华师大版九年级数学下27.1.2圆的对称性（2）同步练习（解析版）

27.1.2圆的对称性2
一．选择题（共8小题）
1．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC．若∠ABC=54°，则∠1的大小为（　　）
（1题）
(2题)
A．
36°
B．
54°
C．
72°
D．
73°
2．
CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（　　）
A．
8
B．
2
C．
2或8
D．
3或7
3．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（　　）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（　　）
（4题）
（5题）
A．
B．
C．
D．
5．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（　　）
A．
2
B．
C．
2
D．
3
6．在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（　　）
（6题）
（7题）
A．
6分米
B．
8分米
C．
10分米
D．
12分米
7．如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=（　　）
A．
150°
B．
75°
C．
60°
D．
15°
8．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70°，∠c=50°，那么sin∠AEB的值为（　　）
（8题）
（9题）
（10题）
A．
B．
C．
D．
二．填空题（共6小题）
9．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α=　_________　度．
10．如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为　_________　厘米．
11．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为　_________　mm．
（11题）
（12题）
（13题）
（14题）
12．如图，将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O，则∠OAB=　_________　．
13．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，若AB=2DE，∠E=18°，则∠AOC的度数为　_________　度．
14．如图，正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别为各边中点，EG、FH相交于点O，以O为圆心，OE为半径画圆，则图中阴影部分的面积为　_________　．
三．解答题（共10小题）
15．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
16．如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．
17．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．
18．机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上．
（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长．（本题参考数据：sin67.4°=，cos67.4°=，tan67.4°=）
19．如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．
20．如图，是一个匀速旋转（指每分钟旋转的弧长或圆心角相同）的摩天轮的示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80米，最低点C离地面为6米，旋转一周所用的时间为6分钟，小明从点C乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问：
（1）经过2分钟后，小明离开地面的高度大约是多少米？
（2）若小明到了最高点，在视线没有阻挡的情况下能看到周围3公里远的地面景物，则他看到的地面景物有多大面积？（精确到1平方公里）
21．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米．
（1）说明本次台风是否会影响B市；
（2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间．
22．如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，求直尺的宽．
23．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24
m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=．
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5
m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
27.1.2圆的对称性2
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，直线l1∥l2，点A在直线l1上，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC．若∠ABC=54°，则∠1的大小为（　　）
A．
36°
B．
54°
C．
72°
D．
73°
考点：
平行线的性质；圆的认识．
专题：
压轴题．
分析：
由l1∥l2，∠ABC=54°，根据两直线平行，内错角相等，即可求得∠2的度数，又由以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，连接AC、BC，可得AC=AB，即可证得∠ACB=∠ABC=54°，然后由平角的定义即可求得答案．
解答：
解：∵l1∥l2，∠ABC=54°，
∴∠2=∠ABC=54°，
∵以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交直线l1、l2于B、C两点，
∴AC=AB，
∴∠ACB=∠ABC=54°，
∵∠1+∠ACB+∠2=180°，
∴∠1=72°．
故选C．
点评：
此题考查了平行线的性质与等腰三角形的性质，以及平角的定义．注意两直线平行，内错角相等．
2．CD是⊙O的一条弦，作直径AB，使AB⊥CD，垂足为E，若AB=10，CD=8，则BE的长是（　　）
A．
8
B．
2
C．
2或8
D．
3或7
考点：
垂径定理；勾股定理．
专题：
计算题．
分析：
连结OC，根据垂径定理得到CE=4，再根据勾股定理计算出OE=3，分类讨论：当点E在半径OB上时，BE=OB﹣OE；当点E在半径OA上时，BE=OB+OE，然后把CE、OE的值代入计算即可．
解答：
解：如图，连结OC，
∵直径AB⊥CD，
∴CE=DE=CD=×8=4，
在Rt△OCE中，OC=AB=5，
∴OE==3，
当点E在半径OB上时，BE=OB﹣OE=5﹣3=2，
当点E在半径OA上时，BE=OB+OE=5+3=8，
∴BE的长为2或8．
故选C．
点评：
本题考查了垂径定理：平分弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了勾股定理．
3．如图，圆心在y轴的负半轴上，半径为5的⊙B与y轴的正半轴交于点A（0，1），过点P（0，﹣7）的直线l与⊙B相交于C，D两点．则弦CD长的所有可能的整数值有（　　）
A．
1个
B．
2个
C．
3个
D．
4个
考点：
垂径定理；坐标与图形性质；勾股定理．
专题：
压轴题．
分析：
求出线段CD的最小值，及线段CD的最大值，从而可判断弦CD长的所有可能的整数值．
解答：
解：∵点A的坐标为（0，1），圆的半径为5，
∴点B的坐标为（0，﹣4），
又∵点P的坐标为（0，﹣7），
∴BP=3，
①当CD垂直圆的直径AE时，CD的值最小，
连接BC，在Rt△BCP中，CP==4；
故CD=2CP=8，
②当CD经过圆心时，CD的值最大，此时CD=直径AE=10；
所以，8≤CD≤10，
综上可得：弦CD长的所有可能的整数值有：8，9，10，共3个．
故选C．
点评：
本题考查了垂径定理的知识，解答本题的关键是熟练掌握垂直弦的直径平分弦，本题需要讨论两个极值点，有一定难度．
4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB交于点D，则AD的长为（　　）
A．
B．
C．
D．
考点：
垂径定理；勾股定理．
专题：
探究型．
分析：
先根据勾股定理求出AB的长，过C作CM⊥AB，交AB于点M，由垂径定理可知M为AD的中点，由三角形的面积可求出CM的长，在Rt△ACM中，根据勾股定理可求出AM的长，进而可得出结论．
解答：
解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB===5，
过C作CM⊥AB，交AB于点M，如图所示，
∵CM⊥AB，
∴M为AD的中点，
∵S△ABC=AC BC=AB CM，且AC=3，BC=4，AB=5，
∴CM=，
在Rt△ACM中，根据勾股定理得：AC2=AM2+CM2，即9=AM2+（）2，
解得：AM=，
∴AD=2AM=．
故选C．
点评：
本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．小英家的圆形镜子被打碎了，她拿了如图（网格中的每个小正方形边长为1）的一块碎片到玻璃店，配制成形状、大小与原来一致的镜面，则这个镜面的半径是（　　）
A．
2
B．
C．
2
D．
3
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．
专题：
网格型．
分析：
在网格中找点A、B、D（如图），作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心，故OA即为此圆的半径，根据勾股定理求出OA的长即可．
解答：
解：如图所示，作AB，BD的中垂线，交点O就是圆心．
连接OA、OB，
∵OC⊥AB，OA=OB
∴O即为此圆形镜子的圆心，
∵AC=1，OC=2，
∴OA===．
故选B．
点评：
本题考查的是垂径定理在实际生活中的运用，根据题意构造出直角三角形是解答此题的关键．
6．在圆柱形油槽内装有一些油．截面如图，油面宽AB为6分米，如果再注入一些油后，油面AB上升1分米，油面宽变为8分米，圆柱形油槽直径MN为（　　）
A．
6分米
B．
8分米
C．
10分米
D．
12分米
考点：
垂径定理的应用．
专题：
压轴题．
分析：
如图，油面AB上升1分米得到油面CD，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，由垂径定理，得AE=AB=3，CF=CD=4，设OE=x，则OF=x﹣1，在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，由OA=OC，列方程求x即可求半径OA，得出直径MN．
解答：
解：如图，依题意得AB=6，CD=8，过O点作AB的垂线，垂足为E，交CD于F点，连接OA，OC，
由垂径定理，得AE=AB=3，CF=CD=4，
设OE=x，则OF=x﹣1，
在Rt△OAE中，OA2=AE2+OE2，
在Rt△OCF中，OC2=CF2+OF2，
∵OA=OC，
∴32+x2=42+（x﹣1）2，
解得x=4，
∴半径OA==5，
∴直径MN=2OA=10分米．
故选C．
点评：
本题考查了垂径定理的运用．关键是利用垂径定理得出两个直角三角形，根据勾股定理表示半径的平方，根据半径相等列方程求解．
7．如图所示，在⊙O中，，∠A=30°，则∠B=（　　）
A．
150°
B．
75°
C．
60°
D．
15°
考点：
圆心角、弧、弦的关系．
分析：
先根据等弧所对的弦相等求得AB=AC，从而判定△ABC是等腰三角形；然后根据等腰三角形的两个底角相等得出∠B=∠C；最后由三角形的内角和定理求角B的度数即可．
解答：
解：∵在⊙O中，，
∴AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，
∴∠B=∠C；
又∠A=30°，
∴∠B==75°（三角形内角和定理）．
故选B．
点评：
本题综合考查了圆心角、弧、弦的关系，以及等腰三角形的性质．解题的关键是根据等弧对等弦推知△ABC是等腰三角形．
8．如图，已知⊙O的两条弦AC，BD相交于点E，∠A=70°，∠c=50°，那么sin∠AEB的值为（　　）
A．
B．
C．
D．
考点：
特殊角的三角函数值；三角形内角和定理；圆心角、弧、弦的关系．
分析：
根据三角形的内角和是180°求得∠AEB的度数，再根据特殊角的锐角三角函数值求解．
解答：
解：∵∠A=70°，∠C=50°，
∴∠B=∠C=50°，∠AEB=60°，
∴sin∠AEB=．
故选D．
点评：
考查了圆周角定理、三角形的内角和是180°，还要熟记特殊角的锐角三角函数值．
二．填空题（共6小题）
9．如图，⊙O的半径为1cm，弦AB、CD的长度分别为cm，1cm，则弦AC、BD所夹的锐角α=　75　度．
考点：
圆心角、弧、弦的关系；三角形的外角性质；勾股定理；垂径定理．
专题：
压轴题．
分析：
根据勾股定理的逆定理可证△AOB是等腰直角三角形，故可求∠OAB=∠OBA=45°，又由已知可证△COD是等边三角形，所以∠ODC=∠OCD=60°，根据圆周角的性质可证∠CDB=∠CAB，而∠ODB=∠OBD，所以∠CAB+∠OBD=∠CDB+∠ODB=∠ODC=60°，再根据三角形的内角和定理可求α．
解答：
解：连接OA、OB、OC、OD，
∵OA=OB=OC=OD=1，AB=，CD=1，
∴OA2+OB2=AB2，
∴△AOB是等腰直角三角形，
△COD是等边三角形，
∴∠OAB=∠OBA=45°，∠ODC=∠OCD=60°，
∵∠CDB=∠CAB，∠ODB=∠OBD，
∴α=180°﹣∠CAB﹣∠OBA﹣∠OBD=180°﹣∠OBA﹣（∠CDB+∠ODB）=180°﹣45°﹣60°=75°．
点评：
本题考查了勾股定理的逆定理，圆周角的性质，等边三角形的性质以及三角形的内角和定理．
10．如图，一个宽为2厘米的刻度尺（刻度单位：厘米），放在圆形玻璃杯的杯口上，刻度尺的一边与杯口外沿相切，另一边与杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，那么玻璃杯的杯口外沿半径为　　厘米．
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．
专题：
压轴题．
分析：
先求出弦AC的长，再过点O作OB⊥AC于点B，由垂径定理可得出AB的长，设杯口的半径为r，则OB=r﹣2，OA=r，在Rt△AOB中根据勾股定理求出r的值即可．
解答：
解：∵杯口外沿两个交点处的读数恰好是3和9，
∴AC=9﹣3=6，
过点O作OB⊥AC于点B，则AB=AC=×6=3cm，
设杯口的半径为r，则OB=r﹣2，OA=r，
在Rt△AOB中，
OA2=OB2+AB2，即r2=（r﹣2）2+32，
解得r=cm．
故答案为：．
点评：
本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
11．工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口，假设钢珠的直径是10mm，测得钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，如图所示，则这个小圆孔的宽口AB的长度为　8　mm．
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．
专题：
探究型．
分析：
先求出钢珠的半径及OD的长，连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出AD的长，进而得出AB的长．
解答：
解：连接OA，过点O作OD⊥AB于点D，则AB=2AD，
∵钢珠的直径是10mm，
∴钢珠的半径是5mm，
∵钢珠顶端离零件表面的距离为8mm，
∴OD=3mm，
在Rt△AOD中，
∵AD===4mm，
∴AB=2AD=2×4=8mm．
故答案为：8．
点评：
本题考查的是垂径定理的应用及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
12．如图，将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O，则∠OAB=　30°　．
考点：
垂径定理；等边三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）．
专题：
探究型．
分析：
过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，再由将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O可知，OD=OC，故可得出OD=OA，再由OC⊥AB即可得出结论．
解答：
解：过点O作OC⊥AB于点D，交⊙O于点C，
∵将⊙O沿弦AB折叠，使经过圆心O，
∴OD=OC，
∴OD=OA，
∵OC⊥AB，
∴∠OAB=30°．
故答案为；30°．
点评：
本题考查的是垂径定理及图形的反折变换，熟知图形反折不变性的性质是解答此题的关键．
13．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线交于E点，若AB=2DE，∠E=18°，则∠AOC的度数为　54　度．
考点：
三角形的外角性质；等腰三角形的性质；圆的认识．
专题：
压轴题．
分析：
根据AB=2DE得DE等于圆的半径，在△EDO和△CEO中，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和求解．
解答：
解：连接OD，∵AB=2DE，
∴OD=DE，
∴∠E=∠EOD，
在△EDO中，∠ODC=∠E+∠EOD=36°，
∵OC=OD，
∴∠OCD=∠ODC=36°，
在△CEO中，∠AOC=∠E+∠OCD=18°+36°=54°．
点评：
本题主要利用三角形的外角性质求解．
14．如图，正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别为各边中点，EG、FH相交于点O，以O为圆心，OE为半径画圆，则图中阴影部分的面积为　　．
考点：
圆的认识．
分析：
图中阴影部分的面积为一个半圆，根据圆的面积公式计算即可．
解答：
解：由题意可得：OE=1，
阴影面积==．
点评：
本题主要考查了圆的面积公式．
三．解答题（共10小题）
15．如图所示，该小组发现8米高旗杆DE的影子EF落在了包含一圆弧型小桥在内的路上，于是他们开展了测算小桥所在圆的半径的活动．小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，同时测得EG的长为3米，HF的长为1米，测得拱高（弧GH的中点到弦GH的距离，即MN的长）为2米，求小桥所在圆的半径．
考点：
垂径定理的应用；勾股定理；相似三角形的应用．
分析：
根据已知得出旗杆高度，进而得出GM=MH，再利用勾股定理求出半径即可．
解答：
解：∵小刚身高1.6米，测得其影长为2.4米，
∴8米高旗杆DE的影子为：12m，
∵测得EG的长为3米，HF的长为1米，
∴GH=12﹣3﹣1=8（m），
∴GM=MH=4m．
如图，设小桥的圆心为O，连接OM、OG．
设小桥所在圆的半径为r，
∵MN=2m，
∴OM=（r﹣2）m．
在Rt△OGM中，由勾股定理得：
∴OG2=OM2+42，
∴r2=（r﹣2）2+16，
解得：r=5，
答：小桥所在圆的半径为5m．
点评：
此题主要考查了垂径定理以及勾股定理的应用，根据已知得出关于r的等式是解题关键．
16．如图，在同一平面内，有一组平行线l1、l2、l3，相邻两条平行线之间的距离均为4，点O在直线l1上，⊙O与直线l3的交点为A、B，AB=12，求⊙O的半径．
考点：
垂径定理；平行线之间的距离；勾股定理．
专题：
压轴题；探究型．
分析：
连接OA，过点O作OD⊥AB，由垂径定理可知AD=AB，再根据相邻两条平行线之间的距离均为4可知OD=4，在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的长．
解答：
解：连接OA，过点O作OD⊥AB，
∵AB=12，
∴AD=AB=×12=6，
∵相邻两条平行线之间的距离均为4，
∴OD=8，
在Rt△AOD中，
∵AD=6，OD=8，
∴OA===10．
答：⊙O的半径为：10．
点评：
本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
17．如图，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB=30cm，CD=16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．
考点：
垂径定理；勾股定理．
专题：
探究型．
分析：
过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长AE交CD于点F，连接OA，OC；由于AB∥CD，则OF⊥CD，EF即为AB、CD间的距离；由垂径定理，易求得AE、CF的长，可连接OA、ODC在构建的直角三角形中，根据勾股定理即可求出OE、OF的长，也就求出了EF的长，即弦AB、CD间的距离．
解答：
解：过点O作弦AB的垂线，垂足为E，延长OE交CD于点F，连接OA，OC，
∵AB∥CD，
∴OF⊥CD，
∵AB=30cm，CD=16cm，
∴AE=AB=×30=15cm，CF=CD=×16=8cm，
在Rt△AOE中，
OE===8cm，
在Rt△OCF中，
OF===15cm，
∴EF=OF﹣OE=15﹣8=7cm．
答：AB和CD的距离为7cm．
点评：
本题考查的是勾股定理及垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
18．机器人“海宝”在某圆形区域表演“按指令行走”，如图所示，“海宝”从圆心O出发，先沿北偏西67.4°方向行走13米至点A处，再沿正南方向行走14米至点B处，最后沿正东方向行走至点C处，点B、C都在圆O上．
（1）求弦BC的长；（2）求圆O的半径长．
（本题参考数据：sin67.4°=，cos67.4°=，tan67.4°=）
考点：
解直角三角形的应用-方向角问题；勾股定理；垂径定理．
分析：
（1）过O作OD⊥AB于D，则∠AOB=90°﹣67.4°=22.6°．在Rt△AOD中，利用∠AOB的三角函数值即可求出OD，AD的长；
（2）求出BD的长，根据勾股定理即可求出BO的长．
解答：
解：（1）连接OB，过点O作OD⊥AB，
∵AB∥SN，∠AON=67.4°，
∴∠A=67.4°．
∴OD=AO sin
67.4°=13×=12．
又∵BE=OD，
∴BE=12．
根据垂径定理，BC=2×12=24（米）．
（2）∵AD=AO cos
67.4°=13×=5，
∴OD==12，
BD=AB﹣AD=14﹣5=9．
∴BO==15．
故圆O的半径长15米．
点评：
（1）将解直角三角形和勾股定理的应用相结合，求出BE，再根据垂径定理求出BC的长即可，有一定的综合性；
（2）利用（1）的结论，再根据勾股定理，即可求出半径．
19．如图，平面直角坐标系中，以点C（2，）为圆心，以2为半径的圆与x轴交于A，B两点．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）若二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A，B，试确定此二次函数的解析式．
考点：
垂径定理；待定系数法求二次函数解析式；勾股定理．
专题：
计算题．
分析：
（1）连结AC，过点C作CM⊥x轴于点M，根据垂径定理得MA=MB；由C点坐标得到OM=2，CM=，再根据勾股定理可计算出AM，可可计算出OA、OB，然后写出A，B两点的坐标；
（2）利用待定系数法求二次函数的解析式．
解答：
解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，则MA=MB，连结AC，如图
∵点C的坐标为（2，），
∴OM=2，CM=，
在Rt△ACM中，CA=2，
∴AM==1，
∴OA=OM﹣AM=1，OB=OM+BM=3，
∴A点坐标为（1，0），B点坐标为（3，0）；
（2）将A（1，0），B（3，0）代入y=x2+bx+c得
，
解得．
所以二次函数的解析式为y=x2﹣4x+3．
点评：
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧．也考查了勾股定理和待定系数法求二次函数的解析式．
20．如图，是一个匀速旋转（指每分钟旋转的弧长或圆心角相同）的摩天轮的示意图，O为圆心，AB为水平地面，假设摩天轮的直径为80米，最低点C离地面为6米，旋转一周所用的时间为6分钟，小明从点C乘坐摩天轮（身高忽略不计），请问：
（1）经过2分钟后，小明离开地面的高度大约是多少米？
（2）若小明到了最高点，在视线没有阻挡的情况下能看到周围3公里远的地面景物，则他看到的地面景物有多大面积？（精确到1平方公里）
考点：
解直角三角形的应用；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
分析：
（1）延长CO与圆交于点F，作EG⊥OF于点G．根据旋转一周所用的时间为6分钟，小明从点C乘坐摩天轮经过2分钟，可知∠COE=120°，根据平角的定义可知∠GOE=60°．根据三角函数可求出OG的长，小明离开地面的高度=OG+OC+CD可求．
（2）根据圆的面积公式可求．
解答：
解：（1）从点C乘坐摩天轮，经过2分钟后到达点E，（1分）
则∠COE=120°．
（2分）
延长CO与圆交于点F，作EG⊥OF于点G，（3分）
则∠GOE=60°．
（4分）
在Rt△EOG中，OG=40cos60°=20．
（5分）
∴小明2分钟后离开地面高度DG=DC+CO+OG=66米．
（6分）
（2）F为最高点，也能看到的地面景物面积为：
∵总高度86米=0.086km，
∴．
（8分）
注：若理解为s=32π=28平方公里不扣分，不写这句不扣分．
点评：
构造直角三角形，运用三角函数求出OG的长度是解题的关键．
21．如图，台风中心位于点P，并沿东北方向PQ移动，已知台风移动的速度为40千米/时，受影响区域的半径为260千米，B市位于点P的北偏东75°方向上，距离P点480千米．
（1）说明本次台风是否会影响B市；
（2）若这次台风会影响B市，求B市受台风影响的时间．
考点：
勾股定理；垂径定理的应用．
专题：
压轴题．
分析：
（1）作BH⊥PQ于点H，在Rt△BHP中，利用特殊角的三角函数值求出BH的长与260千米相比较即可．
（2）以B为圆心，以260为半径作圆交PQ于P1、P2两点，根据垂径定理即可求出P1P2的长，进而求出台风影响B市的时间．
解答：
解：（1）作BH⊥PQ于点H．
在Rt△BHP中，
由条件知，PB=480，∠BPQ=75°﹣45°=30°，
∴BH=480sin30°=240＜260，
∴本次台风会影响B市．
（2）如图，若台风中心移动到P1时，台风开始影响B市，台风中心移动到P2时，台风影响结束．
由（1）得BH=240，由条件得BP1=BP2=260，
∴P1P2=2=200，
∴台风影响的时间t==5（小时）．
故B市受台风影响的时间为5小时．
点评：
本题考查的是直角三角形的性质及垂径定理在实际生活中的运用，解答此题的关键是构造出直角三角形及圆．
22．如图，将一个两边都带有刻度的直尺放在半圆形纸片上，使其一边经过圆心O，另一边所在直线与半圆相交于点D，E，量出半径OC=5cm，弦DE=8cm，求直尺的宽．
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．
分析：
过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．
根据垂径定理“垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧”和勾股定理进行计算．
解答：
解：过点O作OM⊥DE于点M，连接OD．
∴DM=．
∵DE=8（cm）
∴DM=4（cm）
在Rt△ODM中，∵OD=OC=5（cm），
∴OM===3（cm）
∴直尺的宽度为3cm．
点评：
综合运用了垂径定理和勾股定理．
23．如图是一个半圆形桥洞截面示意图，圆心为O，直径AB是河底线，弦CD是水位线，CD∥AB，且CD=24
m，OE⊥CD于点E．已测得sin∠DOE=．
（1）求半径OD；
（2）根据需要，水面要以每小时0.5
m的速度下降，则经过多长时间才能将水排干？
考点：
垂径定理的应用；勾股定理．
专题：
应用题；压轴题．
分析：
根据三角函数可得到OD的值；再根据勾股定理求得OE的值，此时再求所需的时间就变得容易了．
解答：
解：（1）∵OE⊥CD于点E，CD=24，
∴ED=CD=12，
在Rt△DOE中，
∵sin∠DOE==，
∴OD=13（m）；
（2）OE===5，
∴将水排干需：5÷0.5=10（小时）．
点评：
此题主要考查了学生对垂径定理及勾股定理的运用．