概率.
（1）在该市汽车潜在消费者中随机抽取1人，估计其愿意购买纯电动（EV)的概率p；
（2）从该市潜在消费者的中收入群体中随机抽取2人，在高收入群体中随机抽取1人，记X为3人中愿意购买纯电动（EV)汽车的人数，求X的分布列和数学期望；
（3）若该市C社区中汽车潜在消费者低收入群体、中收入群体、高收入群体的人数之比为1：4：2，从该社区随机抽取1人，其愿意购买纯电动(EV)汽车的概率设为，试比较p和的大小.
19．（2025高三上·顺义月考）已知椭圆的上，下顶点分别为，且短轴长为2，离心率为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）设直线与轴交于点，点为椭圆上不同于顶点的一点，且直线与直线交于点，AM与直线交于点，判断是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.
20．（2025高三上·顺义月考）已知函数．
（1）求在处的切线方程；
（2）设，证明：当时，；
（3）若恒成立，求实数的值．
21．（2025高三上·顺义月考）项数为的数列满足如下两个性质，则称为一个满足“绝对值关联”的阶数列；
①（其中）；
②.
（1）判断数列是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？是否为一个满足“绝对值关联”的阶数列？说明理由；
（2）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，证明：的最小值为；
（3）若数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，求的最小值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由题意得，，所以.
故答案为：C
【分析】先化简集合B，再求集合A与B的交集，交集指同时属于两个集合的元素组成的集合。
2．【答案】D
【知识点】复数在复平面中的表示；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，
，
在复平面内，复数对应的点的坐标为，因此对应的点的坐标是.
故答案为：D.
【分析】先通过复数乘法计算 z1 z2 ，再根据复数与复平面点的对应关系可得答案。
3．【答案】C
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、由，得，该选项错误，符合题意；
C、由，得，，该选项正确，符合题意；
B、由，，因此，该选项错误，不合题意；
D、由，得，，该选项错误，不合题意.
故答案为：C
【分析】由，得，可判断A；同理，，可判断C；同理，，因此，可判断B；由，得，，可判断D.
4．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项式定理的应用
【解析】【解答】解：的展开式的通项为.
令，得.
所以在的展开式中，常数项为.
故答案为：C.
【分析】用二项式定理写出展开式的通项，再令x的指数为0，即可求出常数项。
5．【答案】A
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】解：当时，，则，充分性成立，
当时，则，可得，必要性不成立，
所以“”是“”的充分不必要条件.
故答案为：A
【分析】分别判断“”能否推出“”，以及“”能否推出“”，从而确定条件类型。
6．【答案】C
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：由题设，可得，故，
所以双曲线的渐近线为.
故答案为：C
【分析】先根据双曲线的离心率公式求出 a2 的值，再代入渐近线方程即可得到结果。
7．【答案】C
【知识点】组合几何体的面积、表面积、体积问题；平面与平面平行的判定；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：过作平面交平面于，过作交于，
交于，过作交于，连接，
平面，平面，，
，，平面，
平面，平面，，
为侧面与底面ABCD所成的角，
各侧面与底面ABCD所成角均为，
，，
平面，平面，
，
，，平面，
平面，平面，
，为侧面与底面ABCD所成的角，
各侧面与底面ABCD所成角均为，
，
，同理，，
，，，
，
过作平面平面，交于，交于，
则五面体可分割为直棱柱和两个体积相同的四棱锥，
，侧棱平面，，
，
，
该五面体的体积为，
该“刍甍”的体积为.
故答案为：C.
【分析】这个 “刍甍” 是一个五面体，我们可以用分割法把它拆成一个直棱柱和两个四棱锥，分别计算体积再相加。
8．【答案】D
【知识点】平面内点到直线的距离公式；轨迹方程
【解析】【解答】解：设，则，即.
记线段的中点为点，设点的坐标为，则.
所以，即.
所以点的轨迹为以原点为圆心，半径的圆.
点到直线的距离为.
所以点到直线的距离的最大值为.
故答案为：D.
【分析】首先确定线段AB中点的轨迹是一个圆，然后把问题转化为求圆上的点到直线的最大距离，即圆心到直线的距离+圆的半径。
9．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算；解三角形
【解析】【解答】解：因为，，
所以，
所以，
因为，
所以，即在方向上的投影长度为1，
设的中点为E，则，连接DE，DA，DC，DB，
所以，所以，
则，
当B、D、C三点共线时取等号，
故答案为：A
【分析】先分析向量条件得到点D的轨迹性质，再利用几何转化求∣BD∣+∣AD∣的最小值。
10．【答案】B
【知识点】函数的奇偶性；利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：对于①，当时，，又，
所以是偶函数，故，使得为偶函数，故①正确；
对于②③，当时，若，，
当时，可得，所以，则，
又，则，又，则，
所以函数在上单调递减，
当时，，所以，则，
所以函数在上单调递减，
综上所述：函数在上单调递减，
又当时，，
又，，所以不存在最小值，故②错误，③正确；
对于④，函数的零点即为方程的根，
即方程的根，即函数与函数的交点，
画出函数与的图像，如图所示：
由函数图象可知和至多有两个交点，
所以至多有两个零点，故④错误.
所以，正确命题的个数为2个.
故答案为：B.
【分析】逐一分析四个结论，利用奇偶性定义、导数判断单调性、零点存在定理来验证每个结论的正确性。
11．【答案】
【知识点】对数函数的概念与表示；简单函数定义域
【解析】【解答】解：由题设有，故，
故答案为：.
【分析】根据解析式得到分母不为0，真数大于0得，其解为函数的定义域.
12．【答案】2；6
【知识点】抛物线的标准方程；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：由抛物线可知其焦准距为，
即其焦点F到准线的距离为2，准线方程为；
设M点横坐标为x，则由，得，
即M点的横坐标为6，
故答案为：2；6
【分析】第一空：利用抛物线的基本定义，焦点到准线的距离就是焦参数 p；
第二空：利用抛物线的焦半径公式，抛物线上任一点到焦点的距离等于该点到准线的距离。
13．【答案】；1（答案不唯一，写出“或”范围内的任意一个值即可）
【知识点】含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【解答】解：由 得 ，即 ，又 ，解得 ；
此时 ，
，
当 时，令，作出的图象，
由题意得：曲线 与直线 恰有一个公共点时，
即曲线 与直线 恰有一个交点，故或.
故答案为：；1（答案不唯一，写出“或”范围内的任意一个值即可）
【分析】第一空：代入 求出 ；
第二空：化简函数 ，分析在区间 上的取值范围，找到使曲线与直线恰有一个公共点的 值。
14．【答案】；
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列与等比数列的综合
【解析】【解答】解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
由，，可得公差，
所以；
又因，可得，又因，所以，则得，
所以，
则，显然第一项为正，第二项为负，
当时，奇数项都是负数，偶数项都是正数，并设，
则，所以当时，，
所以数列从往后递减，
又因为，，，，
所以最大项为，则数列的最大值为.
故答案为：；.
【分析】第一空：先求出等差数列 的公差，再写出通项公式；
第二空：求出等比数列 的公比，写出 的表达式，再通过分析单调性找到最大值。
15．【答案】①②④
【知识点】曲线与方程
【解析】【解答】解：设点，由题意得.
∴，∴
当点时，，轨迹方程成立，
∴曲线C关于原点对称，①正确；
∵，，
当时，，则，
∴，即，∵，∴，即，②正确；
，令，则
∴，
当且仅当，即时，取最大值为，
∴，∵，∴③错误；
，即，
∵，∴，
∴，④正确.
故答案为：①②④
【分析】先建立曲线方程，再利用对称性、坐标范围、面积公式和距离公式逐一验证各结论。
16．【答案】（1）证明：在矩形中，，
又平面，平面，
所以平面，
又因为平面，且平面平面，
所以.
（2）解：由（1）可知，
又因为E是的中点，所以F是的中点，
因为平面平面，
所以
因为，即，故.
又在矩形中，，
所以两两垂直.
如图以D为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为
由，得，
令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线BE与平面BCF所成角的正弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面平行的性质；用空间向量研究直线与平面所成的角
【解析】【分析】(1)利用矩形的对边平行得到 ，结合线面平行的判定定理得 平面 ，再由线面平行的性质定理推出 。
(2)建立空间直角坐标系，先由 求出 的长度，再求出平面 的法向量，最后用线面角的向量公式计算正弦值。
（1）在矩形中，，
又平面，平面，
所以平面，
又因为平面，且平面平面，
所以.
（2）由（1）可知，
又因为E是的中点，所以F是的中点，
因为平面平面，
所以
因为，即，故.
又在矩形中，，
所以两两垂直.
如图以D为坐标原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的一个法向量为
由，得，
令，得，
设直线与平面所成角为，
则，
故直线BE与平面BCF所成角的正弦值为.
17．【答案】（1）解：在中，，
由正弦定理，可得，
整理得，
因为，，所以，即，
因为，所以.
（2）解：选择条件①：因为的周长为，
，则，
由余弦定理，得，
所以，即，
解得，所以的面积；
选择条件②：因为，，
所以，因为，
由正弦定理，可得，
又，，
所以，
所以的面积；
选择条件③：因为，
由正弦定理，可得，
因为，所以不唯一，
因为存在且唯一确定，故条件③不成立．
【知识点】解三角形；正弦定理；三角形中的几何计算
【解析】【分析】 (1) 利用正弦定理将边的关系转化为角的关系，结合三角恒等变换求出 tanB，从而得到角B。
(2) 条件①：用周长和余弦定理联立求出 c，再用面积公式计算。
条件②：用同角三角函数求出 sinA，再用正弦定理求 b，用和角公式求 sinC，最后计算面积。
条件③：用正弦定理判断三角形解不唯一，不符合题意。
（1）在中，，
由正弦定理，可得，
整理得，
因为，，所以，即，
因为，所以.
（2）选择条件①：因为的周长为，
，则，
由余弦定理，得，
所以，即，
解得，所以的面积；
选择条件②：因为，，
所以，因为，
由正弦定理，可得，
又，，
所以，
所以的面积；
选择条件③：因为，
由正弦定理，可得，
因为，所以不唯一，
因为存在且唯一确定，故条件③不成立．
18．【答案】（1）解：由表可知200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人，频率为，
用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为；
（2）解：用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买纯电动版的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买纯电动版的概率估计，
由题意可知X可能取值为0，1，2，3，
分布列如下：
X 0 1 2 3
p
（3）解：低收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；
中收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；
高收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；
利用全概率公式可得：
所以
【知识点】离散型随机变量的期望与方差；全概率公式；用频率估计概率
【解析】【分析】(1) 用频率估计概率，计算愿意购买纯电动（EV）的总人数，再除以总调查人数得到概率。
(2) 先确定中收入群体和高收入群体愿意购买EV的概率，再分析 X（3人中愿意购买EV的人数）的所有可能取值，分别计算对应概率，最后求期望。
(3) 按C社区的收入群体比例，计算加权平均的购买概率 pA ，再与第 (1) 的p比较大小。
（1）由表可知200名调查者中愿意购买纯电动人数为120人，频率为，用频率估计概率，从顾客中随机抽取1人，估计该名顾客愿意购买纯电动版的概率估计为；
（2）用频率估计概率，从全市中收入群体中随机抽1人，愿意购买纯电动版的概率估计，从全市高收入群体中随机抽取1人，愿意购买纯电动版的概率估计，
由题意可知X可能取值为0，1，2，3，
分布列如下：
X 0 1 2 3
p
（3）低收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；
中收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；
高收入者愿意购买纯电动（EV）的概率为；
利用全概率公式可得：
所以
19．【答案】（1）解：由椭圆的短轴长为，可得，解得，
又由椭圆的离心率为，即，所以，
因为，可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由直线与轴的交点为，且椭圆的上下顶点为，
设椭圆上不同于顶点的点，
可得，即，
由直线的斜率为，则直线的方程为，
令，可得，解得，所以，
又由直线的斜率为，则直线的方程为，
令，可得，解得，所以，
假设存在点，使得，则，即，
因为，
可得，解得，所以，所以，
即点的坐标为或，
所以存在点或，使得成立.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)利用短轴长直接得 ，结合离心率 与 求出 ，从而写出椭圆标准方程。
(2)设点 ，写出直线 、 的方程，求出它们与 的交点 、 的坐标；利用 推出 ，建立方程求解 ，进而得到点 的坐标。
（1）解：由椭圆的短轴长为，可得，解得，
又由椭圆的离心率为，即，所以，
因为，可得，解得，
所以椭圆的标准方程为.
（2）解：由直线与轴的交点为，且椭圆的上下顶点为，
设椭圆上不同于顶点的点，
可得，即，
由直线的斜率为，则直线的方程为，
令，可得，解得，所以，
又由直线的斜率为，则直线的方程为，
令，可得，解得，所以，
假设存在点，使得，则，即，
因为，
可得，解得，所以，所以，
即点的坐标为或，
所以存在点或，使得成立.
20．【答案】（1）解：由函数，可得，
则，即切线的斜率为，切点坐标为，
所以在处的切线方程为.
（2）证明：由函数，可得，
当时，可得，所以，在上单调递增，
所以，
所以当时，.
（3）解：由函数，可得其定义域为，且，
当时，，所以在上单调递增，
当时，；当时，，
设，要使得恒成立，即恒成立，
当时，；当时，，
所以，即，解得，
下面证明：当时，恒成立，
由，可得，
当时，，在上单调递增，；
当时，设，可得，
因为，可得，所以在单调递增，
又由，
所以存在唯一，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为且，
所以当时，恒成立，
综上可得，当时，，即实数的值为.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数最大（小）值；利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)求函数在某点的切线方程，先求导数得到切线斜率，再用点斜式写出方程。
(2)证明 时 ，通过求导判断 的单调性，再结合 得出结论。
(3)不等式 恒成立，先分析 的符号区间，再对 提出符号匹配要求，结合 的点和极限情况求解 。
（1）解：由函数，可得，
则，即切线的斜率为，切点坐标为，
所以在处的切线方程为.
（2）证明：由函数，可得，
当时，可得，所以，在上单调递增，
所以，
所以当时，.
（3）解：由函数，可得其定义域为，且，
当时，，所以在上单调递增，
当时，；当时，，
设，要使得恒成立，即恒成立，
当时，；当时，，
所以，即，解得，
下面证明：当时，恒成立，
由，可得，
当时，，在上单调递增，；
当时，设，可得，
因为，可得，所以在单调递增，
又由，
所以存在唯一，使得，
所以在上单调递减，在上单调递增，
因为且，
所以当时，恒成立，
综上可得，当时，，即实数的值为.
21．【答案】（1）解：不是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，因为．
是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，
因为，且，满足两个性质.
（2）解：因为数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，所以，即．
又，所以，同时，
所以解得.
又数列是一个满足“绝对值关联”的6阶数列，
所以的最小值为.
（3）解：数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，所以，且，
不妨设，，其中，
记，不妨设（否则用代替即可），
，所以．
因为，，
所以且，即不小于和中的最大者，
当或时，和中的最大者均为，所以，
当或时，或者，所以．
综上，当数列前项为正，后项为负时取等号，
此时数列可为：符合题意．
所以的最小值为．
【知识点】数列的应用；数列与函数的综合
【解析】【分析】（1）有定义，代入绝对值得．，，满足两个性质即可判断；
（2）代入绝对值关联”的阶数列定义得得到，得，得数列是一个满足“绝对值关联”的6阶数列；
（3）由“绝对值关联”的阶数列定义得，且，类比（1）、（2）得判断方法可得，，再即，且，再分类讨论当或时，和当或时即可得解.
（1）不是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，
因为．
是一个满足“绝对值关联”的5阶数列，
因为，且，满足两个性质.
（2）因为数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，
所以，即．
又，所以，同时，
所以解得.
又数列是一个满足“绝对值关联”的6阶数列，
所以的最小值为.
（3）数列为一个满足“绝对值关联”的阶数列，
所以，且，
不妨设，，其中，
记，不妨设（否则用代替即可），
，所以．
因为，，
所以且，即不小于和中的最大者，
当或时，和中的最大者均为，所以，
当或时，或者，所以．
综上，当数列前项为正，后项为负时取等号，
此时数列可为：符合题意．
所以的最小值为．
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