1.3.3完全平方公式的认识-课件(共38张PPT)--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

(共38张PPT)
北师大版数学7年级下册培优精做课件1.3.3完全平方公式的认识第一章整式的乘除授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
学习目标
1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式.
2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.
3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想.
多项式乘多项式的法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的结果相加 .
1
2
3
4
(a+b)(m+n)
=
am
1
2
3
4
+an
+bm
+bn
新课探究
计算下列各式：
（1）(m + 3)2 ；
（2）(2+ 3x)2 。
（1）(m+3)2
=m2+6m+9
=(m+3)(m+3)
（2）(2+3x)2
=(2+3x)(2+3x)
=4+12x+9x2
观察以上算式及其运算结果， 你有什么发现
m2+2·3m+9
4+2·2·3x+9x2
两个数的和的平方，等于这两个数的平方和加这两个数乘积的 2 倍。
平方式，两项
首平方，尾平方，
积的2倍放中间
你能再举一些类似的例子验证你的发现
（1）(2x + y)2 ; （2）(3a + 2b)2。
（1）(2x + y)2
=(2x + y)(2x + y)
= 2x·2x + 2x·y + y·2x + y·y
= 4x2 + 4xy + y2
（2）(3a + 2b)2
=(3a + 2b) (3a +2b)
= 3a·3a+3a·2b+2b·3a+2b·2b
= 9a2 +12ab + 4b2
你能用字母表示你发现的规律吗
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
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C
2．[2025重庆巴渝学校期中]如图，根据标注，该图可验证的乘法公式是(　　)
A．(m＋n)(m－n)＝m2－n2
B．(m＋n)2＝m2＋2mn＋n2
C．(m－n)2＝m2－2mn＋n2
D．(m＋n)2＝(m－n)2＋4mn
C
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（1）你能用下图解释这一公式吗
b
a
b
a
思考·交流
b
a
b
a
= + +
a2
ab
ab
b2
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
（2）如何计算(a – b)2 你是怎样做的
(a – b)2
= (a – b)(a – b)
= a2 – 2ab + b2
1
(a – b)2
= [a+(– b)]2
= a2 +2a(– b)+(– b)2
= a2 – 2ab + b2
2
用自己的语言叙述这一公式！
两个数的差的平方，等于它们的平方和，减去它们的积的2倍。
b
a
b
a
(a – b)2
a2
ab
ab
b2
= – +
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
请你设计一个图形解释这一公式。
尝试·思考
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
完全平方公式：
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。
口诀:
首平方，尾平方，首尾二倍中间放。
3. 对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算：a☆b＝a2－b2.根据这个定义，代数式x☆(x－y)可以化简为(　　)
A．2xy＋y2 B．－2xy＋y2
C．2xy－y2 D．x2
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【点拨】x☆(x－y)＝x2－(x－y)2＝x2－(x2－2xy＋y2)＝2xy－y2.故选C.
C
4．要使等式(x－y)2＋M＝(x＋y)2成立，整式M应是(　　)
A．2xy B．4xy C．－4xy D．－2xy
B
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5．若(2x－ky)2＝4x2＋12xy＋9y2，则k的值为________．
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－3
完全平方公式
平方差公式
整式乘法公式
例 5 利用完全平方公式计算：
（1）(2x – 3)2； （2）(4x + 5y)2； （3）(mn – a)2
解：（1） (2x–3)2 = (2x)2–2·2x·3+32
（2）(4x + 5y )2 = (4x)2 + 2·4x·5y + (5y)2
= 16x2 + 40xy + 25y2 ；
（3） (mn – a)2 = (mn)2 – 2·mn·a + a2
= m2n2 – 2amn + a2。
(a -b)2
a2 - 2ab + b2
= 4x2–12x+9；
如果将 (a + b)n（n 为非负整数）的每一项按字母 a 的次数由大到小排列，就可以得到下面的等式：
阅读·思考
(a + b)0 = 1，它只有一项，系数为 1；
(a + b)1 = a + b，它有两项，系数分别是 1， 1；
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2，它有三项，系数分别是 1， 2， 1；
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3，它有四项，系数分别是 1， 3， 3， 1.
如果将上述每个式子的各项系数排成下表， 那么你能发现什么规律
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
按照这个规律可以继续将这个表写下去：
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
……
杨辉三角
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6. 若将多项式4a2－2a＋1加上一个单项式成为一个多项式的平方，则这个单项式可以是_________________．(只要写出符合条件的一个即可)
－2a(答案不唯一)
【解】(2a－3b)2＝(2a)2－2·2a·3b＋(3b)2＝4a2－12ab＋9b2.
(3)(－4a－3b)2;
(4)(x－1)2－x2.
【解】(－4a－3b)2＝(－4a)2－2·(－4a)·3b＋(3b)2＝
16a2＋24ab＋9b2.
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(x－1)2－x2＝x2－2x＋1－x2＝－2x＋1.
8．已知(a＋b)2＝16，(a－b)2＝9，求a2＋b2，ab的值．
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9. 已知2a2－a－3＝0，则(2a＋3)(2a－3)＋(2a－1)2的值是(　　)
A．6 B．－5 C．－3 D．4
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D
10．如图，长方形ABCD的周长是10，以AB，AD为边向外作正方形ABEF和正方形ADGH，若正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17，那么长方形ABCD的面积是(　　)
A．3　　 B．4　　
C．5　　　 D．6
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【点拨】因为正方形ABEF和正方形ADGH的面积之和为17，所以AB2＋AD2＝17.因为长方形ABCD的周长是10，所以AB＋AD＝×10＝5，所以(AB＋AD)2＝25，所以AB2＋AD2＋2AB·AD＝25，所以17＋2AB·AD＝25，所以AB·AD＝4.所以长方形ABCD的面积是4.
【答案】B
11．若x满足(x－2 026)(2 027－x)＝0.25，则(x－2 026)2＋(2 027－x)2＝(　　)
A．0.25　　 B．0.5 C．1　 D．－0.25
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【点拨】(x－2 026)2＋(2 027－x)2＝(x－2 026＋2 027－x)2－2(x－2 026)(2 027－x)＝1－2×0.25＝0.5.
B
12．【阅读】求x2＋6x＋11的最小值．
解：x2＋6x＋11＝x2＋6x＋9＋2＝(x＋3)2＋2.
因为(x＋3)2的值为非负数，所以(x＋3)2＋2的最小值为2，即x2＋6x＋11的最小值为2.
【问题解决】
(1)对于多项式x2＋y2－2x＋2y＋5，当x，y取何值时有最小值？最小值为多少？
【解】x2＋y2－2x＋2y＋5＝x2－2x＋12＋y2＋2y＋12＋
3＝(x－1)2＋(y＋1)2＋3.因为(x－1)2和(y＋1)2的结果都为非负数，所以当x＝1，y＝－1时，(x－1)2＋(y＋1)2＋3的最小值为3，即x2＋y2－2x＋2y＋5的最小值为3.
(2)若多项式m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，求mn的值．
【解】因为m2＋2mn＋2n2－6n＋9＝0，
所以m2＋2mn＋n2＋n2－6n＋9＝0，
所以(m＋n)2＋(n－3)2＝0.
因为(m＋n)2与(n－3)2的值都是非负数，
所以m＋n＝0，n－3＝0.
所以m＝－3，n＝3.所以mn＝－9.
(3)多项式－x2＋10x－36是否有最值？若有，则求出最值；若没有，请说明理由．
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【解】有最大值．－x2＋10x－36＝－(x2－10x＋36)＝－(x2－10x＋25＋11)＝－(x－5)2－11.
因为(x－5)2≥0，所以－(x－5)2≤0.
所以－(x－5)2－11≤－11.
所以多项式－x2＋10x－36有最大值，最大值是－11.
13. 如图①所示的是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀将其均分成4个小长方形，然后按图②的方式拼成一个正方形．
(1)请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积：
方法1：________________；
方法2：________________；
(2)由(1)写出(m＋n)2，(m－n)2，mn这三个代数式之间的等量关系：_______________________；
(m＋n)2－4mn
(m－n)2
(m－n)2＝(m＋n)2－4mn
(3)根据(2)中的等量关系，解决如下问题：
①已知a－b＝5，ab＝－6，求(a＋b)2的值；
【解】因为a－b＝5，ab＝－6，
所以(a＋b)2＝(a－b)2＋4ab＝52＋4×(－6)＝25－24＝1.
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课堂小结
（a±b）2 = a2 ± 2ab + b2
两个数的和(或差)的平方，等于它们的平方和加上(或减去)它们的积的2倍。
语言叙述：
完全平方公式：