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第八章 实数 单元测试A卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（23-24七年级上·浙江宁波·期中）实数，，，，中，无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（本题3分）（20-21七年级下·河南商丘·期中）下列说法错误的是（ ）
A． B．64的算术平方根是4
C． D．的算术平方根是3
3．（本题3分）（2025·北京石景山·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）（24-25八年级上·陕西西安·月考）计算的结果为（ ）
A．2 B． C． D．
5．（本题3分）（24-25七年级上·山东威海·月考）下列说法正确的有（ ）
①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根；
③平方根与立方根相等的数有0和1；
④的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数．
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤
6．（本题3分）（20-21八年级·全国·假期作业）若的平方根是a，的立方根是b，则的值是（ ）
A．9 B． C．6 D．
7．（本题3分）（22-23七年级下·四川泸州·期中）如图，以点M为圆心的圆交数轴于A，B两点，若M点表示的数2，A点表示的数是，则B点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
8．（本题3分）（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图，当输入81时，输出的值是（ ）
A． B．3 C．6 D．9
9．（本题3分）（25-26八年级上·山东青岛·月考）实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简等于（ ）
A．0 B． C． D．
10．（本题3分）（24-25八年级下·重庆秀山·期末）估计的运算结果应在（ ）
A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间
11．（本题3分）（22-23七年级下·辽宁大连·期中）如图，四边形是长方形，正方形，正方形的面积分别是4，2，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．2
12．（本题3分）（2021·湖北武汉·三模）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…第n个三角形数记为an，计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，此推算，a100﹣a99＝（ ）
A．99 B．1 C．101 D．100
评卷人得分
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（本题3分）（21-22七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）36的平方根是 ，的算术平方根是 ，－的绝对值是 .
14．（本题3分）（22-23七年级上·浙江宁波·期中）已知的整数部分是的小数部分是，则 ．
15．（本题3分）（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）已知与互为相反数，则与的积的立方根为 ．
16．（本题3分）（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ．
评卷人得分
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）（24-25七年级下·江苏南通·月考）计算：
(1)；
(2)．
18．（本题6分）（21-22七年级上·江苏徐州·月考）把下列各数填入相应的集合内．
，，，，，，，，，…
整数集合{ …}；
分数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
19．（本题6分）（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
20．（本题8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示：
(1)化简：；
(2)若实数，满足，求的立方根．
21．（本题6分）（2023七年级上·全国·专题练习）阅读理解，观察下列式子：
① ；
② ；
③ ；
④；
……
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ．
(2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立．
22．（本题10分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如下图，数轴上有三点，表示1和的点分别为，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等．设三点表示的三个数之和为p．
(1)求p的值；
(2)点D在点O的左侧，且．若以D为原点，求点C表示的数．
23．（本题8分）（20-21七年级下·山西大同·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但通过估算可以得出的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，也就是用来表示的小数部分，又例如：
，即，
的整数部分为2，小数部分为．
（1）的整数部分是________，小数部分是________；
（2）应用：若的小数部分为a，的整数部分为b，请仿照上述推理过程求的值；
（3）拓展：若的整数部分为x，小数部分为y，则的相反数是________．
24．（本题10分）（23-24七年级下·河南商丘·月考）当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为．
(1)求绣布的周长；
(2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（π取3）
25．（本题12分）（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·月考）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
(1)请证明2，8，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
(2)已知4，a，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值．
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第八章 实数 单元测试A卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（23-24七年级上·浙江宁波·期中）实数，，，，中，无理数的个数是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】此题考查了无理数的定义，正确掌握定义：无限不循环小数是无理数，据此判断即可．
【详解】解：是有限小数，是有理数，不是无理数，
是无限循环小数，是有理数，不是无理数，
是分数，是有理数，不是无理数，
是无理数，
是无限不循环小数，是无理数，
故选：A．
2．（本题3分）（20-21七年级下·河南商丘·期中）下列说法错误的是（ ）
A． B．64的算术平方根是4
C． D．的算术平方根是3
【答案】B
【分析】分别根据平方根的定义计算，算术平方根的定义计算，立方根的定义计算，再选出错误的选项即可．
【详解】A．， 故A选项正确，
B．64的算术平方根是8，故B选项错误，
C．，故C选项正确，
D．的算术平方根是3，故D选项正确，
∴说法错误的是：B选项，
故选：B
【点睛】本题主要考查了立方根、平方根、算术平方根，掌握这三种定义的应用是解题关键．
3．（本题3分）（2025·北京石景山·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴可得，据此逐一判断即可得到答案．
【详解】解：由数轴可得，
∴，，，
∴四个选项中，只有B选项正确，符合题意，
故选：B．
4．（本题3分）（24-25八年级上·陕西西安·月考）计算的结果为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【分析】本题根据立方根的定义，找出满足的实数，从而得到的结果．本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．
【详解】解： ，
故选：B．
5．（本题3分）（24-25七年级上·山东威海·月考）下列说法正确的有（ ）
①正数的两个平方根的和等于0；②实数都有一个立方根；
③平方根与立方根相等的数有0和1；
④的算术平方根是3；⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数．
A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②⑤
【答案】D
【分析】本题主要考查平方根、立方根及算术平方根，正确理解平方根、算术平方根及立方根的概念是解题的关键；因此此题可根据平方根、立方根及算术平方根的概念可进行求解．
【详解】解：①正数的两个平方根的和等于0，说法正确；
②实数都有一个立方根，说法正确；
③平方根与立方根相等的数有0，原说法错误；
④，3的算术平方根为，故原说法错误；
⑤如果两个数互为相反数，那么它们的立方根也一定是互为相反数，说法正确；
故选D．
6．（本题3分）（20-21八年级·全国·假期作业）若的平方根是a，的立方根是b，则的值是（ ）
A．9 B． C．6 D．
【答案】A
【分析】根据平方根、立方根的定义求出a、b，再代入计算．
【详解】解：∵的平方根是a，即a为9的平方根，
∴．
∵的立方根是b，即b为8的立方根，
∴，
∴当，时，；
当，时，．
故选：A．
【点睛】此题考查平方根的定义，立方根的定义，乘方运算，正确求出a与b的值是解题的关键．
7．（本题3分）（22-23七年级下·四川泸州·期中）如图，以点M为圆心的圆交数轴于A，B两点，若M点表示的数2，A点表示的数是，则B点表示的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求出，再根据求出答案．
【详解】解：∵，
∴，
故选：C．
【点睛】此题考查了利用无理数表示数轴上的点，正确求出是解题的关键．
8．（本题3分）（24-25八年级上·河南南阳·期中）如图是一个“数值转换机”的示意图，当输入81时，输出的值是（ ）
A． B．3 C．6 D．9
【答案】A
【分析】本题考查了求算术平方根、无理数，根据“数值转换机”的示意图代入求值，并结合无理数的定义判断即可得解．
【详解】解：当输入81时，是有理数，
是有理数，
是无理数，即输出的值是，
故选：A．
9．（本题3分）（25-26八年级上·山东青岛·月考）实数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简等于（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的符号，求一个数的算术平方根，化简绝对值，合并同类项．根据数轴可得，，再判断各项的符号，将绝对值化简，最后合并同类项即可．
【详解】解：根据数轴可知：，，
∴，
∴
故选：C．
10．（本题3分）（24-25八年级下·重庆秀山·期末）估计的运算结果应在（ ）
A．在和之间 B．在和之间 C．在和之间 D．在和之间
【答案】D
【分析】本题考查了无理数的估算，由，得，即，故有，从而求解，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴的运算结果在和之间，
故选：．
11．（本题3分）（22-23七年级下·辽宁大连·期中）如图，四边形是长方形，正方形，正方形的面积分别是4，2，则图中阴影部分的面积是（ ）．
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据正方形的面积求出其边长，再根据即可作答．
【详解】∵正方形，正方形的面积分别是4，2，
∴，，
∴，
∴，
故选：A．
【点睛】本题主要考查了求一个数的算术平方根以及实数的混合运算等知识，得出是解答本题的关键．
12．（本题3分）（2021·湖北武汉·三模）古希腊数学家把数1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，它有一定的规律性，若把一个三角形数记为a1，第二个三角形数记为a2，…第n个三角形数记为an，计算a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3，…，此推算，a100﹣a99＝（ ）
A．99 B．1 C．101 D．100
【答案】D
【分析】根据题目中的数据，可以计算出a2﹣a1，a3﹣a2，a4﹣a3的值，即可发现相邻两项差的结果的变化特点，从而可以得到的a100﹣a99的值．
【详解】解：由题意可得，
a2﹣a1＝3﹣1＝2，
a3﹣a2＝6﹣3＝3，
a4﹣a3＝10﹣6＝4，
a5﹣a4＝15﹣10＝5，
…，
故a100﹣a99＝100，
故选：D．
【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值．
评卷人得分
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（本题3分）（21-22七年级下·湖北省直辖县级单位·期中）36的平方根是 ，的算术平方根是 ，－的绝对值是 .
【答案】 ±6， 3，
【分析】根据根据平方根、算术平方根、绝对值的定义求解即可．
【详解】解：36的平方根是±6；
的算术平方根是3；
的绝对值是；
故答案为：±6；3；．
【点睛】此题主要考查对平方根、算术平方根、绝对值的理解，熟练掌握上述定义和性质是解题的关键．
14．（本题3分）（22-23七年级上·浙江宁波·期中）已知的整数部分是的小数部分是，则 ．
【答案】
【分析】估计和的范围即可确定,的值,进而求得的值．
【详解】解：∵，
∴的整数部分是，，
∵的整数部分是的小数部分是，
∴，，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了估算无理数的大小，能估算出的范围是解此题的关键．
15．（本题3分）（24-25七年级下·辽宁铁岭·期末）已知与互为相反数，则与的积的立方根为 ．
【答案】
【分析】本题考查相反数的定义，算术平方根与平方式的非负性，以及立方根，掌握非负性，利用非负性进行求解是本题的关键．根据题意可以列出式子，利用二次根式与平方式的非负性可求出与的值，即可求出与的积的立方根．
【详解】解： 与互为相反数
即
，
，；
，
，
与的积的立方根为：．
故答案为：．
16．（本题3分）（22-23八年级上·四川成都·期中）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 ．
【答案】/
【分析】本题考查实数和数轴，化简绝对值，求算术平方根和立方根，根据点在数轴上的位置，判断式子的符号，进行化简计算即可．
【详解】解：由图可知：
．
故答案为：
评卷人得分
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）（24-25七年级下·江苏南通·月考）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了实数的运算，二次根式的乘方，立方根，算术平方根等知识，解题的关键是掌握各运算法则．
（1）先进行二次根式的乘方，求立方根，求算术平方根运算，再进行实数的加减；
（2）先进行平方，求算术平方根，求立方根运算，再进行加减．
【详解】（1）解：
（2）解：
18．（本题6分）（21-22七年级上·江苏徐州·月考）把下列各数填入相应的集合内．
，，，，，，，，，…
整数集合{ …}；
分数集合{ …}；
无理数集合{ …}．
【答案】见解析
【分析】本题考查了实数，熟练掌握实数的分类是解题的关键．本题根据整数，分数，无理数的意义，逐一判断即可解答．
【详解】解：整数集合{ ，0，，5，…}；
分数集合{ ，，，，…}；
无理数集合{，…，…}；
19．（本题6分）（24-25七年级下·陕西安康·期末）已知的立方根是，的算术平方根是．
(1)求，的值；
(2)求的平方根．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根及解方程，理解题意，根据题意得出方程是解题关键．
（1）运用立方根和算术平方根得出方程求解即可得；
（2）先求出代数式的值，然后计算平方根即可．
【详解】（1）解：∵的立方根是2，的算术平方根是4，
∴，，
∴，．
（2）解：当，时，，
∵9的平方根为，
∴的平方根为．
20．（本题8分）（24-25七年级下·全国·单元测试）已知实数，在数轴上对应点的位置如图所示：
(1)化简：；
(2)若实数，满足，求的立方根．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数与数轴，绝对值的意义，算术平方根的性质，熟练掌握绝对值的意义和算术平方根的性质是解题的关键．
（1）先根据数轴上点的位置判断出实数、的范围，进一步判断出绝对值和根号里面式子的正负，再利用绝对值和算术平方根的代数意义化简，去括号合并同类项，即可求解；
（2）根据绝对值和算术平方根的非负性，求出实数、的值，再代入求出的值，最后求立方根即可．
【详解】（1）解：根据数轴可得，，，
所以，
即，，
所以原式
；
（2）解：因为，，，
所以，，
所以，，
所以，
故的立方根为：．
21．（本题6分）（2023七年级上·全国·专题练习）阅读理解，观察下列式子：
① ；
② ；
③ ；
④；
……
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)【观察与发现】：根据以上式子反映的规律，请再写出一个类似的等式： ．
(2)【分析与归纳】：根据等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数，若 ，则；反之也成立．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)（或互为相反数）
【分析】（1）根据以上式子反映的规律写出符合题意的一个式子即可；
（2）观察规律，若，则；
【详解】（1）解：，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：根据等式①，②，③，④所反映的规律，
若，则，
故答案为：（或a，b互为相反数）；
【点睛】本题主要考查了立方根性质的应用，观察并总结规律是解题的关键．
22．（本题10分）（24-25七年级下·全国·单元测试）如下图，数轴上有三点，表示1和的点分别为，点B到点A的距离与点C到原点O的距离相等．设三点表示的三个数之和为p．
(1)求p的值；
(2)点D在点O的左侧，且．若以D为原点，求点C表示的数．
【答案】(1)2
(2)
【分析】本题主要考查了实数与数轴，解题关键是熟练掌握应用两点间的距离公式．
（1）利用两点间的距离公式求出，再利用两点间的距离公式求出点C表示的数，从而求出p即可；
（3）先根据已知条件，利用两点间的距离公式求出点D表示的数，从而求出点C表示的数即可．
【详解】（1）解：由题意，得．
因为点C在原点左侧，
所以点C表示的数为，
所以．
（2）解：因为点D在点O的左侧，且，
所以点D表示的数为，
所以若以D为原点，
则点C表示的数为．
23．（本题8分）（20-21七年级下·山西大同·期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，但通过估算可以得出的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分，也就是用来表示的小数部分，又例如：
，即，
的整数部分为2，小数部分为．
（1）的整数部分是________，小数部分是________；
（2）应用：若的小数部分为a，的整数部分为b，请仿照上述推理过程求的值；
（3）拓展：若的整数部分为x，小数部分为y，则的相反数是________．
【答案】（1）3；；（2）1；（3）
【分析】（1）根据，即可得到的整数部分和小数部分；
（2）先求出，，代入即可求值；
（3）根据题意得到，即可求解．
【详解】解：（1）∵，即，
∴的整数部分是3，小数部分是；
故答案为：3，；
（2）即，
的整数部分为4，小数部分为，即；
，即，
的整数部分为5，即，
；
（3）∵的整数部分为x，小数部分为y，
∴，
∴的相反数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查了无理数的估算，实数的运算等知识，根据题意理解无理数的整数部分、小数部分的意义，正确估算无理数的大小是解题关键．
24．（本题10分）（23-24七年级下·河南商丘·月考）当地时间5月6日，“从北京到巴黎——中法艺术家奥林匹克行”中国艺术大展在巴黎举办．苏绣作品《荷娇欲语》亮相巴黎，向世人展示东方美学的韵味．现有一张长方形绣布，长、宽之比为，绣布面积为．
(1)求绣布的周长；
(2)刺绣师傅想用这张绣布裁出一张面积为的完整圆形绣布来绣花鸟图，她能够裁出来吗？请说明理由（π取3）
【答案】(1)
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了算术平方根的实际应用，实数的大小比较；
（1）设绣布的长为(3x)，宽为(2x)，由长方形的面积即可求解；
（2）设完整的圆形绣布的半径为r，由圆的面积得，进行估算比较大小，即可求解；
会利用算术平方根求解，实数的大小比较是的解题的关键．
【详解】（1）解：设绣布的长为(3x)，宽为(2x)，
根据题意，得，
即，
∴，
∵，
∴．
∴，．
∴绣布的长为24，宽为16．
周长为；
（2）解：不能够裁出来．
理由如下：设完整的圆形绣布的半径为r，
由题意，得，
∵π取3，
∴，
解得（负值已舍去），
∵，
∴．
∴不能够裁出来．
25．（本题12分）（24-25九年级下·海南省直辖县级单位·月考）喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，，，，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6．
(1)请证明2，8，这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根；
(2)已知4，a，三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值．
【答案】(1)见解析，最小算术平方根是4，最大算术平方根是
(2)1或
【分析】本题考查了算术平方根的概念．熟练掌握算术平方根的概念以及理解“和谐组合”、“最小算术平方根”与“最大算术平方根”的定义是解题的关键．
（1）根据和谐组合”的定义，计算三个数两两乘积的算术平方根进行判断即可；
（2）计算并验证三个数两两乘积的算术平方根是否为整数，再确定最小和最大算术平方根．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴2，8，这三个数是“和谐组合”，
∴最小算术平方根是4，最大算术平方根是；
（2）解：分三种情况：①当时，得：（舍去），
②当时，，得：，经检验符合题意，
③当时，．得：，经检验符合题意．
综上所述，a的值为1或．
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