平行线的证明步骤书写 专项练习
一．解答题（共46小题）
1．如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，求证：EC∥DF．
证明：∵BD平分ABC，CE平分∠ACB（已知），
∴∠DBC ，
，
∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠ ＝ ，
∵∠ ＝ （已知），
∴∠F＝∠ ，
∴EC∥DF（ ）．
2．如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD，垂足为点H．若∠2＝35°，∠1＝55°，直线AB与CD平行吗？
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直的定义）．
又∵∠2＝35°（已知），
∴∠3＝∠CHG﹣∠ ＝ °（等式的性质）．
∴∠4＝∠ ＝ °（ ）．
又∵∠1＝55°（已知），
∴∠4＝∠1（ ）．
∴AB∥CD（ ）．
3．如图，如果∠1+∠3＝180°，∠2＝∠4．那么c∥d．补充完成下列证明过程及依据．
证明：∵∠1+∠3＝180°（已知），
∠1+① ＝180°（邻补角定义），
∴∠3＝∠2（② ），
∵∠2＝∠4（已知），
∴③ （④ ），
∴c∥d（⑤ ）．
4．如图，点F，A，E在同一条直线上，已知∠D＝∠C，AB平分∠FAD，BA⊥AC，∠FAB+∠D＝90°，求证：AD∥EC．在下面“____”上补充完整推理过程，并在“（ ）”内注明理由．
证明：∵AB平分∠FAD（已知），
∴∠BAD＝① （角平分线的定义）．
∵BA⊥AC（已知），
∴∠BAD+② ＝90°（垂直的定义）．
∵∠FAB+∠D＝90°（已知），
∴③ +∠D＝90°（等量代换）．
∴∠DAC＝④ ＝∠C（等量代换）．
∴AD∥EC（⑤ ）．
5．AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．理由如下：
∵AB⊥BC，（ ）
∴∠ABC＝ °，
即∠3+∠4＝ °，
又∵∠1+∠2＝90°，（ ）
且∠2＝∠3，
∴ ＝ ，（ ）
∴BE∥DF．（ ）
6．在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据．
已知：如图，AB⊥BC，AE⊥ED，若∠1+∠2＝90°．
求证：AB∥CD．
证明：∵AB⊥BC，
∴∠1+ ＝90°（垂直的定义），
又∵AE⊥DE，
∴∠ +∠ ＝90°，
∴∠1＝∠ （ ），
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠ ＝90°，
∴∠ ＝90°，
∴∠ +∠ ＝180°，
∴AB∥CD（ ）．
7．完成下面的证明过程，在括号内填根据．
如图，直线a，b，c被直线l所截，量的∠1＝115°，∠2＝65°，∠3＝115°，试说明：a∥b．
解：∵∠1＝115°，∠3＝115°，
∴ （等式的性质），
∴ （ ）．
又∵∠2＝65°，
∴∠2+∠3＝ （ ），
∴ （ ），
∴a∥b（ ）．
8．把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：AB∥CD．
解：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（ ），
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝ °，
∴∠4＝60°（ ），
又∵∠1＝60°（ ），
∴∠4＝∠ （ ），
∴AB∥CD（ ）．
9．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1∠ABC，∠2∠ADC （ ），
∵∠ABC＝∠ADC （ ），
∴∠ ＝∠ （等量代换）．
∵∠1＝∠3 （ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴ ∥ （ ）．
10．请将下列证明过程补充完整：
已知：如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠α+∠β＝90°
求证：AB∥CD．
证明：∵CE平分∠ACD （已知），
∴∠ACD＝2∠α （ ）．
∵AE平分∠BAC （已知），
∴∠BAC＝ （角的平分线的定义）．
∴∠ACD+∠BAC＝2∠α+2∠β（ ）．
即∠ACD+∠BAC＝2（∠α+∠β）．
∵∠α+∠β＝90° （已知），
∴∠ACD+∠BAC＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
11．请把下面的推理过程补充完整，并在括号里注明理由．
如图，已知BD平分∠ABC，BF平分∠CBE，∠D+∠EBF＝90°，求证：AD∥BC．
证明：∵BD平分∠ABC（已知），
∴∠ABD＝∠CBD（角平分线的定义），
∵BF平分∠CBE（已知），
∴∠CBF＝∠EBF（ ），
∵∠ABD+∠CBD+∠CBF+∠EBF＝180°（平角等于180°），
∴∠ABD+∠EBF＝∠CBD+ ＝90°，
∵∠D+∠EBF＝90°（已知），
∴∠ABD＝∠D（ ），
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠D＝ （ ），
∴AD∥BC（ ）
12．已知：如图，∠DAB＝∠DCB，AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，∠FCE＝∠CEB．
求证：AF∥CE．
证明：∵AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，
∴ ，（ ）．
又∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠FAE＝ ．
∵∠FCE＝∠CEB，
∴∠FAE＝ ，
∴AF∥CE（ ）．
13．如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（ ），
所以∠BAG＝∠AGC（ ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1∠BAG（ ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2 ，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以 （ ）．
14．如图，已知：在△ABC中，AC⊥BC，∠B+∠BCD＝90°，点E、F分别为边AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B．
求证：EF∥CD．
证明：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°（ ），
∴∠ACD+∠BCD＝90°．
又∵∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ ＝∠ ．
∵∠AFE＝∠B，
∴∠AFE＝∠ ．
∴EF∥CD（ ）．
15．请补全下面推理过程：
已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3．求证：AD∥BC．
证明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（ ）
∴∠BAD﹣∠ ＝∠DCB﹣∠ （等式性质），
即∠ ＝∠ ．
∴AD∥BC（ ）．
16．填写下列推理中的空格：
已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3试说明：AD∥BC．
解：理由如下：
∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（已知），
∴∠BAD﹣∠ ＝∠DCB﹣∠ （等式性质），
即∠ ＝∠ ．
∴AD∥BC＝（ ）．
17．如图，已知∠ABC，D为AB上一点，直线EF过点D，点E与点C在AB异侧，且∠ABC＝2∠ADF．作射线DG，满足点G与点E在AB同侧，且∠EDG＝∠ADF，求证：DG∥BC．以下是其证明的大致过程，请将对应序号的内容或依据补全．
证明：∵∠ADF与∠BDE互为对顶角，
∴∠ADF＝∠BDE（① ）．
∵∠BDG＝② +∠EDG，
∠EDG＝∠ADF，
∴∠BDG＝∠ADF+∠ADF＝2∠ADF．
∵∠ABC＝2∠ADF，
∴∠BDG＝∠ABC（③ ），
∴DG∥BC（④ ）．
18．按要求完成下列证明：
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
求证：DE∥BC．
证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+ ＝90°（ ）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴ ＝∠2（ ）．
∴DE∥BC（ ）．
19．已知直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°，求证：AB∥CD．请完成下面的证明过程：
证明：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝ °（ ）．
又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝ ＝ °（ ）．
∴∠4＝60°（ ）．
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠1＝ （ ）．
∴AB∥ （ ）．
20．根据下面的推理过程，在括号内写明理由．
如图，点A、B、C在同一条直线上，已知BF平分∠EBC，∠D+∠CBF＝90°，DB⊥BF，求证：AD∥BE．
证明：∵DB⊥BF（已知）．
∴∠DBE+∠EBF＝∠DBF＝90°（ ）．
∵BF平分∠EBC（已知）．
∴∠EBF＝∠CBF（ ）．
∵∠D+∠CBF＝90°（已知）．
∴∠DBE＝∠D（ ）．
∴AD∥BE（ ）．
21．如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB
证明：∵BE是∠ABC的角平分线
∴∠1＝∠2
又∵∠E＝∠1
∴∠E＝∠2
∴AE∥BC
∴∠A+∠ABC＝180°
又∵∠3+∠ABC＝180°
∴∠A＝∠3
∴DF∥AB ．
22．如图，已知∠CDA＝∠CBA，DE平分∠CDA，BF平分∠CBA，且∠1＝∠2，说明DE∥BF的理出．
解：∵DE平分∠CDA（已知），
∴（ ）．
同理，
又∵∠CDA＝∠CBA（已知），
∴∠ ＝∠ ，
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠ ＝∠ （ ），
∴DE∥BF（ ）．
23．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）
∴，（角平分线的定义）
∵∠ABC＝∠ADC（ ），
∴∠1＝∠2（ ）．
∵∠1＝∠3（ ），
∴∠2＝∠ （ ）．
∴AB∥DC（ ）．
24．如图，已知EF⊥BC，DE⊥AB，∠B＝∠ADE．求证：AD∥EF．
证明：∵EF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠EFB＝∠AED＝90°（ ），
∴∠BEF+∠B＝90°，
∠BAD+∠ADE＝90°（ ），
∵∠B＝∠ADE，
∴∠BEF＝∠BAD（ ）．
∴ ∥ （ ）．
25．按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
请说明：DE∥BC．
解：因为CD⊥AB（已知），
所以∠ADC＝90°（垂直的定义），
即∠1+ ＝90°，
因为∠1+∠2＝90°（已知），
所以∠2＝ （同角的 相等），
所以DE∥BC（ ）．
26．推理填空
请将下面的解答过程补充完整．
如图：∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，试说明：CE∥DF．
请完成下面的解题过程．
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠ ∠ABC，∠ ∠ACB．
又∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠ ＝∠ ．
又∵∠F＝∠DBF（已知），
∴∠F＝∠ ，
∴CE∥DF（ ）．
27．如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．
请你在横线上补充其推理过程或理由．
解：因为CD平分∠ECF，
所以∠ECD＝ （理由 ），
因为∠ACB＝∠DCF（理由 ），
所以∠ECD＝ （等式性质），
因为∠B＝∠ACB，
所以∠B＝ （理由 ），
所以AB∥CE（理由 ）．
28．完成下面的证明．
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°（ ）
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠EBC∠ABC，
∠BCF＝ （ ），
又∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠EBC＝∠BCF（ ），
∴BE∥CF（ ）．
29．如图，EF⊥FG，垂足为F，且点F在直线CD上，FE与直线AB相交于点H，∠1+∠2＝90°，求证：AB∥CD．（请完成下面的证明过程）
证明：∵EF⊥FG（已知），
∴∠ ＝90°（ ）．
即∠EFD+ ＝90°．
又∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠EFD＝ （ ）．
∴AB∥CD（ ）．
30．如图，点E，F，G分别在直线AB，AD，CD上，∠A＝∠D，∠CGB＝∠BEF．求证：EF∥BG．
31．如图，∠B＝42°，∠A比∠ACB小20°，∠ACD＝59°．求证：AB∥CD．
32．如图，DE平分∠ADC交BC于点E，∠CDE＝∠CED，求证：AD∥BC．
33．如图．∠A+∠EFB＝180°，∠A与∠ECD互为补角，求证：AB∥CD．
34．已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，∠DCB＝40°，∠AED＝80°，
求证：DE∥BC．
35．将一副三角板拼成如图所示的图形，其中∠B＝45°，∠ACB＝∠DCE＝90°，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．求证：CF∥AB．
36．如图，∠A＝∠C，∠1＝∠2，其中A，B，E三点在一条直线上．试说明：AD∥BC．
37．如图，∠1＝32°，∠B＝58°，AB⊥AC．试说明AD∥BC．
38．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CF⊥AB，∠AED＝∠B．求证：DE∥CF．
39．已知：如图，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．求证：AD∥EF．
40．如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，点G在EF上，如果∠1＝∠2，∠3＝∠C，那么DE与BC平行吗？请说明理由．
41．如图，CD是△ABC的高，点G在BC上，FG⊥AB，垂足是点F，点E在AC上，连接，若∠1＝∠2．求证：DE∥BC．
42．如图，已知点A、F在线段BG上，点C在线段DE上，连接AD、BC、EF，若∠BFE＝∠DEF，∠GAD＝∠BCE．求证：AD∥BC．
43．已知：如图，AE与BD相交于点F，∠B＝∠C，∠1＝∠2．求证：AB∥CE．
44．如图，∠ACB＝42°，∠ECD＝74°，∠B比∠A大10°．求证：AB∥EC．
45．在四边形AFEC中，AC⊥CE，AF⊥FE，AB平分∠FAC，DE平分∠FEC．求证：AB∥DE．
46．如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE是∠ABC的角平分线．
求证：DF∥AB．平行线的证明步骤书写 专项练习
一．解答题（共46小题）
1．如图，∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，求证：EC∥DF．
证明：∵BD平分ABC，CE平分∠ACB（已知），
∴∠DBCABC ，
ACB ，
∵∠ABC＝∠ACB（已知），
∴∠DBC ＝ ∠ECB ，
∵∠F ＝ ∠ECB （已知），
∴∠F＝∠DBC ，
∴EC∥DF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据角平分线的定义结合题意推出∠F＝∠ECB，即可判定CE∥DF．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB （ 已知 ），
∴∠DBC∠ABC，∠ECB∠ACB（ 角平分线的定义）．
又∵∠ABC＝∠ACB （已知），
∴∠DBC＝∠ECB，
又∵∠DBF＝∠F（已知），
∴∠F＝∠ECB（等量代换），
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：ABC；ACB；DBC；∠ECB；DBF；F；∠ECB；DBC；同位角相等，两直线平行．
2．如图，直线AB，CD被直线EF所截，H为CD与EF的交点，GH⊥CD，垂足为点H．若∠2＝35°，∠1＝55°，直线AB与CD平行吗？
阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）．
解：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直的定义）．
又∵∠2＝35°（已知），
∴∠3＝∠CHG﹣∠ 2 ＝ 55 °（等式的性质）．
∴∠4＝∠ 3 ＝ 55 °（ 对顶角相等 ）．
又∵∠1＝55°（已知），
∴∠4＝∠1（ 等量代换 ）．
∴AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据等式的性质得到∠3＝∠CHG﹣∠2＝55°，根据对顶角相等得到∠4＝∠3＝55°，进而得到∠4＝∠1，再根据平行线的判定方法进行解答即可．
【解答】解：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直的定义）．
又∵∠2＝35°（已知），
∴∠3＝∠CHG﹣∠2＝90°﹣35°＝55°（等式的性质），
∴∠4＝∠3＝55°（对顶角相等），
∴∠4＝∠1（等量代换）
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
故答案为：2；55；3；55；对顶角相等；等量代换；同位角相等，两直线平行．
3．如图，如果∠1+∠3＝180°，∠2＝∠4．那么c∥d．补充完成下列证明过程及依据．
证明：∵∠1+∠3＝180°（已知），
∠1+① ∠2 ＝180°（邻补角定义），
∴∠3＝∠2（② 同角的补角相等 ），
∵∠2＝∠4（已知），
∴③ ∠3＝∠4 （④ 等量代换 ），
∴c∥d（⑤ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的判定定理求证即可．
【解答】证明：∵∠1+∠3＝180°（已知），
∠1+∠2＝180°（邻补角定义），
∴∠3＝∠2（同角的补角相等），
∵∠2＝∠4（已知），
∴∠3＝∠4（等量代换），
∴c∥d（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①∠2；②同角的补角相等；③∠3＝∠4；④等量代换；⑤内错角相等，两直线平行．
4．如图，点F，A，E在同一条直线上，已知∠D＝∠C，AB平分∠FAD，BA⊥AC，∠FAB+∠D＝90°，求证：AD∥EC．在下面“____”上补充完整推理过程，并在“（ ）”内注明理由．
证明：∵AB平分∠FAD（已知），
∴∠BAD＝① ∠FAB （角平分线的定义）．
∵BA⊥AC（已知），
∴∠BAD+② ∠DAC ＝90°（垂直的定义）．
∵∠FAB+∠D＝90°（已知），
∴③ ∠BAD +∠D＝90°（等量代换）．
∴∠DAC＝④ ∠D ＝∠C（等量代换）．
∴AD∥EC（⑤ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD＝∠FAB，由垂直定义得∠BAD+∠DAC＝90°，从而得∠BAD+∠D＝90°，∴∠DAC＝∠D＝∠C，故可得结论．
【解答】证明：∵AB平分∠FAD（已知），
∴∠BAD＝∠FAB①∠FAD（角平分线的定义）．
∵BA⊥AC（已知），
∴∠BAD+∠DAC②＝∠BAC＝90°（垂直的定义）．
∵∠FAB+∠D＝90°（已知），
∴③∠BAD+∠D＝90°（等量代换）．
∴∠DAC＝∠D④＝∠C（等量代换）．
∴AD∥EC（⑤内错角相等，两直线平行）．
故答案为：①∠FAB，②∠DAC，③∠BAD，④∠D，⑤内错角相等，两直线平行．
5．AB⊥BC，∠1+∠2＝90°，∠2＝∠3．BE与DF平行吗？为什么？
解：BE∥DF．理由如下：
∵AB⊥BC，（ 已知 ）
∴∠ABC＝ 90 °，
即∠3+∠4＝ 90 °，
又∵∠1+∠2＝90°，（ 已知 ）
且∠2＝∠3，
∴ ∠1 ＝ ∠4 ，（ 等角的余角相等 ）
∴BE∥DF．（ 同位角相等，两直线平行 ）
【分析】由垂直的定义可得出∠ABC＝90°，进而可得出∠3+∠4＝90°，结合∠1+∠2＝90°，且∠2＝∠3可得出∠1＝∠4，再利用“同位角相等，两直线平行”可得出BE∥DF．
【解答】解：BE∥DF．理由如下：
∵AB⊥BC（已知），
∴∠ABC＝90°，
即∠3+∠4＝90°，
又∵∠1+∠2＝90°（已知），
且∠2＝∠3，
∴∠1＝∠4（等角的余角相等），
∴BE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；90；90；已知；∠1；∠4；等角的余角相等；同位角相等，两直线平行．
6．在相应的横线上按照要求填写证明步骤或证明依据．
已知：如图，AB⊥BC，AE⊥ED，若∠1+∠2＝90°．
求证：AB∥CD．
证明：∵AB⊥BC，
∴∠1+ ∠AEB ＝90°（垂直的定义），
又∵AE⊥DE，
∴∠AEB +∠DEC ＝90°，
∴∠1＝∠DEC （ 同角的余角相等 ），
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠DEC ＝90°，
∴∠C ＝90°，
∴∠B +∠C ＝180°，
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两条直线平行 ）．
【分析】先由垂直的定义得∠1+∠AEB＝90°，∠AEB+∠DEC＝90°，整理得∠1＝∠DEC，因为∠1+∠2＝90°，所以∠2+∠DEC＝90°，故∠B+∠C＝180°，运用同旁内角互补，两条直线平行得AB∥CD，即可作答．
【解答】证明：∵AB⊥BC，
∴∠1+∠AEB＝90°（垂直的定义），
又∵AE⊥DE，
∴∠AEB+∠DEC＝90°，
∴∠1＝∠DEC（同角的余角相等），
∵∠1+∠2＝90°，
∴∠2+∠DEC＝90°，
∴∠C＝90°，
∴∠B+∠C＝180°，
∴AB∥CD（同旁内角互补，两条直线平行）．
故答案为：∠AEB；AEB；DEC；DEC；同角的余角相等；DEC；C；B；C；同旁内角互补，两条直线平行．
7．完成下面的证明过程，在括号内填根据．
如图，直线a，b，c被直线l所截，量的∠1＝115°，∠2＝65°，∠3＝115°，试说明：a∥b．
解：∵∠1＝115°，∠3＝115°，
∴ ∠1＝∠3 （等式的性质），
∴a∥c （ 同位角相等，两直线平行 ）．
又∵∠2＝65°，
∴∠2+∠3＝ 180° （ 补角定义 ），
∴b∥c （ 同旁内角互补，两直线平行 ），
∴a∥b（ 平行于同一条直线的两条直线平行 ）．
【分析】先根据“同位角相等，两直线平行”证明a∥c，再根据“同旁内角互补，两直线平行”得b∥c，最后根据“平行于同一条直线的两条直线平行”得出答案．
【解答】解：∵直线a，b，c被直线l所截，∠1＝115°，∠3＝115°（已知），
∴∠1＝∠3（等式的性质），
∴a∥c（同位角相等，两直线平行）．
∵∠2＝65°（已知），
∴∠2+∠3＝65°+115°＝180°（补角定义），
∴b∥c（同旁内角互补，两直线平行），
∴a∥b（平行于同一条直线的两条直线平行）．
故答案为：∠1＝∠3；a∥c；同位角相等，两直线平行；180°；补角定义；b∥c；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行．
8．把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：AB∥CD．
解：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（ 垂直定义 ），
又∵∠2＝30°（ 已知 ），
∴∠3＝ 60 °，
∴∠4＝60°（ 对顶角相等 ），
又∵∠1＝60°（ 已知 ），
∴∠4＝∠ 1 （ 等量代换 ），
∴AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】要证AB∥CD，只需证∠1＝∠4，由已知条件、垂线的定义结合对顶角相等，得∠4＝60°，即可求解．
【解答】解：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直定义），
又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝60°．
∴∠4＝60°（对顶角相等），
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠4＝∠1（等量代换），
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直定义；已知；60；对顶角相等；已知；1；等量代换；同位角相等，两直线平行．
9．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴∠1∠ABC，∠2∠ADC （ 角平分线的定义 ），
∵∠ABC＝∠ADC （ 已知 ），
∴∠ 1 ＝∠ 2 （等量代换）．
∵∠1＝∠3 （ 已知 ），
∴∠2＝∠ 3 （ 等量代换 ）．
∴AB ∥DC （ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】首先根据角平分线定义可得∠1∠ABC，∠2∠ADC，根据等式的性质可得∠1＝∠2，再由条件∠1＝∠3可得∠2＝∠3，根据内错角相等，两直线平行可得AB∥CD．
【解答】证明：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，（已知）
∴∠1∠ABC，∠2∠ADC （角平分线定义）
又∵∠ABC＝∠ADC（已知）
∴∠1＝∠2（等量代换），
又∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴AB∥DC （内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义；已知；1，2；已知；3，等量代换；AB，DC，内错角相等，两直线平行．
10．请将下列证明过程补充完整：
已知：如图，AE平分∠BAC，CE平分∠ACD，且∠α+∠β＝90°
求证：AB∥CD．
证明：∵CE平分∠ACD （已知），
∴∠ACD＝2∠α （ 角平分线的定义 ）．
∵AE平分∠BAC （已知），
∴∠BAC＝ 2∠β （角的平分线的定义）．
∴∠ACD+∠BAC＝2∠α+2∠β（ 等式性质 ）．
即∠ACD+∠BAC＝2（∠α+∠β）．
∵∠α+∠β＝90° （已知），
∴∠ACD+∠BAC＝ 180° （ 等量代换 ）．
∴AB∥CD（ 同旁内角互补，两直线平行 ）．
【分析】先根据角平分线的定义，得到∠ACD+∠BAC＝2∠α+2∠β，再根据∠α+∠β＝90°，即可得到∠ACD+∠BAC＝180°，进而判定AB∥CD．
【解答】证明：∵CE平分∠ACD （已知），
∴∠ACD＝2∠α （角平分线的定义）．
∵AE平分∠BAC （已知），
∴∠BAC＝2∠β（角的平分线的定义）．
∴∠ACD+∠BAC＝2∠α+2∠β（等式性质）．
即∠ACD+∠BAC＝2（∠α+∠β）．
∵∠α+∠β＝90° （已知），
∴∠ACD+∠BAC＝180° （等量代换）．
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，2∠β，等式性质，180°，等量代换，同旁内角互补，两直线平行．
11．请把下面的推理过程补充完整，并在括号里注明理由．
如图，已知BD平分∠ABC，BF平分∠CBE，∠D+∠EBF＝90°，求证：AD∥BC．
证明：∵BD平分∠ABC（已知），
∴∠ABD＝∠CBD（角平分线的定义），
∵BF平分∠CBE（已知），
∴∠CBF＝∠EBF（ 角平分线的定义 ），
∵∠ABD+∠CBD+∠CBF+∠EBF＝180°（平角等于180°），
∴∠ABD+∠EBF＝∠CBD+ ∠EBF ＝90°，
∵∠D+∠EBF＝90°（已知），
∴∠ABD＝∠D（ 等角的余角相等 ），
∵∠ABD＝∠CBD，
∴∠D＝ ∠CBD （ 等量代换 ），
∴AD∥BC（ 内错角相等，两直线平行 ）
【分析】根据角平分线的定义∠ABD+∠EBF＝∠CBD+∠EBF＝90°，再根据已知∠D+∠EBF＝90°得到∠D＝∠CBD，即可证明AD∥BC．
【解答】证明：∵BD平分∠ABC（已知），
∴∠ABD＝∠CBD（角平分线的定义），
∵BF平分∠CBE（已知），
∴∠CBF＝∠EBF（角平分线的定义），
∵∠ABD+∠CBD+∠CBF+∠EBF＝180°（平角等于180°），
∴∠ABD+∠EBF＝∠CBD+∠EBF＝180°÷2＝90°，
∵∠D+∠EBF＝90°（已知），
∴∠ABD＝∠D（等角的余角相等），
∵∠ABD＝∠CBD（已知），
∴∠D＝∠CBD（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：角平分线的定义，∠EBF，等角的余角相等，∠CBD，等量代换，内错角相等，两直线平行．
12．已知：如图，∠DAB＝∠DCB，AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，∠FCE＝∠CEB．
求证：AF∥CE．
证明：∵AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，
∴ ∠FAE ，（ 角平分线的定义 ）．
又∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠FAE＝ ∠FCE ．
∵∠FCE＝∠CEB，
∴∠FAE＝ ∠CEB ，
∴AF∥CE（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】由角平分线的定义推出∠FAE＝∠FCE．得到∠FAE＝∠CEB，即可证明AF∥CE．
【解答】证明：∵AF平分∠DAB，CE平分∠DCB，
∴∠FAE∠DAB，∠FCE∠DCB（角平分线的定义）．
又∵∠DAB＝∠DCB，
∴∠FAE＝∠FCE．
∵∠FCE＝∠CEB，
∴∠FAE＝∠CEB，
∴AF∥CE（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：∠FAE；角平分线的定义；∠FCE；∠CEB；同位角相等，两直线平行．
13．如图，点G在CD上，已知∠BAG+∠AGD＝180°，EA平分∠BAG，FG平分∠AGC．请说明AE∥GF的理由．
解：因为∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（ 平角的定义 ），
所以∠BAG＝∠AGC（ 同角的补角相等 ）．
因为EA平分∠BAG，
所以∠1∠BAG（ 角平分线的定义 ）．
因为FG平分∠AGC，
所以∠2 ∠AGC ，
得∠1＝∠2（等量代换），
所以 AE∥GF （ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】由题意可求得∠BAG＝∠AGC，再由角平分线的定义得∠1∠BAG，∠2∠AGC，从而得∠1＝∠2，即可判定AE∥GF．
【解答】解：∵∠BAG+∠AGD＝180°（已知），
∠AGC+∠AGD＝180°（平角的定义），
∴∠BAG＝∠AGC（同角的补角相等）．
∵EA平分∠BAG，
∴∠1∠BAG（角平分线的定义）．
∵FG平分∠AGC，
∴∠2∠AGC，
∴∠1＝∠2（等量代换），
∴AE∥GF（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：平角的定义；同角的补角相等；角平分线的定义；∠AGC；AE∥GF；内错角相等，两直线平行．
14．如图，已知：在△ABC中，AC⊥BC，∠B+∠BCD＝90°，点E、F分别为边AB、AC上的点，且∠AFE＝∠B．
求证：EF∥CD．
证明：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°（ 垂直的定义 ），
∴∠ACD+∠BCD＝90°．
又∵∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD ＝∠B ．
∵∠AFE＝∠B，
∴∠AFE＝∠ACD ．
∴EF∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】由余角的性质推出∠ACD＝∠B，得到∠AFE＝∠ACD．判定EF∥CD．
【解答】证明：∵AC⊥BC，
∴∠ACB＝90°（垂直的定义），
∴∠ACD+∠BCD＝90°，
又∵∠B+∠BCD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∵∠AFE＝∠B，
∴∠AFE＝∠ACD，
∴EF∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；ACD；B；ACD；同位角相等，两直线平行．
15．请补全下面推理过程：
已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3．求证：AD∥BC．
证明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（ 已知 ）
∴∠BAD﹣∠ 1 ＝∠DCB﹣∠ 3 （等式性质），
即∠ 2 ＝∠ 4 ．
∴AD∥BC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】由等式的性质得到∠2＝∠4，即可证明AD∥BC．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（已知），
∴∠BAD﹣∠1＝∠DCB﹣∠3（等式性质），
即∠2＝∠4，
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；1；3；2；4；内错角相等，两直线平行．
16．填写下列推理中的空格：
已知：如图，∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3试说明：AD∥BC．
解：理由如下：
∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（已知），
∴∠BAD﹣∠ 1 ＝∠DCB﹣∠ 3 （等式性质），
即∠ 2 ＝∠ 4 ．
∴AD∥BC＝（ 内错角相等、两直线平行 ）．
【分析】利用已知条件和等式性质推出∠2＝∠4，利用平行线判定理之“内错角相等，两直线平行”即可证明结论．
【解答】证明：∵∠BAD＝∠DCB，∠1＝∠3（已知），
∴∠BAD﹣∠1＝∠DCB﹣∠3（等式的性质），即∠2＝∠4
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：1，3，2，4，内错角相等、两直线平行．
17．如图，已知∠ABC，D为AB上一点，直线EF过点D，点E与点C在AB异侧，且∠ABC＝2∠ADF．作射线DG，满足点G与点E在AB同侧，且∠EDG＝∠ADF，求证：DG∥BC．以下是其证明的大致过程，请将对应序号的内容或依据补全．
证明：∵∠ADF与∠BDE互为对顶角，
∴∠ADF＝∠BDE（① 对顶角相等 ）．
∵∠BDG＝② ∠BDE +∠EDG，
∠EDG＝∠ADF，
∴∠BDG＝∠ADF+∠ADF＝2∠ADF．
∵∠ABC＝2∠ADF，
∴∠BDG＝∠ABC（③ 等量代换 ），
∴DG∥BC（④ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】由对顶角的性质得到∠ADF＝∠BDE，推出∠BDG＝∠ADF+∠ADF＝2∠ADF．得到∠BDG＝∠ABC，即可证明DG∥BC．
【解答】证明：∵∠ADF与∠BDE互为对顶角，
∴∠ADF＝∠BDE（对顶角相），
∵∠BDG＝∠BDE+∠EDG，
∠EDG＝∠ADF，
∴∠BDG＝∠ADF+∠ADF＝2∠ADF，
∵∠ABC＝2∠ADF，
∴∠BDG＝∠ABC（等量代换），
∴DG∥BC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：对顶角相等；∠BDE；等量代换；内错角相等，两直线平行．
18．按要求完成下列证明：
已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
求证：DE∥BC．
证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+ ∠EDC ＝90°（ 垂直定义 ）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴ ∠EDC ＝∠2（ 同角的余角相等 ）．
∴DE∥BC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】直接利用平行线的判定方法结合垂直的定义分析得出答案．
【解答】证明：∵CD⊥AB（已知），
∴∠1+∠EDC＝90°（ 垂直定义）．
∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠EDC＝∠2（ 同角的余角相等）．
∴DE∥BC（ 内错角相等，两直线平行）．
故答案为：∠EDC；垂直定义；∠EDC；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
19．已知直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°，求证：AB∥CD．请完成下面的证明过程：
证明：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝ 90 °（ 垂直的定义 ）．
又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝ ∠CHG﹣∠2 ＝ 60 °（ 等式的性质 ）．
∴∠4＝60°（ 对顶角相等 ）．
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠1＝ ∠4 （ 等量代换 ）．
∴AB∥CD （ 同位角相等，两条直线平行 ）．
【分析】根据垂直的定义可得∠CHG＝90°，再根据角的加减运算可得∠3＝60°，由对顶角相等可得∠1＝∠4，再根据同位角相等，两条直线平行即可证明．
【解答】证明：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直的定义）．
又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝∠CHG﹣∠2＝60°（等式的性质）．
∴∠4＝60°（对顶角相等）．
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠1＝∠4（等量代换）．
∴AB∥CD （同位角相等，两条直线平行）．
故答案为：90，∠CHG﹣∠2，60，等式的性质，对顶角相等，∠4，等量代换，CD，同位角相等，两条直线平行．
20．根据下面的推理过程，在括号内写明理由．
如图，点A、B、C在同一条直线上，已知BF平分∠EBC，∠D+∠CBF＝90°，DB⊥BF，求证：AD∥BE．
证明：∵DB⊥BF（已知）．
∴∠DBE+∠EBF＝∠DBF＝90°（ 垂直的定义 ）．
∵BF平分∠EBC（已知）．
∴∠EBF＝∠CBF（ 角平分线的定义 ）．
∵∠D+∠CBF＝90°（已知）．
∴∠DBE＝∠D（ 等角的余角相等 ）．
∴AD∥BE（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】由垂直的定义得到∠DBE+∠EBF＝90°，由角平分线定义得到∠EBF＝∠CBF，由余角的性质推出∠DBE＝∠D，判定AD∥BE．
【解答】证明：∵DB⊥BF（已知），
∴∠DBE+∠EBF＝∠DBF＝90°（垂直的 定义），
∵BF平分∠EBC（已知），
∴∠EBF＝∠CBF（角平分线的定义），
∵∠D+∠CBF＝90°（已知），
∴∠DBE＝∠D（等角的余角相等），
∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；角平分线的定义；等角的余角相等；内错角相等，两直线平行．
21．如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE是∠ABC的角平分线．求证：DF∥AB
证明：∵BE是∠ABC的角平分线
∴∠1＝∠2 （角平分线定义）
又∵∠E＝∠1
∴∠E＝∠2 （等量代换）
∴AE∥BC （内错角相等，两直线平行）
∴∠A+∠ABC＝180° （两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠3+∠ABC＝180°
∴∠A＝∠3 （同角的补角相等）
∴DF∥AB （同位角相等，两直线平行） ．
【分析】根据角平分线定义求出∠1＝∠2，求出∠E＝∠2，根据平行线的判定得出AE∥BC，根据平行线的性质得出∠A+∠ABC＝180°，求出∠A＝∠3，根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：BE是∠ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2（角平分线定义），
又∵∠E＝∠1，
∴∠E＝∠2（等量代换），
∴AE∥BC（内错角相等，两直线平行），
∴∠A+∠ABC＝180°（两直线平行，同旁内角互补），
又∵∠3+∠ABC＝180°，
∴∠A＝∠3（同角的补角相等），
∴DF∥AB（同位角相等，两直线平行），
故答案为：（角平分线定义），（等量代换），（内错角相等，两直线平行），（两直线平行，同旁内角互补），（同角的补角相等），（同位角相等，两直线平行）．
22．如图，已知∠CDA＝∠CBA，DE平分∠CDA，BF平分∠CBA，且∠1＝∠2，说明DE∥BF的理出．
解：∵DE平分∠CDA（已知），
∴（ 角平分线的定义 ）．
同理，
又∵∠CDA＝∠CBA（已知），
∴∠ 1 ＝∠ 3 ，
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠ 2 ＝∠ 3 （ 等量代换 ），
∴DE∥BF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的性质及角平分线的定义可进行求解．
【解答】解：∵DE平分∠CDA（已知），
∴，（角平分线的定义）．
同理，
又∵∠CDA＝∠CBA，（已知）
∴∠1＝∠3，
又∵∠1＝∠2（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换），
∴DE∥BF（同位角相等，两直线平行）；
故答案为：角平分线的定义，1，3，2，3，等量代换，同位角相等，两直线平行．
23．已知，如图，∠ABC＝∠ADC，BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC，且∠1＝∠3．试说明：AB∥DC．（请根据条件进行推理，得出结论，并在括号内注明理由）
解：∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知）
∴，（角平分线的定义）
∵∠ABC＝∠ADC（ 已知 ），
∴∠1＝∠2（ 等量代换 ）．
∵∠1＝∠3（ 已知 ），
∴∠2＝∠ 3 （ 等量代换 ）．
∴AB∥DC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据题目中的证明过程，可以写出相应的推理依据即可．
【解答】解：根据平行线的判定可得下边过程，
∵BF、DE分别平分∠ABC与∠ADC（已知），
∴，（角平分线的定义），
∵∠ABC＝∠ADC（已知），
∴∠1＝∠2（等量代换）．
∵∠1＝∠3（已知），
∴∠2＝∠3（等量代换）．
∴AB∥DC（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：已知；等量代换；已知；3，等量代换；内错角相等，两直线平行．
24．如图，已知EF⊥BC，DE⊥AB，∠B＝∠ADE．求证：AD∥EF．
证明：∵EF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠EFB＝∠AED＝90°（ 垂直的定义 ），
∴∠BEF+∠B＝90°，
∠BAD+∠ADE＝90°（ 直角三角形的两个锐角互余 ），
∵∠B＝∠ADE，
∴∠BEF＝∠BAD（ 等量代换 ）．
∴AD ∥EF （ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】先根据EF⊥BC，DE⊥AB得出∠EFB＝∠AED＝90°，故可得出∠BEF+∠B＝90°，∠BAD+∠ADE＝90°，再由∠B＝∠ADE可得出∠BEF＝∠BAD，进而得出结论．
【解答】证明：∵EF⊥BC，DE⊥AB，
∴∠EFB＝∠AED＝90°（垂直的定义），
∴∠BEF+∠B＝90°，∠BAD+∠ADE＝90°（直角三角形的两个锐角互余），
∵∠B＝∠ADE，
∴∠BEF＝∠BAD（等量代换），
∴AD∥EF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；直角三角形的两个锐角互余；等量代换；AD，EF，同位角相等，两直线平行．
25．按要求完成下列说明过程．
已知：如图，在三角形ABC中，CD⊥AB于点D，E是AC上一点，且∠1+∠2＝90°．
请说明：DE∥BC．
解：因为CD⊥AB（已知），
所以∠ADC＝90°（垂直的定义），
即∠1+ ∠CDE ＝90°，
因为∠1+∠2＝90°（已知），
所以∠2＝ ∠CDE （同角的 余角 相等），
所以DE∥BC（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】由垂直的定义得到∠1+∠CDE＝90°，由余角的性质推出∠2＝∠CDE，判定DE∥BC．
【解答】解：因为CD⊥AB（已知），
所以∠ADC＝90°（垂直的定义），
即∠1+∠CDE＝90°，
因为∠1+∠2＝90°（已知），
所以∠2＝∠CDE（同角的余角相等），
所以DE∥BC（内错角相等，两直线平行 ）．
故答案为：∠CDE，∠CDE，余角，内错角相等，两直线平行．
26．推理填空
请将下面的解答过程补充完整．
如图：∠ABC＝∠ACB，BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，∠DBF＝∠F，试说明：CE∥DF．
请完成下面的解题过程．
∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBF ∠ABC，∠ECB ∠ACB．
又∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠DBF ＝∠ECB ．
又∵∠F＝∠DBF（已知），
∴∠F＝∠ECB ，
∴CE∥DF（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】由BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，利用角平分线的定义，可得出∠DBF∠ABC，∠ECB∠ACB，结合∠ABC＝∠ACB，可得出∠DBF＝∠ECB，结合F＝∠DBF，可得出∠F＝∠ECB，再利用“同位角相等，两直线平行”，即可得出CE∥DF．
【解答】解：∵BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠DBF∠ABC，∠ECB∠ACB．
又∵∠ABC＝∠ACB（已知）
∴∠DBF＝∠ECB．
又∵∠F＝∠DBF（已知），
∴∠F＝∠ECB，
∴CE∥DF（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：DBF，ECB，DBF，ECB，ECB，同位角相等，两直线平行．
27．如图，AF与BD相交于点C，∠B＝∠ACB，CD平分∠ECF．试说明：AB∥CE．
请你在横线上补充其推理过程或理由．
解：因为CD平分∠ECF，
所以∠ECD＝ ∠DCF （理由 角平分线的定义 ），
因为∠ACB＝∠DCF（理由 对顶角相等 ），
所以∠ECD＝ ∠ACB （等式性质），
因为∠B＝∠ACB，
所以∠B＝ ∠ECD （理由 等量代换 ），
所以AB∥CE（理由 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】先根据角平分线的定义得出∠ECD＝∠DCF，再由对顶角相等得出∠ACB＝∠DCF，故可得出∠ECD＝∠ACB，再根据∠B＝∠ACB得出∠B＝∠ECD，进而可得出结论．
【解答】解：∵CD平分∠ECF，
∴∠ECD＝∠DCF（理由：角平分线的定义），
∵∠ACB＝∠DCF（理由：对顶角相等），
∴∠ECD＝∠ACB（等式性质），
∵∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠ECD（理由：等量代换），
∴AB∥CE．
故答案为：∠DCF，角平分线的定义；对顶角相等；∠ACB；∠ECD，等量代换．
28．完成下面的证明．
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，求证BE∥CF．
证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°（ 垂直定义 ）
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠EBC∠ABC，
∠BCF＝ ∠BCD （ 角平分线的定义 ），
又∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠EBC＝∠BCF（ 等量代换 ），
∴BE∥CF（ 内错角相等，两直线平行 ）．
【分析】先根据垂直定义可得∠ABC＝∠BCD＝90°，再利用角平分线的定义可得∠EBC∠ABC，∠BCF∠BCD，然后利用等量代换可得∠EBC＝∠BCF，从而利用平行线的判定，即可解答．
【解答】解：∵AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠ABC＝∠BCD＝90°（垂直定义），
∵BE，CF分别平分∠ABC和∠BCD，
∴∠EBC∠ABC，
∠BCF∠BCD（角平分线的定义），
又∵∠ABC＝∠BCD，
∴∠EBC＝∠BCF（等量代换 ），
∴BE∥CF（内错角相等，两直线平行 ），
故答案为：垂直定义；∠BCD；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行．
29．如图，EF⊥FG，垂足为F，且点F在直线CD上，FE与直线AB相交于点H，∠1+∠2＝90°，求证：AB∥CD．（请完成下面的证明过程）
证明：∵EF⊥FG（已知），
∴∠EFG ＝90°（ 垂直的定义 ）．
即∠EFD+ ∠2 ＝90°．
又∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠EFD＝ ∠1 （ 同角的余角相等 ）．
∴AB∥CD（ 同位角相等，两直线平行 ）．
【分析】根据平行线的性质将证明过程补充完整即可．
【解答】证明：∵EF⊥FG（已知），
∴∠EFG＝90°（垂直的定义）．
即∠EFD+∠2＝90°．
又∵∠1+∠2＝90°（已知），
∴∠EFD＝∠1（同角的余角相等）．
∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）．
故答案为：EFG，垂直的定义，∠2，∠1，同角的余角相等，同位角相等，两直线平行．
30．如图，点E，F，G分别在直线AB，AD，CD上，∠A＝∠D，∠CGB＝∠BEF．求证：EF∥BG．
【分析】先根据∠A＝∠D，故AB∥CD，得∠CGB+∠B＝180°，又因为∠CGB＝∠BEF，进行等量代换得∠BEF+∠B＝180°，然后根据同旁内角互补，两直线平行，即可作答．
【解答】证明：∵∠A＝∠D，
∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）．
∴∠CGB+∠B＝180°（两直线平行，同旁内角互补）．
∵∠CGB＝∠BEF，
∴∠BEF+∠B＝180°．
∴EF∥BG（同旁内角互补，两直线平行）．
31．如图，∠B＝42°，∠A比∠ACB小20°，∠ACD＝59°．求证：AB∥CD．
【分析】根据平行线的判定进行证明即可．
【解答】证明：∵∠B＝42°，
∴∠A+∠ACB＝180°﹣42°＝138°．
∵∠A＝∠ACB﹣20°，
∴∠ACB﹣20°+∠ACB＝138°，
∴∠ACB＝79°．
又∵∠ACD＝59°，
∴∠BCD＝∠ACD+∠ACB＝59°+79°＝138°，
∴∠BCD+∠B＝138°+42°＝180°，
∴AB∥CD．
32．如图，DE平分∠ADC交BC于点E，∠CDE＝∠CED，求证：AD∥BC．
【分析】由角平分线的定义可得∠ADE＝∠CDE，结合∠CDE＝∠CED得到∠ADE＝∠CED，即可得证．
【解答】证明：∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE（角平分线的性质），
∵∠CDE＝∠CED，
∴∠ADE＝∠CED（等量代换），
∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
33．如图．∠A+∠EFB＝180°，∠A与∠ECD互为补角，求证：AB∥CD．
【分析】根据补角的性质，可以得到∠A＝∠BFC，再根据题目中的条件，可以得到∠BFC+∠ECD＝180°，从而可以得到AB∥CD．
【解答】证明：∵∠A+∠EFB＝180°，∠EFB+∠BFC＝180°，
∴∠A＝∠BFC，
∵∠A与∠ECD互为补角，
∴∠BFC与∠ECD互为补角，
即∠BFC+∠ECD＝180°，
∴AB∥CD．
34．已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分∠ACB，∠DCB＝40°，∠AED＝80°，
求证：DE∥BC．
【分析】根据角平分线的定义得到∠ACB＝2∠BCD，根据平行线的性质即可得到答案．
【解答】证明：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠BCD＝80°，
∵∠AED＝80°，
∴∠AED＝∠ACB＝80°，
∴DE∥BC．
35．将一副三角板拼成如图所示的图形，其中∠B＝45°，∠ACB＝∠DCE＝90°，过点C作CF平分∠DCE交DE于点F．求证：CF∥AB．
【分析】根据题意可得∠B＝∠FCE，即可求证．
【解答】证明：∵CF平分∠DCE，∠DCE＝90°，
∴∠FCE∠DCE90°＝45，
∵∠B＝45°，
∴∠B＝∠FCE，
∴CF∥AB（同位角相等，两直线平行）．
36．如图，∠A＝∠C，∠1＝∠2，其中A，B，E三点在一条直线上．试说明：AD∥BC．
【分析】由内错角相等，两直线平行推出DC∥AB，得到∠C＝∠CBE，因此∠A＝∠CBE，即可证明AD∥BC．
【解答】证明：∵∠1＝∠2，
∴DC∥AB，
∴∠C＝∠CBE，
∵∠A＝∠C，
∴∠A＝∠CBE，
∴AD∥BC．
37．如图，∠1＝32°，∠B＝58°，AB⊥AC．试说明AD∥BC．
【分析】先求解∠BAD＝122°，证明∠DAB+∠B＝180°即可．
【解答】解：∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°．
又∵∠1＝32°，
∴∠BAD＝∠1+∠BAC＝32°+90°＝122°，
∵∠B＝58°，
∴∠DAB+∠B＝122°+58°＝180°，
∴AD∥BC．
38．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CF⊥AB，∠AED＝∠B．求证：DE∥CF．
【分析】根据垂直的定义得到∠AFC＝90°，根据∠ACB＝90°得到∠A+∠B＝90°，由∠AED＝∠B可知∠A+∠AED＝90°，即∠ADE＝90°，根据同位角相等两直线平行作答即可．
【解答】证明：∵CF⊥AB，
∴∠AFC＝90°（垂直的定义），
∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
又∵∠AED＝∠B，
∴∠A+∠AED＝90°（等量代换），
∴∠ADE＝90°，即∠ADE＝∠AFC，
∴DE∥CF（同位角相等，两直线平行）．
39．已知：如图，∠1＝∠C，∠2+∠3＝180°．求证：AD∥EF．
【分析】根据平行线的判定推出GD∥AC，根据平行线的性质得出∠CAD＝∠2，根据等量关系可得∠3+∠CAD＝180°，再根据平行线的判定得出即可．
【解答】证明：∵∠1＝∠C，
∴GD∥AC，
∴∠CAD＝∠2，
∵∠2+∠3＝180°，
∴∠3+∠CAD＝180°，
∴AD∥EF．
40．如图，点D、E、F分别在△ABC的三条边上，点G在EF上，如果∠1＝∠2，∠3＝∠C，那么DE与BC平行吗？请说明理由．
【分析】根据平行线的判定定理与性质定理求解即可．
【解答】解：DE∥BC，理由如下：
∵∠1＝∠2，
∴DG∥AC，
∴∠3＝∠AED，
∵∠3＝∠C，
∴∠C＝∠AED，
∴DE∥BC．
41．如图，CD是△ABC的高，点G在BC上，FG⊥AB，垂足是点F，点E在AC上，连接，若∠1＝∠2．求证：DE∥BC．
【分析】根据CD⊥AB，FG⊥AB可判定CD∥FG，利用平行线的性质可知∠2＝∠BCD，再结合∠1＝∠2，运用等量代换得∠1＝∠BCD即可证明结论．
【解答】证明：∵CD⊥AB，点G在BC上，FG⊥AB，垂足是点F，
∴CD∥FG．
∴∠2＝∠BCD．
又∵∠1＝∠2，
∴∠1＝∠BCD．
∴DE∥BC．
42．如图，已知点A、F在线段BG上，点C在线段DE上，连接AD、BC、EF，若∠BFE＝∠DEF，∠GAD＝∠BCE．求证：AD∥BC．
【分析】根据∠BFE＝∠DEF证明AB∥DC，得到∠B＝∠BCE，结合∠GAD＝∠BCE得到∠B＝∠GAD，继而证明AD∥BC．
【解答】证明：∵∠BFE＝∠DEF，
∴AB∥DC，
∴∠B＝∠BCE，
∵∠GAD＝∠BCE，
∴∠B＝∠GAD，
∴AD∥BC．
43．已知：如图，AE与BD相交于点F，∠B＝∠C，∠1＝∠2．求证：AB∥CE．
【分析】根据∠1＝∠2可得AC∥BD，则∠C＝∠BDE，再由∠B＝∠C可得∠B＝∠BDE，以此即可证明．
【解答】解：∵∠1＝∠2，
∴AC∥BD，
∴∠C＝∠BDE，
∵∠B＝∠C，
∴∠B＝∠BDE，
∴AB∥CE．
44．如图，∠ACB＝42°，∠ECD＝74°，∠B比∠A大10°．求证：AB∥EC．
【分析】由三角形内角和定理求出∠B＝74°，得到∠B＝∠ECD，判定AB∥EC．
【解答】证明：∵∠ACB＝42°，
∴∠B+∠A＝180°﹣42°＝138°，
∵∠B﹣∠A＝10°，
∴2∠B＝148°，
∴∠B＝74°，
∵∠ECD＝74°，
∴∠B＝∠ECD，
∴AB∥EC．
45．在四边形AFEC中，AC⊥CE，AF⊥FE，AB平分∠FAC，DE平分∠FEC．求证：AB∥DE．
【分析】由四边形内角和是360°求出∠CAF+∠CEF＝180°，由角平分线定义得到∠CAB＝∠BAF∠CAF，∠CED∠CEF，因此∠BAF+∠CED（∠CAF+∠CEF）＝90°，由余角的性质得到∠CBA＝∠CED，即可证明AB∥DE．
【解答】证明：∵AC⊥CE，AF⊥FE，
∴∠C＝∠F＝90°，
∴∠CAF+∠CEF＝360°﹣90°﹣90°＝180°，
∵AB平分∠FAC，DE平分∠FEC，
∴∠CAB＝∠BAF∠CAF，∠CED∠CEF，
∴∠BAF+∠CED（∠CAF+∠CEF）＝90°，
∵∠CBA+∠CAB＝90°，
∴∠CBA＝∠CED，
∴AB∥DE．
46．如图，∠E＝∠1，∠3+∠ABC＝180°，BE是∠ABC的角平分线．
求证：DF∥AB．
【分析】求出∠E＝∠2，推出BC∥AE，得出∠ABC+∠A＝180°，推出∠3＝∠A，根据平行线的判定推出即可．
【解答】证明：∵BE是∠ABC的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵∠E＝∠1，
∴∠E＝∠2，
∴AE∥BC，
∴∠ABC+∠A＝180°，
∵∠3+∠ABC＝180°，
∴∠3＝∠A，
∴DF∥AB．
