2026新苏教版八年级数学下册第八章 矩形与菱形 典型例题及练习题（含解析）
文档属性
| 名称 | 2026新苏教版八年级数学下册第八章 矩形与菱形 典型例题及练习题（含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 4.6MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 苏科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2026-02-26 00:00:00 | ||
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文档简介
2026新苏教版八年级数学下册第八章矩形与菱形典型例题及练习题
典型例题
例1．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，则 cm．
变式2．（23-24八年级下·江苏徐州·月考）如图，在矩形中，点为边上一点，，交于点，若，矩形的周长为16，且，求矩形的面积．
例2．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是( )
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，、交于点，于点，若，则 ．
变式2．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数．
例3．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则 ．
变式2．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点．
(1)如图1，当，时，求长；
(2)如图2，连接，当，垂足为，点恰好是的中点时，求的值及的长．
例4．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，矩形的对角线交于点，点为上一点，交于点，已知和的面积分别是10和3，、、表示对应三角形的面积，下列说法正确的是（ ）
A．、、均可求 B．、、均不可求
C．仅可求 D．不可求
变式1．（23-24八年级下·江苏徐州·月考）如图，点是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交与、，连接．若则阴影部分的面积为 ．
变式2．（2023·江苏泰州·二模）如图矩形ABCD．
（1）仅用圆规在AD上找一点E，使CE平分∠BED．（写出作法，并证明）
（2）在（1）的条件下，当AB=3，DE=1时，求△BCE的面积．
例5．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图所示，在矩形中，E为上一点，交于点F，若，矩形的周长为16，且，则的长（ ）
A．1 B． C．2 D．
变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是64，那么图中阴影部分的面积为 ．
变式2．（2024·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：．
例6．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，将纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，再展平纸片，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，点E、F分别在、上，且，，点P为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为 ．
变式2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是矩形，为线段上一点，连接，将沿折叠使得点落在矩形内部的点处，连接．
(1)若为线段的中点，，．
①求证：；
②的面积为：______（直接写出答案）
(2)若，，直接写出线段长度的最小值为：______
例7．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）下列说法错误的是（ ）
A．四角相等的四边形是矩形 B．三角相等的平行四边形是矩形
C．两角为直角的四边形是矩形 D．一角为直角的平行四边形是矩形
变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）尺规作图：如图，中，．用2种不同的方法作矩形．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
例8．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是 形．
变式2．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在四边形中，，，求证：四边形是矩形．
例9．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，为上一点，，．增加下列条件能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B．
C．点在的平分线上 D．点为的中点
变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，应添加的条件是 ．（只需填一个你认为正确的结论即可）．
例10．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．5
变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作分别交，于点、，连接，．若，，，则 ．
变式2．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？
例11．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
变式1．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为 ．
例12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD．相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（ ）
A．21 B．65 C．42 D．56
变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在菱形中，已知，则 ．
例13．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在菱形中，于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．48
变式1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形为菱形，，在边上，将沿翻折得到，在直线上，作于点，若，则的长为 ．
变式2．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，将边长为5的菱形放在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，边与x轴重合，且．
(1)求C点的坐标；
(2)则所在直线的函数表达式．
例14．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，菱形的对角线，，则该菱形的面积为（ ）
A．50 B．25 C． D．
变式1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的面积为 ．
变式2．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
例15．（2025·江苏无锡·二模）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）写一条矩形具有而菱形不具有的性质 ．
变式2．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的点，且，连接、相交于点．求证：
(1)；
(2)．
例16．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，给出下列4组条件．
①②，．
③，，，④
其中，能得到“四边形是菱形”的条件有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
变式1．（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的周长是 ．
变式2．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，四边形是平行四边形，按照要求作图．
(1)如图1，用无刻度直尺和圆规，作菱形，使点E、F分别在上；
(2)如图2，点P是上一点，用无刻度直尺和圆规，作矩形，使得点F、G、H分别在上．（保留作图痕迹）
例17．的对角线、相交于点O，以下条件不能判定它为菱形的是（ ）
A． B． C． D．平分
变式1．（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知四边形是矩形，是等边三角形，请仅用无刻度直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
(1)在图①中，作的平分线：
(2)在图②中，作菱形，使E，F，G，H四点均在矩形的各边上．
例18．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
变式1．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长 ．
变式2．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=3，AD=5，求的长．
例19．（22-23八年级下·江苏·周测）已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为 ．
变式1．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
巩固练习
一、单选题
1．如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．根据图中数据，下列选项中是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，四边形和四边形都是矩形，而且点在上，这两个矩形的面积分别是，，则，的关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为6，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝x＋3 B．y＝x＋6
C．y＝－x＋3 D．y＝－x＋6
7．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．7
二、填空题
8．如图，在菱形中，若，则度数为 ．
9．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件 ，使平行四边形是菱形．（写出一个即可）
10．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ．
11．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，，则菱形的面积为 ．
12．如图，四边形中，，，则与的数量关系是 ．
13．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为 ．
14．如图，菱形的边长为2，，对角线交于点O．点E为直线上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），长度的最小值为 ．
15．如图，矩形中，，，E是边上一点，且，将沿直线对折，得到．连接，则的面积为 ．
三、解答题
16．如图，四边形是菱形，，交于点，于点．
(1)若对角线，，求的长；
(2)连，求证：．
17．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为17米，高为3米的矮台．
(1)求旗杆的高度；
(2)求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度．
18．如图，已知点、分别在矩形纸片的边、上，连接，将矩形纸片沿折叠，若点恰好落在点处，与相交于点，连接、．
(1)判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求折痕的长．
19．如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
20．如图，矩形．
(1)只利用圆规在边上找一点，使得平分，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，连接，请探究与的关系，并说明理由．
21．如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，，求的长．
22．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．（画图时仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成）
(1)以为边画平行四边形；
(2)在（1）中所画平行四边形的面积为________；
(3)点E为边与网格线的交点，请在上确定一点G，使得．（保留作图痕迹）
23．如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点．
①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由；
②当平分时，求四边形的面积.
答案解析
典型例题
例1．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形性质理解
【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，则，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故选：C．
变式1．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，则 cm．
【答案】12
【知识点】矩形性质理解
【分析】根据矩形对角线相等性质即可求得BD的长．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，AO=6cm，
∴BD=AC=2AO=12cm，
故答案为：12．
【解析】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相互平分且相等是关键．
变式2．（23-24八年级下·江苏徐州·月考）如图，在矩形中，点为边上一点，，交于点，若，矩形的周长为16，且，求矩形的面积．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、矩形性质理解
【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，证明得到，设，则，根据矩形周长计算公式得到，解方程得到，则．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∵矩形的周长为16，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
例2．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度
【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角；连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数．
【详解】解：连接，交于点，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
∴．
故选：C．
变式1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，、交于点，于点，若，则 ．
【答案】40
【知识点】利用矩形的性质求角度、等边对等角
【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的对角线平分且相等，得到，等边对等角，求出的度数，再根据同角的余角相等，即可得出结果.
【详解】解：∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：40
变式2．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数．
【答案】
【知识点】利用矩形的性质求角度
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
．
【解析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质（对角线互相平分且相等）是解题关键．
例3．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分即可求解．
【详解】解：矩形，
，，
，
．
故选：C．
变式1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则 ．
【答案】
【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
变式2．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点．
(1)如图1，当，时，求长；
(2)如图2，连接，当，垂足为，点恰好是的中点时，求的值及的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题的四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到，，，设则根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，得到，根据三角形的面积公式得到；设则根据勾股定理得到，，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，，
，
，，，
，
设，
则
，
解得，
；
（2）四边形是矩形，
，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
设则
，，，
，
（负值舍去），
．
例4．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，矩形的对角线交于点，点为上一点，交于点，已知和的面积分别是10和3，、、表示对应三角形的面积，下列说法正确的是（ ）
A．、、均可求 B．、、均不可求
C．仅可求 D．不可求
【答案】C
【知识点】根据矩形的性质求面积
【分析】本题考查了矩形的性质．由矩形的性质可得，可得，，可求，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
故选：C．
变式1．（23-24八年级下·江苏徐州·月考）如图，点是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交与、，连接．若则阴影部分的面积为 ．
【答案】4
【知识点】根据矩形的性质求面积
【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．由矩形的性质可证明，即可求解．
【详解】解：如图：
解：作于M，交于N．
∵，且四边形是矩形
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，
∵
∵
∴
∴
故答案为：4．
变式2．（2023·江苏泰州·二模）如图矩形ABCD．
（1）仅用圆规在AD上找一点E，使CE平分∠BED．（写出作法，并证明）
（2）在（1）的条件下，当AB=3，DE=1时，求△BCE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）△BEC的面积为7.5．
【知识点】根据矩形的性质求面积
【分析】（1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可；
（2）由（1）可得BC=BE，设BC=x，则AE=x-1，根据勾股定理即可求出x，进而求出△BEC的面积．
【详解】解：（1）如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E；
（2）由（1）可知BC=BE，设BC=x，则AE=AD-DE=x-1，
在△ABE中，∠A=90°，
∴AB2+AE2=BE2，
故32+(x-1)2=x2，
解得x=5，
∴△BEC的面积为×5×3=7.5．
【解析】本题考查了作图-复杂作图、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
例5．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图所示，在矩形中，E为上一点，交于点F，若，矩形的周长为16，且，则的长（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过同角的余角相等找到全等三角形的对应角，进而证明三角形全等．
利用矩形性质得到及由推出结合证明得到、通过周长关系列方程求出的长，进而计算的长．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
矩形的周长为，
∴即．
∵
∴，
∴ ，
又∵在中，，
∴(同角的余角相等)．
在和中，
∴．
∴．
∵
∴．
设则
∵且
∴．
又∵
∴
解得
∴，
∴，
故选：A．
变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是64，那么图中阴影部分的面积为 ．
【答案】16
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明
【分析】本题主要考查了矩形性质以及全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．首先根据矩形的性质可得，，进而可得，证明，由全等三角形的性质可得，然后结合矩形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：16．
变式2．（2024·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：．
【答案】见解析．
【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、利用矩形的性质证明
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．利用证明即可．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
例6．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，将纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，再展平纸片，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形与折叠问题
【分析】本题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，正确得出是解题的关键．直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出，再利用矩形的性质得出，进而得出答案．
【详解】解：如图所示，令与的交点为，
由第二次折叠可得：，，
由第一次折叠可得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A
变式1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，点E、F分别在、上，且，，点P为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为 ．
【答案】5或20/20或5
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理的应用，正确画出图形，做到数形结合，是解决问题的关键．
由矩形的性质得到，，，根据已知条件得到，推出四边形是矩形，四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质、勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，，
∵，，
，，
，
∴四边形是矩形，
同理四边形是矩形，
，，
∵将沿所在直线翻折得到，
，，
当点在边上时，点恰好落在直线上，如图所示：
在中，
，
，
，
，
在中，，
即，
；
当点在边延长线上时，点恰好落在直线上，如图所示：
同理可求，
，
在中，，
即，
；
故答案为5或20．
变式2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是矩形，为线段上一点，连接，将沿折叠使得点落在矩形内部的点处，连接．
(1)若为线段的中点，，．
①求证：；
②的面积为：______（直接写出答案）
(2)若，，直接写出线段长度的最小值为：______
【答案】(1)①见解析；②15
(2)4
【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要查了矩形的折叠问题，勾股定理，三角形外角的性质：
（1）①由折叠的性质可得，从而得到，进而得到，再结合三角形外角的性质可得，即可求证；②连接，结合折叠的性质可得由折叠的性质得：，然后根据勾股定理可得，可求出，即可求解；
（2）连接，根据勾股定理可得，由折叠的性质得：，可得到，即可求解．
【详解】（1）解：①由折叠的性质得：，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，连接，
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为线段的中点，
∴；
故答案为：15
（2）解：如图，连接，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
即线段长度的最小值为4．
例7．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）下列说法错误的是（ ）
A．四角相等的四边形是矩形 B．三角相等的平行四边形是矩形
C．两角为直角的四边形是矩形 D．一角为直角的平行四边形是矩形
【答案】C
【知识点】矩形的判定定理理解
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理．根据矩形的判定定理解答即可．
【详解】解：A、四角相等的四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意；
B、三角相等的平行四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意；
C、两角为直角的四边形不一定是矩形，原说法不正确，本选项符合题意；
D、一角为直角的平行四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意；
故选：C．
变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）尺规作图：如图，中，．用2种不同的方法作矩形．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【知识点】矩形的判定定理理解、作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)
【分析】本题主要考查了矩形的判定，线段垂直平分线和线段的尺规作图，如图1所示，分别以点A和点C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求；作线段的垂直平分线与交于O，连接并延长，以O为圆心，的长为半径画弧，交延长线于D，则四边形即为所求．
【详解】解：如图1所示，分别以点A和点C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求；
可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形；
如图2所示，作线段的垂直平分线与交于O，连接并延长，以O为圆心，的长为半径画弧，交延长线于D，则四边形即为所求；
可证明，则可得四边形是矩形．
例8．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】证明四边形是矩形
【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案．
【详解】解：∵点O是边的中点，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意；
．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意；
．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴，
∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意；
．若，∴，
∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意；
故选：A．
变式1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是 形．
【答案】矩
【知识点】证明四边形是矩形
【分析】本题考查了菱形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形进行解答即可．
【详解】解：四边形为平行四边形，，
这个平行四边形是矩形，
故答案为：矩．
变式2．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在四边形中，，，求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、证明四边形是矩形
【分析】本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的判定以及性质，先证明，由全等三角形的性质得出，即可得出四边形是平行四边形，进而可判断四边形是矩形．
【详解】证明：如图①，连接，
∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
例9．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，为上一点，，．增加下列条件能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B．
C．点在的平分线上 D．点为的中点
【答案】A
【知识点】添一条件使四边形是矩形
【分析】本题考查添加条件使四边形为矩形，先根据，，得到四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为矩形，故A选项符合题意；
当，点在的平分线上，点为的中点时，均不能得到四边形为矩形；故B，C，D选项不符合题意；
故选A．
变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，应添加的条件是 ．（只需填一个你认为正确的结论即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】添一条件使四边形是矩形
【分析】本题考查了矩形的判定定理.此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合矩形的判定定理即可．
【详解】解：，
理由是：四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
例10．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．5
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、垂线段最短
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可获得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形为矩形，，，
∴，，，
∴
∵，，
∴，
则四边形是矩形，
∴，
当时，最小，则最小，
此时，
即，
解得，
∴的最小值为2.4．
故选：A．
变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作分别交，于点、，连接，．若，，，则 ．
【答案】
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．过点作于，交于，得出四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，根据矩形的性质得出，，，推得，根据矩形的面积公式即可求解．
【详解】解：过点作于，交于，如图，
则四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
故，
解得，
故答案为：．
变式2．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？
【答案】当时，四边形是矩形
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了矩形的性质和判定的应用．根据矩形的性质得出，，，当时，四边形是矩形，得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
当时，四边形是矩形，
即，
解得：．
所以当时，四边形是矩形．
例11．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【知识点】根据矩形的性质与判定求面积
【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：作于，交于．
则有四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
∴，
，
∵，
∴，即，
∴．
故选：B．
变式1．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为 ．
【答案】6
【知识点】根据矩形的性质与判定求面积
【分析】此题考查了矩形的判定和性质．先证明四边形是矩形，根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形的对角线相等，且相互平分，
∴四边形为矩形，
∵相邻两边的边长分别为，即矩形的长、宽分别为，
∴四边形的面积为
故答案为：6
例12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD．相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（ ）
A．21 B．65 C．42 D．56
【答案】B
【知识点】利用菱形的性质求角度
【分析】根据“菱形的性质、三角形内角和定理”结合已知条件分析解答即可．
【详解】解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
【解析】此题考查求角的度数，解题的关键是熟记菱形的性质并能应用．
变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在菱形中，已知，则 ．
【答案】64
【知识点】利用菱形的性质求角度
【分析】本题主要考查了菱形的性质．平行线的性质，熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解．
【详解】解：∵菱形中，，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∴．
故答案为：64．
例13．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在菱形中，于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．48
【答案】B
【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，由菱形的性质可知：，求出，根据即可求解．
【详解】解：如图所示：
由菱形的性质可知：，
∴；
∵，
∴，
∴；
故选：B．
变式1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形为菱形，，在边上，将沿翻折得到，在直线上，作于点，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题
【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
连接交于点，交于点，由菱形性质得，由翻折性质得，，，则，进而得，证明，继而依据“”判定和全等得，则，由此可得的长．
【详解】解：连接交于点，交于点，如图所示：
四边形是菱形，，
，，，
由翻折性质得：，
，
，
，
，，
，
在中，，
在中，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
变式2．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，将边长为5的菱形放在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，边与x轴重合，且．
(1)求C点的坐标；
(2)则所在直线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数解析式、利用菱形的性质求线段长
【分析】（1）利用勾股定理求得线段，的长度，则可得的长，进而可得C点的坐标；
（2）根据平行四边形的性质求出D点坐标，利用待定系数法即可求得所在直线的函数表达式．
【详解】（1）解：∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
，
∴，．
∴．
∴．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴．
设直线的解析式为，
∴，
解得．
∴直线的解析式为．
故答案为：．
【解析】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，勾股定理，菱形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用勾股定理求得线段的长度，进而得到点C，D的坐标是解题的关键．
例14．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，菱形的对角线，，则该菱形的面积为（ ）
A．50 B．25 C． D．
【答案】B
【知识点】利用菱形的性质求面积
【分析】本题考查了菱形的性质求面积，掌握菱形面积的计算方法是关键．
根据题意，菱形的面积为，代入求解即可．
【详解】解：菱形的对角线，，
∴菱形的面积为，
故选：B ．
变式1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的面积为 ．
【答案】24
【知识点】利用菱形的性质求面积
【分析】本题主要考查了求菱形的面积．根据菱形的面积等于对角线长度乘积的一半，即可求解
【详解】解：∵在菱形中，，，
∴菱形的面积为．
故答案为：24．
变式2．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）6或8或10（答案不唯一）
【知识点】利用菱形的性质求面积
【分析】（1）根据菱形的定义并结合格点的特征进行作图；
（2）利用菱形面积公式求解．
【详解】解：（1）根据题意，菱形ABCD即为所求
（2）图1中AC=2，BD=6
∴图1中菱形面积．
图2中，AC=，BD=
∴图2中菱形面积．
图3中，
∴图3菱形面积．
【解析】本题考查菱形的性质，掌握菱形的概念准确作图是关键．
例15．（2025·江苏无锡·二模）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
【答案】B
【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查了菱形、矩形的性质，掌握其性质是关键．
根据矩形，菱形的性质判定即可求解．
【详解】解：矩形的对角线相互平分，对角线相等，
菱形的对角线相互平分，互相垂直，平分对角，
∴菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，
故选：B ．
变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）写一条矩形具有而菱形不具有的性质 ．
【答案】对角线相等（答案不唯一）
【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的性质，根据矩形与菱形的性质求解即可．
【详解】解：矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等．
故答案为：对角线相等
变式2．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的点，且，连接、相交于点．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】利用菱形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用菱形的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明；
（2）利用全等三角形的性质得到，再利用菱形的性质即可证明．
【详解】（1）证明：菱形，
，
，
，即，
在和中
，
，
．
（2）证明：由（1）得，，
，
菱形，
，
，
．
例16．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，给出下列4组条件．
①②，．
③，，，④
其中，能得到“四边形是菱形”的条件有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【知识点】证明四边形是菱形
【分析】题目主要考查菱形和矩形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键．
根据菱形的判定依次判断即可．
【详解】解：①∵，
∴四边形是菱形，符合题意；
②，，无法得出四边形是菱形，不符合题意；
③，，，
∴四边形是菱形，符合题意；
④，
∴四边形是矩形，不符合题意；
故选：B．
变式1．（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的周长是 ．
【答案】40
【知识点】证明四边形是菱形、利用矩形的性质证明
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，即可求出其周长．
【详解】∵四边形为矩形，
，，且，
∴，
，
∴四边形为平行四边形，
，
∴四边形为菱形，
．
故答案为：40
【解析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
变式2．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，四边形是平行四边形，按照要求作图．
(1)如图1，用无刻度直尺和圆规，作菱形，使点E、F分别在上；
(2)如图2，点P是上一点，用无刻度直尺和圆规，作矩形，使得点F、G、H分别在上．（保留作图痕迹）
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【知识点】作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形、证明四边形是矩形
【分析】本题考查尺规作图--复杂作图，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握菱形和矩形的判定方法，是解题的关键：
（1）作的中垂线，交分别于点，连接，四边形即为所求；
（2）连接交于点，连接并延长交于点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，连接，四边形即为所求．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（2）如图，矩形即为所求；
同（1）法，
∴，
同理：，
∴四边形为平行四边形，
由作图可知：，
∴，
∴四边形为矩形．
例17．的对角线、相交于点O，以下条件不能判定它为菱形的是（ ）
A． B． C． D．平分
【答案】C
【知识点】添一个条件使四边形是菱形
【分析】根据菱形的判定条件：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．进行判断即可．
【详解】解：A、一组邻边相等平行四边形是菱形，不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，不符合题意；
C、可判定为矩形，不能判定为菱形，符合题意；
D、一条对角线平分一角，可得出一组邻边相等，也能判定为菱形，不符合题意；
故选C．
【解析】本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
变式1．（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知四边形是矩形，是等边三角形，请仅用无刻度直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
(1)在图①中，作的平分线：
(2)在图②中，作菱形，使E，F，G，H四点均在矩形的各边上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】利用矩形的性质证明、添一个条件使四边形是菱形、作角平分线(尺规作图)
【分析】（1）连接，交于点，连接，射线即为所求；
（2）构造矩形的中点四边形即可．
【详解】（1）解：如图①中，射线即为所求；
（2）如图②中，四边形即为所求．
【解析】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，菱形的判定，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
例18．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】利用矩形的性质证明、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，以及矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键．
先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴四边形的周长；
故选B．
变式1．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质、勾股定理，设与相交于点D，由作图过程可知，，可得四边形是菱形，则，，，可得，则可得，，利用勾股定理可得．
【详解】解：设与相交于点D，
由作图过程可知，，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
变式2．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=3，AD=5，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）EF=．
【知识点】矩形与折叠问题、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】（1）由翻折得∠BEC=∠BEF，FE=CE，根据FG∥CE，可得∠FGE=∠BEC，从而∠FGE=∠BEF，FG=FE，故FG=EC，四边形CEFG是平行四边形，即可得证；
（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理求得AF=4，可得DF=1，在Rt△DEF中，用勾股定理列方程即可求出答案．
【详解】证明：（1）∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，
∴△BCE≌△BFE，
∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE=∠BEC，
∴∠FGE=∠BEF，
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）∵矩形ABCD中，AD=5，
∴BC=5，
∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，
∴BF=BC=5，
在Rt△ABF中，AB=3，AF==4，
∴DF=AD-AF=1，
设EF=x，则CE=x，DE=3-x，
在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，
∴12+（3-x）2=x2，
解得x=，
∴EF=．
【解析】本题考查矩形性质及应用，涉及菱形的判定及性质，折叠问题、勾股定理的应用等，解题的关键是熟练应用勾股定理列方程．
例19．（22-23八年级下·江苏·周测）已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为 ．
【答案】24
【知识点】根据菱形的性质与判定求面积
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半求得其面积．
【详解】解：如图：
在菱形中，，，
对角线互相垂直平分，
，，
在中，，
．
，
故答案为：24．
【解析】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，主要考查了学生的计算和推理能力．
变式1．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)菱形BCFE的面积为24
【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理；
（1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证；
（2）根据菱形的性质可得，， ，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明： ∵D、E分别是、的中点，
，，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，交于O，
四边形是菱形，
，， ， ，
，
在中，，
，
，
菱形的面积为．
巩固练习
一、单选题
1．如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键；根据矩形和菱形的判定逐项判断即可．
【详解】解：、四边形是平行四边形，，
是矩形，
故本选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
是矩形，
故本选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
是菱形，
故本选项符合题意；
、，
是直角三角形，
，
四边形是平行四边形，
是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：．
2．根据图中数据，下列选项中是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是平行线的判定，平行线之间的距离的含义，平行四边形的判定，矩形的判定，根据平行四边形的判定方法逐一分析即可.
【详解】解：由一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意；
如图，
∵，即，，
∴，且之间的距离为，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，也是平行四边形，故B符合题意；
选项C不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意；
选项D也只有一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意；
故选：B
3．如图，四边形和四边形都是矩形，而且点在上，这两个矩形的面积分别是，，则，的关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形面积的计算，掌握矩形的性质是解题的关键，根据图示可得，根据矩形的性质可得，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形，四边形是矩形，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
故选：A ．
4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点．根据矩形的对角线相等且互相平分可得，由可得，从而是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解得．
【详解】解:∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故选：A．
5．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数．
【详解】解：连接，交于点，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，即．
故选：B．
【解析】本题考查了矩形的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
6．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为6，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝x＋3 B．y＝x＋6
C．y＝－x＋3 D．y＝－x＋6
【答案】C
【分析】设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的周长为6，可得到x、y之间的关系式．
【详解】解：设过点P的垂线在x轴、y轴上垂足分别是D、C，如图：
设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限，
∴PD＝y，PC＝x，
∵矩形PDOC的周长为6，
∴2（x+y）＝6，
∴x+y＝3，
即该直线的函数表达式是y＝﹣x+3，
故选：C．
【解析】本题主要考查矩形的性质及一次函数图像上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．根据坐标的意义得出x、y之间的关系是解题的关键．
7．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．7
【答案】A
【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接．
由翻折变换的性质可知垂直平分线段，，
，
，G，N三点共线，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
故选：A．
【解析】本题考查矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题．
二、填空题
8．如图，在菱形中，若，则度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是关键，根据菱形的对角线相互垂直且每条对角线平分一组对角即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，，
∴，
故答案为： ．
9．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件 ，使平行四边形是菱形．（写出一个即可）
【答案】
【分析】本题考查了菱形的判定，熟记相关定理内容：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求解．
【详解】解：∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当时，可使平行四边形是菱形
故答案为：（答案不唯一）．
10．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
11．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，，则菱形的面积为 ．
【答案】6
【分析】由菱形的性质得，根据，得是直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长，再利用菱形面积即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
是直角三角形，
，
菱形的面积，
故答案为：6．
【解析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
12．如图，四边形中，，，则与的数量关系是 ．
【答案】（或）
【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两条平行线之间的距离处处相等、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
作于点于点，则，由，得，则，所以，则，由勾股定理得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点于点，则，
故答案为：．
13．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为 ．
【答案】24
【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，明确题意、根据已知结论入手进行分析成为解答本题的关键．如图，过点作于，交于，由可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点M作于H，交于G，
∵四边形是矩形，，
∴四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，
∴，
∴，
，，，，，
∵，
∴，
∴，即图中阴影部分的面积和为，
故填：．
14．如图，菱形的边长为2，，对角线交于点O．点E为直线上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
连接，作，由旋转的性质可得，把求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短可得答案．
【详解】解：连接，作交的延长线于H，
∵在菱形中，，
∴．
∵，
∴，
∴，
由旋转可得：，
在和中，
，
∴，
∴，
即求的最小值转化为求的最小值．
∵在中，，
∴，
∵菱形的边长为2，
∴，
∴，
∴，
当E与H重合时，最小值是，
∴的最小值是．
故答案为：．
15．如图，矩形中，，，E是边上一点，且，将沿直线对折，得到．连接，则的面积为 ．
【答案】19.2
【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，过点F作交于点M，交于点N，则，，四边形为矩形，得出，再由折叠的性质得，，，设，，则，，然后由勾股定理联立成方程组，求出，最后由三角形面积公式即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
如图，过点F作交于点M，交于点N，
则，，
∴四边形为矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，，
设，，则，，
在中，由勾股定理得：，
即①，
在中，由勾股定理得：，
即②，
联立①②解得：（非正数值已舍去），
∴，
∴，
故答案为：19.2．
三、解答题
16．如图，四边形是菱形，，交于点，于点．
(1)若对角线，，求的长；
(2)连，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
（1）由菱形的性质及勾股定理求出的长度，根据菱形的面积公式可得出答案；
（2）根据菱形的对角线互相平分可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边对等角得到，根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据等角的余角相等证明即可．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
，，，
∵，，
，，
，
，
；
（2）证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
又，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
．
17．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为17米，高为3米的矮台．
(1)求旗杆的高度；
(2)求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度．
【答案】(1)旗杆的高度为15米
(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为2米．
【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，同角的余角相等，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由题意可知，，米，米，米，作，，先证明，得到，．那么米．接着证明四边形、是矩形，那么米，米，再求出，，最后求得；
（2）先通过勾股定理，求得，最后利用求得答案．
【详解】（1）解：由题意可知，，米，米，米，作，，如图所示：
，
在和中，
，
∴，
∴，．
米．
，，
四边形、是矩形，
米，米，
（米）
米，
米，
米，米，
∴米，
答：旗杆的高度为15米；
（2）解：在中，米，米，那么
米，
米，
米，
∴（米）．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为2米．
18．如图，已知点、分别在矩形纸片的边、上，连接，将矩形纸片沿折叠，若点恰好落在点处，与相交于点，连接、．
(1)判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求折痕的长．
【答案】(1)四边形为菱形，证明见解析
(2)
【分析】（）利用折叠的和矩形的性质证明，推导出四边形是平行四边形，再根据即可求证；
（）设，在中，由勾股定理求，在中，由勾股定理求出，再利用菱形面积求出即可．
【详解】（1）解：四边形为菱形．
证明：由折叠得，，，
∵四边形是矩形，
，
，，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：∵平行四边形为菱形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
∵，
∴，
解得，
∴折痕的长为．
【解析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握折叠的性质、菱形的判定和性质是解题的关键．
19．如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理．
（1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出结论；
（2）根据矩形的性质，，．在中，利用勾股定理计算的长度，进而得到的长度．利用菱形的面积公式计算面积．
【详解】（1）证明：，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
．
．
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，四边形是菱形，
，．
在中，由勾股定理得：．
．
，
．
20．如图，矩形．
(1)只利用圆规在边上找一点，使得平分，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，连接，请探究与的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，作线段，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
（1）以为圆心，长为半径画弧交于点即可；
（2）设，分别表示出，即可求解．
【详解】（1）解：如图，以为圆心，长为半径画弧交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即平分，
（2）解：设，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
21．如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可；
（2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分交于点为边上的点，，
，
，
，
∵，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形．
（2）解：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
，
，
，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴的长是．
【解析】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键．
22．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．（画图时仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成）
(1)以为边画平行四边形；
(2)在（1）中所画平行四边形的面积为________；
(3)点E为边与网格线的交点，请在上确定一点G，使得．（保留作图痕迹）
【答案】(1)图见解析
(2)15；
(3)图见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理与网格问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）利用平移思想，点向左移动4个单位长度，向上移动1个单位长度，得到格点，连接，即可；
（2）连接，易得平行四边形为菱形，勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可；
（3）连接，交于点，连接，即可，根据菱形的对称性，得到，对顶角得到，即可得到．
【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求；
（2）解：观察可知，，
∴平行四边形为菱形，
连接，如图，
由勾股定理，得：，
∴；
（3）解：连接，交于点，
如图，点即为所求：
23．如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点．
①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由；
②当平分时，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①（答案不唯一），理由见解析；②或
【分析】（1）分别以点B，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点P即为所求；
（2）①添加的条件为，由三角形外角的性质和角平分线得到，推出，然后得到，最后结合即可证明出四边形为矩形；
②如图所示，过点A作交于点H，首先证明出四边形为矩形，求出，勾股定理求出，然后求出，勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点F在线段上时和当点F在线段上时，分别求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
由题意得，
∴四边形是菱形；
（2）①添加的条件为
理由：∵为的外角的平分线，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，即
∴
又∵
∴四边形为矩形；
②如图所示，过点A作交于点H，
由①得
∴四边形为矩形
∴
∵，
∴
∴
当平分时，即
由①得
∴
∴
∴
∴
②如图所示，当点F在线段上时，
∴
∴四边形的面积；
如图所示，当点F在线段上时，
∴
∴四边形的面积；
综上所述，四边形的面积为或．
【解析】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等角对等边，三线合一等知识，解题的关键是掌握以上知识点.
典型例题
例1．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，则 cm．
变式2．（23-24八年级下·江苏徐州·月考）如图，在矩形中，点为边上一点，，交于点，若，矩形的周长为16，且，求矩形的面积．
例2．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是( )
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，、交于点，于点，若，则 ．
变式2．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数．
例3．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
变式1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则 ．
变式2．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点．
(1)如图1，当，时，求长；
(2)如图2，连接，当，垂足为，点恰好是的中点时，求的值及的长．
例4．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，矩形的对角线交于点，点为上一点，交于点，已知和的面积分别是10和3，、、表示对应三角形的面积，下列说法正确的是（ ）
A．、、均可求 B．、、均不可求
C．仅可求 D．不可求
变式1．（23-24八年级下·江苏徐州·月考）如图，点是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交与、，连接．若则阴影部分的面积为 ．
变式2．（2023·江苏泰州·二模）如图矩形ABCD．
（1）仅用圆规在AD上找一点E，使CE平分∠BED．（写出作法，并证明）
（2）在（1）的条件下，当AB=3，DE=1时，求△BCE的面积．
例5．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图所示，在矩形中，E为上一点，交于点F，若，矩形的周长为16，且，则的长（ ）
A．1 B． C．2 D．
变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是64，那么图中阴影部分的面积为 ．
变式2．（2024·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：．
例6．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，将纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，再展平纸片，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
变式1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，点E、F分别在、上，且，，点P为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为 ．
变式2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是矩形，为线段上一点，连接，将沿折叠使得点落在矩形内部的点处，连接．
(1)若为线段的中点，，．
①求证：；
②的面积为：______（直接写出答案）
(2)若，，直接写出线段长度的最小值为：______
例7．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）下列说法错误的是（ ）
A．四角相等的四边形是矩形 B．三角相等的平行四边形是矩形
C．两角为直角的四边形是矩形 D．一角为直角的平行四边形是矩形
变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）尺规作图：如图，中，．用2种不同的方法作矩形．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
例8．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
变式1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是 形．
变式2．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在四边形中，，，求证：四边形是矩形．
例9．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，为上一点，，．增加下列条件能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B．
C．点在的平分线上 D．点为的中点
变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，应添加的条件是 ．（只需填一个你认为正确的结论即可）．
例10．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．5
变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作分别交，于点、，连接，．若，，，则 ．
变式2．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？
例11．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
变式1．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为 ．
例12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD．相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（ ）
A．21 B．65 C．42 D．56
变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在菱形中，已知，则 ．
例13．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在菱形中，于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．48
变式1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形为菱形，，在边上，将沿翻折得到，在直线上，作于点，若，则的长为 ．
变式2．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，将边长为5的菱形放在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，边与x轴重合，且．
(1)求C点的坐标；
(2)则所在直线的函数表达式．
例14．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，菱形的对角线，，则该菱形的面积为（ ）
A．50 B．25 C． D．
变式1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的面积为 ．
变式2．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
例15．（2025·江苏无锡·二模）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）写一条矩形具有而菱形不具有的性质 ．
变式2．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的点，且，连接、相交于点．求证：
(1)；
(2)．
例16．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，给出下列4组条件．
①②，．
③，，，④
其中，能得到“四边形是菱形”的条件有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
变式1．（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的周长是 ．
变式2．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，四边形是平行四边形，按照要求作图．
(1)如图1，用无刻度直尺和圆规，作菱形，使点E、F分别在上；
(2)如图2，点P是上一点，用无刻度直尺和圆规，作矩形，使得点F、G、H分别在上．（保留作图痕迹）
例17．的对角线、相交于点O，以下条件不能判定它为菱形的是（ ）
A． B． C． D．平分
变式1．（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知四边形是矩形，是等边三角形，请仅用无刻度直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
(1)在图①中，作的平分线：
(2)在图②中，作菱形，使E，F，G，H四点均在矩形的各边上．
例18．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
变式1．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长 ．
变式2．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=3，AD=5，求的长．
例19．（22-23八年级下·江苏·周测）已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为 ．
变式1．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
巩固练习
一、单选题
1．如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．根据图中数据，下列选项中是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．如图，四边形和四边形都是矩形，而且点在上，这两个矩形的面积分别是，，则，的关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
5．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
6．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为6，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝x＋3 B．y＝x＋6
C．y＝－x＋3 D．y＝－x＋6
7．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．7
二、填空题
8．如图，在菱形中，若，则度数为 ．
9．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件 ，使平行四边形是菱形．（写出一个即可）
10．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ．
11．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，，则菱形的面积为 ．
12．如图，四边形中，，，则与的数量关系是 ．
13．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为 ．
14．如图，菱形的边长为2，，对角线交于点O．点E为直线上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），长度的最小值为 ．
15．如图，矩形中，，，E是边上一点，且，将沿直线对折，得到．连接，则的面积为 ．
三、解答题
16．如图，四边形是菱形，，交于点，于点．
(1)若对角线，，求的长；
(2)连，求证：．
17．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为17米，高为3米的矮台．
(1)求旗杆的高度；
(2)求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度．
18．如图，已知点、分别在矩形纸片的边、上，连接，将矩形纸片沿折叠，若点恰好落在点处，与相交于点，连接、．
(1)判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求折痕的长．
19．如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
20．如图，矩形．
(1)只利用圆规在边上找一点，使得平分，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，连接，请探究与的关系，并说明理由．
21．如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，，求的长．
22．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．（画图时仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成）
(1)以为边画平行四边形；
(2)在（1）中所画平行四边形的面积为________；
(3)点E为边与网格线的交点，请在上确定一点G，使得．（保留作图痕迹）
23．如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点．
①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由；
②当平分时，求四边形的面积.
答案解析
典型例题
例1．如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】矩形性质理解
【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的性质逐项判断即可．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，则，
∴选项A中不一定正确，故不符合题意；
选项B中不一定正确，故不符合题意；
选项C中一定正确，故符合题意；
选项D中不一定正确，故不符合题意，
故选：C．
变式1．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，则 cm．
【答案】12
【知识点】矩形性质理解
【分析】根据矩形对角线相等性质即可求得BD的长．
【详解】∵四边形ABCD是矩形，AO=6cm，
∴BD=AC=2AO=12cm，
故答案为：12．
【解析】本题考查了矩形的性质，掌握矩形的对角线相互平分且相等是关键．
变式2．（23-24八年级下·江苏徐州·月考）如图，在矩形中，点为边上一点，，交于点，若，矩形的周长为16，且，求矩形的面积．
【答案】
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、矩形性质理解
【分析】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的性质与判定，证明得到，设，则，根据矩形周长计算公式得到，解方程得到，则．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∵矩形的周长为16，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
例2．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）如图，延长矩形的边至点，使，连接．若，则的度数是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等边对等角、利用矩形的性质求角度
【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角；连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数．
【详解】解：连接，交于点，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
∴．
故选：C．
变式1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，、交于点，于点，若，则 ．
【答案】40
【知识点】利用矩形的性质求角度、等边对等角
【分析】本题考查矩形的性质，等边对等角，根据矩形的对角线平分且相等，得到，等边对等角，求出的度数，再根据同角的余角相等，即可得出结果.
【详解】解：∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：40
变式2．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E．若，求∠CDE的度数．
【答案】
【知识点】利用矩形的性质求角度
【分析】先根据矩形的性质可得，再根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质可得，然后根据直角三角形的两个锐角互余即可得．
【详解】解：四边形是矩形，
，
，
，
，
又，
．
【解析】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握矩形的性质（对角线互相平分且相等）是解题关键．
例3．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形的对角线交于点，若，则的长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【知识点】根据矩形的性质求线段长
【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的对角线相等且互相平分是解题的关键．根据矩形的对角线相等且互相平分即可求解．
【详解】解：矩形，
，，
，
．
故选：C．
变式1．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一，如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则 ．
【答案】
【知识点】根据矩形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】此题考查了矩形的性质、勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．
连接，根据矩形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论．
【详解】解：连接，
四边形是矩形，
，，，
，，
，
，
，
，
，
故答案为：．
变式2．（24-25八年级下·江苏常州·期末）如图，在矩形中，，点是边上一点．
(1)如图1，当，时，求长；
(2)如图2，连接，当，垂足为，点恰好是的中点时，求的值及的长．
【答案】(1)
(2)
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）
【分析】本题的四边形的综合题，考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，三角形的面积熟练掌握各知识点是解题的关键．
（1）根据矩形的性质得到，，，设则根据勾股定理即可得到结论；
（2）根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，得到，根据三角形的面积公式得到；设则根据勾股定理得到，，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论．
【详解】（1）解：四边形是矩形，
，，，
，
，，，
，
设，
则
，
解得，
；
（2）四边形是矩形，
，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
；
设则
，，，
，
（负值舍去），
．
例4．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，矩形的对角线交于点，点为上一点，交于点，已知和的面积分别是10和3，、、表示对应三角形的面积，下列说法正确的是（ ）
A．、、均可求 B．、、均不可求
C．仅可求 D．不可求
【答案】C
【知识点】根据矩形的性质求面积
【分析】本题考查了矩形的性质．由矩形的性质可得，可得，，可求，即可求解．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，，
∴，
故选：C．
变式1．（23-24八年级下·江苏徐州·月考）如图，点是矩形的对角线上一点，过点P作，分别交与、，连接．若则阴影部分的面积为 ．
【答案】4
【知识点】根据矩形的性质求面积
【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是证明．由矩形的性质可证明，即可求解．
【详解】解：如图：
解：作于M，交于N．
∵，且四边形是矩形
∴四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
∴，
∵
∵
∴
∴
故答案为：4．
变式2．（2023·江苏泰州·二模）如图矩形ABCD．
（1）仅用圆规在AD上找一点E，使CE平分∠BED．（写出作法，并证明）
（2）在（1）的条件下，当AB=3，DE=1时，求△BCE的面积．
【答案】（1）见解析；（2）△BEC的面积为7.5．
【知识点】根据矩形的性质求面积
【分析】（1）以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E即可；
（2）由（1）可得BC=BE，设BC=x，则AE=x-1，根据勾股定理即可求出x，进而求出△BEC的面积．
【详解】解：（1）如图，以B为圆心，BC长为半径画弧交AD于点E；
（2）由（1）可知BC=BE，设BC=x，则AE=AD-DE=x-1，
在△ABE中，∠A=90°，
∴AB2+AE2=BE2，
故32+(x-1)2=x2，
解得x=5，
∴△BEC的面积为×5×3=7.5．
【解析】本题考查了作图-复杂作图、矩形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
例5．（24-25八年级下·江苏南通·月考）如图所示，在矩形中，E为上一点，交于点F，若，矩形的周长为16，且，则的长（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明
【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过同角的余角相等找到全等三角形的对应角，进而证明三角形全等．
利用矩形性质得到及由推出结合证明得到、通过周长关系列方程求出的长，进而计算的长．
【详解】∵四边形是矩形，
∴，
矩形的周长为，
∴即．
∵
∴，
∴ ，
又∵在中，，
∴(同角的余角相等)．
在和中，
∴．
∴．
∵
∴．
设则
∵且
∴．
又∵
∴
解得
∴，
∴，
故选：A．
变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点是矩形的对称中心，，分别是边，上的点，且，已知矩形的面积是64，那么图中阴影部分的面积为 ．
【答案】16
【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、利用矩形的性质证明
【分析】本题主要考查了矩形性质以及全等三角形的判定与性质，证明是解题的关键．首先根据矩形的性质可得，，进而可得，证明，由全等三角形的性质可得，然后结合矩形的性质求解即可．
【详解】解：∵四边形为矩形，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
故答案为：16．
变式2．（2024·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在矩形中，点E，F在上，．求证：．
【答案】见解析．
【知识点】用SAS证明三角形全等（SAS）、利用矩形的性质证明
【分析】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定．利用证明即可．
【详解】证明：∵四边形是矩形，
∴，
∴．
在和中，
，
∴．
例6．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，将纸片展平，再次折叠纸片，使点落在上的点处，并使折痕经过点，得到折痕，再展平纸片，连接，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】矩形与折叠问题
【分析】本题主要考查了翻折变换的性质以及矩形的性质，正确得出是解题的关键．直接利用翻折变换的性质以及直角三角形的性质得出，再利用矩形的性质得出，进而得出答案．
【详解】解：如图所示，令与的交点为，
由第二次折叠可得：，，
由第一次折叠可得：，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：A
变式1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在矩形中，，，点E、F分别在、上，且，，点P为直线上一动点，连接，将沿所在直线翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长为 ．
【答案】5或20/20或5
【知识点】用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题
【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），矩形的性质，勾股定理的应用，正确画出图形，做到数形结合，是解决问题的关键．
由矩形的性质得到，，，根据已知条件得到，推出四边形是矩形，四边形是矩形，得到，，根据折叠的性质、勾股定理即可得到结论．
【详解】解：∵四边形是矩形，
，，，
∵，，
，，
，
∴四边形是矩形，
同理四边形是矩形，
，，
∵将沿所在直线翻折得到，
，，
当点在边上时，点恰好落在直线上，如图所示：
在中，
，
，
，
，
在中，，
即，
；
当点在边延长线上时，点恰好落在直线上，如图所示：
同理可求，
，
在中，，
即，
；
故答案为5或20．
变式2．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，四边形是矩形，为线段上一点，连接，将沿折叠使得点落在矩形内部的点处，连接．
(1)若为线段的中点，，．
①求证：；
②的面积为：______（直接写出答案）
(2)若，，直接写出线段长度的最小值为：______
【答案】(1)①见解析；②15
(2)4
【知识点】矩形与折叠问题、用勾股定理解三角形
【分析】本题主要查了矩形的折叠问题，勾股定理，三角形外角的性质：
（1）①由折叠的性质可得，从而得到，进而得到，再结合三角形外角的性质可得，即可求证；②连接，结合折叠的性质可得由折叠的性质得：，然后根据勾股定理可得，可求出，即可求解；
（2）连接，根据勾股定理可得，由折叠的性质得：，可得到，即可求解．
【详解】（1）解：①由折叠的性质得：，
∵为线段的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②如图，连接，
由折叠的性质得：，，
∵，
∴，
∵四边形是矩形，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵为线段的中点，
∴；
故答案为：15
（2）解：如图，连接，
∵四边形是矩形，，，
∴，，
∴，
由折叠的性质得：，
∴，
即线段长度的最小值为4．
例7．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）下列说法错误的是（ ）
A．四角相等的四边形是矩形 B．三角相等的平行四边形是矩形
C．两角为直角的四边形是矩形 D．一角为直角的平行四边形是矩形
【答案】C
【知识点】矩形的判定定理理解
【分析】本题主要考查了矩形的判定定理．根据矩形的判定定理解答即可．
【详解】解：A、四角相等的四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意；
B、三角相等的平行四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意；
C、两角为直角的四边形不一定是矩形，原说法不正确，本选项符合题意；
D、一角为直角的平行四边形是矩形，原说法正确，本选项不符合题意；
故选：C．
变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期中）尺规作图：如图，中，．用2种不同的方法作矩形．（要求：不写作法，保留作图痕迹）
【答案】见解析
【知识点】矩形的判定定理理解、作线段(尺规作图)、作垂线(尺规作图)
【分析】本题主要考查了矩形的判定，线段垂直平分线和线段的尺规作图，如图1所示，分别以点A和点C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求；作线段的垂直平分线与交于O，连接并延长，以O为圆心，的长为半径画弧，交延长线于D，则四边形即为所求．
【详解】解：如图1所示，分别以点A和点C为圆心，的长为半径画弧，二者交于点D，则四边形即为所求；
可根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得到四边形是平行四边形，再由，可得四边形是矩形；
如图2所示，作线段的垂直平分线与交于O，连接并延长，以O为圆心，的长为半径画弧，交延长线于D，则四边形即为所求；
可证明，则可得四边形是矩形．
例8．如图，点O是边的中点，连接并延长至点D，使，添加下列选项中的一个条件，不能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】证明四边形是矩形
【分析】本题主要考查了矩形的判定，先根据题意得出四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定定理一一判定即可得出答案．
【详解】解：∵点O是边的中点，
∴，
又，
∴四边形是平行四边形，
．若，则四边形是菱形，无法得出四边形为矩形，故该选项符合题意；
．若，则四边形为矩形，故该选项不符合题意；
．∵四边形是平行四边形，∴，又，，∴，∴，
∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意；
．若，∴，
∴，∴则四边形为矩形，故该选项不符合题意；
故选：A．
变式1．（23-24八年级下·江苏苏州·期中）在平行四边形中，如果，那么这个平行四边形是 形．
【答案】矩
【知识点】证明四边形是矩形
【分析】本题考查了菱形的判定，根据对角线相等的平行四边形为矩形进行解答即可．
【详解】解：四边形为平行四边形，，
这个平行四边形是矩形，
故答案为：矩．
变式2．（24-25八年级下·江苏南京·月考）如图，在四边形中，，，求证：四边形是矩形．
【答案】见解析
【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、证明四边形是矩形
【分析】本题主要考查了矩形的判定，全等三角形的判定以及性质，先证明，由全等三角形的性质得出，即可得出四边形是平行四边形，进而可判断四边形是矩形．
【详解】证明：如图①，连接，
∵，
∴和都是直角三角形，
在和中，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是矩形．
例9．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，为上一点，，．增加下列条件能判定四边形为矩形的是（ ）
A． B．
C．点在的平分线上 D．点为的中点
【答案】A
【知识点】添一条件使四边形是矩形
【分析】本题考查添加条件使四边形为矩形，先根据，，得到四边形为平行四边形，再根据有一个角为直角的平行四边形为矩形，进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴四边形为平行四边形，
∴当时，四边形为矩形，故A选项符合题意；
当，点在的平分线上，点为的中点时，均不能得到四边形为矩形；故B，C，D选项不符合题意；
故选A．
变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·期中）如图，要使平行四边形成为矩形，应添加的条件是 ．（只需填一个你认为正确的结论即可）．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】添一条件使四边形是矩形
【分析】本题考查了矩形的判定定理.此题是一道开放型的题目，答案不唯一，只要符合矩形的判定定理即可．
【详解】解：，
理由是：四边形是平行四边形，，
四边形是矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
例10．（24-25八年级下·江苏徐州·月考）如图，在矩形中，，，为线段上一动点，于点，于点，则的最小值为（ ）
A．2.4 B．2.5 C．3 D．5
【答案】A
【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质与判定求线段长、垂线段最短
【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短以及三角形面积等知识，掌握矩形的判定与性质是解题的关键．连接，首先根据勾股定理解得的值，证明四边形是矩形，可得，当时，最小，则最小，然后由面积法求出的长，即可获得答案．
【详解】解：如图，连接，
∵四边形为矩形，，，
∴，，，
∴
∵，，
∴，
则四边形是矩形，
∴，
当时，最小，则最小，
此时，
即，
解得，
∴的最小值为2.4．
故选：A．
变式1．（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作分别交，于点、，连接，．若，，，则 ．
【答案】
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了矩形的判定和性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．过点作于，交于，得出四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，根据矩形的性质得出，，，推得，根据矩形的面积公式即可求解．
【详解】解：过点作于，交于，如图，
则四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∵，，，
故，
解得，
故答案为：．
变式2．（23-24八年级下·江苏连云港·期中）如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止，点P、Q的速度都是，连接，设点P、Q运动的时间为．当t为何值时，四边形是矩形？
【答案】当时，四边形是矩形
【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了矩形的性质和判定的应用．根据矩形的性质得出，，，当时，四边形是矩形，得出方程，求出方程的解即可．
【详解】解：四边形是矩形，
，，，
当时，四边形是矩形，
即，
解得：．
所以当时，四边形是矩形．
例11．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交、于点、，连接、．若图中阴影部分的面积为8，则的值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【知识点】根据矩形的性质与判定求面积
【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，根据三角形的面积公式即可求解．
【详解】解：作于，交于．
则有四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，
∴，
，
∵，
∴，即，
∴．
故选：B．
变式1．（24-25八年级下·江苏徐州·期中）某四边形的对角线相等，且相互平分，相邻两边的边长分别为，则该四边形的面积为 ．
【答案】6
【知识点】根据矩形的性质与判定求面积
【分析】此题考查了矩形的判定和性质．先证明四边形是矩形，根据矩形的面积公式求解即可．
【详解】解：∵四边形的对角线相等，且相互平分，
∴四边形为矩形，
∵相邻两边的边长分别为，即矩形的长、宽分别为，
∴四边形的面积为
故答案为：6
例12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD．相交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC＝130°，则∠AOE的大小为（ ）
A．21 B．65 C．42 D．56
【答案】B
【知识点】利用菱形的性质求角度
【分析】根据“菱形的性质、三角形内角和定理”结合已知条件分析解答即可．
【详解】解：在菱形ABCD中，∠ADC＝130°，
∴∠BAD＝180°﹣130°＝50°，
∴∠BAO＝∠BAD＝×50°＝25°，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE＝90°﹣∠BAO＝90°﹣25°＝65°．
故选：B．
【解析】此题考查求角的度数，解题的关键是熟记菱形的性质并能应用．
变式1．（24-25八年级下·江苏泰州·月考）如图，在菱形中，已知，则 ．
【答案】64
【知识点】利用菱形的性质求角度
【分析】本题主要考查了菱形的性质．平行线的性质，熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解．
【详解】解：∵菱形中，，
∴，
∵菱形中，，
∴，
∴．
故答案为：64．
例13．（24-25八年级下·江苏淮安·期末）如图，在菱形中，于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．48
【答案】B
【知识点】利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理等知识点，由菱形的性质可知：，求出，根据即可求解．
【详解】解：如图所示：
由菱形的性质可知：，
∴；
∵，
∴，
∴；
故选：B．
变式1．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，四边形为菱形，，在边上，将沿翻折得到，在直线上，作于点，若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】利用菱形的性质求线段长、折叠问题
【分析】此题主要考查了图形的翻折变换及其性质，菱形的性质，理解图形的翻折变换及其性质，熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．
连接交于点，交于点，由菱形性质得，由翻折性质得，，，则，进而得，证明，继而依据“”判定和全等得，则，由此可得的长．
【详解】解：连接交于点，交于点，如图所示：
四边形是菱形，，
，，，
由翻折性质得：，
，
，
，
，，
，
在中，，
在中，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
．
故答案为：．
变式2．（24-25八年级下·江苏苏州·月考）如图，将边长为5的菱形放在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，边与x轴重合，且．
(1)求C点的坐标；
(2)则所在直线的函数表达式．
【答案】(1)
(2)
【知识点】求一次函数解析式、利用菱形的性质求线段长
【分析】（1）利用勾股定理求得线段，的长度，则可得的长，进而可得C点的坐标；
（2）根据平行四边形的性质求出D点坐标，利用待定系数法即可求得所在直线的函数表达式．
【详解】（1）解：∵，
∴设，则，
∵，
∴，
∴，
，
∴，．
∴．
∴．
（2）解：∵四边形是菱形，
∴，，
∴．
设直线的解析式为，
∴，
解得．
∴直线的解析式为．
故答案为：．
【解析】本题主要考查了待定系数法确定一次函数的解析式，勾股定理，菱形的性质，一次函数图象上点的坐标的特征，利用勾股定理求得线段的长度，进而得到点C，D的坐标是解题的关键．
例14．（24-25八年级下·江苏南通·期中）如图，菱形的对角线，，则该菱形的面积为（ ）
A．50 B．25 C． D．
【答案】B
【知识点】利用菱形的性质求面积
【分析】本题考查了菱形的性质求面积，掌握菱形面积的计算方法是关键．
根据题意，菱形的面积为，代入求解即可．
【详解】解：菱形的对角线，，
∴菱形的面积为，
故选：B ．
变式1．（24-25八年级下·江苏盐城·期中）如图，在菱形中，对角线与相交于点，若，，则菱形的面积为 ．
【答案】24
【知识点】利用菱形的性质求面积
【分析】本题主要考查了求菱形的面积．根据菱形的面积等于对角线长度乘积的一半，即可求解
【详解】解：∵在菱形中，，，
∴菱形的面积为．
故答案为：24．
变式2．如图，在的正方形网格中，网格线的交点称为格点，在格点上，每一个小正方形的边长为1．
（1）以为边画菱形，使菱形的其余两个顶点都在格点上（画出一个即可）．
（2）计算你所画菱形的面积．
【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）6或8或10（答案不唯一）
【知识点】利用菱形的性质求面积
【分析】（1）根据菱形的定义并结合格点的特征进行作图；
（2）利用菱形面积公式求解．
【详解】解：（1）根据题意，菱形ABCD即为所求
（2）图1中AC=2，BD=6
∴图1中菱形面积．
图2中，AC=，BD=
∴图2中菱形面积．
图3中，
∴图3菱形面积．
【解析】本题考查菱形的性质，掌握菱形的概念准确作图是关键．
例15．（2025·江苏无锡·二模）下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）
A．对角线互相平分 B．对角线互相垂直
C．对角线相等 D．对角线互相垂直且相等
【答案】B
【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查了菱形、矩形的性质，掌握其性质是关键．
根据矩形，菱形的性质判定即可求解．
【详解】解：矩形的对角线相互平分，对角线相等，
菱形的对角线相互平分，互相垂直，平分对角，
∴菱形具有而矩形不一定具有的性质是对角线互相垂直，
故选：B ．
变式1．（24-25八年级下·江苏无锡·月考）写一条矩形具有而菱形不具有的性质 ．
【答案】对角线相等（答案不唯一）
【知识点】矩形性质理解、利用菱形的性质证明
【分析】本题考查矩形的性质，菱形的性质，根据矩形与菱形的性质求解即可．
【详解】解：矩形的对角线相等，菱形的对角线不一定相等，所以矩形具有而菱形不具有的性质是对角线相等．
故答案为：对角线相等
变式2．（24-25八年级下·江苏常州·期中）如图，在菱形中，，分别是边，上的点，且，连接、相交于点．求证：
(1)；
(2)．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】利用菱形的性质证明、全等的性质和SAS综合（SAS）
【分析】本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）利用菱形的性质证明，再利用全等三角形的性质即可证明；
（2）利用全等三角形的性质得到，再利用菱形的性质即可证明．
【详解】（1）证明：菱形，
，
，
，即，
在和中
，
，
．
（2）证明：由（1）得，，
，
菱形，
，
，
．
例16．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）如图，四边形中，对角线、相交于点，给出下列4组条件．
①②，．
③，，，④
其中，能得到“四边形是菱形”的条件有（ ）
A．1组 B．2组 C．3组 D．4组
【答案】B
【知识点】证明四边形是菱形
【分析】题目主要考查菱形和矩形的判定，熟练掌握菱形的判定定理是解题关键．
根据菱形的判定依次判断即可．
【详解】解：①∵，
∴四边形是菱形，符合题意；
②，，无法得出四边形是菱形，不符合题意；
③，，，
∴四边形是菱形，符合题意；
④，
∴四边形是矩形，不符合题意；
故选：B．
变式1．（22-23八年级下·江苏常州·期中）如图，矩形的对角线相交于点O，，．若，则四边形的周长是 ．
【答案】40
【知识点】证明四边形是菱形、利用矩形的性质证明
【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等，得到，再利用两对边平行的四边形为平行四边形得到四边形为平行四边形，利用邻边相等的平行四边形为菱形得到四边形为菱形，即可求出其周长．
【详解】∵四边形为矩形，
，，且，
∴，
，
∴四边形为平行四边形，
，
∴四边形为菱形，
．
故答案为：40
【解析】本题考查矩形的性质，菱形的判定与性质，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键．
变式2．（24-25八年级下·江苏淮安·月考）如图，四边形是平行四边形，按照要求作图．
(1)如图1，用无刻度直尺和圆规，作菱形，使点E、F分别在上；
(2)如图2，点P是上一点，用无刻度直尺和圆规，作矩形，使得点F、G、H分别在上．（保留作图痕迹）
【答案】(1)图见解析
(2)图见解析
【知识点】作垂线(尺规作图)、证明四边形是菱形、证明四边形是矩形
【分析】本题考查尺规作图--复杂作图，菱形的判定，矩形的判定，熟练掌握菱形和矩形的判定方法，是解题的关键：
（1）作的中垂线，交分别于点，连接，四边形即为所求；
（2）连接交于点，连接并延长交于点，以为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接并延长交于点，连接，四边形即为所求．
【详解】（1）解：如图，菱形即为所求；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为平行四边形，
∵，
∴四边形为菱形；
（2）如图，矩形即为所求；
同（1）法，
∴，
同理：，
∴四边形为平行四边形，
由作图可知：，
∴，
∴四边形为矩形．
例17．的对角线、相交于点O，以下条件不能判定它为菱形的是（ ）
A． B． C． D．平分
【答案】C
【知识点】添一个条件使四边形是菱形
【分析】根据菱形的判定条件：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．进行判断即可．
【详解】解：A、一组邻边相等平行四边形是菱形，不符合题意；
B、对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形，不符合题意；
C、可判定为矩形，不能判定为菱形，符合题意；
D、一条对角线平分一角，可得出一组邻边相等，也能判定为菱形，不符合题意；
故选C．
【解析】本题考查菱形的判定方法有三种：①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四边相等；③对角线互相垂直平分的四边形是菱形．
变式1．（22-23八年级下·江苏南通·期中）已知四边形是矩形，是等边三角形，请仅用无刻度直尺按下列要求画图，并保留画图痕迹（画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示）．
(1)在图①中，作的平分线：
(2)在图②中，作菱形，使E，F，G，H四点均在矩形的各边上．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【知识点】利用矩形的性质证明、添一个条件使四边形是菱形、作角平分线(尺规作图)
【分析】（1）连接，交于点，连接，射线即为所求；
（2）构造矩形的中点四边形即可．
【详解】（1）解：如图①中，射线即为所求；
（2）如图②中，四边形即为所求．
【解析】本题考查作图复杂作图，角平分线的定义，菱形的判定，矩形的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
例18．（24-25八年级下·江苏连云港·期末）如图，矩形的对角线、相交于点．若，则四边形的周长为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】B
【知识点】利用矩形的性质证明、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查了菱形的判定与性质，以及矩形的性质，证明四边形是菱形是解题的关键．
先证明四边形是平行四边形，再根据矩形的性质得出，然后证明四边形是菱形，即可求出周长．
【详解】解：∵，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴四边形是菱形，
∴，
∴四边形的周长；
故选B．
变式1．（24-25八年级下·江苏淮安·期中）如图，在的两边上分别截取，，使；分别以点A，B为圆心，长为半径作弧，两弧交于点C；连接，，，．若，四边形的面积为．则的长 ．
【答案】
【知识点】用勾股定理解三角形、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】本题考查作图—基本作图、菱形的判定与性质、勾股定理，设与相交于点D，由作图过程可知，，可得四边形是菱形，则，，，可得，则可得，，利用勾股定理可得．
【详解】解：设与相交于点D，
由作图过程可知，，
∴四边形是菱形，
∴，，，
∵四边形的面积为，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
变式2．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=3，AD=5，求的长．
【答案】（1）见解析；（2）EF=．
【知识点】矩形与折叠问题、根据菱形的性质与判定求线段长
【分析】（1）由翻折得∠BEC=∠BEF，FE=CE，根据FG∥CE，可得∠FGE=∠BEC，从而∠FGE=∠BEF，FG=FE，故FG=EC，四边形CEFG是平行四边形，即可得证；
（2）在Rt△ABF中，利用勾股定理求得AF=4，可得DF=1，在Rt△DEF中，用勾股定理列方程即可求出答案．
【详解】证明：（1）∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，
∴△BCE≌△BFE，
∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE=∠BEC，
∴∠FGE=∠BEF，
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）∵矩形ABCD中，AD=5，
∴BC=5，
∵△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，
∴BF=BC=5，
在Rt△ABF中，AB=3，AF==4，
∴DF=AD-AF=1，
设EF=x，则CE=x，DE=3-x，
在Rt△DEF中，DF2+DE2=EF2，
∴12+（3-x）2=x2，
解得x=，
∴EF=．
【解析】本题考查矩形性质及应用，涉及菱形的判定及性质，折叠问题、勾股定理的应用等，解题的关键是熟练应用勾股定理列方程．
例19．（22-23八年级下·江苏·周测）已知菱形的边长为，一条对角线长为，则菱形的面积为 ．
【答案】24
【知识点】根据菱形的性质与判定求面积
【分析】根据菱形的性质利用勾股定理求得另一条对角线的长，再根据菱形的面积等于两条对角线的乘积的一半求得其面积．
【详解】解：如图：
在菱形中，，，
对角线互相垂直平分，
，，
在中，，
．
，
故答案为：24．
【解析】此题主要考查学生对菱形的性质及勾股定理的理解及运用，主要考查了学生的计算和推理能力．
变式1．（24-25八年级下·江苏连云港·期中）如图，在中，D，E分别是，的中点，，延长到点F，使得，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)菱形BCFE的面积为24
【知识点】根据菱形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形、证明四边形是菱形
【分析】本题考查了菱形的判定和性质，三角形中位线的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握以上性质和定理；
（1）根据三角形的中位线可得，，可证四边形是平行四边形，再由即可得证；
（2）根据菱形的性质可得，， ，，再根据勾股定理求出，再根据菱形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明： ∵D、E分别是、的中点，
，，
，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形；
（2）解：连接，交于O，
四边形是菱形，
，， ， ，
，
在中，，
，
，
菱形的面积为．
巩固练习
一、单选题
1．如图，在中，对角线，相交于点O，添加下列一个条件后，不能使成为矩形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了矩形和菱形的判定，熟练掌握矩形和菱形的判定是解题的关键；根据矩形和菱形的判定逐项判断即可．
【详解】解：、四边形是平行四边形，，
是矩形，
故本选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
是矩形，
故本选项不符合题意；
、四边形是平行四边形，，
是菱形，
故本选项符合题意；
、，
是直角三角形，
，
四边形是平行四边形，
是矩形，
故本选项不符合题意；
故选：．
2．根据图中数据，下列选项中是平行四边形的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查的是平行线的判定，平行线之间的距离的含义，平行四边形的判定，矩形的判定，根据平行四边形的判定方法逐一分析即可.
【详解】解：由一组对边相等的四边形不一定是平行四边形，故A不符合题意；
如图，
∵，即，，
∴，且之间的距离为，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，也是平行四边形，故B符合题意；
选项C不能判定四边形是平行四边形，故C不符合题意；
选项D也只有一组对边平行，不能判定四边形是平行四边形，故D不符合题意；
故选：B
3．如图，四边形和四边形都是矩形，而且点在上，这两个矩形的面积分别是，，则，的关系是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查了矩形的性质，三角形面积的计算，掌握矩形的性质是解题的关键，根据图示可得，根据矩形的性质可得，由此即可求解．
【详解】解：∵四边形，四边形是矩形，
∴，，，，，
∴，，
∴，
∴，
∴，即，
故选：A ．
4．如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点．根据矩形的对角线相等且互相平分可得，由可得，从而是等边三角形，然后根据等边三角形的性质即可解得．
【详解】解:∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∴是等边三角形，
∴．
故选：A．
5．如图，延长矩形的边至点，使，连接，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】连接，由矩形性质可得、，知，而，可得度数．
【详解】解：连接，交于点，
四边形是矩形，
，，，，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，即．
故选：B．
【解析】本题考查了矩形的性质，熟记性质并灵活运用是解题的关键．矩形的性质：①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等．
6．如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的长方形的周长为6，则该直线的函数表达式是（ ）
A．y＝x＋3 B．y＝x＋6
C．y＝－x＋3 D．y＝－x＋6
【答案】C
【分析】设P点坐标为（x，y），由坐标的意义可知PC＝x，PD＝y，根据围成的矩形的周长为6，可得到x、y之间的关系式．
【详解】解：设过点P的垂线在x轴、y轴上垂足分别是D、C，如图：
设P点坐标为（x，y），
∵P点在第一象限，
∴PD＝y，PC＝x，
∵矩形PDOC的周长为6，
∴2（x+y）＝6，
∴x+y＝3，
即该直线的函数表达式是y＝﹣x+3，
故选：C．
【解析】本题主要考查矩形的性质及一次函数图像上点的坐标特征，直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b．根据坐标的意义得出x、y之间的关系是解题的关键．
7．如图，在矩形中，，，E，F分别是，上的点．现将四边形沿折叠，点A、B的对应点分别为M、N，且点N恰好落在上．连接，过B作，垂足为G，则的最小值为（ ）
A． B．5 C． D．7
【答案】A
【分析】连接，，延长到J，使得，连接，证明，利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：连接，，延长到J，使得，连接．
由翻折变换的性质可知垂直平分线段，，
，
，G，N三点共线，
，
四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，，
，
，
的最小值为．
故选：A．
【解析】本题考查矩形的性质，勾股定理，翻折变换，线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用轴对称变换的性质解决最短问题．
二、填空题
8．如图，在菱形中，若，则度数为 ．
【答案】/度
【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的性质是关键，根据菱形的对角线相互垂直且每条对角线平分一组对角即可求解．
【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线，，
∴，
故答案为： ．
9．如图，在平行四边形中，对角线与交于点O，图形中不再添加辅助线和字母，再添加一个条件 ，使平行四边形是菱形．（写出一个即可）
【答案】
【分析】本题考查了菱形的判定，熟记相关定理内容：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即可求解．
【详解】解：∵有一组邻边相等的平行四边形是菱形，
∴当时，可使平行四边形是菱形
故答案为：（答案不唯一）．
10．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，且，，则的度数为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，矩形的判定以及性质，由平行四边形的性质得出，，得出，即可证明四边形是矩形，根据矩形的性质得出，进一步即可求出．
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
11．如图，菱形的对角线、相交于点O，过点D作于点H，连接，，，则菱形的面积为 ．
【答案】6
【分析】由菱形的性质得，根据，得是直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得的长，再利用菱形面积即可求解．
【详解】解：四边形是菱形，
，
，
是直角三角形，
，
菱形的面积，
故答案为：6．
【解析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质知识，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
12．如图，四边形中，，，则与的数量关系是 ．
【答案】（或）
【分析】此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、两条平行线之间的距离处处相等、等腰三角形的判定、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
作于点于点，则，由，得，则，所以，则，由勾股定理得，则，所以，于是得到问题的答案．
【详解】解：作于点于点，则，
故答案为：．
13．数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从长方形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所容两长方形面积相等（如图1：）”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证．问题解决：如图2，点M是矩形的对角线上一点，过点M作分别交，于点E、F，连接，．若，则图中阴影部分的面积和为 ．
【答案】24
【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，明确题意、根据已知结论入手进行分析成为解答本题的关键．如图，过点作于，交于，由可得，即可求解．
【详解】解：如图，过点M作于H，交于G，
∵四边形是矩形，，
∴四边形、四边形、四边形、四边形都是矩形，
∴，
∴，
，，，，，
∵，
∴，
∴，即图中阴影部分的面积和为，
故填：．
14．如图，菱形的边长为2，，对角线交于点O．点E为直线上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），长度的最小值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．
连接，作，由旋转的性质可得，把求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短可得答案．
【详解】解：连接，作交的延长线于H，
∵在菱形中，，
∴．
∵，
∴，
∴，
由旋转可得：，
在和中，
，
∴，
∴，
即求的最小值转化为求的最小值．
∵在中，，
∴，
∵菱形的边长为2，
∴，
∴，
∴，
当E与H重合时，最小值是，
∴的最小值是．
故答案为：．
15．如图，矩形中，，，E是边上一点，且，将沿直线对折，得到．连接，则的面积为 ．
【答案】19.2
【分析】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形的面积等知识，过点F作交于点M，交于点N，则，，四边形为矩形，得出，再由折叠的性质得，，，设，，则，，然后由勾股定理联立成方程组，求出，最后由三角形面积公式即可得出结果．
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，，，
如图，过点F作交于点M，交于点N，
则，，
∴四边形为矩形，
∴，
由折叠的性质得：，，，
设，，则，，
在中，由勾股定理得：，
即①，
在中，由勾股定理得：，
即②，
联立①②解得：（非正数值已舍去），
∴，
∴，
故答案为：19.2．
三、解答题
16．如图，四边形是菱形，，交于点，于点．
(1)若对角线，，求的长；
(2)连，求证：．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形内角和定理，直角三角形斜边中线的性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质．
（1）由菱形的性质及勾股定理求出的长度，根据菱形的面积公式可得出答案；
（2）根据菱形的对角线互相平分可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据等边对等角得到，根据两直线平行，内错角相等得到，然后根据等角的余角相等证明即可．
【详解】（1）解：四边形是菱形，
，，，
∵，，
，，
，
，
；
（2）证明：四边形是菱形，
，，
，
，
，
又，
，
，
在中，，
在中，，
，
，
，
．
17．在一款名为超级玛丽的游戏中，玛丽到达一个高为10米的高台，利用旗杆顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为17米，高为3米的矮台．
(1)求旗杆的高度；
(2)求玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度．
【答案】(1)旗杆的高度为15米
(2)玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为2米．
【分析】本题考查了勾股定理，三角形全等的判定与性质，同角的余角相等，矩形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）由题意可知，，米，米，米，作，，先证明，得到，．那么米．接着证明四边形、是矩形，那么米，米，再求出，，最后求得；
（2）先通过勾股定理，求得，最后利用求得答案．
【详解】（1）解：由题意可知，，米，米，米，作，，如图所示：
，
在和中，
，
∴，
∴，．
米．
，，
四边形、是矩形，
米，米，
（米）
米，
米，
米，米，
∴米，
答：旗杆的高度为15米；
（2）解：在中，米，米，那么
米，
米，
米，
∴（米）．
答：玛丽在荡绳索过程中离地面的最低点的高度为2米．
18．如图，已知点、分别在矩形纸片的边、上，连接，将矩形纸片沿折叠，若点恰好落在点处，与相交于点，连接、．
(1)判断四边形的形状，并证明你的结论；
(2)若，，求折痕的长．
【答案】(1)四边形为菱形，证明见解析
(2)
【分析】（）利用折叠的和矩形的性质证明，推导出四边形是平行四边形，再根据即可求证；
（）设，在中，由勾股定理求，在中，由勾股定理求出，再利用菱形面积求出即可．
【详解】（1）解：四边形为菱形．
证明：由折叠得，，，
∵四边形是矩形，
，
，，
，
，
∴四边形是平行四边形，
又∵，
∴平行四边形为菱形；
（2）解：∵平行四边形为菱形，
∴，
设，则，
在中，由勾股定理得，，
在中，由勾股定理得，，
即，
解得，
∵，
∴，
解得，
∴折痕的长为．
【解析】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握折叠的性质、菱形的判定和性质是解题的关键．
19．如图，矩形的对角线，交于点F，延长到点C，使，延长到点D，使，连接，，．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求菱形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理．
（1）先由对角线互相平分的四边形是平行四边形，再由矩形的性质得出，即可得出结论；
（2）根据矩形的性质，，．在中，利用勾股定理计算的长度，进而得到的长度．利用菱形的面积公式计算面积．
【详解】（1）证明：，，
∴四边形是平行四边形，
∵四边形是矩形，
．
．
∴四边形是菱形；
（2）解：∵四边形是矩形，四边形是菱形，
，．
在中，由勾股定理得：．
．
，
．
20．如图，矩形．
(1)只利用圆规在边上找一点，使得平分，并说明理由；
(2)在（1）的条件下，连接，请探究与的关系，并说明理由．
【答案】(1)见解析
(2)
【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，作线段，解决本题的关键是掌握矩形的性质．
（1）以为圆心，长为半径画弧交于点即可；
（2）设，分别表示出，即可求解．
【详解】（1）解：如图，以为圆心，长为半径画弧交于点，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴即平分，
（2）解：设，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∴．
21．如图，平行四边形中，平分交于点E，F为边上的点，且，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)连接，若，，，求的长．
【答案】(1)见详解
(2)
【分析】（1）由平行四边形的性质得，由，推导出，则，而，所以，因为，所以四边形是平行四边形，再根据菱形的定义证明四边形是菱形即可；
（2）连接，由菱形的性质得，因为，所以，则，求得．
【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵平分交于点为边上的点，，
，
，
，
∵，
，
，
∴四边形是平行四边形，
，
∴四边形是菱形．
（2）解：连接，如图所示：
∵四边形是菱形，
，
，
，
∴是直角三角形，且，
∴，
∴的长是．
【解析】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理及其逆定理等知识，推导出及是解题的关键．
22．如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点都是格点．（画图时仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成）
(1)以为边画平行四边形；
(2)在（1）中所画平行四边形的面积为________；
(3)点E为边与网格线的交点，请在上确定一点G，使得．（保留作图痕迹）
【答案】(1)图见解析
(2)15；
(3)图见解析
【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理与网格问题，熟练掌握相关知识点，是解题的关键：
（1）利用平移思想，点向左移动4个单位长度，向上移动1个单位长度，得到格点，连接，即可；
（2）连接，易得平行四边形为菱形，勾股定理求出的长，再利用面积公式进行计算即可；
（3）连接，交于点，连接，即可，根据菱形的对称性，得到，对顶角得到，即可得到．
【详解】（1）解：如图，平行四边形即为所求；
（2）解：观察可知，，
∴平行四边形为菱形，
连接，如图，
由勾股定理，得：，
∴；
（3）解：连接，交于点，
如图，点即为所求：
23．如图1，在中，，．为的外角的平分线，，垂足为点．
(1)请用无刻度的直尺和圆规作一个菱形，使为菱形的一条对角线（保留作图痕迹，不要求写作法）．
(2)如图2，点为线段上一动点，连接，交于点．
①在不添加其它线的前提下，请添加一个条件：______，使得四边形为矩形，并说明理由；
②当平分时，求四边形的面积．
【答案】(1)见解析
(2)①（答案不唯一），理由见解析；②或
【分析】（1）分别以点B，C为圆心，为半径画弧，两弧交于点P即为所求；
（2）①添加的条件为，由三角形外角的性质和角平分线得到，推出，然后得到，最后结合即可证明出四边形为矩形；
②如图所示，过点A作交于点H，首先证明出四边形为矩形，求出，勾股定理求出，然后求出，勾股定理求出，然后分两种情况讨论：当点F在线段上时和当点F在线段上时，分别求出，进而求解即可．
【详解】（1）解：如图所示，四边形即为所求；
由题意得，
∴四边形是菱形；
（2）①添加的条件为
理由：∵为的外角的平分线，
∴
∵，
∴
∴
∴
∵，即
∴
又∵
∴四边形为矩形；
②如图所示，过点A作交于点H，
由①得
∴四边形为矩形
∴
∵，
∴
∴
当平分时，即
由①得
∴
∴
∴
∴
②如图所示，当点F在线段上时，
∴
∴四边形的面积；
如图所示，当点F在线段上时，
∴
∴四边形的面积；
综上所述，四边形的面积为或．
【解析】此题考查了矩形的性质和判定，勾股定理，等角对等边，三线合一等知识，解题的关键是掌握以上知识点.
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