2016年苏科版八年级数学上《2.4线段、角的轴对称性》同步测试卷（解析版）

《2.4
线段、角的轴对称性》
　
一、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）
1．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（　　）
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A．3
B．4
C．5
D．6
2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（　　）
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A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
3．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°
的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（　　）
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A．15°或30°
B．30°或45°
C．45°或60°
D．30°或60°
4．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边
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A．
B．3
C．1
D．24
　
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）w
5．线段是轴对称图形，它的对称轴是　　；角是轴对称图形，它的对称轴是　　．t
6．角平分线上的任意一点到这个角的两边的　
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7．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M，PN垂直OB于N，且PM=2cm时，则PN=　　cm．Y
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8．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．6
（1）若BE=10cm，则EC=　　cm；O
（2）若AB+AC=8cm，则△ACE的周长是　　．5
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9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．I
（1）若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是　　a
（2）若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是　　．h
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10．如图，在△ABC中，BC边上的垂直平
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11．如图，在△ABC中，
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12．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，ED是BC的垂直平分线，请写出图中两条相等的线段是　　．y
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13．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　　．6
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14．如图，△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60．其三条角平分线交于点O，则S△ABO：S△BCO：S△CAO=　　．8
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三、解答题Z
15．已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三个顶点的距离相等．k
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16．尺规作图4
如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹）0
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17．如图所示，某市有一块由三条马路围
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18．如图，斜折一页书的一角，使点A落在同一页书内的点A'处，DE为折痕，作DF平分∠A'DB，试猜想∠FDE的度数，并说明理由．f
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19．如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．A
（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；=
（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．=
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20．如图，在四边形ABCD中，A
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《2.4
线段、角的轴对称性》
参考答案与试题解析
　
一、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）
1．如图，点P是∠BAC的平分线AD上一点，PE⊥AC于点E．已知PE=3，则点P到AB的距离是（　　）
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A．3
B．4
C．5
D．6
【考点】角平分线的性质．
【分析】已知条件给出了角平分线、PE⊥AC于点E等条件，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等，即可求解．
【解答】解：利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等可知点P到AB的距离是也是3．
故选：A．
【点评】本题主要考查了角平分线上的一点到角的两边的距离相等的性质．做题时从已知开始思考，想到角平分线的性质可以顺利地解答本题．
　
2．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，ED是AC的垂直平分线，交AC于点D，交BC于点E．已知∠BAE=10°，则∠C的度数为（　　）
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A．30°
B．40°
C．50°
D．60°
【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】计算题．
【分析】利用线段的垂直平分线的性质计算．
通过已知条件由∠B=90°，∠BAE=10° ∠AEB，
∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C．
【解答】解：∵ED是AC的垂直平分线，
∴AE=CE
∴∠EAC=∠C，
又∵∠B=90°，∠BAE=10°，
∴∠AEB=80°，
又∵∠AEB=∠EAC+∠C=2∠C，
∴∠C=40°．
故选：B．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质、直角三角形的两锐角互余、三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和．
　
3．如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为120°
的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（　　）
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A．15°或30°
B．30°或45°
C．45°或60°
D．30°或60°
【考点】剪纸问题．
【分析】折痕为AC与BD，∠BAD
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【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴∠ABD=∠ABC，∠BAC=∠BAD，AD∥BC，
∵∠BAD=120°，
∴∠ABC=180°﹣∠BAD=180°﹣120°=60°，
∴∠ABD=30°，∠BAC=60°．
∴剪口与折痕所成的角a的度数应为30°或60°．
故选D．
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【点评】此题主要考查菱形的判定以及折叠问题，关键是熟练掌握菱形的性质：菱形的对角线平分每一组对角．
　
4．如图，将长方形纸片ABCD折叠，使边DC
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A．
B．3
C．1
D．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【专题】压轴题．
【分析】首先利用勾股定理计
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【解答】解：∵AB=3，AD=4，
∴DC=3，
∴AC==5，
根据折叠可得：△DEC≌△D′EC，
∴D′C=DC=3，DE=D′E，
设ED=x，则D′E=x，AD′=AC﹣CD′=2，AE=4﹣x，
在Rt△AED′中：（AD′）2+（ED′）2=AE2，
22+x2=（4﹣x）2，
解得：x=，
故选：A．
【点评】此题主要考查了图
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二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
5．线段是轴对称图形，它的对称轴是　线段的垂直平分线或线段本身所在的直线　；角是轴对称图形，它的对称轴是　角的平分线　．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：线段是轴对称图形，它的对称轴是：线段的垂直平分线或线段本身所在的直线；
角是轴对称图形，它的对称轴是：角的平分线．
故答案为：线段的垂直平分线或线段本身所在的直线；角的平分线．
【点评】本题考查轴对称图形的概念，注意掌握轴对称的关键是寻找对称轴，两边图象折叠后可重合．
　
6．角平分线上的任意一点到这个角的两边
( http: / / www.21cnjy.com )的　距离　相等；线段垂直平分线上的点到　线段两端点　的距离相等；线段的垂直平分线可以看作是到　线段两端点距离相等　的所有点的集合；角平分线可以看作是到　角两边距离相等　的所有点的集合．
【考点】线段垂直平分线的性质；角平分线的性质．
【分析】分别根据角平分线及线段垂直平分线的性质、线段的定义进行解答即可．
【解答】解：角平分线上的任意一点到这个
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线段两端点的距离相等；线段的垂直平分线可以看作是到
线段两端点距离相等的所有点的集合；角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合．
故答案为：距离；线段两端点；线段两端点距离相等；角两边距离相等．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
　
7．如图，OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M，PN垂直OB于N，且PM=2cm时，则PN=　2　cm．
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【考点】角平分线的性质．
【分析】直接根据角平分线的性质进行解答即可．
【解答】解：∵OC平分∠AOB，点P在OC上，且PM⊥OA于M，PN⊥OB于N，PM=2cm，
∴PN=PM=2cm．
故答案为：2．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，熟知角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解答此题的关键．
　
8．如图，在△ABC中，DE是BC的垂直平分线．
（1）若BE=10cm，则EC=　10　cm；
（2）若AB+AC=8cm，则△ACE的周长是　8cm　．
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【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】（1）直接根据线段垂直平分线的性质即可得出结论；
（2）根据题意可得出BE=CE，进而可得出结论．
【解答】解：（1）∵DE是BC的垂直平分线，BE=10cm，
∴EC=BE=10cm．
故答案为：10；
（2）∵DE是BC的垂直平分线，
∴BE=EC，
∴AE+EC=BE+AE=AB．
∵AB+AC=8cm，
∴△ACE的周长=AB+AC=8cm．
故答案为：8cm．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．
　
9．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D．
（1）若BC=8，BD=5，则点D到AB的距离是　3　
（2）若BD：DC=3：2，点D到AB的距离为6，则BC的长是　15　．
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【考点】角平分线的性质．
【分析】（1）过点D作DE⊥AB于E，先求出CD，再根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=CD，从而得解；
（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CD=DE，再求出BD，然后根据BC=BD+CD计算即可得解．
【解答】解：（1）过点D作DE⊥AB于E，
∵BC=8，BD=5，
∴CD=BC﹣BD=8﹣5=3，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=3，
即点D到AB的距离是3；
（2）∵∠C=90°，AD平分∠BAC，
∴DE=CD=6，
∵BD：DC=3：2，
∴BD=6×=9，
∴BC=BD+CD=9+6=15．
故答案为：3；15．
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【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质并作出辅助线是解题的关键．
　
10．如图，在△ABC中，BC边上
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【考点】线段垂直平分线的性质．
【专题】计算题；压轴题．
【分析】运用线段垂直平分线定理可得BE=
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【解答】解：∵DE是BC边上的垂直平分线，
∴BE=CE．
∵△EDC的周长为24，
∴ED+DC+EC=24，①
∵△ABC与四边形AEDC的周长之差为12，
∴（AB+AC+BC）﹣（AE+ED+DC+AC）=（AB+AC+BC）﹣（AE+DC+AC）﹣DE=12，
∴BE+BD﹣DE=12，②
∵BE=CE，BD=DC，
∴①﹣②得，DE=6．
故答案为：6．
【点评】此题主要考查线段的垂直平分线的性质等几何知识．线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．
　
11．如图，在△ABC中，BC=5c
( http: / / www.21cnjy.com )m，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是　5　cm．
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【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质．
【分析】分别利用角平分线的性质和平行线
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【解答】解：∵BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，
∴∠ABP=∠PBD，∠ACP=∠PCE，
∵PD∥AB，PE∥AC，
∴∠ABP=∠BPD，∠ACP=∠CPE，
∴∠PBD=∠BPD，∠PCE=∠CPE，
∴BD=PD，CE=PE，
∴△PDE的周长=PD+DE+PE=BD+DE+EC=BC=5cm．
故答案为：5．
【点评】此题主要考查了平行线的判定，角平分线的性质及等腰三角形的性质等知识点．本题的关键是将△PDE的周长就转化为BC边的长．
　
12．如图所示，在Rt△ABC
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【考点】线段垂直平分线的性质；含30度角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线．
【专题】压轴题；开放型．
【分析】由ED是BC的垂直平分线，可得
( http: / / www.21cnjy.com )BE=CE，BD=CD，又由在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，易证得△AEC是等边三角形，即可得AE=EC=AC=BE．
【解答】解：∵ED是BC的垂直平分线，
∴BE=CE，BD=CD，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠ECB=∠B=30°，∠A=90°﹣∠B=60°，
∴∠ACE=90°﹣30°=60°，
∴△AEC是等边三角形，
∴AE=EC=AC，
∴AE=AC=EC=BE．
∴图中两条相等的线段是：BE=CE=AC=BE或BD=CD．
故答案为：此题答案不唯一，如BD=CD等．
【点评】此题考查了线段垂直平分线的性质、等边三角形的判定与性质以及含30°角的直角三角形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
　
13．在直角△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，若CD=4，则点D到斜边AB的距离为　4　．
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【考点】角平分线的性质．
【专题】计算题．
【分析】根据角平分线的性质定理，解答出即可；
【解答】解：如右图，过D点作DE⊥AB于点E，则DE即为所求，
∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴CD=DE（角的平分线上的点到角的两边的距离相等），
∵CD=4，
∴DE=4．
故答案为：4．
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【点评】本题主要考查了角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等．
　
14．如图，△ABC的三边AB、BC、CA
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【考点】角平分线的性质．
【专题】压轴题．
【分析】首先过点O作OD⊥A
( http: / / www.21cnjy.com )B于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，由OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，根据角平分线的性质，可得OD=OE=OF，又由△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，即可求得S△ABO：S△BCO：S△CAO的值．
【解答】解：过点O作OD⊥AB于点D，作OE⊥AC于点E，作OF⊥BC于点F，
∵OA，OB，OC是△ABC的三条角平分线，
∴OD=OE=OF，
∵△ABC的三边AB、BC、CA长分别为40、50、60，
∴S△ABO：S△BCO：S△CAO=（AB OD）：（BC OF）：（AC OE）=AB：BC：AC=40：50：60=4：5：6．
故答案为：4：5：6．
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【点评】此题考查了角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
　
三、解答题
15．已知△ABC，在△ABC内求作一点P，使它到△ABC三个顶点的距离相等．
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【考点】作图—复杂作图．
【分析】到三角形的三个顶点的距离相等的点，在这个三角形任意两边的垂直平分线的交点上．
【解答】解：如图所示，P是AB和AC的垂直平分线的交点
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【点评】本题考查三角形外心，利用垂直平分线即可求出三角形的外心，属于基础题型．
　
16．（2015秋 淮安校级期末）尺规作图
如图，已知∠AOB和C、D两点，求作一点P，使PC=PD，且P到∠AOB两边的距离相等．（不写画图过程，保留作图痕迹）
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【考点】作图—基本作图；角平分线的性质；线段垂直平分线的性质．
【分析】利用角平分线的作法以及线段垂直平分线的作法分别得出进而求出其交点即可．
【解答】解：如图所示：P点即为所求．
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【点评】此题主要考查了复杂作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题关键．
　
17．（2001 青海）如图所示，某市
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【考点】三角形的内切圆与内心．
【专题】应用题；作图题．
【分析】若要求到三边的距离相等，根据角平分线的性质，则该点应是三角形的三条角平分线的交点，根据基本作图的方法即可完成．
【解答】解：作三角形绿地的内心即可．
提示：三角形的内心到各边的距离相等．
如图，点O即是小亭的中心位置．
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【点评】掌握作角平分线的方法．
　
18．如图，斜折一页书的一角，使点A落在同一页书内的点A'处，DE为折痕，作DF平分∠A'DB，试猜想∠FDE的度数，并说明理由．
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【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】先由图形折叠的性质得出∠ADE=∠A′DE，再由角平分线的性质得出∠A′DF=∠BDF，再由补角的定义即可得出结论．
【解答】解：∠FDE=90°．
理由：∵△A′DE由△ADE翻折而成，
∴∠ADE=∠A′DE．
∵DF平分∠A'DB，
∴∠A′DF=∠BDF．
∵∠ADE+∠A′DE+∠A′DF+∠BDF=180°，
∴∠A′DE+∠A′DF=∠FDE=90°．
【点评】本题考查的是翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．
　
19．（2005 陕西）如图，四边形ABCD中，AC垂直平分BD于点O．
（1）图中有多少对全等三角形？请把它们都写出来；
（2）任选（1）中的一对全等三角形加以证明．
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【考点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．
【专题】证明题．
【分析】根据全等三角形的判定方法我们可以得到图中共有三对全等三角形分别为：△AOB≌△AOD，
△COB≌△COD，△ABC≌△ADC．
【解答】（1）解：图中有三对全等三角形：△AOB≌△AOD，△COB≌△COD，△ABC≌△ADC；
（2）证明△ABC≌△ADC．
证明：∵AC垂直平分BD，
∴AB=AD，CB=CD（中垂线的性质），
又∵AC=AC，
∴△ABC≌△ADC．（6分）
【点评】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
　
20．（2012 常州）如图，在四边形
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【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质．
【专题】证明题；压轴题．
【分析】方法一：连接CE，由与EF是线段
( http: / / www.21cnjy.com )AC的垂直平分线，故AE=CE，再由AE∥BC可知∠ACB=∠DAC，故可得出△AOE≌△COF，故AE=CF，所以四边形AFCE是平行四边形，再根据AE=CE可知四边形AFCE是菱形，故可得出结论．
方法二：首先证明△AOE≌△COF，可得OE=OF，进而得到AC垂直平分EF，再根据线段垂直平分线的性质可得AE=AF．
【解答】证明：连接CE，
∵EF是线段AC的垂直平分线，
∴AE=CE，OA=OC，
∵AE∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
在△AOE与△COF中，
∵，
∴△AOE≌△COF，
∴AE=CF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵AE=CE，
∴四边形AFCE是菱形，
∴AE=AF．
另法：∵AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
∵，
∴△AOE≌△COF﹙ASA﹚，
∴OE=OF，
∴AC垂直平分EF，
∴AE=AF．
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【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质及菱形的判定定理，根据题意作出辅助线，构造出平行四边形是解答此题的关键．