1.3.2 平方差公式的应用-课件(共29张PPT)--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

(共29张PPT)
北师大版数学7年级下册培优精做课件1.3.2平方差公式的应用第一章整式的乘除授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
学习目标
1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导平方差公式.
2.掌握平方差公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.
如图，边长为 a 的大正方形中有一个边长为 b 的小正方形。
（1）请表示图中阴影部
分的面积。
a
b
a2 – b2
新课探究
（2）小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少 你能表示出它的面积吗
(a + b) (a – b)
a-b
a
b
b
（3）比较（1）（2） 的结果， 你能验证平方差公式吗
a
b
a
b
阴影部分的面积相等：a2 – b2 =(a + b)(a – b)
（4）对于阴影部分的面积，你还有其他计算方法
a
b
把阴影部分分割成两个一样的直角梯形，如图所示。
阴影部分的面积：(a + b)(a – b)
a+b
a-b
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A
1．计算a2－(a＋1)(a－1)的结果是(　　)
A．1 B．－1
C．2a2＋1 D．2a2－1
2. 我们可以利用图形的面积解释一些代数恒等式．如图，能够使用其中阴影部分面积说明的等式是(　　)
A．a(a＋9)＝a2＋9a
B．(a＋3)(a－3)＝a2－9
C．(a＋3)(a－6)＝a2－3a－18
D．(a＋3)2＝a2＋6a＋9
B
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（1）计算下列各组算式：
7×9 =
8×8 =
11×13 =
12×12 =
79×81 =
80×80 =
63
64
143
144
6399
6400
（2）观察上述算式及其结果，你发现了什么
(a – 1)(a + 1) = a2 – 1。
观察·思考
（3）请用字母表示这一规律。
符合平方差公式。
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C
例 3 用平方差公式进行计算：
（1）103×97； （2）118×122 。
解：（1）103×97
=(100 + 3)(100 – 3)
= 1002 – 32
= 9 991；
（2）118×122
= (120 – 2)(120 + 2)
= 1202 – 22
= 14 396。
(103+97)÷2=100
(118+122)÷2=120
你有什么发现
例 3 计算：
（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2；
（2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。
解（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2；
= a2(a2 – b2) + a2b2；
= a4 – a2b2 + a2b2；
= a4；
例 3 计算：
（1）a2(a + b) (a – b) + a2b2；
（2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)。
（2）(2x – 5) (2x + 5) – 2x(2x – 3)
= (2x)2 – 25 – (4x2 – 6x)
= 4x2 – 25 – 4x2 + 6x
= 6x – 25。
4．已知(x＋2)(x－2)－2x＝1，则2x2－4x＋3的值为(　　)
A．13 B．3 C．－3 D．5
A
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5. 小王叔叔改建一个边长为a m的正方形养鸡场，计划纵向扩大2 m，横向缩短2 m，则改建后养鸡场面积的变化情况是(　　)
A．面积减少4 m2 B．面积增加4 m2
C．面积增加2 m2 D．面积不变
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【点拨】由题意，得改建后养鸡场的长为(a＋2) m，宽为(a－2) m，所以改建后养鸡场的面积为(a＋2)(a－2)＝(a2－4) m2.因为a2－(a2－4)＝4(m2)，所以改建后养鸡场面积减少4 m2.
【答案】A
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6. 利用平方差公式计算：
(1)100.5×99.5；


(2)2 024×2 026－2 0252.
【解】原式＝(100＋0.5)×(100－0.5)＝1002－0.52＝10 000－0.25＝9 999.75.
原式＝(2 025－1)(2 025＋1)－2 0252＝2 0252－1－2 0252＝－1.
7．先化简，再求值：(2x－1)(2x＋1)－(x－2)(x＋3)－
2x(x－1)，其中x＝－2.
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【解】(2x－1)(2x＋1)－(x－2)(x＋3)－2x(x－1)
＝4x2－1－(x2＋x－6)－2x2＋2x
＝4x2－1－x2－x＋6－2x2＋2x＝x2＋x＋5.
当x＝－2时，原式＝(－2)2＋(－2)＋5＝4－2＋5＝7.
8. 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“完美数”，如12＝42－22，52＝142－122，因此12，52这两个数都是“完美数”，则下列说法中错误的是(　　)
A．20是“完美数”
B．最小的“完美数”是4
C．“完美数”一定是4的奇数倍
D．小于30的所有“完美数”之和是60
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【点拨】由于20＝62－42，因此20是“完美数”，所以选项A不符合题意；两个连续偶数的平方差最小为4，因此“完美数”最小为4，所以选项B不符合题意；两个连续偶数的和是2的奇数倍，两个连续偶数的差是2，所以两个连续偶数的平方差是4的奇数倍，即“完美数”一定是4的奇数倍，所以选项C不符合题意；小于30的所有“完美数”的和为4＋12＋20＋28＝64，因此选项D符合题意．故选D.
【答案】D
9. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是30，则阴影部分的面积是(　　)
A．15
B．20
C．30
D．35
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【答案】A
10．发现：41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝1 024，46＝4 096，47＝16 384，48＝65 536，依据上述规律，通过计算判断3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1的结果的个位数字是(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【点拨】41＝4，42＝16，43＝64，44＝256，45＝
1 024，46＝4 096，47＝16 384，48＝65 536，
观察上面运算结果发现：当4的指数是奇数时，运算结果的个位数字是4；当4的指数是偶数时，运算结果的个位数字是6.
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3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1
＝(4－1)(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1
＝(42－1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1
＝(44－1)(44＋1)…(432＋1)＋1＝464－1＋1＝464.
由规律可得464的个位数字是6，所以3×(4＋1)(42＋1)(44＋1)…(432＋1)＋1的结果的个位数字是6.
【答案】C
11．若a＝1 954×1 946，b＝1 957×1 943，c＝1 949×1 951，则a，b，c的大小关系为___________(用“<”连接)．
【点拨】a＝1 954×1 946＝(1 950＋4)(1 950－4)＝1 9502－16，b＝1 957×1 943＝(1 950－7)(1 950＋7)＝1 9502－49，c＝1 949×1 951＝(1 950＋1)(1 950－1)＝1 9502－1.因为1 9502－49<1 9502－16<1 9502－1，所以bb返回
12．已知a2－2b2＝5，则代数式(a＋b)(a－b)＋(2a＋3b)(2a－3b)的值为________．
【点拨】原式＝a2－b2＋(2a)2－(3b)2＝a2－b2＋4a2－9b2＝5a2－10b2.因为a2－2b2＝5，所以原式＝5×(a2－2b2)＝5×5＝25.
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25
13．定义：如果一个正整数能表示为两个正整数m，n的平方差，且m－n>1，则称这个正整数为“智慧优数”．例如，16＝52－32，16就是一个智慧优数．若将智慧优数从小到大排列，则第3个智慧优数是________；第23个智慧优数是________．
15
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课堂小结
原理:等面积法
简便运算
方法:用不同方法表示
同一图形的面积
混合运算
平方差公式
验证公式
应用