华师大版九年级数学下27.3.1弧长和扇形面积课文练习含答案解析

27.3.1弧长和扇形面积
一．选择题（共8小题）
1．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（　　）
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A．
B．1﹣
C．﹣1
D．1﹣
2．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（　　）
A．cm
B．cm
C．3cm
D．cm
3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（　　）
A．6
B．9
C．18
D．36
4．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（　　）
A．
B．
C．
D．
5．一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（　　）
A．60°
B．120°
C．150°
D．180°
6．已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（　　）
A．5π
B．6π
C．8π
D．10π
7．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（　　）
A．
B．π
C．
D．
8．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（　　）
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A．
B．13π
C．25π
D．25
二．填空题（共6小题）
9．已知扇形半径是3cm，弧长为2πcm，则扇形的圆心角为　_________　°．（结果保留π）
10．若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为　_________　．
11．如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长是　_________　．
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12．通过对课本中《硬币滚动中的数学》的学习，我们知道滚动圆滚动的周数取决于滚动圆的圆心运动的路程（如图①）．在图②中，有2014个半径为r的圆紧密排列成一条直线，半径为r的动圆C从图示位置绕这2014个圆排成的图形无滑动地滚动一圈回到原位，则动圆C自身转动的周数为　_________　．
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13．半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为　_________　cm2．
14．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积是　_________　．
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三．解答题（共6小题）
15．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
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16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，OC=2，求阴影部分图形的面积（结果保留π）．
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17．如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．
（1）求线段EC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
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18．如图扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，求贴纸部分的面积．
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19．如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6，AB=6．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
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20．如图所示，在⊙O中，=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2=AB AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．
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27.3.1弧长和扇形面积
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．如图，正方形ABCD的边AB=1，和都是以1为半径的圆弧，则无阴影两部分的面积之差是（　　）
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A．
B．1﹣
C．﹣1
D．
1﹣
考点：
扇形面积的计算．
分析：
图中1、2、3、4图形的面积和为正方形的面积，1、2和两个3的面积和是两个扇形的面积，因此两个扇形的面积的和﹣正方形的面积=无阴影两部分的面积之差，即﹣1=．
解答：
解：如图：
正方形的面积=S1+S2+S3+S4；①
两个扇形的面积=2S3+S1+S2；②
②﹣①，得：S3﹣S4=S扇形﹣S正方形=﹣1=．
故选：A．
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点评：
本题主要考查了扇形的面积计算公式及不规则图形的面积计算方法．找出正方形内四个图形面积之间的联系是解题的关键．
2．一个圆锥的侧面展开图形是半径为8cm，圆心角为120°的扇形，则此圆锥的底面半径为（　　）
A．
cm
B．cm
C．3cm
D．
cm
考点：
弧长的计算．
分析：
利用弧长公式和圆的周长公式求解．
解答：
解：设此圆锥的底面半径为r，
根据圆锥的侧面展开图扇形的弧长等于圆锥底面周长可得：
2πr=，
r=cm．
故选：A．
点评：
圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇
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3．圆心角为120°，弧长为12π的扇形半径为（　　）
A．
6
B．9
C．18
D．
36
考点：
弧长的计算．
专题：
计算题．
分析：
根据弧长的公式l=进行计算．
解答：
解：设该扇形的半径是r．
根据弧长的公式l=，
得到：12π=，
解得
r=18，
故选：C．
点评：
本题考查了弧长的计算．熟记公式是解题的关键．
4．在半径为2的圆中，弦AB的长为2，则的长等于（　　）
A．
B．
C．
D．
考点：
弧长的计算．
分析：
连接OA、OB，求出圆心角∠AOB的度数，代入弧长公式求出即可．
解答：
解：连接OA、OB，
∵OA=OB=AB=2，
∴△AOB是等边三角形，
∴∠AOB=60°，
∴的长为：=，
故选：C．
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点评：
本题考查了弧长公式，等边三角形的性质和判定的应用，注意：已知圆的半径是R，弧AB对的圆心角的度数是n°，则弧AB的长=．
5．一个扇形的半径为8cm，弧长为cm，则扇形的圆心角为（　　）
A．
60°
B．120°
C．150°
D．
180°
考点：
弧长的计算．
分析：
首先设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：=，再解方程即可．
解答：
解：设扇形圆心角为n°，根据弧长公式可得：=，
解得：n=120°，
故选：B．
点评：
此题主要考查了弧长计算，关键是掌握弧长计算公式：l=．
6．已知一个扇形的半径为12，圆心角为150°，则此扇形的弧长是（　　）
A．
5π
B．6π
C．8π
D．
10π
考点：
弧长的计算．
分析：
直接利用弧长公式l=求出即可．
解答：
解：此扇形的弧长是：=10π．
故选：D．
点评：
此题主要考查了弧长计算，正确记忆弧长公式是解题关键．
7．已知扇形的圆心角为60°，半径为1，则扇形的弧长为（　　）
A．
B．π
C．
D．
考点：
弧长的计算．
分析：
利用弧长公式l=即可直接求解．
解答：
解：弧长是：=．
故选：D．
点评：
本题考查了弧长公式，正确记忆公式是关键．
8．如图，矩形ABCD中，AB=5，AD=
( http: / / www.21cnjy.com )12，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是（　　）
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A．
B．13π
C．25π
D．
25
考点：
弧长的计算；矩形的性质；旋转的性质．
专题：
几何图形问题．
分析：
连接BD，B′D，首先根据勾股定理计算出BD长，再根据弧长计算公式计算出，的长，然后再求和计算出点B在两次旋转过程中经过的路径的长即可．
解答：
解：连接BD，B′D，
∵AB=5，AD=12，
∴BD==13，
∴==，
∵==6π，
∴点B在两次旋转过程中经过的路径的长是：+6π=，
故选：A．
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点评：
此题主要考查了弧长计算，以及勾股定理的应用，关键是掌握弧长计算公式l=．
二．填空题（共6小题）
9．已知扇形半径是3cm，弧长为2πcm，则扇形的圆心角为　120　°．（结果保留π）
考点：
弧长的计算．
分析：
设扇形的圆心角为n°，根据弧长公式和已知得出方程=2π，求出方程的解即可．
解答：
解：设扇形的圆心角为n°，
∵扇形半径是3cm，弧长为2πcm，
∴=2π，
解得：n=120，
故答案为：120．
点评：
本题考查了弧长的计算的应用，解此题的关键是能根据弧长公式得出关于n的方程，题目比较好，难度适中．
10．若扇形的圆心角为60°，弧长为2π，则扇形的半径为　6　．
考点：
弧长的计算．
专题：
计算题．
分析：
利用扇形的弧长公式表示出扇形的弧长，将已知的圆心角及弧长代入，即可求出扇形的半径．
解答：
解：∵扇形的圆心角为60°，弧长为2π，
∴l=，
即2π=，
则扇形的半径R=6．
故答案为：6
点评：
此题考查了弧长的计算公式，扇形的弧长公式为l=（n为扇形的圆心角度数，R为扇形的半径），熟练掌握弧长公式是解本题的关键．
11．如图，正三角形ABC的边长为2，点A，B在半径为的圆上，点C在圆内，将正三角形ABC绕点A逆时针旋转，当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长是　　．
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考点：
弧长的计算；等腰直角三角形；垂径定理．
分析：
作辅助线，首先求出∠DAC的大小，进而求出旋转的角度，利用弧长公式问题即可解决．
解答：
解：如图，分别连接OA、OB、OD；
∵OA=OB=，AB=2，
∴△OAB是等腰直角三角形，
∴∠OAB=45°；
同理可证：∠OAD=45°，
∴∠DAB=90°；
∵∠CAB=60°，
∴∠DAC=90°﹣60°=30°，
∴当点C第一次落在圆上时，点C运动的路线长为：=．
故答案为：．
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点评：
本题考查了正方形的性质、旋转的性质
( http: / / www.21cnjy.com )、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数．
12．通过对课本中《硬币滚
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考点：
弧长的计算；相切两圆的性质；轨迹．
专题：
压轴题．
分析：
它从A位置开始，滚过与它相同的
( http: / / www.21cnjy.com )其他2014个圆的上部，到达最后位置．则该圆共滚过了2014段弧长，其中有2段是半径为2r，圆心角为120度，2012段是半径为2r，圆心角为60度的弧长，所以可求得．
解答：
解：弧长==1344πr，
又因为是来回所以总路程为：1344π×2=2688π，
所以动圆C自身转动的周数为：2688πr÷2πr=1344，
故答案为：1344．
点评：
本题考查了弧长的计算．关键是求出动圆C自身转动的长度．
13．半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为　π　cm2．
考点：
扇形面积的计算．
分析：
直接利用扇形面积公式求出即可．
解答：
解：半径为4cm，圆心角为60°的扇形的面积为：=π（cm2）．
故答案为：π．
点评：
此题主要考查了扇形的面积公式应用，熟练记忆扇形面积公式是解题关键．
14．如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，则图中阴影部分的面积是　π﹣2　．
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考点：
扇形面积的计算；等腰直角三角形．
专题：
几何图形问题．
分析：
通过图形知S阴影部分面积=
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解答：
解：∵在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴图中阴影部分的面积是：
S阴影部分面积=S半圆AB的面积+S半圆BC的面积﹣S△ABC的面积
=
=π﹣2．
故答案为：π﹣2．
点评：
本题考查了扇形面积的计算、勾股定理．解题的关键是推知S阴影部分面积=S半圆AB的面积+S半圆BC的面积﹣S△ABC的面积．
三．解答题（共6小题）
15．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠ACD=120°．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为2，求图中阴影部分的面积．
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考点：
扇形面积的计算；等腰三角形的性质；切线的判定；特殊角的三角函数值．21世纪教育网
专题：
几何图形问题．
分析：
（1）连接OC．只需证明∠OCD=90°．根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．
解答：
（1）证明：连接OC．
∵AC=CD，∠ACD=120°，
∴∠A=∠D=30°．
∵OA=OC，
∴∠2=∠A=30°．
∴∠OCD=180°﹣∠A﹣∠D﹣∠2=90°．
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∵∠A=30°，
∴∠1=2∠A=60°．
∴S扇形BOC=．
在Rt△OCD中，
∵，
∴．
∴．
∴图中阴影部分的面积为：．
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点评：
此题综合考查了等腰三角形的性质、切线的判定方法、扇形的面积计算方法．
16．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，∠CDB=30°，OC=2，求阴影部分图形的面积（结果保留π）．
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考点：
扇形面积的计算；全等三角形的判定与性质；垂径定理．
分析：
根据垂径定理可得CE=DE
( http: / / www.21cnjy.com )，∠CEO=∠DEB=90°，然后根据∠CDB=30°，得出∠COB=60°，继而证得△OCE≌△BDE，把阴影部分的面积转化为扇形的面积计算即可．
解答：
解：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，
∴CE=DE，∠CEO=∠DEB=90°．
∵∠CDB=30°，
∴∠COB=60°，∠OCE=∠CDB，
在△OCE和△BDE中，
∵，
∴△OCE≌△BDE，
∴S阴影=S扇形OCB==π．
点评：
本题考查了扇形面积的计算以及垂径定理、全等三角形的判定和性质，解答本题的关键是理解性质和定理，注意掌握扇形的面积公式．
17如图，在矩形ABCD中，AB=2DA，以点A为圆心，AB为半径的圆弧交DC于点E，交AD的延长线于点F，设DA=2．
（1）求线段EC的长；
（2）求图中阴影部分的面积．
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考点：
扇形面积的计算；含30度角的直角三角形；勾股定理；矩形的性质．
分析：
（1）根据扇形的性质得出AB=AE=4，进而利用勾股定理得出DE的长，即可得出答案；
（2）利用锐角三角函数关系得出∠DEA=30°，进而求出图中阴影部分的面积为：S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB求出即可．
解答：
解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=2DA，DA=2，
∴AB=AE=4，
∴DE==2，
∴EC=CD﹣DE=4﹣2；
（2）∵sin∠DEA==，
∴∠DEA=30°，
∴∠EAB=30°，
∴图中阴影部分的面积为：
S扇形FAB﹣S△DAE﹣S扇形EAB
=﹣×2×2﹣
=﹣2．
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点评：
此题主要考查了扇形的面积计算以及勾股定理和锐角三角函数关系等知识，根据已知得出DE的长是解题关键．
18．如图扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条AB、AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分BD长为20cm，求贴纸部分的面积．
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考点：
扇形面积的计算．
分析：
贴纸部分的面积等于扇形ABC减去小扇
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解答：
解：设AB=R，AD=r，则有S贴纸=πR2﹣πr2
=π（R2﹣r2）=π（R+r）（R﹣r）=（30+10）×（30﹣10）π=π（cm2）；
答：贴纸部分的面积为πcm2．
点评：
本题主要考查了扇形的面积公式．
19．如图，线段AB与⊙O相切于点C，连接OA，OB，OB交⊙O于点D，已知OA=OB=6，AB=6．
（1）求⊙O的半径；
（2）求图中阴影部分的面积．
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考点：
扇形面积的计算；勾股定理；切线的性质．
专题：
几何综合题．
分析：
（1）线段AB与⊙O相切于点C，则可以连接OC，得到OC⊥AB，则OC是等腰三角形OAB底边上的高线，根据三线合一定理，得到AC=3，在直角△OAC中根据勾股定理得到半径OC的长；
（2）图中阴影部分的面积等于△OAB的面积与扇形OCD的面积的差的一半．
解答：
解：（1）连接OC，则OC⊥AB．（1分）
∵OA=OB，
∴AC=BC=AB=×6=3．（2分）
在Rt△AOC中，OC==3，
∴⊙O的半径为3；（4分）
（2）∵OC=，
∴∠B=30°，∠COD=60°（5分）
∴扇形OCD的面积为S扇形OCD==π，（7分）
∴阴影部分的面积为S阴影=SRt△OBC﹣S扇形OCD=OC CB﹣π=﹣π．（8分）
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点评：
本题主要考查了圆的切线的性质定理，切线垂直于过切点的半径，并且注意，不规则图形的面积可以转化为一些规则图形的面积的和或差．
20．如图所示，在⊙O中，=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC．
（1）求证：AC2=AB AF；
（2）若⊙O的半径长为2cm，∠B=60°，求图中阴影部分面积．
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考点：
扇形面积的计算；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
专题：
几何综合题．
分析：
（1）由=，利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△ACF与△ABC相似，根据相似得比例可得证；
（2）连接OA，OC，利用
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解答：
（1）证明：∵=，
∴∠ACD=∠ABC，又∠BAC=∠CAF，
∴△ACF∽△ABC，
∴=，即AC2=AB AF；
（2）解：连接OA，OC，过O作OE⊥AC，垂足为点E，
如图所示：
∵∠ABC=60°，∴∠AOC=120°，
又∵OA=OC，∴∠AOE=∠COE=×120°=60°，
在Rt△AOE中，OA=2cm，
∴OE=OAcos60°=1cm，
∴AE==cm，
∴AC=2AE=2cm，
则S阴影=S扇形OAC﹣S△AOC=﹣×2×1=（﹣）cm2．
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点评：
此题考查了扇形面积的求法，涉及的知识有：相似三角形的判定与性质，弧、圆心角及弦之间的关系，等腰三角形的性质，勾股定理，以及锐角三角函数定义，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．