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高频考点专练03 因式分解
（3个知识点+4个题型+1个专练+验收卷）
1．因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
（1）以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa＋pb＋pc＝p（a＋b＋c）；
②公式法：a2－b2＝（a＋b）（a－b）；a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；a2－2ab＋b2＝（a－b）2．
③分组分解法：ac＋ad＋bc＋cd＝a（c＋d）＋b（c＋d）＝（a＋b）（c＋d）
④十字相乘法：a2＋（p＋q）a＋pq＝（a＋p）（a＋q）
2.因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解.
类型1 提公因式法因式分解
【例题】
1．（2025·广东韶关·二模）因式分解： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解，运用提公因式法进行因式分解，即可作答．
【详解】解：，
故答案为：．
【变式】
2．（2025·广东·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案．
【详解】解：a2b+ab2=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
3．（2025·广东广州·二模）分解因式： ．
【答案】
【知识点】提公因式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
根据提公因式法及平方差公式可直接进行求解．
【详解】解：
故答案为．
4．（2023·广东深圳·中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
【答案】42
【知识点】已知式子的值，求代数式的值、提公因式法分解因式
【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可．
【详解】
．
故答案为：42．
【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点．
5．（2025·广东深圳·三模）已知，，则代数式的值为 ．
【答案】6
【知识点】提公因式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查的是提公因式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求值”是解本题的关键．
先把提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可．
【详解】解：因为，，
故答案为：
类型2 直接运用公式法因式分解
【例题】
6．（2025·广东韶关·二模）写出一个可以用完全平方公式进行因式分解且只含有和的多项式 ．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题考查了因式分解，完全平方公式，根据完全平方公式写出一个多项式，即可求解．
【详解】解：依题意，
故答案为：（答案不唯一）．
【变式】
7．（2025·广东深圳·二模）因式分解： ．
【答案】
【知识点】完全平方公式分解因式
【分析】本题主要考查了完全平方公式和因式分解，利用完全平方公式分解即可．熟练掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：；
故答案为：．
8．（2024·广东深圳·模拟预测）因式分解： ．
【答案】
【知识点】平方差公式分解因式、提公因式法分解因式
【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式法进行因式分解即可．
【详解】解：原式．
故答案为：．
9．（2024·广东·模拟预测）已知，为实数，且满足 ，则 ， ．
【答案】
【知识点】完全平方公式分解因式、利用算术平方根的非负性解题
【分析】本题考查了通过完全平方公式分解因式，偶次幂非负性，算术平方根的非负性，根据完全平方公式，偶次幂非负性，算术平方根的非负性即可求解，掌握知识点的应用是解题关键．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴，
∴，，
∴，，
故答案为：，．
10．（2024·广东惠州·模拟预测）若a，b，c是三角形的三边长，则式子的值（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
【答案】A
【知识点】三角形三边关系的应用、平方差公式分解因式
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，三角形三边关系的应用，根据三角形中任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边得到，再利用平方差公式把所求式子因式分解得到，据此可得答案．
【详解】解：∵a，b，c是三角形的三边长，
∴，，
∴
∴，
故选：A．
类型3 提公因式后应用公式法因式分解
【例题】
11．（2025·广东汕头·三模）将因式分解为 ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、提公因式法分解因式
【分析】本题考查了多项式的因式分解，掌握提公因式法和平方差公式是解题的关键．先提出公因式２，再运用平方差公式分解即可．
【详解】解：，
故答案为：
【变式】
12．（2025·广东广州·二模）因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查了因式分解的方法，提公因式，再利用平方差公式分解即可，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
【详解】解：．
故答案为：．
13．（2025·广东广州·二模）因式分解： ．
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查因式分解，原式先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可得出结果．
【详解】解：，
故答案为：．
14．（2025·广东广州·二模）因式分解：
【答案】
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解；
，
故答案为：．
15．（2025·广东深圳·二模）已知，则 ．
【答案】48
【知识点】综合提公因式和公式法分解因式、已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查因式分解，掌握因式分解的常用方法是解题的关键．将代数式因式分解后，整体代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
类型4 因式分解的应用
【例题】
16．（2025·广东东莞·三模）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，分别表示两个阴影部分的面积．若，则（ ）
A．6 B．21 C． D．
【答案】C
【知识点】因式分解的应用、通过对完全平方公式变形求值
【分析】本题考查完全平方公式的变形求值，因式分解的应用，利用完全平方公式的变形求出的值，得出，进而利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴（取正值），
∵
，
∴；
故选：C．
【变式】
17．（2025·广东汕头·一模）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值．”按照秦九韶算法，多项式．当时，．
参考上述方法，当时，多项式的值是 ．
【答案】49
【知识点】提公因式法分解因式、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查代数式求值，先化简再求值；先提取公因式化简，再代入计算即可求出．
【详解】解：当时，
故答案为：49．
18．（2024·广东广州·二模）已知多项式①，②，③．
(1)把这三个多项式因式分解；
(2)请选择下列其中一个等式（A或B），求与的关系．
A．；B．；
【答案】(1)①．②，③
(2)见详解
【知识点】因式分解的应用、综合提公因式和公式法分解因式
【分析】本题考查因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
（1）分别根据提公因式法和公式法进行因式分解即可；
（2）由题意列得对应的等式，然后变形后进行因式分解，再结合等式成立进行判断即可．
【详解】（1）解：①．
②，
③；
（2），
，
即．
因式分解得：，
或
解得：或；
，
即
因式分解得：，
或
解得：或．
19．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式：
根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：．
【答案】(1)；
(2)．
【知识点】分组分解法
【分析】本题考查了公式法因式分解法和分组分解法的应用，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）仿照进行分解即可；
（）仿照进行分解即可；
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．（2025·广东清远·一模）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，因此8，16都是“正巧数”．
(1)请写出一个30到50之间的“正巧数”：______；
(2)已知，为正整数，且，若是“正巧数”，求的最小值．
【答案】(1)32（或40或48）
(2)
【知识点】因式分解的应用
【分析】此题主要考查了因式分解的应用，解答此题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，灵活运用平方差公式进行计算；难点是理解“正巧数”都是8的倍数，如果一个数是8的倍数，那么这个数一定是“正巧数”．
（1）根据“正巧数”的定义设0到50之间的“正巧数”为：，为正整数，则，解不等式求出的值即可得出答案；
（2）先计算，设两个连续正奇数为，，则， 可得，再求解即可．
【详解】（1）解：根据“正巧数”的定义：“正巧数”等于两个正奇数的平方差，
设0到50之间的“正巧数”为：，为正整数，
则：，
整理得：，
解得：，
为正整数，
，5，6，
到50之间的“正巧数”共有3个，它们分别是：32，40，48．
即：，，．
在32，40，48中任选一个即可，
故答案为：32（或40或48）；
（2）解：，
设两个连续正奇数为，，
则，
，
，为正整数且，
当时，（舍去）；
当时，，
，
，，
．
满分：70分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共18分）
1．（2025·广西·中考真题）因式分解：（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了因式分解．利用平方差公式进行因式分解，即可求解．
【详解】解：．
故选：A
2．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查的是因式分解，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可.
【详解】解：.
故选：C
3．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．9
【答案】D
【分析】本题考查因式分解，代数式求值，先将多项式进行因式分解，利用整体代入法，求值即可．
【详解】解：∵，，
∴
；
故选D．
4．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
【答案】B
【分析】用平方差公式进行因式分解，得到乘积的形式，然后直接可以找到能被整除的数或式．
【详解】解：
，
能被3整除，
∴的值总能被3整除，
故选：B．
【点睛】本题考查了平方差公式的应用，平方差公式为通过因式分解，可以把多项式分解成若干个整式乘积的形式．
5．（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
【答案】D
【分析】设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，根据题意，得，分类解答即可．
本题考查了平方差公式的应用，整数的整除性质，熟练掌握公式是解题的关键．
【详解】解：设一个奇数为，另一个奇数为，且是较大一个，都是正整数，
根据题意，得
，
当时，，都能成立；
当时，则，则，
故，
故，
故一定能被8整除，
故选：D．
6．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了整式的乘法与因式分解，由因式分解形式可得 且，其中 、为整数． 列举所有满足，计算，并找出最大值．
【详解】解：，
，且、、为整数，
，
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
当，时，；
的可能值为 ， ， ， ， ， ，其中最大值为 ．
故选：C．
二、填空题（每题3分，共27分）
7．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了提公因式法分解因式，注意计算的准确性即可；
【详解】解：，
故答案为：
8．（2025·四川·中考真题）分解因式： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解中的提取公因式法，解题的关键是准确找出多项式中各项的公因式，并将其提取出来完成因式分解．
先观察多项式的两项，找出它们共有的因式（公因式），其中含因式和，含因式和，公因式为；再用公因式分别去除两项，得到和，最后将公因式与所得结果用乘号连接，完成分解．
【详解】解：观察多项式，两项均含有公因式，
将公因式提取出来，得：，
故答案为：．
9．（2025·广东·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】直接提取公因式ab，进而分解因式得出答案．
【详解】解：a2b+ab2=．
故答案为：．
【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．
10．（2025·海南·中考真题）分解因式：= .
【答案】
【分析】用完全平方公式分解即可.
【详解】=.
故答案为.
【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握a2±2ab+b2=(a±b)2是解答本题的关键．两项平方项的符号需相同；有一项是两底数积的2倍，是易错点．
11．（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止．
直接根据完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
12．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，根据题意可得多项式加上一个单项式后可以变为一个多项式的平方的展开式，据此根据完全平方公式的特点求解即可．
【详解】解：由题意得，加上的单项式可以为，理由如下：
，
∴符合题意，
故答案为：（答案不唯一）．
13．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是 ．
【答案】
【分析】此题考查了分解因式，先提取公因式，再运用平方差公式分解因式．
【详解】解：
．
故答案为：．
14．（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了综合运用提公因式以及公式法分解因式，先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解．
【详解】解：
故答案为：
15．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
三、解答题（共25分）
16．（2023·浙江·中考真题，8分）观察下面的等式：，，，，…．
(1)尝试：___________．
(2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
【答案】(1)6
(2)n
(3)见解析
【分析】（1）根据题目中的例子，可以直接得到结果；
（2）根据题目中给出的式子,可以直接得到答案；
（3）将（2）中等号左边用平方差公式计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，，
∴，，
故答案为：6；
（2）由题意得：，
故答案为：n；
（3）
．
【点睛】此题考查了数字类的变化规律，有理数的混合运算，列代数式，平方差公式，正确理解题意，发现式子的变化特点是解题的关键．
17．（2025·福建·中考真题，8分）已知整式，其中，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，，，，是自然数，则满足条件的不同整式中共有几个？请说明理由．
【答案】(1)7
(2)5个，理由见解析
【分析】本题考查因式分解的应用．
（1）令和，分别得到，，得到，根据可知；
（2）由得到，根据可知的最小取值，即，根据，，，，是自然数可知都为自然数，即，求出所有符合要求的的取值，进而判断即可．
【详解】（1）解：当时，，
即，
当时，，
即，
得：，
，
∵为常数项，
∴，
；
（2）解：∵，
∴．
∴．
∵，
∴的最小取值．
∴，
∵，，
∴都为自然数，
∴，
∴，或，或，或，，
∴，（舍去）或，或，（舍去）或，，
当，时，
则，可能的组合为，或，或，或，，共4种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合；
∴满足条件的不同整式有：(个)；
当，时，
则，可能的组合为，，共1种组合；，，可能的组合为，，，共1种组合；
∴满足条件的不同整式有：(个)；
综上，满足条件的不同整式有：(个)．
18．（2024·安徽·中考真题，9分）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
奇数 的倍数
表示结果
一般结论 ______
按上表规律，完成下列问题：
（）（ ）（ ）；
（）______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析：若均为偶数，设，，其中均为自然数，则为的倍数．而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．若均为奇数，设，，其中均为自然数，则______为的倍数．而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．由可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．
【答案】(1)（），；（）；
(2)
【分析】（）（）根据规律即可求解；（）根据规律即可求解；
（）利用完全平方公式展开，再合并同类项，最后提取公因式即可；
本题考查了平方差公式，完全平方公式，掌握平方差公式和完全平方公式的运算是解题的关键．
【详解】（1）（）由规律可得，，
故答案为：，；
（）由规律可得，，
故答案为：；
（2）解：假设，其中均为自然数．
分下列三种情形分析：
若均为偶数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．
若均为奇数，设，，其中均为自然数，
则为的倍数．
而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．
若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．
而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．
由可知，猜测正确．
故答案为：．
因式分解验收卷
满分：45分 得分：____
一、单选题（每题3分，共18分）
1．多项式的公因式是（ ）
A．a B． C．b D．
【答案】A
【分析】本题考查公因式，根据三定法：定系数—系数的最大公约数，定字母—相同字母，定指数—相同字母的最低次幂，确定公因式，进行判断即可．
【详解】解：多项式的公因式是；
故选A．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据因式分解的方法，逐项分解即可．
【详解】A. ，不能因式分解，故该选项不正确，不符合题意；
B. 故该选项不正确，不符合题意；
C. ，故该选项不正确，不符合题意；
D. ，故该选项正确，符合题意．
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
3．一个多项式因式分解后的一个因式为，这个多项式可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，分别利用公式法以及提取公因式分解因式进而判断得出答案．
【详解】解：A、，含有因式，本选项符合题意；
B、无法分解，本选项不符合题意；
C、，不含有因式，本选项不符合题意；
D、，不含有因式，本选项不符合题意；
故选：A．
4．若，则的值为（ ）
A．16 B．4 C．2 D．1
【答案】D
【分析】此题主要考查了因式分解的应用，正确分解因式是解题关键．先用完全平方公式分解因式，把已知数据代入得出答案．
【详解】解：，
，
原式．
故选：D．
5．观察下列树枝分叉的规律图，若第个图树枝数用表示，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题目中的图形，可以写出前几幅图中树枝分杈的数量，从而可以发现树枝分杈的变化规律，进而得到规律，代入规律求解即可．
【详解】解：由图可得到：
则：，
∴，
故答案选：B．
【点睛】本题考查图形规律，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
6．对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（ ）
A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除
【答案】B
【分析】此题考查了完全平方公式，提取公因式进行因式分解．多项式利用完全平方公式计算，合并同类项进行化简，然后提取公因式进行因式分解，即可做出判断．
【详解】解：
，
无论为奇数或偶数，与必为一奇一偶，其乘积为偶数，
故.．
该式恒为8的倍数，因此对任意整数，原式必被8整除．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共27分）
7．分解因式： ．
【答案】
【分析】原式提取ab进行分解即可．
【详解】解：原式=
故答案为：
【点睛】此题考查了提公因式法的运用，熟练掌握因式分解的提公因式方法是解本题的关键．
8．给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ．
【答案】或
【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据完全平方公式的形式解答即可．
【详解】，
这个单项式为；
，
这个单项式为．
故答案为：或．
9．已知，，则的值为 ．
【答案】8
【分析】根据平方差公式直接计算即可求解．
【详解】解：∵，，
∴
故答案为：8
【点睛】本题考查了因式分解的应用，掌握平方差公式是解题的关键．
10．若，则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查了求代数式的值．将整理得，再整体代入即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：1．
11．已知，，则的值为 ．
【答案】6
【分析】将因式分解，然后代入已知条件即可求值．
【详解】解：
．
故答案为：6
【点睛】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
12．分解因式： ．
【答案】
【分析】题目中每项都含有x，提取公因式x；先提取公因式，再用完全平方公式即可得出答案．
【详解】
故答案为．
【点睛】本题考查了整式的因式分解，提公因式法和公式法，熟练掌握提公因式法分解因式、完全平方公式法分解因式是解题关键．
13．分解因式： ．
【答案】/
【分析】本题考查了多项式乘以多项式、分解因式，先根据多项式乘以多项式的运算法则去括号，再合并同类项，最后利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：
，
故答案为：．
14．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了因式分解的应用，先提公因数，然后根据平方差公式进行计算即可求解，也可直接计算．
【详解】解：
故答案为：．
15．一个正两位数M，它的个位数字是，十位数字是a，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ．
【答案】6
【分析】本题考查整式的加减运算，因式分解的应用，求出的值，因式分解后，根据的值能被13整除可得出，进而可求出a的值．
【详解】解：正两位数，
新两位数，，
因为的值能被13整除，且a为整数，，，
所以，
解得．
故答案为：6．
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高频考点专练03 因式分解
（3个知识点+4个题型+1个专练+验收卷）
1．因式分解：把一个多项式化成了几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式．
（1）以上公式都可以用来对多项式进行因式分解，因式分解的常用方法：
①提公因式法：pa＋pb＋pc＝p（a＋b＋c）；
②公式法：a2－b2＝（a＋b）（a－b）；
a2＋2ab＋b2＝（a＋b）2；a2－2ab＋b2＝（a－b）2．
③分组分解法：ac＋ad＋bc＋cd＝a（c＋d）＋b（c＋d）＝（a＋b）（c＋d）
④十字相乘法：a2＋（p＋q）a＋pq＝（a＋p）（a＋q）
2.因式分解的一般步骤：
（1）如果多项式的各项有公因式，那么先提取公因式．
（2）在各项提出公因式以后或各项没有公因式的情况下，观察多项式的项数：2项式可以尝试运用公式法分解因式；3项式可以尝试运用公式法、十字相乘法分解因式；4项式及4项式以上的可以尝试分组分解法分解因式
（3）分解因式必须分解到每一个因式都不能再分解.
类型1 提公因式法因式分解
【例题】
1．（2025·广东韶关·二模）因式分解： ．
【变式】
2．（2025·广东·中考真题）因式分解： ．
3．（2025·广东广州·二模）分解因式： ．
4．（2023·广东深圳·中考真题）已知实数a，b，满足，，则的值为 ．
5．（2025·广东深圳·三模）已知，，则代数式的值为 ．
类型2 直接运用公式法因式分解
【例题】
6．（2025·广东韶关·二模）写出一个可以用完全平方公式进行因式分解且只含有和的多项式 ．
【变式】
7．（2025·广东深圳·二模）因式分解： ．
8．（2024·广东深圳·模拟预测）因式分解： ．
9．（2024·广东·模拟预测）已知，为实数，且满足 ，则 ， ．
10．（2024·广东惠州·模拟预测）若a，b，c是三角形的三边长，则式子的值（ ）
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
类型3 提公因式后应用公式法因式分解
【例题】
11．（2025·广东汕头·三模）将因式分解为 ．
【变式】
12．（2025·广东广州·二模）因式分解： ．
13．（2025·广东广州·二模）因式分解： ．
14．（2025·广东广州·二模）因式分解：
15．（2025·广东深圳·二模）已知，则 ．
类型4 因式分解的应用
【例题】
16．（2025·广东东莞·三模）如图，某校九年级两个班级的劳动实践基地是两块边长为m、n的正方形，其中重叠部分B为池塘，分别表示两个阴影部分的面积．若，则（ ）
A．6 B．21 C． D．
【变式】
17．（2025·广东汕头·一模）《数书九章》中的秦九韶算法是我国南宋时期的数学家秦九韶提出的一种多项式简化算法，现在利用计算机解决多项式的求值问题时，秦九韶算法依然是最优的算法．例如，计算“当时，多项式的值．”按照秦九韶算法，多项式．当时，．
参考上述方法，当时，多项式的值是 ．
18．（2024·广东广州·二模）已知多项式①，②，③．
(1)把这三个多项式因式分解；
(2)请选择下列其中一个等式（A或B），求与的关系．
A．；B．；
19．（2025·广东珠海·二模）阅读理解：分组分解法是分解因式的重要方法之一．请仔细阅读以下式子的分解因式：
根据以上三种分组方法进行因式分解的启发，完成以下题目：
(1)分解因式：；
(2)分解因式：．
20．（2025·广东清远·一模）如果一个正整数能表示为两个连续正奇数的平方差，那么称这个正整数为“正巧数”．例如：，，因此8，16都是“正巧数”．
(1)请写出一个30到50之间的“正巧数”：______；
(2)已知，为正整数，且，若是“正巧数”，求的最小值．
满分：70分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共18分）
1．（2025·广西·中考真题）因式分解：（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏无锡·中考真题）分解因式的结果是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·广西·中考真题）如果，，那么的值为（ ）
A．0 B．1 C．4 D．9
4．（2023·河北·中考真题）若k为任意整数，则的值总能（ ）
A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除
5．（2024·江苏南京·中考真题）任意两个奇数的平方差总能（ ）
A．被3整除 B．被5整除 C．被6整除 D．被8整除
6．（2025·福建·中考真题）因式分解，其中、、都为整数，则这样的的最大值是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共27分）
7．（2025·湖南长沙·中考真题）分解因式： ．
8．（2025·四川·中考真题）分解因式： ．
9．（2025·广东·中考真题）因式分解： ．
10．（2025·海南·中考真题）分解因式：= .
11．（2025·甘肃·中考真题）因式分解： ．
12．（2025·四川成都·中考真题）多项式加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 （填一个即可）．
13．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）把多项式分解因式的结果是 ．
14．（2025·山东东营·中考真题）因式分解 ．
15．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ．
三、解答题（共25分）
16．（2023·浙江·中考真题，8分）观察下面的等式：，，，，…．
(1)尝试：___________．
(2)归纳：___________（用含n的代数式表示，n为正整数）．
(3)推理：运用所学知识，推理说明你归纳的结论是正确的．
17．（2025·福建·中考真题，8分）已知整式，其中，．
(1)若，求的值；
(2)若，且，，，，，是自然数，则满足条件的不同整式中共有几个？请说明理由．
18．（2024·安徽·中考真题，9分）数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（均为自然数）”的问题．
(1)指导教师将学生的发现进行整理，部分信息如下（为正整数）：
奇数 的倍数
表示结果
一般结论 ______
按上表规律，完成下列问题：
（）（ ）（ ）；
（）______；
(2)兴趣小组还猜测：像这些形如（为正整数）的正整数不能表示为（均为自然数）．师生一起研讨，分析过程如下：
假设，其中均为自然数．分下列三种情形分析：若均为偶数，设，，其中均为自然数，则为的倍数．而不是的倍数，矛盾．故不可能均为偶数．若均为奇数，设，，其中均为自然数，则______为的倍数．而不是的倍数，矛盾．故不可能均为奇数．若一个是奇数一个是偶数，则为奇数．而是偶数，矛盾．故不可能一个是奇数一个是偶数．由可知，猜测正确．
阅读以上内容，请在情形的横线上填写所缺内容．
因式分解验收卷
满分：45分 得分：____
一、单选题（每题3分，共18分）
1．多项式的公因式是（ ）
A．a B． C．b D．
2．下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．一个多项式因式分解后的一个因式为，这个多项式可能是（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的值为（ ）
A．16 B．4 C．2 D．1
5．观察下列树枝分叉的规律图，若第个图树枝数用表示，则（ ）
A． B． C． D．
6．对于任意整数，可得多项式的结论最为恰当的是（ ）
A．被7整除 B．被8整除 C．被6或8整除 D．被7或9整除
二、填空题（每题3分，共27分）
7．分解因式： ．
8．给多项式添加一个单项式，使得到的多项式能运用完全平方公式，则这个单项式为 ．
9．已知，，则的值为 ．
10．若，则的值为 ．
11．已知，，则的值为 ．
12．分解因式： ．
13．分解因式： ．
14．计算： ．
15．一个正两位数M，它的个位数字是，十位数字是a，把M十位上的数字与个位上的数字交换位置得到新两位数N，若的值能被13整除，则a的值是 ．
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