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第八章 实数 单元测试B卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（23-24八年级上·广东深圳·月考）在下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（本题3分）（25-26八年级上·广东肇庆·期中）在，，π，，（相邻两个1之间依次增加1个0）中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（本题3分）（2023·福建泉州·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
4．（本题3分）（23-24八年级上·四川达州·期末）在实数，，，，中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
5．（本题3分）（23-24七年级下·河南许昌·期末）关于的叙述错误的是（ ）
A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点
C．是13的平方根 D．的整数部分是4
6．（本题3分）（24-25八年级上·河南新乡·月考）若的整数部分为a，小数部分为b，的整数部分为c，小数部分为d，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．（本题3分）（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知，，且，则的值等于（）
A． B． C．或 D．或
8．（本题3分）（24-25七年级下·全国·单元测试）若2025的两个平方根是和，则的值是（ ）
A．0 B．2025 C． D．4050
9．（本题3分）（25-26八年级上·河南·月考）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（ ）
A． B． C． D．
10．（本题3分）（2025七年级下·全国·专题练习）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．
11．（本题3分）（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（ ）
A． B． C． D．
12．（本题3分）（20-21七年级上·浙江宁波·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
评卷人得分
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（本题3分）（17-18八年级下·山东潍坊·月考）已知，则x的值为 ．
14．（本题3分）（21-22七年级下·北京·月考）把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
15．（本题3分）（25-26七年级上·湖北襄阳·月考）已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则是正数；④若，则；其中正确的是 ．
16．（本题3分）（24-25九年级上·重庆·月考）若一个四位数的千位和十位数字顺次组成的两位数与百位和个位数字顺次组成的两位数之和为，则称这个四位数为“义务数”．若一个四位数（其中，，，，且均为整数）为“义务数”，则 ，在此条件下，若能被整除，则满足条件的的值为 ．
评卷人得分
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）（20-21七年级下·甘肃金昌·期中）将下列各数填入相应的集合中．
，，，，，，，，
正数 ；
负分数 ；
正有理数集合 ；
无理数集合 ．
18．（本题6分）（23-24七年级下·广东汕头·月考）化简：
(1)
(2)
19．（本题6分）（23-24七年级下·陕西安康·期末）若整数，，满足，则称为，的平方和数．例如：，则5为3，4的平方和数．请你根据以上材料，回答下列问题：
(1)数3，4的另一个平方和数为________；
(2)若数与的平方和数是0，则________，________；
(3)已知13是数与12的平方和数，求的值．
20．（本题6分）（22-23八年级上·江苏·单元测试）化简求值：
(1)已知a是的整数部分，，求的平方根．
(2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
21．（本题8分）（2021·重庆·中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n．
22．（本题8分）（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表：
a 0.000008 0.008 8 8000
（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知，，，则介于哪两个整数之间？
②已知，则______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米）
23．（本题10分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B．
(1)点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，线段的长度为 ．
(2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C，设点C表示的数为c，
①实数c的值为 ；
②若与互为相反数，求的值．
24．（本题10分）（22-23七年级下·四川南充·月考）阅读理解，观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立．
(2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值．
25．（本题12分）（21-22七年级上·江苏连云港·期中）概念学习
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“的圈次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果：________，________；
（2）下列关于除方说法中，错误的有________；（在横线上填写序号即可）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
D．圈次方等于它本身的数是1或
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：________；
（4）比较：________；填“>”“<”或“=”）
（5）计算：．
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第八章 实数 单元测试B卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
评卷人得分
一、单选题：本题共12小题，每小题3分，共36分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（本题3分）（23-24八年级上·广东深圳·月考）在下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了平方根和立方根的概念．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．立方根的性质：一个正数的立方根是正数，一个负数的立方根是负数，0的立方根是0．根据平方根、算术平方根和立方根的定义逐项计算即可判断．
【详解】解：A、，故选项错误；
B、，故选项正确；
C、，故选项错误；
D、，故选项错误．
故选：B．
2．（本题3分）（25-26八年级上·广东肇庆·期中）在，，π，，（相邻两个1之间依次增加1个0）中，有理数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【分析】本题考查有理数的概念，解题的关键是能区分无限循环小数（是有理数）和无限不循环小数（不是有理数）．根据有理数的定义（能表示为两个整数之比的数，包括整数、有限小数和无限循环小数），逐一判断每个数是否是有理数．
【详解】解：在，，π，，（相邻两个1之间依次增加1个0）中，有理数有，，，共有3个，
故选：C．
3．（本题3分）（2023·福建泉州·二模）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则正确的结论是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据实数在数轴上的对应点的位置，进而逐项分析判断即可求解．
【详解】解：A、由图可得，与原点的距离大于与原点的距离，∴，故选项A不正确，不符合题意；
B、∵，∴，∴，故选项B不正确；
C、∵，∴，∴，故选项C正确，符合题意；
D、∵，∴，∴，故选项D不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了实数与数轴，根据数轴比较实数的大小，利用数形结合思想分析问题是解题的关键．
4．（本题3分）（23-24八年级上·四川达州·期末）在实数，，，，中，最小的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了实数的大小比较，根据实数的大小比较法则：正数大于，负数小于，正数大于负数，两个负数，绝对值大的反而小，即可判断求解，掌握实数的大小比较法则是解题的关键．
【详解】解：，，，，
∵正数大于，负数小于，正数大于负数，
∴最小的数是，
故选：D．
5．（本题3分）（23-24七年级下·河南许昌·期末）关于的叙述错误的是（ ）
A．面积为13的正方形的边长是 B．在数轴上可以找到表示的点
C．是13的平方根 D．的整数部分是4
【答案】D
【分析】本题主要考查了正方形的性质、平方根的性质、数轴的特点、有理数的大小判断等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
根据正方形面积计算方法对A进行判断；根据数轴上的点与实数一一对应即可判断B；根据平方根的性质对C进行判断；根据，可得出可判断出D是否正确．
【详解】解：A．面积为13的正方形的边长是，说法正确，故A不符合题意；
B．在数轴上可以找到表示的点，数轴上的点与实数一一对应，故B正确，不符合题意；
C．是13的平方根，说法正确，不符合题意；
D．∵，∴，整数部分是3，故D选项说法错误，符合题意．
故选：D．
6．（本题3分）（24-25八年级上·河南新乡·月考）若的整数部分为a，小数部分为b，的整数部分为c，小数部分为d，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了估算无理数的大小，通过估算在哪两个整数之间，从而确定，，通过估算在哪两个整数之间，从而确定，，然后把a、b、c、d代入求得数值．
【详解】解：∵的整数部分为a，小数部分为b，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵的整数部分为c，小数部分为d，
∴，，
∴．
故选：A．
7．（本题3分）（24-25七年级上·安徽安庆·期中）已知，，且，则的值等于（）
A． B． C．或 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了绝对值，乘方，代数式求值，掌握绝对值，乘方的计算，确定x， y的值是解题的关键．根据题意可得，由确定x， y的值，代入计算即可求解．
【详解】解：已知，
，
∴当时，，不符合题意；
当时，，不符合题意；
当时，，符合题意，
当时，，符合题意，
；
综上所述，的值等于或．
故选：C．
8．（本题3分）（24-25七年级下·全国·单元测试）若2025的两个平方根是和，则的值是（ ）
A．0 B．2025 C． D．4050
【答案】C
【分析】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键，平方根：如果，则x叫做a的平方根，记作“ ”．根据平方根的定义即可求解，正数的平方根互为相反数．
【详解】解：∵2025的两个平方根是m和n，
∴
，
故选：C
9．（本题3分）（25-26八年级上·河南·月考）如图是小明用计算机设计的计算小程序，当输入为时，输出的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了求一个数立方根和算术平方根，无理数的定义，正确理解流程图是解题的关键．
将输入，按照流程图计算，直至求出是无理数，输出即可．
【详解】解：当，则，是有理数；
则当，则，是有理数；
则当，则，是无理数，直接输出，
∴当输入为时，输出的值是，
故选：B．
10．（本题3分）（2025七年级下·全国·专题练习）已知为实数，规定运算：，，，，，，按上述方法，当时，的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了数字规律题，求一个数的立方根，当时，则，，，，，则有以三个数为一组，不断循环，从而有，然后代入求出立方根即可，掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】解：当时，
∴，
，
，
，
，
∴以三个数为一组循环，
∴，
∴，
∴，
故选：．
11．（本题3分）（24-25八年级下·河北保定·期中）如图，这是一个按某种规律排列的数阵：
根据数阵排列的规律，第10行从左向右数第7个数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了算术平方根，观察数据排列规律，确定出前（）行的数据的个数是解题的关键．
观察不难发现，被开方数是从1开始的连续自然数，每一行的数据的个数是从2开始的连续偶数，求出行的数据的个数，再加上得到所求数的被开方数，然后写出算术平方根即可。
【详解】前行的数据的个数为，
所以，第10行从左到右数第7个数的被开方数是，
所以，第10行从左向右数第7个数是．
故选B．
12．（本题3分）（20-21七年级上·浙江宁波·期末）实数在数轴上的对应点的位置如图所示，若，则A，B，C，D四个点中可能是原点的为（ ）
A．A点 B．B点 C．C点 D．D点
【答案】D
【分析】分①若原点的位置为A点时，②若原点的位置为B点或C点时，③若原点的位置为D点时，结合有理数的加法法则和点在数轴上的位置分析即可得出正确选项．
【详解】解：根据数轴可知，
①若原点的位置为A点时，x＞0，则，，，
∴，舍去；
②若原点的位置为B点或C点时，，
则或，，
∴，舍去；
③若原点的位置为D点时，
则 ，
∴，符合条件，
∴最有可能是原点的是D点，
故选：D．
【点睛】本题考查实数与数轴，有理数的加法法则，化简绝对值．熟记有理数的加法法则是解题关键．
评卷人得分
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
13．（本题3分）（17-18八年级下·山东潍坊·月考）已知，则x的值为 ．
【答案】5
【分析】利用立方根的定义，可得，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
解得：．
故答案为：5
【点睛】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握若一个数的立方等于，则这个数称为的立方根是解题的关键．
14．（本题3分）（21-22七年级下·北京·月考）把无理数，，，表示在数轴上，在这四个无理数中，被墨迹（如图所示）覆盖住的无理数是 ．
【答案】
【分析】设被墨迹顠盖住的无理数为，由图可知∶，得，进而解决此题．
【详解】解∶设被墨迹覆盖住的无理数为．
由图可知∶．
故答案为∶．
【点睛】本题主要考查算术平方根以及数轴上的点表示的数的意义，熟练掌握算术平方根以及数轴上的点表示的数的意义是解决本题的关键．
15．（本题3分）（25-26七年级上·湖北襄阳·月考）已知，为实数，下列说法：①若，且，互为相反数，则；②若，，则；③若，则是正数；④若，则；其中正确的是 ．
【答案】①②③
【分析】此题考查了相反数，绝对值和实数的混合运算，熟练掌握各种运算法则是解本题的关键．
①除0外，互为相反数的商为，可作判断；
②由两数之和小于0，两数之积大于0，得到与都为负数，即小于0，利用负数的绝对值等于它的相反数化简得到结果，即可作出判断；
③分类讨论，，，，以及分别处理即可；
④由的绝对值等于它的相反数，得到为非正数，得到与的大小，即可作出判断．
【详解】解：①∵，且，互为相反数，
∴，故本选项正确；
②∵，
∴与同号，
∵，
∴，，
∴，
∴，故本选项正确；
③若，当，则是正数，
当时，是正数，
当时，是正数，
当时，是正数，本选项正确；
④∵，即，
，即，本选项错误；
综上分析可知：其中正确的是①②③．
故答案为：①②③．
16．（本题3分）（24-25九年级上·重庆·月考）若一个四位数的千位和十位数字顺次组成的两位数与百位和个位数字顺次组成的两位数之和为，则称这个四位数为“义务数”．若一个四位数（其中，，，，且均为整数）为“义务数”，则 ，在此条件下，若能被整除，则满足条件的的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查实数的新定义运算，正确理解新定义是解题的关键．利用“义务数”的定义以及各字母的范围，结合两位数的表示方法和整数的性质，即可求解；再利用整数整除的性质，合理变形分析讨论，最后得出满足条件的的值，即可．
【详解】解：由题意得，，
∴，
∵均为整数，
∴为整数，
∴是的倍数，
∵，，
∴，
∴，
∴
，
∵能被整除，
∴能被整除，
∵，
∴，
当时，，此时；
∴，；
∵，
∴不符合题意；
当时，，此时；
∴，；
∵，
∴不符合题意；
当时，，此时；
∴，；
∵，
∴不符合题意；
当时，，此时；
∴，；
∴，
当时，，此时；
∴，；
∵，，
∴不符合题意；
当时，，此时；
∴，；
∵，，
∴不符合题意；
当时，，此时；
∴，；
∵，，
∴不符合题意；
当时，，此时；
∴，；
∵，，
∴不符合题意；
综上所述，
故答案为：①；②．
评卷人得分
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本题6分）（20-21七年级下·甘肃金昌·期中）将下列各数填入相应的集合中．
，，，，，，，，
正数 ；
负分数 ；
正有理数集合 ；
无理数集合 ．
【答案】见解析
【分析】分别利用正数、负分数、正有理数、无理数的定义分析即可求出答案．
【详解】解：正数；
负分数；
正有理数集合；
无理数集合．
【点睛】此题主要考查了实数的有关定义，正确区分相关定义是解题关键．
18．（本题6分）（23-24七年级下·广东汕头·月考）化简：
(1)
(2)
【答案】(1)1
(2)9
【分析】本题考查了求立方根，算术平方根，化简绝对值，解题的关键是掌握相应的运算法则；
（1）去绝对值符号后，再算加减运算；
（2）先算立方根，算术平方根，再算加法．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．（本题6分）（23-24七年级下·陕西安康·期末）若整数，，满足，则称为，的平方和数．例如：，则5为3，4的平方和数．请你根据以上材料，回答下列问题：
(1)数3，4的另一个平方和数为________；
(2)若数与的平方和数是0，则________，________；
(3)已知13是数与12的平方和数，求的值．
【答案】(1)
(2)；2；
(3)，
【分析】（1）根据定义列式计算即可求得答案；
（2）根据定义列得等式，然后利用偶次幂的非负性即可求得，的值；
（3）根据定义列得出相应的方程，运用平方根解方程并确定的值即可．
本题考查新定义及偶次幂的非负性，运用平方根解方程，根据定义列得相应的等式是解题的关键．
【详解】（1）解：依题意，
数3，4的另一个平方和数为：，
故答案为：；
（2）解：数与的平方和数是0，
，
，，
解得：，，
故答案为：；2；
（3）解：∵13是数与12的平方和数，
，
整理得：，
解得：，．
20．（本题6分）（22-23八年级上·江苏·单元测试）化简求值：
(1)已知a是的整数部分，，求的平方根．
(2)已知：实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）先估算出的取值范围，求出a的值；由于，根据算术平方根的定义可求b，再代入计算，进一步求平方根即可．
（2）利用数轴得出各项符号，进而利用二次根式和绝对值的性质化简．
【详解】（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴的平方根是；
（2）由数轴可得：，
则，
则
．
【点睛】本题考查了算术平方根与平方根的定义，以及估算无理数的大小，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键．
21．（本题8分）（2021·重庆·中考真题）对于任意一个四位数m，若千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数m为“共生数”例如：，因为，所以3507是“共生数”：，因为，所以4135不是“共生数”；
（1）判断5313，6437是否为“共生数”？并说明理由；
（2）对于“共生数”n，当十位上的数字是千位上的数字的2倍，百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除时，记．求满足各数位上的数字之和是偶数的所有n．
【答案】（1）是“共生数”， 不是“共生数”． （2）或
【分析】（1）根据“共生数”的定义逐一判断两个数即可得到答案；
（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为 可得：＜ 且为整数，再由“共生数”的定义可得：而由题意可得：或 再结合方程的正整数解分类讨论可得答案．
【详解】解：（1）
是“共生数”，
不是“共生数”．
（2）设“共生数”的千位上的数字为 则十位上的数字为 设百位上的数字为 个位上的数字为
＜ 且为整数，
所以：
由“共生数”的定义可得：
百位上的数字与个位上的数字之和能被9整除，
或或
当 则 则 不合题意，舍去，
当时，则
当时，
此时： ，而不为偶数，舍去，
当时，
此时： ，而为偶数，
当时，
此时： ，而为偶数，
当时，则
而则不合题意，舍去，
综上：满足各数位上的数字之和是偶数的或
【点睛】本题考查的是新定义情境下的实数的运算，二元一次方程的正整数解，分类讨论的数学思想的运用，准确理解题意列出准确的代数式与方程是解题的关键．
22．（本题8分）（24-25七年级下·广东汕头·期中）（1）填表：
a 0.000008 0.008 8 8000
（2）观察上表，表中数a的小数点的移动与它的立方根的小数点的移动之间有何规律？请用语言叙述这个规律：______；
（3）根据你发现的规律解答：
①已知，，，则介于哪两个整数之间？
②已知，则______；
③用铁皮制作一个封闭的正方体，它的体积是1.843立方米，问需要多大面积的铁皮？（结果精确到0.01平方米）
【答案】（1）0.02，0.2，2，20；（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；（3）①12和13之间；②12.26；③需要大约9.02平方米的铁皮
【分析】本题主要考查立方根的估算与运用，理解表格信息，找出规律是解立方根估算的关键，掌握体积的计算公式，立方根的估算方法是解实际问题的关键．
（1）利用立方根的定义填表即可；
（2）根据表格信息中小数点的移动情况分析即可求解；
（3）①结合表格信息，对进行变形分析即可；②结合表格信息，对进行变形分析即可；③设正方体的棱长为米，由体积公式，立方根的估算得到棱长，再根据表面积的计算方法即可求解．
【详解】解：（1）填表如下：
a 0.000008 0.008 8 8000
0.02 0.2 2 20
（2）规律：数a的小数点每向右或向左移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右或向左移动一位；
（3）①，
，
介于整数12和13之间；
②，
；
③设正方体的棱长为a米，则，
由②知，
；
，
（平方米），
答：需要大约9.02平方米的铁皮．
23．（本题10分）（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，将面积分别为2和3的两个正方形放在数轴上，使正方形一个顶点和原点O重合，一条边恰好落在数轴上，其另一个顶点分别为数轴上的点A和点B．
(1)点A表示的数为 ，点B表示的数为 ，线段的长度为 ．
(2)一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点C，设点C表示的数为c，
①实数c的值为 ；
②若与互为相反数，求的值．
【答案】(1)
(2)①；②或
【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的实际应用，实数的混合运算：
（1）求出边长，即可得出结果，根据两点间的距离公式求出线段的长度即可；
（2）①根据数轴上点的移动规则，进行计算即可；②利用非负性进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，得：，
∴点A表示的数为，点B表示的数为，线段的长度为；
（2）①由题意，得：实数c的值为；
②∵与互为相反数，
∴，
∴，
∴，
∴或．
24．（本题10分）（22-23七年级下·四川南充·月考）阅读理解，观察下列式子：
①；
②；
③；
④；
…
根据上述等式反映的规律，回答如下问题：
(1)由等式①，②，③，④所反映的规律，可归纳为一个这样的真命题：对于任意两个有理数a，b，若______，则；反之也成立．
(2)根据上述的真命题，解答问题：若与的值互为相反数，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了立方根、算术平方根的应用，解一元一次方程，观察并总结规律是解题的关键．
（1）用含、的式子表达规律即可得答案；
（2）根据题意列出一元一次方程，解方程求出的值即可,进而求得算术平方根，即可．
【详解】（1）解：由规律可得：对于任意两个有理数、，若，则，
故答案为：．
（2）解：若与的值互为相反数，则，
解得：．
∴
25．（本题12分）（21-22七年级上·江苏连云港·期中）概念学习
现规定：求若干个相同的有理数（均不等于0）的商的运算叫做除方，比如，等，类比有理数的乘方，我们把写作，读作“2的圈3次方”，写作，读作“的圈4次方”，一般地，把写作，读作“的圈次方”．
初步探究
（1）直接写出计算结果：________，________；
（2）下列关于除方说法中，错误的有________；（在横线上填写序号即可）
A．任何非零数的圈2次方都等于1
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数
D．圈次方等于它本身的数是1或
深入思考
我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，那么有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
（3）归纳：请把有理数的圈次方写成幂的形式为：________；
（4）比较：________；填“>”“<”或“=”）
（5）计算：．
【答案】（1），；（2）D；（3）；（4）；（5）
【分析】（1）根据规定的运算，直接计算即可；
（2）根据圈次方的意义，计算判断得出结论；
（3）根据题例的规定，直接写成幂的形式即可；
（4）根据圈次方的规定直接进行判断即可；
（5）先把圈次方转化成幂的形式，利用有理数的混合运算，计算求值即可．
【详解】解：（1），
，
故答案为：，；
（2）A．任何非零数的圈2次方都等于1，结论正确，不符合题意；
B．任何非零数的圈3次方都等于它的倒数，结论正确，不符合题意；
C．负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，结论正确，不符合题意；
D．圈次方等于它本身的数是1，结论错误，符合题意；
故选：D；
（3），
故答案为：；
（4）
＝
＝
＝，
＝
＝
＝，
∵，
∴，
故答案为：；
（5）原式＝
＝
＝．
【点睛】本题考查了新定义运算，掌握圈次方的意义是解本题的关键．
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