2.1.1对顶角、补角和余角-课件(共33张PPT)--2025-2026学年北师大版数学七年级下册

(共33张PPT)
北师大版数学7年级下册培优精做课件2.1.1对顶角、补角和余角第二章相交线与平行线授课教师：Home .班级：7年级（*）班.时间：.
学习目标
1.了解两条直线的位置关系：相交和平行.
2.在具体情境中理解对顶角、补角、余角等概念.
3.掌握对顶角、补角、余角的性质，并能解决一些实际问题.
问题 生活中的“线”
两直线相交 所成的角 顶点 边
问题1：观察图形，填写下表并说说你有什么发现
问题引入，自主探究
A
C
B
D
O
1
4
3
2
探究点1：对顶角、补角的概念
∠1
O
OB和OD
∠2
O
OA和OC
∠3
O
OB和OC
∠4
O
OA和OD
1.有公共顶点
2.两边互为反向延长线。
A
C
B
D
O
1
4
3
2
直线AB与CD相交于点O，∠1与∠2有公共顶点O，它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角。
概念引入
∠1 的对顶角是______；
∠2
∠3 的对顶角是______。
∠4
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1．下列说法正确的是(　　)
A．不相交的两条直线是平行线
B．在同一平面内，不相交的两条射线叫作平行线
C．在同一平面内，两条直线不相交就重合
D．在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
D
2．下列选项中，∠1和∠2是对顶角的是(　　)
D
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问题2：用量角器测量每个角的度数，说说你有什么发现
A
C
B
D
O
1
4
3
2
∠1 =∠2
∠3 = ∠4
∠1 +∠3 = 180°
∠2 +∠4 = 180°
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
30°
30°
150°
150°
∠1 +∠4 = 180°
∠2 +∠3 = 180°
A
C
B
D
O
1
4
3
2
∠1 +∠3 = 180°
∠2 +∠4 = 180°
∠1 +∠4 = 180°
∠2 +∠3 = 180°
一般地，如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角。简称这两个角互补。
概念引入
图中AB⊥CD，AB，CD，EF相交于点O，则∠1与∠2 有什么关系？
∠1 ＋∠2＝90°
E
A
2
B
C
D
F
1
O
如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角。简称这两个角互余。
3．如图，四条线段a，b，c，d中的一条与挡板另一侧的线段m平行，请借助直尺，判断该线段是(　　)
A．a　
B．b　
C．c　
D．d
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C
4. 如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为(　　)
A．100° B．110°
C．120° D．130°
C
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探究点2：对顶角、补角、余角的性质
A
C
B
D
O
1
4
3
2
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
30°
30°
150°
150°
∠1 =∠2
∠3 = ∠4
问题3：改变角度的大小，对顶角之间的数量关系仍然存在吗？如何证明？
方法一：改变角度，测量各个角的度数：
∠1 ∠2 ∠3 ∠4
方法二：几何推导证明：
∵ ∠1 +∠3 =180°，∠3 +∠2 =180°，
∴ ∠1 =∠2 。
归纳总结
两直线相交，对顶角相等。
A
C
B
D
O
1
4
3
2
5．若∠A的补角是102°，则∠A的余角为(　　)
A．40°　 B．51°　 C．30°　 D．12°
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D
6．将一副三角尺按下列位置摆放，使∠1与∠2互为余角的摆放方式是(　　)
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【点拨】A.因为同角的余角相等，所以∠1＝∠2，但∠1与∠2不一定互余，故此选项不符合题意；B.因为∠1＋45°＝∠2＋45°＝180°，所以∠1＝∠2＝135°，即∠1与∠2不互为余角，故此选项不符合题意；C.因为∠1＋∠2＝180°，所以∠1与∠2不互为余角，故此选项不符合题意；D.因为∠1＋∠2＝180°－90°＝90°，所以∠1与∠2互为余角，故此选项符合题意．故选D.
【答案】 D
问题4： 如图，打台球时，选择适当的方向用白球击打红球，反弹后的红球会直接入袋，此时，∠1=∠2。
(1)请在右图中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。
将上图简化为下图，ON与DC相交所成的∠DON和∠CON都等于90°，且∠1=∠2。
(2)∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？你能说明理由吗？与同伴进行交流。
(1)在右图中找出互为补角和互为余角的角，并说说你的理由。
互为补角:
互为余角:
根据补角和余角的定义知：
∠1和∠3，∠2和∠4
∠DOA和∠ COA ， ∠DON和∠ CON ， ∠DOB和∠ COB 。
(2) ∠3与∠4的大小有什么关系？∠AOC与∠BOD呢？
你能说明理由吗？与同伴进行交流。
因为 ∠1+∠3=90°， ∠2+∠4=90°
又因为 ∠1=∠2
所以 ∠3=∠4
因为∠AOC=∠AOB+∠BOC
又因为∠BOC =∠AOD
所以 ∠AOC = ∠BOD
∠BOD=∠AOB+∠AOD
同角(或等角)的补角相等，同角(或等角)的余角相等。
7．泰勒斯被誉为古希腊及西方第一位自然科学家和哲学家，据说“两条直线相交，对顶角相等”就是泰勒斯发现并论证的．论证“对顶角相等”使用的依据是________________．
同角的补角相等
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【点拨】如图，因为∠1＋∠2＝180°，∠3＋ ∠2＝180°，所以∠1＝∠3.所以论证“对顶角相等”使用的依据是同角的补角相等．
8. 当光线从空气斜射入水中时，光线的传播方向发生了变化，这种现象叫作光的折射．如图，MN为水面，直线AB⊥MN于点F，直线CD经过点F，一束光线沿CD射入水面，在点F处发生折射，沿FE射入水中，如果∠1＝42°，∠2＝30°，那么光的传播
方向改变了________°.
12
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9．如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC.
(1)若∠BOE＝145°，求∠AOC的度数．
【解】因为∠BOE＋∠AOE＝180°，∠BOE＝145°，所以∠AOE＝180°－145°＝35°.又因为OE平分∠AOC，
所以∠AOC＝2∠AOE＝70°.
(2)在图中画OE的反向延长线OF，OF是∠BOD的平分线吗？并说明理由．
【解】如图，OF即为所求．
OF是∠BOD的平分线．理由如下：
由(1)知∠AOC＝2∠AOE，
又因为∠AOE＝∠BOF，∠AOC＝∠BOD，
所以∠BOD＝2∠BOF，所以OF是∠BOD的平分线．
(3)在(2)画得的图形中，与∠BOE互补的角有________个．
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【点拨】因为∠BOE＋∠AOE＝180°，所以∠AOE是∠BOE的补角．易知∠AOE＝∠COE＝∠BOF＝∠DOF，所以∠AOE，∠COE，∠BOF，∠DOF都是∠BOE的补角，共有4个．
4
10．如图，直线AB与CD相交于点D，∠CDB＝90°，∠1＝∠2，则图中互补的角有(　　)
A．6对
B．3对
C．4对
D．5对
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【点拨】因为∠1＝∠2，所以∠BDE＝∠ADF.所以∠1＋∠BDE＝∠1＋∠ADF＝∠2＋∠BDE＝∠2＋∠ADF＝∠ADC＋∠BDC＝180°.所以互补的角有5对．故选D.
【答案】 D
11．若∠α和∠β互余，且∠α＞∠β，则下列表示∠β的补角的式子中，正确的有(　　)
①180°－∠β；②∠α＋90°；③2(∠α＋∠β)；④2∠α－∠β；⑤2∠α＋∠β.
A．①②　 B．③④
C．①②⑤　 D．②③④
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【点拨】因为∠α和∠β互余，所以∠α＋∠β＝90°.所以∠β＝90°－∠α.又因为∠β的补角为180°－∠β，所以其补角还可以表示为180°－(90°－∠α)＝∠α＋90°.因为∠α＋∠β＝90°，所以2∠α＋2∠β＝180°.所以∠β的补角还可以表示为2∠α＋2∠β－∠β＝2∠α＋∠β.故正确的有①②⑤.
【答案】 C
12．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠DOE是直角，OF平分∠AOE，∠BOD＝22°，则∠COF＝_______．
34°
13．如图，O是直线AB上的一点，∠AOC和∠DOB互余，OE平分∠BOC，若∠DOE＝m，则∠AOC的度数为________．(用含m的代数式表示)
2m
课堂小结
线
平
行
线
相
交
线
两条
直线
相交
一般情况
补角
对顶角
相交成直角
垂直
位置
关系
余角
点到直线的距离
两条直线被第三条所截
同位角、内错角、同旁内角
概念
两直线平行的条件
两直线平行的性质
概念
性质
概念
性质
概念
性质
两个角有公共点，它们的两边互为反向延长线。
对顶角相等
两个角的和为180°，称两个角互补。
同角(或等角)的补角相等
两个角的和为90°，称两个角互余。
同角(或等角)的余角相等