1.2.2 多项式的乘法-课件(共45张PPT)--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

(共45张PPT)
北师大版数学7年级下册培优精做课件1.2.2多项式的乘法第一章整式的乘除授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
学习目标
1.能根据乘法分配律探究单项式与多项式相乘的运算法则；
2.掌握单项式与多项式相乘的运算法则，会进行单项式与多项式的乘法运算.
3.会用图形解释单项式与多项式相乘的运算法则.
新课探究
A
B
C
D
如图，在计算操场面积的问题中，如何计算A和B组成的长方形区域的面积 你是怎么计算的
从整体看，A、B的面积为__________;
a·(2b+3a)
从局部看， A、B的面积为__________。
2ab+3a2
a·(2b+3a)=2ab+3a2
你可以用运算律解释吗
你发现了什么
1.2.2 多项式的乘法 教学过程幻灯片内容
幻灯片1：情境导入（复习铺垫）
1. 复习旧知：提问“单项式乘单项式、单项式乘多项式的法则是什么？”，请学生口头回答，师生共同回顾关键要点（如单项式乘多项式需用分配律，将单项式与多项式每一项相乘再相加）。2. 情境设问：校园要扩建长方形草坪，原长(a+b)米，原宽(m+n)米，扩建后面积如何表示？引导学生发现需计算(a+b)(m+n)，引出多项式乘多项式的课题。
幻灯片2：探究新知（推导法则）
1. 转化思想：将(a+b)(m+n)看作(a+b)与(m+n)的乘积，把其中一个多项式当作整体，借助单项式乘多项式法则推导。2. 分步推导：第一步，(a+b)(m+n) = a(m+n) + b(m+n)（把(a+b)看作单项式，乘多项式(m+n)）；第二步，展开得am + an + bm + bn（分别应用单项式乘多项式法则）。3. 总结法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
幻灯片3：例题讲解（规范步骤）
例题1：计算(3x + 1)(x - 2) 解：第一步，用3x乘(x - 2)的每一项：3x·x - 3x·2 = 3x - 6x；第二步，用1乘(x - 2)的每一项：1·x - 1·2 = x - 2；第三步，相加合并同类项：3x - 6x + x - 2 = 3x - 5x - 2。 强调：每一项相乘时符号要准确，结果需合并同类项。
幻灯片4：巩固练习（即时反馈）
1. 基础练习：计算(2a - 3)(a + 4)，请2名学生板演，其余学生独立完成，师生共同订正。2. 易错辨析：判断(2x + y)(x - y) = 2x - 2xy + xy - y = 2x - xy - y 是否正确，重点分析符号易错点。3. 思路梳理：提问“计算多项式乘法的关键步骤有哪些？”，引导学生总结核心要点。
幻灯片5：课堂小结（梳理脉络）
1. 法则回顾：多项式乘多项式 → 转化为单项式乘多项式 → 转化为单项式乘单项式 → 合并同类项。2. 核心思想：转化思想（将未知问题转化为已知问题）。3. 注意事项：符号准确、不漏乘、最终合并同类项。
(2) a (2b+3a)=2ab+3a2，你能用运算律解释吗
a (2b+3a)=2ab + 3a2
乘法的分配律
p(a+b+c)=pa+pb+pc
当p、a、b、c为单项式时，乘法分配律也成立。
返回
D
1．下列计算正确的是(　　)
A．(－2a)·(3ab－2a2b)＝－6a2b－4a3b
B．2ab2·(－a2＋2b2－1)＝－4a3b4
C．abc·(3a2b－2ab2)＝3a3b2－2a2b3
D．(ab)2·(3ab2－c)＝3a3b4－a2b2c
你能计算ab·(abc+2x) ， c2·(m+n–p)，(x2y+xy2)·(–xy) 吗
ab·(abc + 2x) = ab·abc+ab·2x
= a2b2c+2abx
c2·(m + n – p) = c2m+c2n – c2p
操作·交流
(x2y+xy2)·(– xy) = –x3y2–x2y3
一般地，如何进行单项式乘多项式的运算 与同伴进行交流。
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
单项式除以多项式的法则:
a (2b+3a)=2ab + 3a2
注意:
①依据是乘法分配律；
②积的项数与多项式的项数相同。
2. [教材P15例3] (3x＋9)(2x－5)等于(　　)
A．5x2＋3x－45 B．6x2－3x＋45
C．5x2＋3x＋45 D．6x2＋3x－45
D
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例 2 计算
（1） 2ab ( 5ab2 + 3a2b )；
（2） ( ab2 – 2ab )· ab ；
（3） 5m2n ( 2n + 3m – n2 )；
（4） 2 ( x + y2z + xy2z3 )·xyz。
2ab ( 5ab2 + 3a2b )
= 2ab · 5ab2 + 2ab · 3a2b
= 10a2b3 + 6a3b2；
解：（1）
( ab2 – 2ab ) · ab
= ab2· ab + ( – 2ab )· ab
= a2b3 – a2b2；
（2）
5m2n ( 2n + 3m – n2 )
= 5m2n·2n + 5m2n·3m + 5m2n·( – n2 )
= 10m2n2 + 15m3n – 5m2n3；
（3）
（4）
2 ( x + y2z + xy2z3 )·xyz
= ( 2x + 2y2z + 2xy2z3 )·xyz
= 2x·xyz + 2y2z·xyz + 2xy2z3·xyz
= 2x2yz + 2xy3z2 + 2x2y3z4。
3．若(n＋4)(2n－7)＝2n2＋bn－28，则b的值为(　　)
A．1 B．3 C．－3 D．－1
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A
4．若M＝x(2x－7)，N＝(x＋1)(x－8)，则M与N的大小关系是(　　)
A．M＜N B．M＝N
C．M＞N D．由x的取值而定
C
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5. 要使(－x)(x2－mx＋2x)的展开式中不含x2项，则m的值是(　　)
A．－2　 B．0　 C．2　 D．3
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C
观察·思考
(1)如图，一幅边长为am的正方形风景画，左右各留有宽为 x m的长方形空白区域作装饰，中间画面的面积是多少平方米
a
a
x
x
解：a(a- x)
= a2- ax（m2）
答：中间画面的面积是a2- ax平方米。
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6. 已知ab2＝－3，则－ab(a2b5－ab3－b)＝________．
【点拨】－ab(a2b5－ab3－b)＝－a3b6＋a2b4＋ab2＝－(ab2)3＋(ab2)2＋ab2＝27＋9－3＝33.
33
7. 在综合与实践课上，小明设计了如下的运算：a b＝(ax＋2b)(bx－a)，则1 2经过运算可化简为________．
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【点拨】因为a b＝(ax＋2b)(bx－a)，所以1 2＝(x＋2×2)(2x－1)＝(x＋4)(2x－1)＝2x2－x＋8x－4＝2x2＋7x－4.
2x2＋7x－4
A
B
C
D
如图，如何计算整个操场的面积
方法1：将ABCD看成一个整体，可得
(a+3b)·(2b+3a)
方法2：将AB，CD分别看成一个整体，可得
a·(2b+3a)+3b·(2b+3a)
方法3：将AC，BD分别看成一个整体，可得
2b·(a+3b)+3a·(a+3b)
方法4:分别求出ABCD的面积并求和，可得
2ab+3a2+6b2+9ab
你发现了什么
A
B
C
D
(a+3b)·(2b+3a)
a·(2b+3a)+3b·(2b+3a)
2b·(a+3b)+3a·(a+3b)
2ab+3a2+6b2+9ab
相等，都表示操场的面积。
你可以用运算律解释吗
(a+3b)·(2b+3a)
=a·(2b+3a)+3b·(2b+3a)
=2ab+3a2+6b2+9ab
(a+3b)·(2b+3a)
=2b·(a+3b)+3a·(a+3b)
=2ab+3a2+6b2+9ab
看作整体
看作整体
运用分配律
运用分配律
再次运用分配律
再次运用分配律
思考·交流
一般地，如何进行多项式乘多项式的运算 与同伴进行交流。
你能计算(2a+b)·(a+2b) ，(x–y)·(x–1) ，(a2–b2)·(a–b) 吗
(2a+b)·(a+2b)
(x–y)·(x–1)
=2a(a+2b) +b(a+2b)
=2a2+4ab+ab+2b2
=2a2+5ab+2b2 。
(a2–b2)·(a–b)
=x(x–1)–y(x–1)
=x2–x–xy+y 。
=a(a2–b2)–b(a2–b2)
=a3–ab2–ba2b+b3。
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘的运算法则:
多项式×多项式
单项式×多项式
单项式×单项式
8. 某公司准备投资修建智能化工厂，实现工厂管理及生产自动化．若该项目计划建设期为(x－6)个月，每个月的投资额为(2x－5)万元，则修建这个智能化工厂共需要投入______________万元．
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【点拨】根据题意，得(2x－5)(x－6)＝(2x2－17x＋30)万元，所以修建这个智能化工厂共需要投入(2x2－17x＋30)万元．
(2x2－17x＋30)
例 3 计算
（1） ( 1 – x ) ( 0.6 – x )； （2） ( 2x + y ) ( x – y )。
解：（1）( 1 – x ) ( 0.6 – x )
= 1 × 0.6 – 1 · x – x · 0.6 + x · x
= 0.6 –x –0.6 x + x2
= 0.6 –1.6 x + x2；
例 3 计算
（1） ( 1 – x ) ( 0.6 – x )； （2） ( 2x + y ) ( x – y )。
（2）( 2x + y ) ( x – y )
= 2x·x – 2x·y + y·x – y·y
= 2x2 – 2xy + xy – y2
= 2x2 – xy – y2。
(2)(－2a2b)3(3b2－4a＋6)；
【解】(－2a2b)3(3b2－4a＋6)＝－8a6b3(3b2－4a＋6)＝－24a6b5＋32a7b3－48a6b3.
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(3)(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)．
【解】(a－2b)(a2＋2ab＋4b2)＝a3＋2a2b＋4b2a－2ba2－4b2a－8b3＝a3－8b3.
10．已知M＝x2－ax，N＝－x，P＝x3＋3x2＋5，若M·N＋P的值与x的取值无关，则a的值为(　　)
A．－3　 B．3　 C．5　 D．4
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【点拨】因为M＝x2－ax，N＝－x，P＝x3＋3x2＋5，所以M·N＋P＝－x(x2－ax)＋x3＋3x2＋5＝－x3＋ax2＋x3＋3x2＋5＝(a＋3)x2＋5.因为M·N＋P的值与x的取值无关，所以a＋3＝0，解得a＝－3.
A
11．有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为2a＋3b，宽为3a＋b的长方形，需要B类卡片(　　)

A．3张 B．6张 C．8张 D．11张
【点拨】由题意可得长方形的面积为(2a＋3b)(3a＋
b)＝6a2＋11ab＋3b2，所以易知需要B类卡片11张．
【答案】 D
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12．已知9x＝25y＝15，那么代数式(x－1)(y－1)＋xy＋3的值是(　　)
A．4 B．3 C．2 D．1
【点拨】因为9x＝25y＝15，所以9xy＝15y，25xy＝15x.所以15x＋y＝(9×25)xy＝(3×5)2xy＝152xy.所以x＋y＝2xy.所以(x－1)(y－1)＋xy＋3＝xy－(x＋y)＋1＋xy＋3＝2xy－(x＋y)＋4＝4.
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A
13．(－2x2)3(x2＋x2y2＋y2)的结果中次数是10的项的系数是________．
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【点拨】 (－2x2)3(x2＋x2y2＋y2)＝－8x6(x2＋x2y2＋y2)＝－8x8－8x8y2－8x6y2，所以次数是10的项是－8x8y2，其系数是－8.
－8
14. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“∑”，如 =1+2+3+.+(n-1)+n, (x+k)=(x+3)+(x+4)+…+(x+n).已知 [(x＋k＋2)·(x－k－1)]＝4x2＋4x＋m，则m＋n的值是________．
－99
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【点拨】 因为 [(x＋k＋2)·(x－k－1)]＝4x2＋4x＋m，(x＋k＋2)(x－k－1)＝x2＋x－(k＋2)(k＋1)，所以n＝5，所以(x＋2＋2)(x－2－1)＋(x＋3＋2)(x－3－1)＋(x＋4＋2)(x－4－1)＋(x＋5＋2)(x－5－1)＝4x2＋4x＋m，所以x2＋x－12＋x2＋x－20＋x2＋x－30＋x2＋x－42＝4x2＋4x＋m，即4x2＋4x－104＝4x2＋4x＋m，所以m＝－104，所以m＋n＝－104＋5＝－99.
15．甲、乙两人同时计算一道整式乘法题：(x＋a)·(2x＋b)，由于甲抄错了a的符号，得到的结果是2x2－7x＋3，乙漏抄了第二个多项式中x的系数，得到的结果是x2＋2x－3.
(1)求(－2a＋b)(a＋b)的值；
【解】甲抄错了a的符号，则甲计算的式子为(x－a)
(2x＋b)，所以(x－a)(2x＋b)＝2x2＋(－2a＋b)x－ab＝
2x2－7x＋3.所以－2a＋b＝－7.乙漏抄了第二个多项式中x的系数，则乙计算的式子为(x＋a)(x＋b)，所以(x＋a)·(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab＝x2＋2x－3，所以a＋b＝2.所以(－2a＋b)(a＋b)＝－7×2＝－14.
(2)请计算这道题的正确结果．
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【解】由(1)可知－2a＋b＝－7，a＋b＝2，所以a＝3，
b＝－1.所以这道题的正确结果为(x＋3)(2x－1)＝2x2＋
5x－3.
16．某居民小区为改善业主的宜居环境，准备在小区内一个长为(4a＋3b)米，宽为(2a＋3b)米的长方形休闲广场上修建宽度均为b米的健身跑道．
(1)如图①，若修建一纵一横的两条健身跑道，求健身跑道的面积共有多少平方米；
【解】由题意知，S健身跑道＝b(2a＋3b)＋b(4a＋3b)－b2＝2ab＋3b2＋4ab＋3b2－b2＝(6ab＋5b2)平方米．
(2)如图②，若修建两纵一横的三条健身跑道，且剩余部分的面积为216平方米．当a＝2b时，求b的值．
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【解】由题意知，S剩余部分＝(4a＋3b)(2a＋3b)－[2b(2a＋3b)＋b(4a＋3b)－2b2]＝8a2＋18ab＋9b2－(4ab＋6b2＋4ab＋3b2－2b2)＝8a2＋18ab＋9b2－8ab－7b2＝(8a2＋10ab＋2b2)平方米．
因为a＝2b，S剩余部分＝216平方米，
所以8×(2b)2＋10×2b·b＋2b2＝32b2＋20b2＋2b2＝
54b2＝216.所以b2＝4.又因为b>0，所以b＝2.
17．有些大数值问题可以通过用字母代替数转化成整式问题来解决，请先阅读下面的解题过程，再解答下面的问题．
例：若x＝6 789×6 786，y＝6 788×6 787，试比较x，y的大小．
解：设6 788＝a，
则x＝(a＋1)(a－2)＝a2－a－2，y＝a(a－1)＝a2－a.
因为x－y＝(a2－a－2)－(a2－a)＝－2<0，所以x＜y.
问题：若x＝2 026×2 030－2 027×2 029，y＝2 027×
2 031－2 028×2 030，试比较x，y的大小．
【解】设2 026＝a，
则x＝a(a＋4)－(a＋1)(a＋3)＝a2＋4a－(a2＋3a＋a＋
3)＝a2＋4a－a2－3a－a－3＝－3，y＝(a＋1)(a＋5)－(a＋2)(a＋4)＝(a2＋5a＋a＋5)－(a2＋4a＋2a＋8)＝
a2＋5a＋a＋5－a2－4a－2a－8＝－3.所以x＝y.
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课堂小结
多项式的乘法
单项式
乘多项式
多项式
乘多项式
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
m(a+b+c)=ma+mb+mc
(m+a) (n+b) =mn+mb+an+ab
依据:乘法分配律