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三角函数解答题专项练习
1．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走6m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为63.4°房屋的顶层横梁EF＝8m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.75，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
【分析】（1）由题意得，AG⊥EF，EG4cm，∠AEG＝∠ACB＝35°，在Rt△AEG中，tan35°，进而可得AG的长．
（2）过点E作EH⊥BC于点H，由题意得，BG＝EH，CD＝6m．设DH＝xm，则CH＝CD+DH＝（6+x）m．在Rt△DEH中，tan63.4°2.00，可得EH＝2xm．在Rt△CEH中，tan35°0.75，求出x的值，进而可得BG的长，再根据AB＝AG+BG可得答案．
【解答】解：（1）由题意得，AG⊥EF，EG4cm，∠AEG＝∠ACB＝35°，
在Rt△AEG中，tan35°，
∴AG＝3m，
∴屋顶到横梁的距离AG为3m．
（2）过点E作EH⊥BC于点H，
由题意得，BG＝EH，CD＝6m．
设DH＝xm，则CH＝CD+DH＝（6+x）m．
在Rt△DEH中，tan∠EDH＝tan63.4°2.00，
∴EH＝2xm．
在Rt△CEH中，tan∠ECH＝tan35°0.75，
解得x＝3.6，
经检验，x＝3.6是原方程的解且符合题意，
∴EH＝2×3.6＝7.2（m），
∴BG＝7.2m，
∴AB＝AG+BG＝3+7.2＝10.2≈10（m），
∴房屋的高AB约10m．
2．如图是一辆停放在水平地面上的车载起重机的侧面示意图，吊杆AE一端固定在车厢上的点A处，伸缩支撑杆BD一端固定在车厢上的点B处，另一端固定在AE上的点D处．在某次作业过程中，测得吊钩E到车厢尾部C点的水平距离为2米（即CF＝2米），∠EAF＝37°，∠DBA＝45°．已知AC平行于地面，且距地面2.2米，AB＝BC＝2.1米，求此时吊钩E距地面的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.41）
【分析】易得AF的长，根据37°的正切值可得EF的长，加上AC到地面的距离即为此时吊钩E距地面的高度．
【解答】解：∵AB＝BC＝2.1米，CF＝2米，
∴AF＝2.1+2.1+2＝6.2米，
由题意得：EF⊥AF，
∴∠AFE＝90°，
∵∠EAF＝37°，
∴EF＝6.2×tan37°≈6.2×0.75≈4.65（米），
∵AC平行于地面，且距地面2.2米，
∴点E到地面的距离为：4.65+2.2≈6.9（米）．
答：吊钩E距地面的高度约为6.9米．
3．山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构．小明及其学习小组想知道山上信号钢支架AB的高度，在山脚D处测得钢支架顶端A的仰角为45°，沿着斜坡DE走50米到平台EB的边沿E测得钢支架顶端A的仰角为65°，用水盆测量法测得DE的坡度为3：4．学习小组画出如图所示的示意图，∠C＝90°，AC⊥DC于点C，EB⊥AC于点B，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据，求出钢支架AB的高度．（在测量的过程中测量者和工具的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
【分析】过点E作EF⊥CD，垂足为F，根据题意可得：四边形EFCB是矩形，从而可得EB＝CF，EF＝BC，然后根据已知可设EF＝3x米，则DF＝4x米，在Rt△DEF中，利用勾股定理进行计算可求出EF和DF的长，再设EB＝CF＝a米，则CD＝（40+a）米，最后分别在Rt△ACD和Rt△ABE中，利用锐角三角函数的定义求出AC和AB的长，从而列出关于a的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点E作EF⊥CD，垂足为F，
由题意得：四边形EFCB是矩形，
∴EB＝CF，EF＝BC，
∵DE的坡度为3：4，
∴，
∴设EF＝3x米，则DF＝4x米，
在Rt△DEF中，DE5x（米），
∵DE＝50米，
∴5x＝50，
解得：x＝10，
∴EF＝BC＝30米，DF＝40米，
设EB＝CF＝a米，则CD＝DF+CF＝（40+a）米，
在Rt△ACD中，∠ADC＝45°，
∴AC＝CD tan45°＝（40+a）米，
在Rt△ABE中，∠AEB＝65°，
∴AB＝EB tan65°≈2.14a（米），
∵AB+BC＝AC，
∴2.14a+30＝40+a，
解得：a≈8.77，
∴AB＝2.14a≈18.8（米），
∴钢支架AB的高度约为18.8米．
4．某实践活动小组阅读了古代数学家刘徽编撰的《重差》后，他们欲测量球罐外斜梯的长度．实施了如下方案：先测得球罐最低处B离地面高度AB＝1.5米，接着一人站在球罐最高点C处，看到斜梯末端F处恰好被斜梯顶端E遮挡（此时EF与⊙O相切），已知过切点B恰有一水平横梁交于斜梯末端F处．
（1）连接OE，求证：∠DOE＝∠BFD；
（2）若眼睛D与点C的距离为1.5米，，求斜梯EF的长．
【分析】（1）通过圆的切线性质和平行线的性质来证明角相等；
（2）先根据已知的正弦值和线段长度求出相关直角三角形的边长，再利用相似三角形的性质求出斜梯EF的长．
【解答】（1）证明：由题意得：BF，EF均与⊙O相切，连接OE，
∴∠OEF＝∠OBF＝90°，
又∵四边形OBFE内角和为360°，
∴∠BOE+∠BFD＝180°，
又∵∠BOE+∠DOE＝180°，
∴∠DOE＝∠BFD；
（2）解：设⊙O半径为r，
在Rt△DOE中，，
∴OE＝OD sinD，即，
解得r＝6，
∴BD＝1.5+6+6＝13.5（米），
在Rt△DBF中，，
∴，
∴BF＝BD tanD＝18米
根据切线长定理可知EF＝BF＝18米．
5．如图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如图，经过测量，支架的立柱AB与地面AM垂直，AB＝3.24米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆BC与水平线AC的夹角∠ACB＝33°，支撑杆DE⊥BC，垂足为E，该支架的边BD与BC的夹角∠DBE＝66°，又测得CE＝2.8米．（参考数据：sin33°≈0.54，sin66°≈0.91，cos33°≈0.84，cos66°≈0.40，tan33°≈0.65，tan66°≈2.25）
（1）求该支架的边BC长；
（2）求支架的边BD的顶端D到地面AM的距离．（结果精确到1米）
【分析】（1）解直角三角形ABC可求出BC；
（2）根据BC的长进而得出CE的长，再解直角三角形DEB即可得到BD的长；过点D作DH⊥AM于H，过点B作BG⊥DH于G，则四边形ABGH是矩形，得GH＝AB＝3.24米，BG∥AH，进而得∠GBC＝∠ACB＝33°，即得∠DBG＝33°，解直角三角形BDG得到DG的长，即可求出BD的顶端D到地面AM的距离；
【解答】解：（1）∵支架的立柱AB与地面AM垂直，
∴△ABC是直角三角形，
在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠ACB＝33°，AB＝3.24米，
∴（米），
∴该支架的边BC的长为6米；
（2）∵CE＝2.8米，
∴BE＝BC﹣CE＝6﹣2.8＝3.2（米），
∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
在Rt△DEB中，（米）．
如图2，过点D作DH⊥AM于H，过点B作BG⊥DH于点G，
则四边形ABGH是矩形．
∴GH＝AB＝3.24（米），BG∥AH，
∴∠GBC＝∠ACB＝33°．
∴∠DBG＝∠DBE﹣∠GBC＝33°，
在Rt△BDG中，DG＝BD sin∠DBG＝8×0.54＝4.32（米），
∴DH＝DG+GH＝3.24+4.32＝7.56≈8（米），
∴支架的边BD的顶端D到地面AM的距离为8米．
6．九年级数学兴趣小组的同学利用所学知识测量路灯AB的高度，如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆CD，测得此时CD的影长CE为0.5米；在点C处旋转标杆，观察标杆影长的变化规律，发现当标杆旋转到CF的位置时，标杆的影长最大，此时CF⊥BG，测得影长CG为米，已知BA⊥AC，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据求出路灯AB的高度．
【分析】证明△DCE∽△BAE，求得BA＝2EA，再利用解直角三角形列方程，即可解答．
【解答】解：由题意，可知∠DCE＝∠BAE＝90°，
∴DC∥BA，
∴△DCE∽△BAE，
∴，
∵DC＝1米，EC＝0.5米，
∴，即BA＝2EA
设AC＝x，则AE＝x+0.5，
∴BA＝2x+1，
在Rt△GFC中，CF＝1，，
∴，
∴．
∴，
即，
解得x＝1．
∴AB＝2x+1＝3（米），
即路灯AB的高度为3米．
7．风能作为一种清洁的可再生能源，越来越受到世界各国的重视．图1是某规格风力发电机，其工作发电时，当风轮叶片末端旋转至最高点，如图2所示，测得∠CAB＝60°；当风轮叶片末端旋转至最低点，如图3所示，测得∠DAB＝33°，已知AB＝100.2m，OE＝0.2m，则该规格的风力发电机的风轮叶片长为多少？（结果精确到1m，参考数据：1.732，sin33°≈0.545，cos33°≈0.839，tan33°≈0.649）
【分析】延长CO交AB于点F，延长OD交AB于点G，根据题意可得：CF⊥AB，OG⊥AB，OE＝BF＝BG＝0.2m，OF＝BE＝OG，OD＝OC，从而可得AF＝AG＝100m，然后设OC＝OD＝xm，OF＝BE＝OG＝ym，在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义可得x+y＝173.2①，再在Rt△ADG中，利用锐角三角函数的定义可得y﹣x＝64.9②，最后进行计算即可解答．
【解答】解：延长CO交AB于点F，延长OD交AB于点G，
由题意得：CF⊥AB，OG⊥AB，OE＝BF＝BG＝0.2m，OF＝BE＝OG，OD＝OC，
∵AB＝100.2m，
∴AF＝AB﹣BF＝100（m），AG＝AB﹣BG＝100（m），
设OC＝OD＝xm，OF＝BE＝OG＝ym，
在Rt△ACF中，∠CAB＝60°，
∴tan60°1.732，
∴x+y＝173.2①，
在Rt△ADG中，∠DAG＝33°，
∴tan33°0.649，
∴y﹣x＝64.9②，
∴①﹣②得：2x＝108.3，
解得：x≈54，
∴OD＝OC＝54m，
∴该规格的风力发电机的风轮叶片长约为54m．
8．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米；…
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．
【分析】延长CD交AB于点H，根据矩形的性质得到CM＝HB＝20，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：延长CD交AB于点H，
由题意得，四边形CMBH为矩形，
∴CM＝HB＝20，
在Rt△ACH中，∠AHC＝90°，∠ACH＝18.4°，
∴，
∴，
在Rt△ECH中，∠EHC＝90°，∠ECH＝37°，
∴，
∴，
设AH＝x米．
∵AE＝9，
∴EH＝x+9，
∴，
解得x≈7.1，
∴AB＝AH+HB≈7.1+20＝27.1≈27（米）
答：点A到地面的距离AB的长约为27米．
9．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°，已知楼AB和楼CD之间的距离BC为120米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）求楼CD的高度（结果保留根号）；
（2）求此时无人机距离地面BC的高度．
【分析】（1）过点A作AE⊥CD，垂足为E，根据题意可得：AB＝CE＝10米，AE＝BC＝120米，然后在Rt△ADE中，利用锐角三角函数的定义求出DE的长，从而进行计算即可解答；
（2）延长BA交MN于点F，延长CD交MN于点G，根据题意可得：FG＝BC＝120米，BF＝CG，然后设PG＝x米，则FP＝（120﹣x）米，分别在Rt△AFP和Rt△DPG中，利用锐角三角函数的定义求出AF和DG的长，从而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥CD，垂足为E，
由题意得：AB＝CE＝10米，AE＝BC＝120米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝30°，
∴DE＝AE tan30°＝12040（米），
∴CD＝DE+CE＝（10+40）米，
∴楼CD的高度为（10+40）米；
（2）延长BA交MN于点F，延长CD交MN于点G，
由题意得：FG＝BC＝120米，BF＝CG，
设PG＝x米，则FP＝FG﹣PG＝（120﹣x）米，
在Rt△AFP中，∠APF＝60°，
∴AF＝FP tan60°（120﹣x）米，
在Rt△DPG中，∠DPG＝45°，
∴DG＝PG tan45°＝x（米），
∵BF＝CG，
∴10（120﹣x）＝x+10+40，
解得：x＝120﹣40，
∴CG＝x+10+40130（米），
∴此时无人机距离地面BC的高度为130米．
10．在学完锐角三角函数后，“数学实践小组”利用自制的测角仪、卷尺，测量所在校园内旗杆（如图）的高度．
课题 测量校园内旗杆的高度
测量工具 自制测角仪和卷尺
方案 方案一：两次测角法 ①在旗杆前平地上的点A处，用测角仪测量旗杆顶端D的仰角α； ②在点A和旗杆底端C之间选择一点B，在点B处用测角仪测量旗杆顶端D的仰角β； ③测量A，B两点间的距离； ④计算旗杆的高度CD． 方案二：一次测角法 ①在旗杆前平地上的点F处，用测角仪测量观察者（竖直站立）看旗杆顶端D的仰角； ②测量观察者眼睛到地面的竖直高度EF； ③测量点F到旗杆底端C的水平距离FC； ④在点F处重复上述操作，记录测量数据； ⑤计算旗杆的高度CD．
测量示意图
测量数据 α β AB EF FC
33° 45° 7.00m 第一次 32.7° 1.51m 17.47m
第二次 33.3° 1.53m 17.45m
平均值 a° 1.52m 17.46m
（1）①填空：a＝ 33° ．
②你认为哪个方案较好？请说明理由．
（2）根据你的判断，选择合适的数据计算出旗杆的高度CD．（结果精确到0.1m．参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
【分析】（1）①取两次测量结果的平均数即可计算a、b的值；②根据测量的准确程度，误差等情况进行判断即可；
（2）根据方案二的数据，利用直角三角形的边角关系求解即可．
【解答】解：（1）①根据方案二的两次测量结果的平均数为，
故答案为：33°，
②方案二更好；
理由如下：方案一测量点A在水平地面上，不易观察，容易产生误差，方案二考虑测量点的位置，并多次测量求其平均值，减少误差，因此方案二更好；
（2）方案二的数据进行计算：
如图，过点E作EG⊥CD，垂足为G，
∴四边形CGEF是矩形，
∴EF＝CG＝1.52m，FC＝EG＝17.46m，
依题意得∠DEG＝33°，
在Rt△DEG中，DG＝EG tan33°≈17.46×0.649≈11.33（m），
∴CD＝DG+GC＝11.33+1.52≈12.9（m），
答：旗杆CD的高度约为12.9m．
11．如图，测得两楼之间的水平距离为32m，从楼顶点A观测点D的俯角为45°，观测点C的俯角为58°．分别求这两幢楼的高度（结果精确到1m）．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
【分析】过D作DE⊥AB于E，根据题意构造直角三角形；本题涉及两个直角三角形，应利用其公共边构造关系式，进而可求出答案．
【解答】解：如图，过D作DE⊥AB于E，
∴∠AED＝90°，
∴∠AED＝∠EBC＝∠DCB＝90°，
∴四边形BCDE是矩形，
∴DE＝BC＝32m，BE＝DC，
由题意可知：∠ADE＝45°，
∴AE＝DE＝32m，
在Rt△ABC中，∠ACB＝58°，
∴AB＝BCtan∠ACB＝32×tan58°≈32×1.60≈51（m），
∴BE＝CD＝AB﹣AE＝51﹣32≈19（m）．
答：建筑物AB的高约为51m、CD的高约为19m．
12．如图，经了解，某岛屿附近存在一个浅滩（弧ACB内部，圆心为O），其中A，B为岛屿上两个警示灯塔，其中∠ACB为警示角，为了保证深水船P不进入浅滩，测量∠APB的大小，与警示角∠ACB比较．某一时刻，深水船P行驶到某一位置，此时直线PA和直线PB恰好与弧ACB相切．
（1）判断∠APB和∠ACB的大小关系，并说明理由；
（2）若∠AOB＝100°，测得AO＝20海里，则深水船P沿PO方向行驶，保证不搁浅的情况下，最多能行驶多少海里？（参考数据：sin40°＝0.64，cos40°＝0.77，tan40°＝0.84）
【分析】（1）作射线PC，如图，根据三角形外角性质可证明∠APB＜∠ACB；
（2）根据切线长定理可切线的性质得到PO平分∠APB，OA⊥PA，OB⊥PB，再计算出∠APB＝80°，则∠APO＝40°，在Rt△APO中利用正弦的定义得到计算出OP≈31.25海里，然后用OP减去圆的半径可得到深水船保证不搁浅的情况下，最多能行驶的路程．
【解答】解：（1）∠APB＜∠ACB．
理由如下：作射线PC，如图，
∵∠1＞∠APC，∠2＞∠BPC，
∴∠APC+∠BPC＜∠1+∠2，
即∠APB＜∠ACB；
（2）∵直线PA和直线PB恰好与弧ACB相切，
∴PO平分∠APB，OA⊥PA，OB⊥PB，
∴∠OAP＝∠OBP＝90°，
∴∠APB＝180°﹣∠AOB＝180°﹣100°＝80°，
∴∠APO∠APB＝40°，
在Rt△APO中，∵sin∠APO，
∴OP31.25（海里），
∴深水船保证不搁浅的情况下，最多能行驶得路程为31.25﹣20＝11.25（海里）．
答：深水船保证不搁浅的情况下，最多能行驶11.25海里．
13．某农户用喷枪给斜坡OA上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，P处的喷水头距地面1m，水柱在距喷水头水平距离4m处达到最高，最高点与水平线OB的距离为5m，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为x（m），水柱距水平线的高度是y（m）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若斜坡OA的坡比为2：5，斜坡OA上有一棵2.9m高的树EC，它与喷水头的水平距离为5m，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由．
【分析】（1）根据抛物线解析式为y＝a（x﹣h）2+k，（4，5）为抛物线的顶点，得到抛物线顶点式，由P（0，1）是抛物线与y轴交点，将P点代入解析式，求解出待定系数即可；
（2）连接OE，过点E作EH⊥OB，根据题意点E、C、H点横坐标5，得OH＝5，由斜坡OA的坡比为2：5，即可求出CH，从而得到EH，然后另x＝5代入（1）中求解出的解析式中，得到y，比较y与EH即可．
【解答】解：（1）由题意，∵y＝a（x﹣h）2+k过顶点坐标（4，5），
∴设抛物线解析式为：y＝a（x﹣4）2+5．
又∵抛物线y＝a（x﹣4）2+5过点P（0，1），
∴1＝a（0﹣4）2+5．
∴．
∴抛物线解析式为：．
（2）不能，理由如下：
如图，过点E作EH⊥OB于H，
由题意得点E、C、H的横坐标5，即OH＝5，斜坡OA的坡比为2：5，
∴，
∴CH＝2，
∵CE＝2.9m，
∴EH＝CE+CH＝4.9m，
当x＝5时，，
∵4.9＞4.75，
∴P处喷出的水柱不能越过这棵树的树顶．
14．在综合与实践活动中，某小组用测角仪测量“郑北高架桥”的桥塔AB的高度（如图①）．他们的方案是：如图②，他们在点P处仰望桥塔顶A，测得仰角是32°；再往桥的方向前进91m至D处，测得桥塔顶A的仰角是45°，桥塔底B的俯角是7°．已知点C，D，P在一条直线上，PC⊥AB，求桥塔AB的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin32°≈0.53，tan32°≈0.60，sin7°≈0.12，tan7°≈0.10）
【分析】根据垂直定义可得∠ACP＝∠BCP＝90°，再设CD＝xm，则CP＝（x+91）m，然后分别在Rt△ACP和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，从而列出关于x的方程，进行计算可得求出AC和CD的长，最后在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，从而进行计算即可解答．
【解答】解：∵PC⊥AB，
∴∠ACP＝∠BCP＝90°，
设CD＝xm，
∵DP＝91m，
∴CP＝CD+DP＝（x+91）m，
在Rt△ACP中，∠APC＝32°，
∴AC＝PC tan32°≈0.6（x+91）m，
在Rt△ACD中，∠ADC＝45°，
∴AC＝CD tan45°＝x（m），
∴x＝0.6（x+91），
解得：x＝136.5，
∴AC＝CD＝136.5m，
在Rt△BCD中，∠CDB＝7°，
∴BC＝CD tan7°≈136.5×0.1＝13.65（m），
∴AB＝AC+BC＝136.5+13.65≈150.2（m），
∴桥塔AB的高度约为150.2m．
15．如图①所示的手机平板支架由托板，支撑板和底座构成，如图所示图②是其侧面结构示意图．已知托板长AB＝150mm，支撑板长CD＝60mm，BC＝60mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板CD可绕点D转动．（结果精确到0.1mm，参考数据：1.41，1.73，2.24）
（1）若∠DCB＝75°，∠CDE＝60°，点A到底座DE的距离是 153.5 mm；
（2）为了观看舒适，在（1）中的∠DCB＝75°调整成90°．再将CD绕点D顺时针旋转，恰好使点B落在直线DE上，则CD顺时针旋转的角度为 30 °，此时点A到底座DE的距离与（1）中相比是增大了还是减小了？增大或减小了多少？
【分析】（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，过点A作AG⊥DE，交ED的延长线于点G，过点C作CH⊥AG，垂足为H，根据题意可得：CF＝GH，CH∥DE，从而可得∠DCH＝∠CDE＝60°，然后在Rt△CDF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再利用平角定义可得∠ACH＝45°，利用线段的和差关系可得AC＝90mm，最后在Rt△ACH中，利用锐角三角函数的定义求出AH的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）过点A作AM⊥DE，垂足为M，在Rt△BCD中，利用锐角三角函数的定义可得tanD，从而可得∠D＝30°，进而可求出CD顺时针旋转的角度，然后利用直角三角形的两个锐角互余可得∠DBC＝60°，从而在Rt△ABM中，利用锐角三角函数的定义球场AM的长，最后进行计算即可解答．
【解答】解：（1）过点C作CF⊥DE，垂足为F，过点A作AG⊥DE，交ED的延长线于点G，过点C作CH⊥AG，垂足为H，
由题意得：CF＝GH，CH∥DE，
∴∠DCH＝∠CDE＝60°，
在Rt△CDF中，∠CDE＝60°，CD＝60mm，
∴CF＝CD sin60°＝6090（mm），
∵∠DCB＝75°，
∴∠ACH＝180°﹣∠DCB﹣∠DCH＝45°，
∵AB＝150mm，BC＝60mm，
∴AC＝AB﹣BC＝150﹣60＝90（mm），
在Rt△ACH中，AH＝AC sin45°＝9045（mm），
∴AG＝AH+HG＝4590≈153.5（mm），
∴点A到底座DE的距离约为153.5mm，
故答案为：153.5；
（2）过点A作AM⊥DE，垂足为M，
∵∠DCB＝90°，CD＝60mm，BC＝60mm，
∴tanD，
∴∠D＝30°，
∴CD顺时针旋转的角度＝60°﹣30°＝30°，
∵∠DCB＝90°，∠D＝30°，
∴∠DBC＝90°﹣∠D＝60°，
在Rt△ABM中，AB＝150mm，
∴AM＝AB sin60°＝15075（mm），
∴此时点A到底座DE的距离为75mm，
∵153.5﹣7523.7（mm），
∴此时点A到底座DE的距离与（1）中相比是减小了23.7mm，
故答案为：30．
16．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．
【分析】过点A作AN⊥EF于点N，交CD于M，根据题意得出△ACM∽△AEN，进而得出EN的长，即可得出答案．
【解答】解：过点A作AN⊥EF于点N，交CD于M，
由题意可得：AM＝BD＝4米，NM＝FD＝40米，CM＝3﹣1.6＝1.4（米），
∵CM∥EN，
∴△ACM∽△AEN，
∴，
∴，
解得：EN＝15.4，
则EF＝15.4+1.6＝17（米），
答：旗杆EF的高度为17米．
17．风是一种可再生能源．利用风能进行发电既可以提供持续的电力供应，又可以减少温室气体排放，抑制全球气候变暖，还可以增加能源供应的多样性，降低对传统能源的依赖．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶AB、AC，AD两两所成的角为120°，当其中一片风叶AD与塔干AO叠合时，在与塔底O水平距离为48米的E处，测得塔顶部A的仰角∠AEO＝50°，风叶AB的视角∠AEB＝20°，求风叶AB的长度（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）
【分析】过点B作BF⊥EO，垂足为F，过点A作AG⊥BF，垂足为G，根据题意可得：FG＝AO，∠OAG＝∠AGB＝90°，从而可得∠BAG＝30°，进而可得AB＝2BG，然后在Rt△AEO中，利用直角三角形的边角关系可得∠EAO＝40°，AO＝57.6米，AE＝75米，从而可得∠BAE＝80°，再利用三角形内角和定理可得∠ABE＝∠BAE＝80°，从而可得AE＝BE＝75米，最后在Rt△BEF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，从而求出BG的长，即可解答．
【解答】解：过点B作BF⊥EO，垂足为F，过点A作AG⊥BF，垂足为G，
由题意得：FG＝AO，∠OAG＝∠AGB＝90°，
∵∠BAO＝120°，
∴∠BAG＝∠BAO﹣∠OAG＝30°，
∴AB＝2BG，
在Rt△AEO中，∠AEO＝50°，EO＝48米，
∴∠EAO＝90°﹣∠AEO＝40°，AO＝EO tan50°≈48×1.20＝57.6（米），AE75（米），
∴∠BAE＝∠BAO﹣∠EAO＝80°，
∵∠AEB＝20°，
∴∠ABE＝180°﹣∠AEB﹣∠BAE＝80°，
∴∠ABE＝∠BAE＝80°，
∴AE＝BE＝75米，
在Rt△BEF中，∠BEF＝∠BEA+∠AEO＝70°，
∴BF＝BE sin70°≈75×0.94＝70.5（cm），
∴BG＝BF﹣FG＝BF﹣AO＝70.5﹣57.6＝12.9（米），
∴AB＝2BG＝25.8≈26（米），
∴风叶AB的长度约为26米．
18．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，1.73）
【分析】由三角函数求出AC82.1m，得出BC＝AC﹣AB＝61.1m，在Rt△BCD中，由三角函数得出CDBC≈105.7m，即可得出答案．
【解答】解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55m，
∴tan∠CAE，
∴AC82.1m，
∵AB＝21m，
∴BC＝AC﹣AB＝61.1m，
在Rt△BCD中，tan60°，
∴CDBC≈1.73×61.1≈105.7m，
∴DE＝CD﹣EC＝105.7﹣55≈51m，
答：炎帝塑像DE的高度约为51m．
19．河南地处中原，历史悠久，文物丰富，是中华文明重要的发源地．河南博物院位于郑州市金水区农业路，为国家级重点博物馆，是中国建立较早的博物馆之一，也是首批中央地方共建国家级博物馆．某校数学兴趣小组想知道博物馆的高度，于是走到博物馆右侧点C处，测得此时顶部点A的仰角是37°，向前走了14.6米至点F处，测得此时点A的仰角是45°，已知小明的眼睛离地面高度是1.6米，请你帮该小组求出博物馆AB的高度．（参考数据：，，tan37°）
【分析】过点A作垂线AB′交DE的延长线于点G，可得四边形DCFE，四边形FEGB′，四边形DCB′G均为矩形，设AG＝EG＝x米，则DG＝（x+14.6）米，根据锐角三角函数求解即可．
【解答】解：过点A作垂线AB′交DE的延长线于点G，
由题意得：∠DCB′＝∠FED＝∠GB′F＝∠B′GD＝90°，CD∥EF∥AB′，
则四边形DCFE，四边形FEGB′，四边形DCB′G均为矩形，
∴B′G＝EF＝CD＝1.6米，CF＝DE＝14.6米，
在Rt△AGE中，∠AEG＝45°，
∴△AGE是等腰直角三角形，
∴AG＝EG，
设AG＝EG＝x米，则DG＝（x+14.6）米，
在Rt△AGD中，，即
解得x≈43.8，经检验，x≈43.9是原方程的解，且符合题意
∴AG＝43.8米，
∴AB′＝AG+BG≈43.8+1.6＝45.4（米），
答：博物馆AB的高度约为45.4米．
20．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，tan84°）
【分析】（1）根据三角形的外角等于与它不相邻两个内角的和解答即可；
（2）分别求出∠ADC和∠ABC的正切值，用AC表示出CD和CB，得到一个只含有AC的关系式，再解答即可．
【解答】解：（1）∵∠ADC＝84°，∠ABC＝37°，
∴∠BAD＝∠ADC﹣∠ABC＝47°，
答：∠BAD的度数是47°．
（2）在Rt△ABC中，，
∴．
在Rt△ADC中，，
∵BD＝4，
∴，
∴，
∴AC≈3.3（米），
答：表AC的长是3.3米．
21．如图，某同学通过定滑轮O拉动静止在水平地面上的高为0.5米的长方体重物，开始时与重物相连的绳子和水平面的交角为37°，拉动一段距离后，绳子与水平面的夹角为53°，绳子的自由端（用手拉的一端）竖直向下移动了1.5米（绳子伸缩不计），求定滑轮O到地面的距离（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
【分析】设竖直方向与AB延长线交于点C，由题意得OA﹣OB＝1.5米，设OB＝x，则OA＝x+1.5，根据三角函数得出0.6x+0.9＝0.8x，解得x＝4.5，理解题意，运用三角函数解三角形是解题的关键．
【解答】解：如图，设竖直方向与AB延长线交于点C，
由题意得：OA﹣OB＝1.5米，
设OB＝x，则OA＝x+1.5，
在Rt△AOC中，∠OAC＝37°，∠ACO＝90°，
∴OC＝OAsin37°≈0.6（x+1.5）＝0.6x+0.9，
在Rt△OBC中，∠OBC＝53°，∠BCO＝90°，
则∠BOC＝37°，
∴OC＝OBcos37°≈0.8x，
∴0.8x＝0.6x+0.9，
∴x＝4.5，
∴OC＝0.8×4.5＝3.6，
∴定滑轮O到地面的距离3.6+0.5≈4（米），
答：定滑轮O到地面的距离约为4米．
22．某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树AB的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； 4．测量C到地面的高度CD． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度CD．
测量数据 1．DB＝10m； 2．∠ACF＝32.5°； 3．CD＝1.6m． 1．EB＝10m； 2．ED＝2m； 3．CD＝1.6m．
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AB，CD均与地面垂直； 3．参考数据：tan32.5°≈0.64． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AB，CD均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB．
请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．
【分析】“测角仪”方案：如图：过C作CF⊥AB于F，根据矩形的性质得到CF＝BD＝10m，BF＝CD＝1.6m，再根据三角函数的定义求解即可；
“平面镜”方案：根据垂直的定义得到∠CDE＝∠ABE＝90°，根据相似三角形的判定和性质定理求解即可．
【解答】解：选择“测角仪”方案：
如图：过C作CF⊥AB于F，则CF＝DB＝10，FB＝CD＝1.6，
在Rt△ACF中，，∠ACF＝32.5°，
∴AF＝CF tan∠ACF≈10×0.64＝6.4，
∴AB＝AF+FB＝6.4+1.6＝8（m）．
选择“平面镜”方案：
由题意得CD⊥DB，AB⊥DB，
∴∠CDE＝∠ABE＝90°．
又∠CED＝∠AEB，
∴△CED∽△AEB，
∴，即，
∴AB＝8（m）．
23．如图，某隧道的横截面可以看作由半圆O与矩形ABCD组成，BC所在直线表示地
平面，E点表示隧道内的壁灯，已知AB＝2m，从A点观测E点的仰角为30°，观测C点的俯角为14°（参考数据tan76°的值取4）．
（1）求的长；
（2）求壁灯的高度．
【分析】（1）连接EO，先根据圆周角定理可得∠EOD＝2∠EAD＝60°，再利用矩形的性质可得AB＝DC＝2m，∠ADC＝90°从而可得∠ACD＝76°，然后在Rt△ADC中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，从而求出半⊙O的半径，最后利用弧长公式进行计算，即可解答；
（2）连接DE，过点E作EM⊥AD，垂足为M，根据直径所对的圆周角是直角可得∠AED＝90°，从而在Rt△AED中，利用含30度角的直角三角形的性质求出DE，AE的长，然后在Rt△AEM中，利用含30度角的直角三角形的性质求出EM的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）连接EO，
∵∠EAD＝30°，
∴∠EOD＝2∠EAD＝60°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB＝DC＝2m，∠ADC＝90°，
∵∠DAC＝14°，
∴∠ACD＝90°﹣∠DAC＝76°，
在Rt△ADC中，AD＝CD tan76°≈2×4＝8（m），
∴OA＝ODAD＝4（m），
∴的长π（m），
∴的长为πm；
（2）连接DE，过点E作EM⊥AD，垂足为M，
∵AD是半圆O的直径，
∴∠AED＝90°，
∵∠EAD＝30°，AD＝8m，
∴DEAD＝4（m），AEDE（m），
在Rt△AEM中，∠EAM＝30°，
∴EMAE（m），
∴壁灯的高度＝EM+AB＝（22）m，
∴壁灯的高度是（2）m．
24．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离CE＝8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部B的俯角∠ECB＝45°，求旗杆AB的高．
【分析】利用∠ECA的正切值可求得AE；利用∠ECB的正切值可求得BE，由AB＝AE+BE可得答案．
【解答】解：在Rt△EBC中，有BE＝EC×tan45°＝8m，
在Rt△AEC中，有AE＝EC×tan30°＝8m，
∴AB＝88（m）．
25．数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，在河岸边的C处，兴趣小组令一架无人机沿67°的仰角方向飞行130米到达点A处，然后无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得此时河对岸D处的俯角为32°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．
（1）求无人机的飞行高度AM；
（2）求CD的长．
（参考数据：sin32°，cos32°，tan32°，sin67°，cos67°，tan67°）
【分析】（1）根据题意可得：AM⊥MD，然后在Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答；
（2）过点B作BG⊥DM，垂足为G，根据题意可得：AB＝MG＝30米，AM＝BG＝120米，∠FBD＝32°，AF∥DM，从而可得∠FBD＝∠BDG＝32°，然后分别在Rt△BDG和Rt△AMC中，利用锐角三角函数的定义求出DG和CM的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）由题意得：AM⊥MD，
在Rt△AMC中，AC＝130米，∠ACM＝67°，
∴AM＝AC sin67°≈130120（米），
∴无人机的飞行高度AM约为120米；
（2）过点B作BG⊥DM，垂足为G，
由题意得：AB＝MG＝30米，AM＝BG＝120米，∠FBD＝32°，AF∥DM，
∴∠FBD＝∠BDG＝32°，
在Rt△BDG中，DG192（米），
在Rt△AMC中，AC＝130米，∠ACM＝67°，
∴CM＝AC cos67°≈13050（米），
∴CD＝MG+DG﹣CM＝30+192﹣50＝172（米），
∴CD的长约为172米．
26．悟颖塔（图1）位于驻马店市汝南县境内，始建于南朝梁元帝承圣年间（552～554年），塔身为实体，雄浑庄重，因有传说每年夏至日中午没有影子，故又名无影塔．某测绘兴趣小组为测算悟颖塔的高度，测得斜坡AB＝19.4米，坡度i＝1：2，在B处测得悟颖塔顶端C的仰角为45°，请依据相关数据求悟颖塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，．）
【分析】过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，由锐角三角函数定义求出AB、AC的长，即可解决问题．
【解答】解：过B作BM⊥水平地面于M，BN⊥AC于N，如图所示：
则四边形AMBN是矩形，
∴AN＝BM，BN＝MA，
在Rt△BCN中，∠CBN＝45°，
∴△BCN是等腰直角三角形，
∴CN＝BN，
∵斜坡AB＝19.4米，坡度＝1：2，
∴设BM＝x米，则AM＝2x米，
∴，
解得x≈8.66，
∴AC＝AN+CN＝3x≈26（米），
答：悟颖塔的高度约为26米．
27．如图，某农业示范基地用无人机对一块试验回进行监测作业，在距离试验田MN（MN为水平状态）高度为120m的点A处测得边界N处俯角为60°，无人机垂直下降40m至B处，又测得边界M处俯角为48°．已知点A，B，M，N在同一平面内，求试验田边界M，N之间的距离．（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，1.73，结果精确到0.1m）
【分析】延长AB交MN于点O，得两个直角△AON、△BOM，通过解这两个直角三角形求得OM、ON的长度，进而即可求出答案．
【解答】解：延长AB交MN于点O，
由题意得：∠N＝60°，∠M＝48°，AO＝120m，AB＝40m，
∴BO＝AO﹣AB＝80（m），
在Rt△AON中，
tanNtan60°，
∴NO69.36（m），
在Rt△BOM中，
tanMtan48°，
∴MO72.07（m），
∴MN＝MO+NO＝72.07+69.36≈141.4（m）．
答：试验田边界M，N之间的距离约为141.4m．
28．如图，小明想测量自家居住的楼房AB的高度，他操控无人机在距地面50米高度的C处测得楼房底部B处的俯角为50°，无人机向楼房飞行了25米，在D处测得楼房顶部A的俯角为45°，请帮小明求出楼房AB的高度．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，1.41，1.73，结果精确到0.1米）
【分析】过点C作地面的垂线，交地面于点E，过点D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，在Rt△CBE中，求出CF，进而得到DF，在Rt△DAF 中，求出AF，再根据AB＝BF﹣AF解决问题．
【解答】解：过点C作地面的垂线，交地面于点E，过点D作DF⊥AB，交BA的延长线于点F，
由题意得，BF＝CE＝50 米，∠CBE＝50°，CD＝25（米），∠ADF＝45°，CF＝BE，
在Rt△CBE中，
1.20，
解得CF≈41.67，
∴DF＝CF﹣CD≈41.67﹣25＝16.67（米），
在Rt△DAF中，
tan45°，
解得AF＝16.67，
∴AB＝BF﹣AF＝33.33≈33.3米．
∴楼房AB的高度约为33.3 米．
29．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC＝1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC．EF⊥EH于点E，已知AH米，HF米，HE＝1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：1.41，1.73）
【分析】（1）由cos∠FHE可得答案；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，据此知GM＝AB，HN＝EG，Rt△ABC中，求得AB＝BCtan60°＝1.3；Rt△ANH中，求得HN＝AHsin45°；根据EM＝EG+GM可得答案．
【解答】解：（1）在Rt△EFH中，cos∠FHE，
∴∠FHE＝45°．
答：篮板底部支架HE与支架AF所成的角∠FHE的度数为45°；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过点A作AG⊥FM于G，过点H作HN⊥AG于N，
则四边形ABMG和四边形HNGE是矩形，
∴GM＝AB，HN＝EG，
在Rt△ABC中，∵tan∠ACB，
∴AB＝BCtan60°＝1.31.3（米），
∴GM＝AB＝1.3（米），
在Rt△ANH中，∠FAN＝∠FHE＝45°，
∴HN＝AHsin45°（米），
∴EM＝EG+GM1.32.75（米）．
答：篮板底部点E到地面的距离大约是2.75米．
30．太阳能路灯目前已经成为节能环保的代名词．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度．如图所示，已知测角仪的高度为0.8米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为45°，在与点B相距1.8米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为53°，点B，D与F在一条直线上，求电池板离地面的高度EF的长．
（结果精确到0.1米；参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，1.41）
【分析】延长AC交EF于点G，根据题意可得：AC＝BD＝1.8米，AB＝CD＝FG＝0.8米，然后设CG＝x米，则AG＝（x+1.8）米，从而分别在Rt△AEG和Rt△ECG中，利用锐角三角函数的定义求出EG的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：延长AC交EF于点G，
由题意得：AC＝BD＝1.8米，AB＝CD＝FG＝0.8米，
设CG＝x米，则AG＝AC+CG＝（x+1.8）米，
在Rt△AEG中，∠EAG＝45°，
∴EG＝AG tan45°＝（x+1.8）米，
在Rt△ECG中，∠ECG＝53°，
∴EG＝CG tan53°≈1.33x（米），
∴x+1.8＝1.33x，
解得：x，
∴EF＝EG+FG＝1.330.8≈8.1（米），
∴电池板离地面的高度EF的长约为8.1米．
31．河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存年代最久的佛塔，堪称世界上最早的筒体建筑．某校数学社团的同学利用所学知识来测量嵩岳寺塔的高度，如图，CD是嵩岳寺塔附近不远处的某建筑物，他们在建筑物CD底端D处利用测角仪测得嵩岳寺塔顶端B的仰角为60°，在建筑物CD顶端C处利用测角仪测得嵩岳寺塔底端A的俯角为35°，已知建筑物CD的高为15米，AB⊥AD，CD⊥AD，点A，D在同一水平线上．）求嵩岳寺塔AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70.1.73）
【分析】先根据垂直定义可得∠CDA＝∠BAD＝90°，然后在Rt△CAD中，利用锐角三角函数的定义求出AD的长，再在Rt△ABD中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，即可解答．
【解答】解：∵AB⊥AD，CD⊥AD，
∴∠CDA＝∠BAD＝90°，
在Rt△CAD中，∠CAD＝35°，CD＝15米，
∴AD（米），
在Rt△ABD中，∠ADB＝60°，
∴AB＝AD tan60°37.1（米），
∴嵩岳寺塔AB的高度约为37.1米．
32．河南省科技馆新馆圭表塔是河南省内有记录的规模最大的圭表测量设备，其设计灵感来源于元代天文学家郭守敏在河南登封告城镇主持修建的古观里台，我们在此设立的圭表塔是对中国古代天文学的致敬．某校数学兴趣小组利用课余时间测量圭表塔的高度，如图所示，无人机在点A处测得圭表塔顶部点B的仰角为45°，圭表塔底部点C的俯角为61°，无人机与圭表塔的水平距离为36m，求圭表塔的高度．（结果保留整数，参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）
【分析】根据题意可得：AD⊥BC，然后分别在Rt△ABD和Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出BD和CD的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：由题意得：AD⊥BC，
在Rt△ABD中，∠BAD＝45°，AD＝36m，
∴BD＝AD tan45°＝36（m），
在Rt△ACD中，∠DAC＝61°，
∴CD＝AD tan61°≈36×1.8＝64.8（m），
∴BC＝BD+CD＝36+64.8≈101（m），
∴圭表塔的高度约为101m．
33．一天小明和小亮一起到湖边游玩，他们发现小湖对岸有一座美丽的古塔，为了测量塔的高度，他们选择了一座建筑物CD（建筑物的底部D与古塔的底部F在同一水平线上），在建筑物顶端C处测得古塔顶端A的仰角为11.5°，测得塔顶A在水中的倒影点B的俯角为18.7°，已知建筑物CD的高度为18m，求古塔AF的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin11.5°≈0.20，cos11.5°≈0.98，tan11.5°≈0.20，sin18.7°≈0.32，cos18.7°≈0.95，tan18.7°≈0.34．）
【分析】延长CE交AB于点G，根据题意可得：CG⊥AB，AF＝BF，CD＝GF＝18m，然后设CG＝xm，在Rt△ACG中，利用锐角三角函数的定义求出AG的长，从而求出AF的长，再在Rt△CBG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而求出BF的长，最后列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：延长CE交AB于点G，
由题意得：CG⊥AB，AF＝BF，CD＝GF＝18m，
设CG＝xm，
在Rt△ACG中，∠ACG＝11.5°，
∴AG＝CG tan11.5°≈0.2x（m），
∴AF＝AG+GF＝（0.2x+18）m，
在Rt△CBG中，∠BCG＝18.7°，
∴BG＝CG tan18.7°≈0.34x（m），
∴BF＝BG﹣FG＝（0.34x﹣18）m，
∴0.2x+18＝0.34x﹣18，
解得：x≈257.1，
∴AF＝0.2x+18≈69（m），
∴古塔AF的高度约为69m．
34．具有河南十大地标的“中国文字博物馆”位于安阳市，是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形、某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，甲、乙两个小组分别设计了如下方案：
课题：测量旗杆高度
小明的研究报告 小红的研究报告
测量示意图
测量方案与测量 在点D处用距离地面高度为1.6m的测角仪测出大门顶端A的仰角α＝55° 在点O处放一面镜子，他站在CD的位置通过，镜子反射刚好看到大门顶端A处，同时他还测自己眼睛到地面的距离是CD＝1.6m，他到大门的距离是DB＝37m，α＝29°
参考数据 sin55°＝0.82，cos55°≈0.57，tan55°＝1.43， sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55，
计算旗杆高度
（1）数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一名同学的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为 小明 的测量方案存在问题，并提出修改建议；
（2）结合小红的测量方案能计算出中华文字博物馆大门的高度吗？若能请写出计算过程，并将结果精确到0.1米；若不能，请说明理由．
【分析】（1）小明测量数据缺少测角仪与大门的距离，由此可判断存在问题的是小明的方案，修改建议只要再测量出测角仪与大门的距离即可；
（2）先利用三角函数关系用AB表示出OB和OD，再利用△AOB∽△COD即可求出大门的高度．
【解答】解：（1）∵小明测量数据缺少测角仪与大门的距离，
∴小明的测量方案存在问题，
修改建议：在方案中加上“测量出测角仪与大门的距离为____m，”即可；
故答案为：小明；
（2）能．
作出线段AB，CD，
由题意，知AB⊥BD，CD⊥BD，∠AOB＝∠COD，
设AB＝xm，
在Rt△AOB中，
∵tanα，
∴OB（m），
∵DB＝37m，
∴OD＝37（m），
∵AB⊥BD，CD⊥BD，
∴∠ABO＝∠CDO＝90°，
∵∠AOB＝∠COD，
∴△AOB∽△COD，
∴，
∵AB＝xm，CD＝1.6m，OBm，OD＝（37）m，
∴，
解得x＝18.75≈18.8（m），
答：中华文字博物馆大门的高度约为18.8m．
35．如图①，中牟县人文路与贾鲁河交汇处的贾鲁河大桥，是亚洲最宽的无背索斜塔斜拉结构桥，装饰塔为凤首箜篌造型，展现中牟地域历史文化，某校数学社团的同学们利用周末去测量主塔AB（桥面以上部分）的垂直高度AC．如图②，已知主塔AB与桥面夹角为60°，他们从B处沿BD方向前进24m至点D处，然后在点D处放置高为1m的测角仪DE，测得塔顶A的仰角为45°（点C，B，D在同一水平线上），请你依据上述数据，求出主塔AB的垂直高度AC．（结果精确到0.1m，参考数据1.73）
【分析】过点E作EF⊥AC，垂足为F，根据题意可得：AC⊥CD，DE＝CF＝1米，EF＝CD，BD＝24米，然后设BC＝x米，则EF＝CD＝（x+24）米，在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出AC的长，再在Rt△AEF中，利用锐角三角函数的定义求出AF的长，从而求出AC的长，进而列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：过点E作EF⊥AC，垂足为F，
由题意得：AC⊥CD，DE＝CF＝1米，EF＝CD，BD＝24米，
设BC＝x米，
∴EF＝CD＝BC+BD＝（x+24）米，
在Rt△ABC中，∠ABC＝60°，
∴AC＝BC tan60°x（米），
在Rt△AEF中，∠AEF＝45°，
∴AF＝EF tan45°＝（x+24）米，
∴AC＝AF+CF＝（x+25）米，
∴x＝x+25，
解得：x，
∴ACx≈59.1（米），
∴主塔AB的垂直高度AC约为59.1米．
36．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．随着春季的来临，放风筝已成为孩子们的最爱．周末小冬和爸爸一起去公园放风筝，如图，当小冬站在G处时，风筝在空中的位置为点B，仰角为53°，小冬站在G处继续放线，当再放2米长的线时，风筝飞到点C处，此时点B、C离地面MN的高度恰好相等，C点的仰角为44°，若小冬的眼睛与地面MN的距离AG为1.6米，请计算风筝离地面MN的高度．（结果保留整数，参考数据：sin44°≈0.7，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
【分析】过点A作AD∥MN，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F，设AB＝x米，则AC＝（x+2）米，可求BE≈0.8x，CF≈0.7（x+2），即可求解．
【解答】解：如图，过点A作AD∥MN，分别过点B、C作BE⊥AD于点E，CF⊥AD于点F．
由题意得∠BAE＝53°，∠CAF＝44°，BE＝CF，AC＝（AB+2）米，
设AB＝x米，则AC＝（x+2）米，
在Rt△ABE中，，
∴BE≈0.8x米；
在Rt△ACF中，，
∴CF≈0.7（x+2）米，
∴0.8x≈0.7（x+2），解得x≈14；
∴BE≈0.8x≈11.2米，
∴11.2+1.6≈13米．
答：风筝离地面MN的高度约为13米．
37．如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：1.414，1.732）
【分析】（1）连接OP，根据已知可得PD是AO的垂直平分线，从而可得PA＝PO＝45cm，然后在Rt△OPC中，利用勾股定理进行计算即可解答；
（2）过点D作DE⊥OC，交CO的延长线于点E，过点D作DF⊥PC，垂足为F，根据题意可得DE＝CF，DF＝EC，DF∥EC，∠DOE＝60°，OD＝12cm，先在Rt△DOE中，利用锐角三角函数的定义求出DE，OE的长，从而求出CF，EC，DF的长，再利用平行线的性质求出∠FDO的度数，从而求出∠PDF的度数，最后在Rt△PDF中，利用锐角三角函数的定义求出PF的长，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）连接OP，
∵D为AO的中点，PD⊥AO，
∴PD是AO的垂直平分线，
∴PA＝PO＝45cm，
∵PC⊥BC，
∴∠PCO＝90°，
∵BC＝12cm，OB＝24cm，
∴OC＝OB+BC＝36（cm），
∴PC27（cm），
∴PC的长为27cm；
（2）过点D作DE⊥OC，交CO的延长线于点E，过点D作DF⊥PC，垂足为F，
由题意得：
DE＝CF，DF＝EC，DF∥EC，
∵∠AOC＝120°，
∴∠DOE＝180°﹣∠AOC＝60°，
∵D为AO的中点，
∴ODOA＝12（cm），
在Rt△DOE中，DE＝DO sin60°＝126（cm），
OE＝DO cos60°＝126（cm），
∴DE＝CF＝6cm，DF＝EC＝OE+OB+OC＝42（cm），
∵DF∥EC，
∴∠FDO＝∠DOE＝60°，
∵∠PDO＝90°，
∴∠PDF＝∠PDO﹣∠FDO＝30°，
∴在Rt△PDF中，PF＝DF tan30°＝4214（cm），
∴PC＝PF+CF＝2034.6（cm），
∴PC的长约为34.6cm．
38．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：1.41，1.73）．
【分析】根据锐角三角函数的定义可求出AD的长度，然后即可求出AC的长度，再根据锐角三角函数的定义即可求出答案．
【解答】解：在Rt△ADB中，∠ADB＝60°，tan∠ADB，
∴BD，
在Rt△ABC中，∠C＝45°，tan∠C，
∴BCAB，
∵BC﹣BD＝CD＝33m，
∴AB33，
∴AB78（m）．
答：主塔AB的高约为78m．
39．河南省实验中学是足球传统强校，在2017年中国中学生足球协会杯决赛中，该校初中组高中组均摘得桂冠，喜获“双冠王”．该校某数学小组测量足球场照明灯杆FC的高度，如图，在B处用测角仪测得照明灯杆顶端F的仰角为45°，沿BC方向前进50米到达D处，又测得照明灯杆顶端F的仰角为37°．已知测角仪高度AB＝DE＝1.3米，测量点B，D与照明灯杆FC的底部C在同一水平线上，求照明灯杆FC的高度（结果精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
【分析】如图：由题意可知：BD＝50米、AC＝CG＝DE＝1.3米、BC＝AG，CD＝EG，然后根据∠FAG＝45°可得FG＝AG，进而得到EG＝50﹣FG，再根据正切的定义列式可求出FG≈21.4，最后根据FC＝FG+CG即可解答．
【解答】解：由题意可知：
BD＝50米，AB＝CG＝DE＝1.3米，BC＝AG，CD＝EG，
∵∠FAG＝45°，
∴FG＝AG，
∴EG＝AE﹣AG＝AE﹣FG＝50﹣FG，
∵∠FEG＝37°，
∴，即，
解得：FG≈21.4米，
∴FC＝FG+CG＝21.4+1.3＝22.7≈23米．
答：照明灯杆FC的高度为23米．
40．许昌文峰塔又称文明寺塔，位于河南省许昌博物馆内．小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量文峰塔AB的高度．如图，小刚在点C处用测角仪测得塔顶端B处的仰角为45°，再往前走12m到点D处测得塔顶端B处的仰角为39°，已知测角仪的高度为为1m（即CE＝DF＝1m），测量点C，D与文峰塔AB的底部A在同一水平直线上，请你帮小刚计算出文峰塔AB的高度．（结果保留一位小数．参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
【分析】延长FE交AB于点G，根据题意可得：AG＝EC＝FD＝1m，EF＝CD＝12m，然后设EG＝xm，则AD＝FG＝（x+12）m，在Rt△BEG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，再在Rt△BGF中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，从而列出关于x的方程，进行计算可求出BG的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【解答】解：延长FE交AB于点G，
由题意得：AG＝EC＝FD＝1m，EF＝CD＝12m，
设EG＝xm，
∴AD＝FG＝EG+EF＝（x+12）m，
在Rt△BEG中，∠BEG＝45°，
∴BG＝EG tan45°＝x（m），
在Rt△BGF中，∠BFG＝39°，
∴BG＝FG tan39°≈0.81（x+12）m，
∴x＝0.81（x+12），
解得：x≈51.16，
∴BG＝51.16m，
∴AB＝BG+AG＝51.16+1≈52.2（m），
∴文峰塔AB的高度约为52.2m．
41．文字是历史文明传承的载体和见证，位于河南省安阳市的中国文字博物馆通过荟萃历代中国文字样本精华，展示中华民族灿烂的文化和辉煌的文明．如图是中国文字博物馆门口屹立着的字坊，某中学数学兴趣小组想通过自己所学的锐角三角函数知识测量该字坊AB的高度，甲同学站在字坊正前方C，通过测角仪测得字坊顶端A的仰角为45°，乙同学在字坊背面E处测得字坊顶端A的仰角为53°，已知测角仪的高度CD为1.6m，甲同学与乙同学之间的直线距离CE为31.5m，点A、C、E在同一竖直平面内．求字坊AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°，cos53°，tan53°，1.41）
【分析】作DF⊥AB于点F，可证明FA＝FD，且四边形BCDF是矩形，则BC＝FD＝FA，BF＝CD＝1.6m，设字坊AB的高度为xm，可推导出BE＝（33.1﹣x）m，由tan53°，得AB＝BE tan53°，则x＝（33.1﹣x）tan53°，求出x的值即可．
【解答】解：如图，作DF⊥AB于点F，则∠AFD＝∠BFD＝90°，
由题意得AB⊥CE，CD⊥CE，∠ADF＝45°，CD＝1.6m，CE＝31.5m，∠E＝53°，
∴∠DAF＝∠ADF＝45°，∠ABE＝∠ABC＝90°，
∴FA＝FD，
∵∠CBF＝∠BCD＝∠BFD＝90°，
∴四边形BCDF是矩形，
∴BC＝FD＝FA，BF＝CD＝1.6m，
设字坊AB的高度为xm，则BC＝FA＝（x﹣1.6）m，
∴BE＝31.5﹣（x﹣1.6）＝（33.1﹣x）m，
∵tanE＝tan53°，
∴AB＝BE tan53°，
∴x＝（33.1﹣x）tan53°，
∴x18.9，
答：字坊AB的高度约为18.9m．
42．小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得AB＝100米，当车前进200米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求桥BC的长度（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，）．
【分析】过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，根据矩形的性质得到BE＝CF，BC＝EF，解直角三角形即可得到结论．
【解答】解：过B作BE⊥AD于E，过C作CF⊥AD于F，
∴BE＝CF，BC＝EF，
∵∠BAD＝60°，AB＝100米，
∴AE＝50，BE＝50米，
∴CF＝50米，
∵∠DCF＝55°，
∴DF＝CF tan55°≈123.695米，
∴BC＝EF＝AD﹣AE+DF≈200﹣50+123.695＝273.695≈273.7（米），
答：桥BC的长度约为273.7米．
43．如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面点P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°，已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高．（结果取整数，参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90）
【分析】设AP＝x米，在Rt△APB中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而求出AC的长，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解答．
【解答】解：设AP＝x米，
∴AB＝AP tan35°≈0.7x（米），
∵BC＝32米，
∴AC＝AB+BC＝（32+0.7x）米，
∴，
∴x＝160，
经检验：x＝160是原分式方程的根，
∴AB＝0.7x＝112（米），
∴这座山AB的高度约为112米．
44．河南洛阳栾川老君山集道教文化与自然景观于一身，素有“北国张家界”之称，景区内的老子铜像是目前世界上最高的老子铜像，九年级的李华同学想运用所学数学知识测铜像高度，假期期间，他与爸爸带着卷尺和自制测角仪（高度忽略不计）来到铜像前的广场，站在C点测得铜像头部A的仰角为36.87°，继续沿远离铜像方向走29米到D处，测得铜像头部A的仰角为26.66°，且A，B，C，D在同一平面内，求老子铜像AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin26.66°≈0.447，cos26.66°≈0.894，tan26.66°≈0.5，sin36.87°≈0.6，cos36.87°≈0.8，tan36.87°≈0.75）
【分析】在Rt△ABC中，根据三角函数的定义得到BC，在Rt△ADB中，根据三角函数的定义得到BD＝2AB，然后列方程即可得到结论．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝36.87°，
∴tan36.87°0.75，
∴BC，
在Rt△ADB中，∠D＝26.66°，
∴tan26.66°0.5，
∴BD＝2AB，
∵CD＝BD﹣BC＝2AB29，
∴AB≈43.5米，
答：老子铜像AB的高度为43.5米．
45．某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），探测最大角（∠OBC）为58°，探测最小角（∠OAC）为26.6°，已知该设备在支杆OP上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．若要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.01米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
【分析】首先根据题意表示出AC，然后利用三角函数表示出BC和OC，然后列方程求解即可．
【解答】解：根据题意可知，AC＝AB+BC＝2.53+BC（米）．
在Rt△OBC中，，
∴OC＝1.60BC．
在Rt△OAC中，OC＝AC tan∠OAC＝（2.53+BC）×0.5，
∴1.60BC＝（2.53+BC）×0.5，
∴BC＝1.15（米），
∴OC＝1.84（米）．
答：该设备的安装高度OC约为1.84米．
46．如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量旗杆顶端A距地面的高度AC，制订测量方案并实地测量如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿直线CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续沿直线CD后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上．利用皮尺和测角仪测得：CD＝18米，FG＝4米，∠AFC＝30°，∠BGC＝22°．
（1）根据以上信息，请求出此建筑物上旗杆顶端A距地面的高度AC（计算结果取整数，参考数值：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）；
（2）资料显示，此建筑物上旗杆顶端A距地面的高度为14.88米，则计算结果的误差为多少？导致产生误差的原因可能是什么（写出一条即可）？
【分析】（1）设DE＝x米，根据锐角三角函数的定义可知FDx米，DG＝FD+FG＝（x+4）米，然后求出x的值后，再利用锐角三角函数的定义可求出AC的长度．
（2）由于锐角三角函数的值在计算时取了近似值，故产生误差．
【解答】解：（1）由题意可知：CD＝18米，FG＝4米，∠AFC＝30°，∠BGC＝22°，
设DE＝x米，
在Rt△EDF中，
tan30°，
∴FDx米，DG＝FD+FG＝（x+4）米，
在Rt△DEG中，
tan22°，
解得：x≈5米，
∴DF＝59
∴CF＝CD+DF＝18+9＝27米，
在Rt△AFC中，
tan30°，
∴AC27≈15米．
答：AC的高度为15米
（2）误差为15﹣14.88＝0.12米，
由于锐角三角函数的值取了近似值，故在运算中产生了误差．
47．如图，斜坡OA上有一竖直的电线杆ED，已知∠O＝30°，为保证电线杆不倾斜，现从电线杆上不同的M，N两处分别向地面引两条钢丝引线MF，NG（引线与电线杆位于同一平面内），其中MF与斜坡OA垂直，∠NGF＝70°，现测得DF＝FG＝4米，试求M，N两点间的距离．（结果精确到0.1，1.732，tan40°≈0.840，tan70°≈2.750）
【分析】过点G作GH⊥ED于H，根据直角三角形的性质求出HN的长度，进而解答即可．
【解答】解：过点G作GH⊥ED于H，
∵ED为竖直的电线杆，
∴HG∥OB，∠MDF＝60°，
∵GH∥OB，∠O＝30°，∠NGF＝70°，
∴∠HGO＝30°，
∴∠NGH＝40°，
∵DF＝FG＝4米，
∴DG＝8米，
在Rt△DHG中，∠HGO＝30°，
∴DH＝4米，
由勾股定理得，GH＝4米，
在Rt△NHG中，∠NGH＝40°，
∴tan∠NGH，
∴NH≈HG×0.840≈5.82（米），
在Rt△DMF中，∠MDF＝60°，DF＝4米，
∴DM＝8米，
∴MN＝DH+NH﹣DM＝4+5.82﹣8＝1.82≈1.8（米），
∴M，N两点之间的距离约为1.8米．
48．（1）如图1是郑州市北龙湖“鼎桥”，是国内首座“鼎”形斜拉桥，以司母戊鼎为背景，桥长210米，通过横梁及塔柱间拉杆连接成“鼎”字结构．“鼎”形结构寓意鼎盛中原，展现了郑州厚重的地域文化．
（2）某校数学社团的同学们使用皮尺和自制的测角仪测量“鼎桥”的高度．如图2所示，他们在地面MB上架设测角仪CM，先在点M处测得“鼎桥”最高点A的仰角∠ACD＝22°，然后沿MB方向前进153m到达点N处，测得点A的仰角∠ADE＝45°（点M，N，B在一条直线上），测角仪的高度为1.5m．请利用同学们的测量数据求“鼎桥”最高点A距离地面的高度AB．（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）
【分析】延长DE交AB于点F，设AF＝xm，在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，可得AF＝DF＝xm，则CF＝CD+DF＝（x+153）m，在Rt△ACF中，tan22°0.40，求出x的值，结合AB＝AF+BF可得出答案．
【解答】解：延长DE交AB于点F，
由题意得，MN＝CD＝153m，CM＝DN＝BF＝1.5m，
设AF＝xm，
在Rt△ADF中，∠ADF＝45°，
∴AF＝DF＝xm，
∴CF＝CD+DF＝（x+153）m，
在Rt△ACF中，tan22°0.40，
解得x≈102，
∴AB＝AF+BF＝103.5m．
∴“鼎桥”最高点A距离地面的高度AB约为103.5m．中小学教育资源及组卷应用平台
三角函数解答题专项练习
1．脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高AB所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶A的仰角为35°，此时地面上C点、屋檐上E点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走6m到达点D时，又测得屋檐E点的仰角为63.4°房屋的顶层横梁EF＝8m，EF∥CB，AB交EF于点G（点C，D，B在同一水平线上）．（参考数据：sin35°≈0.6，cos35°≈0.8，tan35°≈0.75，sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45，tan63.4°≈2.00）
（1）求屋顶到横梁的距离AG；
（2）求房屋的高AB（结果精确到1m）．
2．如图是一辆停放在水平地面上的车载起重机的侧面示意图，吊杆AE一端固定在车厢上的点A处，伸缩支撑杆BD一端固定在车厢上的点B处，另一端固定在AE上的点D处．在某次作业过程中，测得吊钩E到车厢尾部C点的水平距离为2米（即CF＝2米），∠EAF＝37°，∠DBA＝45°．已知AC平行于地面，且距地面2.2米，AB＝BC＝2.1米，求此时吊钩E距地面的高度．（结果精确到0.1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，1.41）
3．山上信号钢支架是用于支撑和固定信号设备的重要结构．小明及其学习小组想知道山上信号钢支架AB的高度，在山脚D处测得钢支架顶端A的仰角为45°，沿着斜坡DE走50米到平台EB的边沿E测得钢支架顶端A的仰角为65°，用水盆测量法测得DE的坡度为3：4．学习小组画出如图所示的示意图，∠C＝90°，AC⊥DC于点C，EB⊥AC于点B，图中所有点均在同一平面内，请你根据测量数据，求出钢支架AB的高度．（在测量的过程中测量者和工具的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据：sin65°≈0.91，cos65°≈0.42，tan65°≈2.14）
4．某实践活动小组阅读了古代数学家刘徽编撰的《重差》后，他们欲测量球罐外斜梯的长度．实施了如下方案：先测得球罐最低处B离地面高度AB＝1.5米，接着一人站在球罐最高点C处，看到斜梯末端F处恰好被斜梯顶端E遮挡（此时EF与⊙O相切），已知过切点B恰有一水平横梁交于斜梯末端F处．
（1）连接OE，求证：∠DOE＝∠BFD；
（2）若眼睛D与点C的距离为1.5米，，求斜梯EF的长．
5．如图是某地下商业街的入口的玻璃顶，它是由立柱、斜杆、支撑杆组成的支架撑起的，它的示意图如图，经过测量，支架的立柱AB与地面AM垂直，AB＝3.24米，点A、C、M在同一水平线上，斜杆BC与水平线AC的夹角∠ACB＝33°，支撑杆DE⊥BC，垂足为E，该支架的边BD与BC的夹角∠DBE＝66°，又测得CE＝2.8米．（参考数据：sin33°≈0.54，sin66°≈0.91，cos33°≈0.84，cos66°≈0.40，tan33°≈0.65，tan66°≈2.25）
（1）求该支架的边BC长；
（2）求支架的边BD的顶端D到地面AM的距离．（结果精确到1米）
6．九年级数学兴趣小组的同学利用所学知识测量路灯AB的高度，如图，在路灯下竖直放置长为1米的标杆CD，测得此时CD的影长CE为0.5米；在点C处旋转标杆，观察标杆影长的变化规律，发现当标杆旋转到CF的位置时，标杆的影长最大，此时CF⊥BG，测得影长CG为米，已知BA⊥AC，图中所有点均在同一平面内，请根据以上数据求出路灯AB的高度．
7．风能作为一种清洁的可再生能源，越来越受到世界各国的重视．图1是某规格风力发电机，其工作发电时，当风轮叶片末端旋转至最高点，如图2所示，测得∠CAB＝60°；当风轮叶片末端旋转至最低点，如图3所示，测得∠DAB＝33°，已知AB＝100.2m，OE＝0.2m，则该规格的风力发电机的风轮叶片长为多少？（结果精确到1m，参考数据：1.732，sin33°≈0.545，cos33°≈0.839，tan33°≈0.649）
8．研学实践：为重温解放军东渡黄河“红色记忆”，学校组织研学活动．同学们来到毛主席东渡黄河纪念碑所在地，在了解相关历史背景后，利用航模搭载的3D扫描仪采集纪念碑的相关数据．
数据采集：如图，点A是纪念碑顶部一点，AB的长表示点A到水平地面的距离．航模从纪念碑前水平地面的点M处竖直上升，飞行至距离地面20米的点C处时，测得点A的仰角∠ACD＝18.4°；然后沿CN方向继续飞行，飞行方向与水平线的夹角∠NCD＝37°，当到达点A正上方的点E处时，测得AE＝9米；…
数据应用：已知图中各点均在同一竖直平面内，E，A，B三点在同一直线上．请根据上述数据，计算纪念碑顶部点A到地面的距离AB的长（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin18.4°≈0.32，cos18.4°≈0.95，tan18.4°≈0.33）．
9．如图所示，小明利用无人机测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为60°，已知楼AB和楼CD之间的距离BC为120米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
（1）求楼CD的高度（结果保留根号）；
（2）求此时无人机距离地面BC的高度．
10．在学完锐角三角函数后，“数学实践小组”利用自制的测角仪、卷尺，测量所在校园内旗杆（如图）的高度．
课题 测量校园内旗杆的高度
测量工具 自制测角仪和卷尺
方案 方案一：两次测角法 ①在旗杆前平地上的点A处，用测角仪测量旗杆顶端D的仰角α； ②在点A和旗杆底端C之间选择一点B，在点B处用测角仪测量旗杆顶端D的仰角β； ③测量A，B两点间的距离； ④计算旗杆的高度CD． 方案二：一次测角法 ①在旗杆前平地上的点F处，用测角仪测量观察者（竖直站立）看旗杆顶端D的仰角； ②测量观察者眼睛到地面的竖直高度EF； ③测量点F到旗杆底端C的水平距离FC； ④在点F处重复上述操作，记录测量数据； ⑤计算旗杆的高度CD．
测量示意图
测量数据 α β AB EF FC
33° 45° 7.00m 第一次 32.7° 1.51m 17.47m
第二次 33.3° 1.53m 17.45m
平均值 a° 1.52m 17.46m
（1）①填空：a＝ ．
②你认为哪个方案较好？请说明理由．
（2）根据你的判断，选择合适的数据计算出旗杆的高度CD．（结果精确到0.1m．参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）
11．如图，测得两楼之间的水平距离为32m，从楼顶点A观测点D的俯角为45°，观测点C的俯角为58°．分别求这两幢楼的高度（结果精确到1m）．参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60．
12．如图，经了解，某岛屿附近存在一个浅滩（弧ACB内部，圆心为O），其中A，B为岛屿上两个警示灯塔，其中∠ACB为警示角，为了保证深水船P不进入浅滩，测量∠APB的大小，与警示角∠ACB比较．某一时刻，深水船P行驶到某一位置，此时直线PA和直线PB恰好与弧ACB相切．
（1）判断∠APB和∠ACB的大小关系，并说明理由；
（2）若∠AOB＝100°，测得AO＝20海里，则深水船P沿PO方向行驶，保证不搁浅的情况下，最多能行驶多少海里？（参考数据：sin40°＝0.64，cos40°＝0.77，tan40°＝0.84）
13．某农户用喷枪给斜坡OA上的绿地喷灌，喷出水柱的形状是一条抛物线．经测量，P处的喷水头距地面1m，水柱在距喷水头水平距离4m处达到最高，最高点与水平线OB的距离为5m，建立如图所示的直角坐标系，水柱距喷水头的水平距离为x（m），水柱距水平线的高度是y（m）．
（1）求y与x之间的函数表达式；
（2）若斜坡OA的坡比为2：5，斜坡OA上有一棵2.9m高的树EC，它与喷水头的水平距离为5m，请判断从P处喷出的水柱能否越过这棵树的树顶，并说明理由．
14．在综合与实践活动中，某小组用测角仪测量“郑北高架桥”的桥塔AB的高度（如图①）．他们的方案是：如图②，他们在点P处仰望桥塔顶A，测得仰角是32°；再往桥的方向前进91m至D处，测得桥塔顶A的仰角是45°，桥塔底B的俯角是7°．已知点C，D，P在一条直线上，PC⊥AB，求桥塔AB的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：sin32°≈0.53，tan32°≈0.60，sin7°≈0.12，tan7°≈0.10）
15．如图①所示的手机平板支架由托板，支撑板和底座构成，如图所示图②是其侧面结构示意图．已知托板长AB＝150mm，支撑板长CD＝60mm，BC＝60mm．托板AB固定在支撑板顶端点C处，可绕C点旋转，支撑板CD可绕点D转动．（结果精确到0.1mm，参考数据：1.41，1.73，2.24）
（1）若∠DCB＝75°，∠CDE＝60°，点A到底座DE的距离是 mm；
（2）为了观看舒适，在（1）中的∠DCB＝75°调整成90°．再将CD绕点D顺时针旋转，恰好使点B落在直线DE上，则CD顺时针旋转的角度为 °，此时点A到底座DE的距离与（1）中相比是增大了还是减小了？增大或减小了多少？
16．某校同学参与“项目式学习”综合实践活动，小明所在的数学活动小组利用所学知识测量旗杆EF的高度，他在距离旗杆40米的D处立下一根3米高的竖直标杆CD，然后调整自己的位置，当他与标杆的距离BD为4米时，他的眼睛、标杆顶端和旗杆顶位于同一直线上，若小明的眼睛离地面高度AB为1.6米，求旗杆EF的高度．
17．风是一种可再生能源．利用风能进行发电既可以提供持续的电力供应，又可以减少温室气体排放，抑制全球气候变暖，还可以增加能源供应的多样性，降低对传统能源的依赖．某市若干台风机矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶AB、AC，AD两两所成的角为120°，当其中一片风叶AD与塔干AO叠合时，在与塔底O水平距离为48米的E处，测得塔顶部A的仰角∠AEO＝50°，风叶AB的视角∠AEB＝20°，求风叶AB的长度（结果精确到1m．参考数据：sin70°≈0.94，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20）
18．数学兴趣小组到黄河风景名胜区测量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如图所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A处测得塑像底部E的仰角为34°，再沿AC方向前进21m到达B处，测得塑像顶部D的仰角为60°，求炎帝塑像DE的高度．
（精确到1m．参考数据：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67，1.73）
19．河南地处中原，历史悠久，文物丰富，是中华文明重要的发源地．河南博物院位于郑州市金水区农业路，为国家级重点博物馆，是中国建立较早的博物馆之一，也是首批中央地方共建国家级博物馆．某校数学兴趣小组想知道博物馆的高度，于是走到博物馆右侧点C处，测得此时顶部点A的仰角是37°，向前走了14.6米至点F处，测得此时点A的仰角是45°，已知小明的眼睛离地面高度是1.6米，请你帮该小组求出博物馆AB的高度．（参考数据：，，tan37°）
20．圭表（如图1）是我国古代一种通过测量正午日影长度来推定节气的天文仪器，它包括一根直立的标杆（称为“表”）和一把呈南北方向水平固定摆放的与标杆垂直的长尺（称为“圭”），当正午太阳照射在表上时，日影便会投影在圭面上，圭面上日影长度最长的那一天定为冬至，日影长度最短的那一天定为夏至．图2是一个根据某市地理位置设计的圭表平面示意图，表AC垂直圭BC，已知该市冬至正午太阳高度角（即∠ABC）为37°，夏至正午太阳高度角（即∠ADC）为84°，圭面上冬至线与夏至线之间的距离（即DB的长）为4米．
（1）求∠BAD的度数．
（2）求表AC的长（最后结果精确到0.1米）．
（参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，tan84°）
21．如图，某同学通过定滑轮O拉动静止在水平地面上的高为0.5米的长方体重物，开始时与重物相连的绳子和水平面的交角为37°，拉动一段距离后，绳子与水平面的夹角为53°，绳子的自由端（用手拉的一端）竖直向下移动了1.5米（绳子伸缩不计），求定滑轮O到地面的距离（结果精确到1米．参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75）
22．某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树AB的高度
活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
实施过程 1．选取与树底B位于同一水平地面的D处； 2．测量D，B两点间的距离； 3．站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； 4．测量C到地面的高度CD． 1．选取与树底B位于同一水平地面的E处； 2．测量E，B两点间的距离； 3．在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A； 4．测量E，D两点间的距离； 5．测量C到地面的高度CD．
测量数据 1．DB＝10m； 2．∠ACF＝32.5°； 3．CD＝1.6m． 1．EB＝10m； 2．ED＝2m； 3．CD＝1.6m．
备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AB，CD均与地面垂直； 3．参考数据：tan32.5°≈0.64． 1．图上所有点均在同一平面内； 2．AB，CD均与地面垂直； 3．把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB．
请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．
23．如图，某隧道的横截面可以看作由半圆O与矩形ABCD组成，BC所在直线表示地
平面，E点表示隧道内的壁灯，已知AB＝2m，从A点观测E点的仰角为30°，观测C点的俯角为14°（参考数据tan76°的值取4）．
（1）求的长；
（2）求壁灯的高度．
24．如图，某人站在楼顶观测对面的笔直的旗杆AB，已知观测点C到旗杆的距离CE＝8m，测得旗杆的顶部A的仰角∠ECA＝30°，旗杆底部B的俯角∠ECB＝45°，求旗杆AB的高．
25．数学兴趣小组借助无人机开展实物测量的社会实践活动．如图所示，在河岸边的C处，兴趣小组令一架无人机沿67°的仰角方向飞行130米到达点A处，然后无人机沿水平线AF方向继续飞行30米至B处，测得此时河对岸D处的俯角为32°．线段AM的长为无人机距地面的铅直高度，点M、C、D在同一条直线上．
（1）求无人机的飞行高度AM；
（2）求CD的长．
（参考数据：sin32°，cos32°，tan32°，sin67°，cos67°，tan67°）
26．悟颖塔（图1）位于驻马店市汝南县境内，始建于南朝梁元帝承圣年间（552～554年），塔身为实体，雄浑庄重，因有传说每年夏至日中午没有影子，故又名无影塔．某测绘兴趣小组为测算悟颖塔的高度，测得斜坡AB＝19.4米，坡度i＝1：2，在B处测得悟颖塔顶端C的仰角为45°，请依据相关数据求悟颖塔的高度．（结果精确到1米，参考数据：，，．）
27．如图，某农业示范基地用无人机对一块试验回进行监测作业，在距离试验田MN（MN为水平状态）高度为120m的点A处测得边界N处俯角为60°，无人机垂直下降40m至B处，又测得边界M处俯角为48°．已知点A，B，M，N在同一平面内，求试验田边界M，N之间的距离．（参考数据：sin48°≈0.74，cos48°≈0.67，tan48°≈1.11，1.73，结果精确到0.1m）
28．如图，小明想测量自家居住的楼房AB的高度，他操控无人机在距地面50米高度的C处测得楼房底部B处的俯角为50°，无人机向楼房飞行了25米，在D处测得楼房顶部A的俯角为45°，请帮小明求出楼房AB的高度．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.20，1.41，1.73，结果精确到0.1米）
29．如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，AB⊥BC于点B，底座BC＝1.3米，底座BC与支架AC所成的角∠ACB＝60°，点H在支架AF上，篮板底部支架EH∥BC．EF⊥EH于点E，已知AH米，HF米，HE＝1米．
（1）求篮板底部支架HE与支架AF所成的∠FHE的度数．
（2）求篮板底部点E到地面的距离，（精确到0.01米）（参考数据：1.41，1.73）
30．太阳能路灯目前已经成为节能环保的代名词．某校学生开展综合实践活动，测量太阳能路灯电池板顶端E点离地面的高度．如图所示，已知测角仪的高度为0.8米，在测点B处安置测角仪，测得点E的仰角为45°，在与点B相距1.8米的测点D处安置等高的测角仪，测得点E的仰角为53°，点B，D与F在一条直线上，求电池板离地面的高度EF的长．
（结果精确到0.1米；参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33，1.41）
31．河南省登封市境内的嵩岳寺塔是中国现存年代最久的佛塔，堪称世界上最早的筒体建筑．某校数学社团的同学利用所学知识来测量嵩岳寺塔的高度，如图，CD是嵩岳寺塔附近不远处的某建筑物，他们在建筑物CD底端D处利用测角仪测得嵩岳寺塔顶端B的仰角为60°，在建筑物CD顶端C处利用测角仪测得嵩岳寺塔底端A的俯角为35°，已知建筑物CD的高为15米，AB⊥AD，CD⊥AD，点A，D在同一水平线上．）求嵩岳寺塔AB的高度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70.1.73）
32．河南省科技馆新馆圭表塔是河南省内有记录的规模最大的圭表测量设备，其设计灵感来源于元代天文学家郭守敏在河南登封告城镇主持修建的古观里台，我们在此设立的圭表塔是对中国古代天文学的致敬．某校数学兴趣小组利用课余时间测量圭表塔的高度，如图所示，无人机在点A处测得圭表塔顶部点B的仰角为45°，圭表塔底部点C的俯角为61°，无人机与圭表塔的水平距离为36m，求圭表塔的高度．（结果保留整数，参考数据：sin61°≈0.87，cos61°≈0.48，tan61°≈1.80）
33．一天小明和小亮一起到湖边游玩，他们发现小湖对岸有一座美丽的古塔，为了测量塔的高度，他们选择了一座建筑物CD（建筑物的底部D与古塔的底部F在同一水平线上），在建筑物顶端C处测得古塔顶端A的仰角为11.5°，测得塔顶A在水中的倒影点B的俯角为18.7°，已知建筑物CD的高度为18m，求古塔AF的高度．（结果精确到1m，参考数据：sin11.5°≈0.20，cos11.5°≈0.98，tan11.5°≈0.20，sin18.7°≈0.32，cos18.7°≈0.95，tan18.7°≈0.34．）
34．具有河南十大地标的“中国文字博物馆”位于安阳市，是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形、某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，甲、乙两个小组分别设计了如下方案：
课题：测量旗杆高度
小明的研究报告 小红的研究报告
测量示意图
测量方案与测量 在点D处用距离地面高度为1.6m的测角仪测出大门顶端A的仰角α＝55° 在点O处放一面镜子，他站在CD的位置通过，镜子反射刚好看到大门顶端A处，同时他还测自己眼睛到地面的距离是CD＝1.6m，他到大门的距离是DB＝37m，α＝29°
参考数据 sin55°＝0.82，cos55°≈0.57，tan55°＝1.43， sin29°≈0.48，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55，
计算旗杆高度
（1）数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一名同学的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为 的测量方案存在问题，并提出修改建议；
（2）结合小红的测量方案能计算出中华文字博物馆大门的高度吗？若能请写出计算过程，并将结果精确到0.1米；若不能，请说明理由．
35．如图①，中牟县人文路与贾鲁河交汇处的贾鲁河大桥，是亚洲最宽的无背索斜塔斜拉结构桥，装饰塔为凤首箜篌造型，展现中牟地域历史文化，某校数学社团的同学们利用周末去测量主塔AB（桥面以上部分）的垂直高度AC．如图②，已知主塔AB与桥面夹角为60°，他们从B处沿BD方向前进24m至点D处，然后在点D处放置高为1m的测角仪DE，测得塔顶A的仰角为45°（点C，B，D在同一水平线上），请你依据上述数据，求出主塔AB的垂直高度AC．（结果精确到0.1m，参考数据1.73）
36．“儿童散学归来早，忙趁东风放纸鸢”．随着春季的来临，放风筝已成为孩子们的最爱．周末小冬和爸爸一起去公园放风筝，如图，当小冬站在G处时，风筝在空中的位置为点B，仰角为53°，小冬站在G处继续放线，当再放2米长的线时，风筝飞到点C处，此时点B、C离地面MN的高度恰好相等，C点的仰角为44°，若小冬的眼睛与地面MN的距离AG为1.6米，请计算风筝离地面MN的高度．（结果保留整数，参考数据：sin44°≈0.7，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6）
37．如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm．
（1）当PA＝45cm时，求PC的长；
（2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：1.414，1.732）
38．胜利黄河大桥犹如一架巨大的竖琴，凌驾于滔滔黄河之上，使黄河南北“天堑变通途”．已知主塔AB垂直于桥面BC于点B，其中两条斜拉索AD、AC与桥面BC的夹角分别为60°和45°，两固定点D、C之间的距离约为33m，求主塔AB的高度（结果保留整数，参考数据：1.41，1.73）．
39．河南省实验中学是足球传统强校，在2017年中国中学生足球协会杯决赛中，该校初中组高中组均摘得桂冠，喜获“双冠王”．该校某数学小组测量足球场照明灯杆FC的高度，如图，在B处用测角仪测得照明灯杆顶端F的仰角为45°，沿BC方向前进50米到达D处，又测得照明灯杆顶端F的仰角为37°．已知测角仪高度AB＝DE＝1.3米，测量点B，D与照明灯杆FC的底部C在同一水平线上，求照明灯杆FC的高度（结果精确到1米，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）．
40．许昌文峰塔又称文明寺塔，位于河南省许昌博物馆内．小刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量文峰塔AB的高度．如图，小刚在点C处用测角仪测得塔顶端B处的仰角为45°，再往前走12m到点D处测得塔顶端B处的仰角为39°，已知测角仪的高度为为1m（即CE＝DF＝1m），测量点C，D与文峰塔AB的底部A在同一水平直线上，请你帮小刚计算出文峰塔AB的高度．（结果保留一位小数．参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81）
41．文字是历史文明传承的载体和见证，位于河南省安阳市的中国文字博物馆通过荟萃历代中国文字样本精华，展示中华民族灿烂的文化和辉煌的文明．如图是中国文字博物馆门口屹立着的字坊，某中学数学兴趣小组想通过自己所学的锐角三角函数知识测量该字坊AB的高度，甲同学站在字坊正前方C，通过测角仪测得字坊顶端A的仰角为45°，乙同学在字坊背面E处测得字坊顶端A的仰角为53°，已知测角仪的高度CD为1.6m，甲同学与乙同学之间的直线距离CE为31.5m，点A、C、E在同一竖直平面内．求字坊AB的高度．（结果精确到0.1m，参考数据：sin53°，cos53°，tan53°，1.41）
42．小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高速公路平行的国道上有一座桥，他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得AB＝100米，当车前进200米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求桥BC的长度（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，）．
43．如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直线上，从地面点P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°，已知通讯塔BC的高度为32m，求这座山AB的高．（结果取整数，参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90）
44．河南洛阳栾川老君山集道教文化与自然景观于一身，素有“北国张家界”之称，景区内的老子铜像是目前世界上最高的老子铜像，九年级的李华同学想运用所学数学知识测铜像高度，假期期间，他与爸爸带着卷尺和自制测角仪（高度忽略不计）来到铜像前的广场，站在C点测得铜像头部A的仰角为36.87°，继续沿远离铜像方向走29米到D处，测得铜像头部A的仰角为26.66°，且A，B，C，D在同一平面内，求老子铜像AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：sin26.66°≈0.447，cos26.66°≈0.894，tan26.66°≈0.5，sin36.87°≈0.6，cos36.87°≈0.8，tan36.87°≈0.75）
45．某校安装了红外线体温检测仪（如图1），该设备通过探测人体红外辐射能量对进入测温区域的人员进行快速测温，其红外线探测点O可以在垂直于地面的支杆OP上下调节（如图2），探测最大角（∠OBC）为58°，探测最小角（∠OAC）为26.6°，已知该设备在支杆OP上下调节时，探测最大角及最小角始终保持不变．若要求测温区域的宽度AB为2.53米，请你帮助学校确定该设备的安装高度OC．（结果精确到0.01米，参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60，sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50）
46．如图，建筑物BC上有一根旗杆AB，小明和数学兴趣小组的同学计划用学过的知识测量旗杆顶端A距地面的高度AC，制订测量方案并实地测量如下：在该建筑物底部所在的平地上有一棵小树ED，小明沿直线CD后退，发现地面上的点F、树顶E、旗杆顶端A恰好在一条直线上，继续沿直线CD后退，发现地面上的点G、树顶E、建筑物顶端B恰好在一条直线上．利用皮尺和测角仪测得：CD＝18米，FG＝4米，∠AFC＝30°，∠BGC＝22°．
（1）根据以上信息，请求出此建筑物上旗杆顶端A距地面的高度AC（计算结果取整数，参考数值：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）；
（2）资料显示，此建筑物上旗杆顶端A距地面的高度为14.88米，则计算结果的误差为多少？导致产生误差的原因可能是什么（写出一条即可）？
47．如图，斜坡OA上有一竖直的电线杆ED，已知∠O＝30°，为保证电线杆不倾斜，现从电线杆上不同的M，N两处分别向地面引两条钢丝引线MF，NG（引线与电线杆位于同一平面内），其中MF与斜坡OA垂直，∠NGF＝70°，现测得DF＝FG＝4米，试求M，N两点间的距离．（结果精确到0.1，1.732，tan40°≈0.840，tan70°≈2.750）
48．（1）如图1是郑州市北龙湖“鼎桥”，是国内首座“鼎”形斜拉桥，以司母戊鼎为背景，桥长210米，通过横梁及塔柱间拉杆连接成“鼎”字结构．“鼎”形结构寓意鼎盛中原，展现了郑州厚重的地域文化．
（2）某校数学社团的同学们使用皮尺和自制的测角仪测量“鼎桥”的高度．如图2所示，他们在地面MB上架设测角仪CM，先在点M处测得“鼎桥”最高点A的仰角∠ACD＝22°，然后沿MB方向前进153m到达点N处，测得点A的仰角∠ADE＝45°（点M，N，B在一条直线上），测角仪的高度为1.5m．请利用同学们的测量数据求“鼎桥”最高点A距离地面的高度AB．（结果精确到0.1m．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，）
