华师大版九年级数学下27.1.3圆周角课文练习含答案解析
文档属性
| 名称 | 华师大版九年级数学下27.1.3圆周角课文练习含答案解析 |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 334.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 华师大版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2016-11-07 08:39:09 | ||
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文档简介
27.1.3圆周角
一．选择题（共8小题）
1．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为（ ）
A．4cm
B．3cm
C．2cm
D．2cm
2．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．70°
3．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（ ）
A．3
B．4
C．
D．5
5．如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A．2∠C
B．4∠B
C．4∠A
D．∠B+∠C
6．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．160°
B．150°
C．140°
D．120°
8．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
二．填空题（共6小题）
9．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为 _________ ．
10．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 度．
11．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= _________ 度．
12．如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是 _________ （写出一个即可）
13．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 _________ ．
14．如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是 _________ ．
三．解答题（共6小题）
15．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
16．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
18．如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）求证：FD=FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．
19．如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．
20．如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
（1）求∠ABD的大小；
（2）求弦BD的长．
27.1.3圆周角福冈黄蜂回复
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为（ ）
A．
4cm
B．3cm
C
2cm
D．
2cm
考点：
圆周角定理；等腰直角三角形；垂径定理．
专题：
计算题．
分析：
连结OA，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=45°，由于3⊙O的直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理得AE=BE，且可判断△OAE为等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE进行计算．
解答：
解：连结OA，如图，
∵∠ACD=22.5°，
∴∠AOD=2∠ACD=45°，
∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，
∴AE=OA，
∵CD=6，
∴OA=3，
∴AE=，
∴AB=2AE=3（cm）．
故选：B．
点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
2．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A．
30°
B．45°
C．60°
D．
70°
考点：
圆周角定理．
专题：
计算题．
分析：
先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．
解答：
解：∵∠ABC=∠AOC，
而∠ABC+∠AOC=90°，
∴∠AOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=60°．
故选：C．
点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．
分析：
首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值．
解答：
解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，
∴OD=AD=OA cos45°=×1=，
∴BD=OB﹣OD=1﹣，
∴AB==，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，AC=2，
∴sinC=．
故选：B．
点评：
此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
4．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（ ）
A．
3
B．4
C．
D．
5
考点：
圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
专题：
几何图形问题．
分析：
首先连接AC，由圆周角定理可得，可得∠C=90°，继而求得AC的长，然后可求得AP的长的取值范围，继而求得答案．
解答：
解：连接AC，
∵在⊙O中，AB是直径，
∴∠C=90°，
∵AB=5，BC=3，
∴AC==4，
∵点P是上任意一点．
∴4≤AP≤5．
故选：A．
点评：
此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
5．如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A．
2∠C
B．4∠B
C．4∠A
D．
∠B+∠C
考点：
圆周角定理．
分析：
根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C．
解答：
解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C．
故选：A．
点评：
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．
40°
B．45°
C．50°
D．
55°
考点：
圆周角定理；平行线的性质．
分析：
连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．
解答：
解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B=∠AOC=55°．
故选：D．
点评：
此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．
160°
B．150°
C．140°
D．
120°
考点：
圆周角定理；垂径定理．
专题：
压轴题．
分析：
利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
解答：
解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：C．
点评：
此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．
8．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（ ）
A．
30°
B．45°
C．60°
D．
75°
考点：
圆周角定理；含30度角的直角三角形．
专题：
几何图形问题．
分析：
由⊙O的直径是AB，得到∠ACB=90°，根据特殊三角函数值可以求得∠B的值，继而求得∠A和∠D的值．
解答：
解：∵⊙O的直径是AB，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=2，弦AC=1，
∴sin∠CBA=，
∴∠CBA=30°，
∴∠A=∠D=60°，
故选：C．
点评：
本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，比较简单，但在解答时要注意特殊三角函数的取值．
二．填空题（共6小题）
9．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为 80° ．
考点：
圆周角定理．
分析：
直接根据圆周角定理求解．
解答：
解：∵∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故答案为80°．
点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 60 度．
考点：
圆周角定理；平行四边形的性质．
专题：
计算题．
分析：
由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后又三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．
解答：
解：连接DO并延长，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠B=∠AOC，
∵∠AOC=2∠ADC，
∴∠B=2∠ADC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴3∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∴∠B=∠AOC=120°，
∵∠1=∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，
∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）﹣（∠ADO+∠CDO）=∠AOC﹣∠ADC=120°﹣60°=60°．
故答案为：60．
点评：
此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
11．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 50 度．
考点：
圆周角定理．
分析：
根据圆周角定理即可直接求解．
解答：
解：∠ACB=∠AOB=×100°=50°．
故答案是：50．
点评：
此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
12．如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是 70° （写出一个即可）
考点：
圆周角定理；等腰三角形的性质；垂径定理．
专题：
开放型．
分析：
当P点与D点重合是∠DAB=75°，与O重合则OAB=60°，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，所以∠PAB的度数可以是60°﹣﹣75°之间的任意数．
解答：
解：连接DA，OA，则△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠AOB=60°，
∵DC是直径，DC⊥AB，
∴∠AOC=∠AOB=30°，
∴∠ADC=15°，
∴∠DAB=75°，
∵，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，
∴∠PAB的度数可以是60°﹣75°之间的任意数．
故答案为：70°
点评：
本题考查了垂径定理，等边三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质．
13．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 70° ．
考点：
圆周角定理．
专题：
计算题．
分析：
根据垂直的定义得到∠ADB=90°，再利用互余的定义计算出∠A=90°﹣∠B=35°，然后根据圆周角定理求解．
解答：
解：∵AC⊥BO，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°，
∴∠BOC=2∠A=70°．
故答案为：70°．
点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是 28° ．
考点：
圆周角定理．
专题：
计算题．
分析：
根据圆周角定理即可推出∠AOB=2∠ACB，再代入∠AOB+∠ACB=84°通过计算即可得出结果．
解答：
解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°
∴3∠ACB=84°
∴∠ACB=28°．
故答案为：28°．
点评：
此题主要考查圆周角定理，关键在于找出两个角之间的关系，利用代换的方法结论．
三．解答题（共6小题）
15．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
考点：
圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
解答：
解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO===55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
（2）在直角△ABC中，BC===．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣．
点评：
本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．
16．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
考点：
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
专题：
证明题．
分析：
（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．
解答：
解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC===8．
∵AD平分∠CAB，
∴=，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴易求BD=CD=5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB=∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直径为10，则OB=5，
∴BD=5．
点评：
本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
考点：
圆周角定理；平行线的判定与性质；垂径定理；解直角三角形．
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）根据圆周角定理和已知求出∠D=∠BCD，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据垂径定理求出弧BC=弧BD，推出∠A=∠P，解直角三角形求出即可．
解答：
（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，
∴∠D=∠BCD，
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴=，
∴∠BPD=∠CAB，
∴sin∠CAB=sin∠BPD=，
即=，
∵BC=3，
∴AB=5，
即⊙O的直径是5．
点评：
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，平行线的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
18．如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）求证：FD=FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．
考点：
圆周角定理；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
（1）由AB是直径得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠EDB+∠ABD=90°，∠CBG+∠BGC=90°，推出∠EDB=∠DGF即可；
（3）根据等腰三角形的性质推出∠DAF=∠ADF，求出AF=DF=FG，推出S△DGF=S△ADG，证△BCG∽△ADG，根据相似三角形的性质求出即可．
解答：
解：（1）如右图所示，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线．
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠EDB+∠ABD=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBG+∠BGC=90°
∵D是弧AC的中点，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠EDB=∠BGC，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠EDB=∠DGF，
∴DF=FG．
（3）如图，连接AD、OD，
∵DF=FG，
∴∠DGF=∠FDG，
∵∠DGF+∠DAG=90°，∠FDG+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠ADF，
∴AF=DF=GF，
∴S△ADG=2S△DGF=9，
∵△BCG∽△ADG，
∴=，
∵△ADG的面积为9，且DG=3，GC=4，
∴S△BCG=16．
答：△BCG的面积是16．
点评：
本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，切线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
19．如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．
考点：
圆周角定理；等腰三角形的性质．
分析：
连接AE，判断出AB=AC，根据∠B=∠C=70°求出∠BAC=40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠DOE的度数．
解答：
解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵BE=CE，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE，
∴∠BAC=40°，
∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质和圆周角定理，把圆周角转化为圆心角是解题的关键．
20．如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
（1）求∠ABD的大小；
（2）求弦BD的长．
考点：
圆周角定理；垂径定理．
分析：
（1）先根据三角形外角的性质求出∠C的度数，由圆周角定理即可得出结论；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，由垂径定理可知BD=2BE，再根据直角三角形的性质可求出BE的长，进而得出结论．
解答：
解：（1）∵∠APD是△APC的外角，∠CAB=50°，∠APD=80°，
∴∠C=80°﹣50°=30°，
∴∠ABD=∠C=30°；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则BD=2BE，
∵∠ABD=30°，OB=5cm，
∴BE=OB cos30°=5×=cm，
∴BD=2BE=5cm．
点评：
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．
一．选择题（共8小题）
1．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为（ ）
A．4cm
B．3cm
C．2cm
D．2cm
2．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．70°
3．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
4．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（ ）
A．3
B．4
C．
D．5
5．如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A．2∠C
B．4∠B
C．4∠A
D．∠B+∠C
6．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．40°
B．45°
C．50°
D．55°
7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．160°
B．150°
C．140°
D．120°
8．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（ ）
A．30°
B．45°
C．60°
D．75°
二．填空题（共6小题）
9．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为 _________ ．
10．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 度．
11．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= _________ 度．
12．如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是 _________ （写出一个即可）
13．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 _________ ．
14．如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是 _________ ．
三．解答题（共6小题）
15．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
16．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
18．如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）求证：FD=FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．
19．如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．
20．如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
（1）求∠ABD的大小；
（2）求弦BD的长．
27.1.3圆周角福冈黄蜂回复
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，已知⊙O的直径CD垂直于弦AB，垂足为点E，∠ACD=22.5°，若CD=6cm，则AB的长为（ ）
A．
4cm
B．3cm
C
2cm
D．
2cm
考点：
圆周角定理；等腰直角三角形；垂径定理．
专题：
计算题．
分析：
连结OA，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ACD=45°，由于3⊙O的直径CD垂直于弦AB，根据垂径定理得AE=BE，且可判断△OAE为等腰直角三角形，所以AE=OA=，然后利用AB=2AE进行计算．
解答：
解：连结OA，如图，
∵∠ACD=22.5°，
∴∠AOD=2∠ACD=45°，
∵⊙O的直径CD垂直于弦AB，
∴AE=BE，△OAE为等腰直角三角形，
∴AE=OA，
∵CD=6，
∴OA=3，
∴AE=，
∴AB=2AE=3（cm）．
故选：B．
点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰直角三角形的性质和垂径定理．
2．如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC=90°，则∠AOC的大小是（ ）
A．
30°
B．45°
C．60°
D．
70°
考点：
圆周角定理．
专题：
计算题．
分析：
先根据圆周角定理得到∠ABC=∠AOC，由于∠ABC+∠AOC=90°，所以∠AOC+∠AOC=90°，然后解方程即可．
解答：
解：∵∠ABC=∠AOC，
而∠ABC+∠AOC=90°，
∴∠AOC+∠AOC=90°，
∴∠AOC=60°．
故选：C．
点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°，则sinC的值为（ ）
A．
B．
C．
D．
考点：
圆周角定理；勾股定理；锐角三角函数的定义．
分析：
首先过点A作AD⊥OB于点D，由在Rt△AOD中，∠AOB=45°，可求得AD与OD的长，继而可得BD的长，然后由勾股定理求得AB的长，继而可求得sinC的值．
解答：
解：过点A作AD⊥OB于点D，
∵在Rt△AOD中，∠AOB=45°，
∴OD=AD=OA cos45°=×1=，
∴BD=OB﹣OD=1﹣，
∴AB==，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ABC=90°，AC=2，
∴sinC=．
故选：B．
点评：
此题考查了圆周角定理、三角函数以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
4．如图，在⊙O中，AB是直径，BC是弦，点P是上任意一点．若AB=5，BC=3，则AP的长不可能为（ ）
A．
3
B．4
C．
D．
5
考点：
圆周角定理；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系．
专题：
几何图形问题．
分析：
首先连接AC，由圆周角定理可得，可得∠C=90°，继而求得AC的长，然后可求得AP的长的取值范围，继而求得答案．
解答：
解：连接AC，
∵在⊙O中，AB是直径，
∴∠C=90°，
∵AB=5，BC=3，
∴AC==4，
∵点P是上任意一点．
∴4≤AP≤5．
故选：A．
点评：
此题考查了圆周角定理以及勾股定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
5．如图，已知A，B，C在⊙O上，为优弧，下列选项中与∠AOB相等的是（ ）
A．
2∠C
B．4∠B
C．4∠A
D．
∠B+∠C
考点：
圆周角定理．
分析：
根据圆周角定理，可得∠AOB=2∠C．
解答：
解：如图，由圆周角定理可得：∠AOB=2∠C．
故选：A．
点评：
此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用．
6．如图，A、B、C、D四个点均在⊙O上，∠AOD=70°，AO∥DC，则∠B的度数为（ ）
A．
40°
B．45°
C．50°
D．
55°
考点：
圆周角定理；平行线的性质．
分析：
连接OC，由AO∥DC，得出∠ODC=∠AOD=70°，再由OD=OC，得出∠ODC=∠OCD=70°，求得∠COD=40°，进一步得出∠AOC，进一步利用圆周角定理得出∠B的度数即可．
解答：
解：如图，
连接OC，
∵AO∥DC，
∴∠ODC=∠AOD=70°，
∵OD=OC，
∴∠ODC=∠OCD=70°，
∴∠COD=40°，
∴∠AOC=110°，
∴∠B=∠AOC=55°．
故选：D．
点评：
此题考查平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，圆周角定理，正确作出辅助线是解决问题的关键．
7．如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，∠CAB=20°，则∠AOD等于（ ）
A．
160°
B．150°
C．140°
D．
120°
考点：
圆周角定理；垂径定理．
专题：
压轴题．
分析：
利用垂径定理得出=，进而求出∠BOD=40°，再利用邻补角的性质得出答案．
解答：
解：∵线段AB是⊙O的直径，弦CD丄AB，
∴=，
∵∠CAB=20°，
∴∠BOD=40°，
∴∠AOD=140°．
故选：C．
点评：
此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出∠BOD的度数是解题关键．
8．如图，⊙O的直径AB=2，弦AC=1，点D在⊙O上，则∠D的度数是（ ）
A．
30°
B．45°
C．60°
D．
75°
考点：
圆周角定理；含30度角的直角三角形．
专题：
几何图形问题．
分析：
由⊙O的直径是AB，得到∠ACB=90°，根据特殊三角函数值可以求得∠B的值，继而求得∠A和∠D的值．
解答：
解：∵⊙O的直径是AB，
∴∠ACB=90°，
又∵AB=2，弦AC=1，
∴sin∠CBA=，
∴∠CBA=30°，
∴∠A=∠D=60°，
故选：C．
点评：
本题考查的是圆周角定理及直角三角形的性质，比较简单，但在解答时要注意特殊三角函数的取值．
二．填空题（共6小题）
9．如图，点A，B，C在⊙O上，若∠ABC=40°，则∠AOC的度数为 80° ．
考点：
圆周角定理．
分析：
直接根据圆周角定理求解．
解答：
解：∵∠ABC=40°，
∴∠AOC=2∠ABC=80°．
故答案为80°．
点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
10．如图，点A、B、C、D在⊙O上，O点在∠D的内部，四边形OABC为平行四边形，则∠OAD+∠OCD= 60 度．
考点：
圆周角定理；平行四边形的性质．
专题：
计算题．
分析：
由四边形OABC为平行四边形，根据平行四边形对角相等，即可得∠B=∠AOC，由圆周角定理，可得∠AOC=2∠ADC，又由内接四边形的性质，可得∠B+∠ADC=180°，即可求得∠B=∠AOC=120°，∠ADC=60°，然后又三角形外角的性质，即可求得∠OAD+∠OCD的度数．
解答：
解：连接DO并延长，
∵四边形OABC为平行四边形，
∴∠B=∠AOC，
∵∠AOC=2∠ADC，
∴∠B=2∠ADC，
∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠B+∠ADC=180°，
∴3∠ADC=180°，
∴∠ADC=60°，
∴∠B=∠AOC=120°，
∵∠1=∠OAD+∠ADO，∠2=∠OCD+∠CDO，
∴∠OAD+∠OCD=（∠1+∠2）﹣（∠ADO+∠CDO）=∠AOC﹣∠ADC=120°﹣60°=60°．
故答案为：60．
点评：
此题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质、平行四边形的性质以及三角形外角的性质．此题难度适中，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．
11．如图，A、B、C是⊙O上的三点，∠AOB=100°，则∠ACB= 50 度．
考点：
圆周角定理．
分析：
根据圆周角定理即可直接求解．
解答：
解：∠ACB=∠AOB=×100°=50°．
故答案是：50．
点评：
此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
12．如图，OB是⊙O的半径，弦AB=OB，直径CD⊥AB．若点P是线段OD上的动点，连接PA，则∠PAB的度数可以是 70° （写出一个即可）
考点：
圆周角定理；等腰三角形的性质；垂径定理．
专题：
开放型．
分析：
当P点与D点重合是∠DAB=75°，与O重合则OAB=60°，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，所以∠PAB的度数可以是60°﹣﹣75°之间的任意数．
解答：
解：连接DA，OA，则△OAB是等边三角形，
∴∠OAB=∠AOB=60°，
∵DC是直径，DC⊥AB，
∴∠AOC=∠AOB=30°，
∴∠ADC=15°，
∴∠DAB=75°，
∵，∠OAB≤∠PAB≤∠DAB，
∴∠PAB的度数可以是60°﹣75°之间的任意数．
故答案为：70°
点评：
本题考查了垂径定理，等边三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质．
13．如图，已知A、B、C三点在⊙O上，AC⊥BO于D，∠B=55°，则∠BOC的度数是 70° ．
考点：
圆周角定理．
专题：
计算题．
分析：
根据垂直的定义得到∠ADB=90°，再利用互余的定义计算出∠A=90°﹣∠B=35°，然后根据圆周角定理求解．
解答：
解：∵AC⊥BO，
∴∠ADB=90°，
∴∠A=90°﹣∠B=90°﹣55°=35°，
∴∠BOC=2∠A=70°．
故答案为：70°．
点评：
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
14．如图，点A、B、C都在圆O上，如果∠AOB+∠ACB=84°，那么∠ACB的大小是 28° ．
考点：
圆周角定理．
专题：
计算题．
分析：
根据圆周角定理即可推出∠AOB=2∠ACB，再代入∠AOB+∠ACB=84°通过计算即可得出结果．
解答：
解：∵∠AOB=2∠ACB，∠AOB+∠ACB=84°
∴3∠ACB=84°
∴∠ACB=28°．
故答案为：28°．
点评：
此题主要考查圆周角定理，关键在于找出两个角之间的关系，利用代换的方法结论．
三．解答题（共6小题）
15．如图，AB是半圆O的直径，C、D是半圆O上的两点，且OD∥BC，OD与AC交于点E．
（1）若∠B=70°，求∠CAD的度数；
（2）若AB=4，AC=3，求DE的长．
考点：
圆周角定理；平行线的性质；三角形中位线定理．
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）根据圆周角定理可得∠ACB=90°，则∠CAB的度数即可求得，在等腰△AOD中，根据等边对等角求得∠DAO的度数，则∠CAD即可求得；
（2）易证OE是△ABC的中位线，利用中位线定理求得OE的长，则DE即可求得．
解答：
解：（1）∵AB是半圆O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵OD∥BC，
∴∠AEO=90°，即OE⊥AC，
∠CAB=90°﹣∠B=90°﹣70°=20°，∠AOD=∠B=70°．
∵OA=OD，
∴∠DAO=∠ADO===55°
∴∠CAD=∠DAO﹣∠CAB=55°﹣20°=35°；
（2）在直角△ABC中，BC===．
∵OE⊥AC，
∴AE=EC，
又∵OA=OB，
∴OE=BC=．
又∵OD=AB=2，
∴DE=OD﹣OE=2﹣．
点评：
本题考查了圆周角定理以及三角形的中位线定理，正确证明OE是△ABC的中位线是关键．
16．已知⊙O的直径为10，点A，点B，点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D．
（Ⅰ）如图①，若BC为⊙O的直径，AB=6，求AC，BD，CD的长；
（Ⅱ）如图②，若∠CAB=60°，求BD的长．
考点：
圆周角定理；等边三角形的判定与性质；勾股定理．
专题：
证明题．
分析：
（Ⅰ）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD=CD=5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD=OB=OD=5．
解答：
解：（Ⅰ）如图①，∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB=∠BDC=90°．
∵在直角△CAB中，BC=10，AB=6，
∴由勾股定理得到：AC===8．
∵AD平分∠CAB，
∴=，
∴CD=BD．
在直角△BDC中，BC=10，CD2+BD2=BC2，
∴易求BD=CD=5；
（Ⅱ）如图②，连接OB，OD．
∵AD平分∠CAB，且∠CAB=60°，
∴∠DAB=∠CAB=30°，
∴∠DOB=2∠DAB=60°．
又∵OB=OD，
∴△OBD是等边三角形，
∴BD=OB=OD．
∵⊙O的直径为10，则OB=5，
∴BD=5．
点评：
本题综合考查了圆周角定理，勾股定理以及等边三角形的判定与性质．此题利用了圆的定义、有一内角为60度的等腰三角形为等边三角形证得△OBD是等边三角形．
17．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，∠1=∠BCD．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若BC=3，sin∠BPD=，求⊙O的直径．
考点：
圆周角定理；平行线的判定与性质；垂径定理；解直角三角形．
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）根据圆周角定理和已知求出∠D=∠BCD，根据平行线的判定推出即可；
（2）根据垂径定理求出弧BC=弧BD，推出∠A=∠P，解直角三角形求出即可．
解答：
（1）证明：∵∠D=∠1，∠1=∠BCD，
∴∠D=∠BCD，
∴CB∥PD；
（2）解：连接AC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD⊥AB，
∴=，
∴∠BPD=∠CAB，
∴sin∠CAB=sin∠BPD=，
即=，
∵BC=3，
∴AB=5，
即⊙O的直径是5．
点评：
本题考查了圆周角定理，解直角三角形，垂径定理，平行线的判定的应用，主要考查学生的推理能力．
18．如图，△ABC内接于半圆，AB是直径，过A作直线MN，∠MAC=∠ABC，D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．
（1）求证：MN是半圆的切线；
（2）求证：FD=FG．
（3）若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．
考点：
圆周角定理；三角形内角和定理；等腰三角形的判定与性质；切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
专题：
证明题．
分析：
（1）由AB是直径得出∠ACB=90°，推出∠CAB+∠MAC=90°即可；
（2）根据三角形的内角和定理求出∠EDB+∠ABD=90°，∠CBG+∠BGC=90°，推出∠EDB=∠DGF即可；
（3）根据等腰三角形的性质推出∠DAF=∠ADF，求出AF=DF=FG，推出S△DGF=S△ADG，证△BCG∽△ADG，根据相似三角形的性质求出即可．
解答：
解：（1）如右图所示，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠MAC=∠ABC，
∴∠CAB+∠MAC=90°，
即∠MAB=90°，
∴MN是半圆的切线．
（2）证明：∵DE⊥AB，
∴∠EDB+∠ABD=90°，
∵AB是直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CBG+∠BGC=90°
∵D是弧AC的中点，
∴∠CBD=∠ABD，
∴∠EDB=∠BGC，
∵∠DGF=∠BGC，
∴∠EDB=∠DGF，
∴DF=FG．
（3）如图，连接AD、OD，
∵DF=FG，
∴∠DGF=∠FDG，
∵∠DGF+∠DAG=90°，∠FDG+∠ADF=90°，
∴∠DAF=∠ADF，
∴AF=DF=GF，
∴S△ADG=2S△DGF=9，
∵△BCG∽△ADG，
∴=，
∵△ADG的面积为9，且DG=3，GC=4，
∴S△BCG=16．
答：△BCG的面积是16．
点评：
本题主要考查对等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，相似三角形的性质和判定，圆周角定理，切线的性质和判定等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．
19．如图，已知△ABC中，以AB为直径的半⊙O交AC于D，交BC于E，BE=CE，∠C=70°，求∠DOE的度数．
考点：
圆周角定理；等腰三角形的性质．
分析：
连接AE，判断出AB=AC，根据∠B=∠C=70°求出∠BAC=40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，求出∠DOE的度数．
解答：
解：连接AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴AE⊥BC，
∵BE=CE，
∴AB=AC，
∴∠B=∠C=70°，∠BAC=2∠CAE，
∴∠BAC=40°，
∴∠DOE=2∠CAE=∠BAC=40°．
点评：
本题考查了等腰三角形的性质和圆周角定理，把圆周角转化为圆心角是解题的关键．
20．如图，在半径为5cm的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点P，∠CAB=50°，∠APD=80°．
（1）求∠ABD的大小；
（2）求弦BD的长．
考点：
圆周角定理；垂径定理．
分析：
（1）先根据三角形外角的性质求出∠C的度数，由圆周角定理即可得出结论；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，由垂径定理可知BD=2BE，再根据直角三角形的性质可求出BE的长，进而得出结论．
解答：
解：（1）∵∠APD是△APC的外角，∠CAB=50°，∠APD=80°，
∴∠C=80°﹣50°=30°，
∴∠ABD=∠C=30°；
（2）过点O作OE⊥BD于点E，则BD=2BE，
∵∠ABD=30°，OB=5cm，
∴BE=OB cos30°=5×=cm，
∴BD=2BE=5cm．
点评：
本题考查的是圆周角定理，熟知在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等是解答此题的关键．