1.3.4完全平方公式的应用-课件(共20张PPT)--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

(共20张PPT)
北师大版数学7年级下册培优精做课件1.3.4完全平方公式的应用第一章整式的乘除授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
学习目标
1.会利用多项式乘多项式的运算法则推导完全平方公式.
2.掌握完全平方公式，能正确运用公式进行简单计算和推理.
3.了解完全平方公式的几何背景，发展几何直观，培养数形结合思想.
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
前面我们学习了完全平方公式：
复习导入
口诀:首平方，尾平方，首尾乘积的2倍放中间。
(1) 1022=(100+2)2
=1002+2×100×2+22
=10000+400+4
=10404
新课探究
怎样计算1022，1972更简单呢
(2)1972=(200-3)2
=2002-2×200×3+32
=40000-1200+9
=38809
你是怎样做的 与同伴进行交流。
1.3.4 完全平方公式的应用 教学课件
第1页：复习回顾
1. 完全平方公式：(a+b) =a +2ab+b ；(a-b) =a -2ab+b
2. 结构口诀：首平方，尾平方，积的2倍在中间，符号随括号内符号定
3. 提问：公式中a、b可以表示哪些数或式子？（引导学生明确a、b可表示单项式、多项式）
第2页：基础应用·直接套用
例1：计算下列各式
（1）(2x+3y) （2）(m-5) （3）(-a+2b)
教学步骤：
1. 学生独立尝试，指名板演；2. 师生共评，强调找准“首、尾”，规范步骤；3. 小结：含负号时可转化为(a+b) 形式计算，如(-a+2b) =(2b-a)
第3页：进阶应用·简便计算
例2：用完全平方公式简便计算
（1）102 （2）99
教学步骤：
1. 引导转化：102=100+2，99=100-1；2. 学生分组计算，分享思路；3. 小结：将接近整十、整百的数拆成“整十/百数±小数”，简化运算
第4页：易错辨析·避坑指南
常见错误展示与纠正：
1. 错误：(x+2) =x +4 纠正：遗漏中间项2·x·2=4x，正确结果x +4x+4
2. 错误：(3a-2b) =9a -6ab+4b 纠正：中间项系数应为2·3a·2b=12ab，正确结果9a -12ab+4b
3. 小组讨论：如何避免上述错误？（强化“积的2倍”不可漏，系数要乘满）
第5页：拓展应用·整体代入
例3：已知a+b=5，ab=3，求a +b 的值
教学步骤：
1. 引导变形：a +b =(a+b) -2ab；2. 代入数值计算：5 -2×3=25-6=19；3. 小结：利用公式变形，将未知转化为已知条件，渗透整体思想
第6页：课堂小结
1. 完全平方公式应用的三种常见类型：直接套用、简便计算、整体代入
2. 核心要点：找准首末项，牢记中间项，符号细分辨，变形巧应用
3. 思想方法：转化思想、整体思想、数形结合思想（回顾公式几何意义）
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1．用简便方法计算9.52，下列变形正确的是(　　)
A．9.52＝102－2×10×0.5＋0.52
B．9.52＝(10＋0.5)(10－0.5)
C．9.52＝92＋0.52
D．9.52＝92＋9×0.5＋0.52
A
2．如图①是由4个相同的白色长方形和1个灰色的正方形拼接而成的正方形瓷砖，图②是由5个白色的长方形(每个长方形大小和图①相同)和1个灰色的不规则图形构成的长方形瓷砖．已知图①和图②中灰色图形的面积分别为35和102，则每个白色
长方形的面积为________．
8
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【点拨】由题图①可得(a＋b)2－4ab＝35，即a2＋
b2＝2ab＋35①，由题图②可得(2a＋b)(a＋2b)－
5ab＝102，即a2＋b2＝51②，由①②得2ab＋35＝51，所以ab＝8，所以每个白色长方形的面积为8.
例6 计算：
（1）(x+3)2-x2；
（2）(a+b+3) (a+b-3)；
（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)；
（4）[(a+b)(a-b)]2。
解：
（1）(x+3)2-x2
=x2+6x+9-x2
=6x+9；
（2）(a+b+3) (a+b-3)
= [(a+b)+3][(a+b)-3]
= (a+b)2-32
= a2+2ab+b2-9
例6 计算：
（1）(x+3)2-x2；
（2）(a+b+3) (a+b-3)；
（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)；
（4）[(a+b)(a-b)]2。
（4） [(a+b)(a-b)]2
= (a2- b2)2
= a4-2a2b2+b4。
（3）(x+5)2-(x-2)(x-3)
= x2+10x+25-(x2-5x+6)
= x2+10x+25-x2+5x-6
= 15x+19
利用整式乘法公式计算：
(1) 962
(2) (a-b-3) (a-b+3)
解：962
=(100-4)2
=1002-2×100×4+42
=10000-800+16
=9216
解：(a-b-3) (a-b+3)
=(a-b)2-32
=a2-2ab+b2-9
随堂练习
3．利用简便方法计算：
(1)499.92；
【解】499.92＝(500－0.1)2＝5002－2×500×0.1＋0.12＝250 000－100＋0.01＝249 900.01.
(3)2 0262－4 050×2 026＋2 0252；
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【解】2 0262－4 050×2 026＋2 0252＝2 0262－2×
2 025×2 026＋2 0252＝(2 026－2 025)2＝12＝1.
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5．计算：
(1)(3x－1)2－(2x＋5)2；
(2)(m＋n)2(m－n)2；
【解】(3x－1)2－(2x＋5)2＝9x2－6x＋1－(4x2＋20x＋
25)＝9x2－6x＋1－4x2－20x－25＝5x2－26x－24.
(m＋n)2(m－n)2＝[(m＋n)(m－n)]2＝(m2－n2)2＝
m4－2m2n2＋n4.
(3)2(a＋3)2－4(a＋3)(a－3)＋3(a－2)2.
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【解】2(a＋3)2－4(a＋3)(a－3)＋3(a－2)2＝2(a2＋6a＋
9)－4(a2－9)＋3(a2－4a＋4)＝2a2＋12a＋18－4a2＋36＋3a2－12a＋12＝a2＋66.
6. 【阅读理解】一般地，如果正整数a，b，c(a≠b≠c)满足a2＋b2＝c2，那么a，b，c称为一组“完美数”．例如，32＋42＝52，则称3，4，5是一组“完美数”．
【问题解决】(1)下列数组：①1，2，3；②5，7，8；③5，12，13，其中是“完美数”的有________(填序号)；
③
(2)“完美数”有很多的构造方法．试说明：如果m，n为任意正整数，且m＞n，那么m2－n2，2mn，m2＋n2一定是一组“完美数”；
【解】因为m，n为任意正整数，且m＞n，(m2－n2)2＋(2mn)2＝m4－2m2n2＋n4＋4m2n2＝m4＋2m2n2＋n4＝(m2＋n2)2，所以m2－n2，2mn，m2＋n2一定是一组“完美数”．
(3)若按(2)中的方法构造出的一组“完美数”中最大数是2t2＋14t＋25(t是任意正整数)，求这组“完美数”中的最小数(用含t的代数式表示)．
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【解】由题意得m2＋n2＝2t2＋14t＋25＝t2＋8t＋16＋
t2＋6t＋9＝(t＋4)2＋(t＋3)2.
因为t是正整数，所以t＋4＞t＋3.
所以m＝t＋4，n＝t＋3.
所以m2－n2＝(t＋4)2－(t＋3)2＝2t＋7，2mn＝
2(t＋4)(t＋3)＝2t2＋14t＋24＞2t＋7.
所以这组“完美数”中的最小数为2t＋7.
课堂小结
简便运算
混合运算
平方差公式的应用
实际应用:运用完全平方公式进行推理