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高频考点专练05 二次根式
（5个知识点+4个题型+1个专练+验收卷）
1．二次根式
式子(a≥0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数．
2．最简二次根式
若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．
3．同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．
4．二次根式的性质
（1）()2=a(a≥0)
（2）=|a|=
（3）=(a≥0，b≥0)
（4）=(a≥0，b≥0)
5．二次根式混合运算
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．
类型1 二次根式有意义的条件
【例题】
1．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ．
【答案】且
【知识点】分式有意义的条件、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解．
【详解】解：依题意，且，
解得：且，
故答案为：且．
【变式】
2．（2025·广东韶关·二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】求一元一次不等式的解集、在数轴上表示不等式的解集、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是熟练地掌握二次根式有意义的条件．根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数可得，再解不等式，进而在数轴上表示不等式的解集，即可求解．
【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，
∴，
解得：
在数轴上表示为：
故选：D．
3．（2025·广东深圳·三模）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的值可能为 （写出一个符合条件的实数即可）
【答案】（答案不唯一）
【知识点】二次根式有意义的条件
【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，熟记二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，解不等式求出的范围，写出一个符合条件的实数即可．
【详解】解：若代数式在实数范围内有意义，
则，
解得，
所以x的值可以是答案不唯一，
故答案为：答案不唯一．
4．（2025·广东·模拟预测）已知，则的平方根为 ．
【答案】
【知识点】求一个数的平方根、二次根式有意义的条件
【分析】本题考查了求一个数的平方根，二次根式的性质，根据二次根式的被开方数是非负数，确定的取值范围，从而求出和y的值，再计算的值，最后求其平方根，即可作答．
【详解】解：∵，
∴
故，
∴，
∴，
∴4的平方根为，
故答案为：．
5．（2025·广东·模拟预测）如果，那么的值为 ．
【答案】
【知识点】绝对值非负性、二次根式有意义的条件、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题考查了代数式求值，非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键．
根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【详解】解：，
，，
，，
．
故答案为：．
类型2 二次根式的乘除
【例题】
6．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【答案】B
【知识点】二次根式的乘法
【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，正确化简二次根式是解题关键．直接相乘得出答案．
【详解】．
故选：B．
【变式】
7．（2025·广东深圳·模拟预测）下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】二次根式的除法、二次根式的乘法
【分析】本题主要考查二次根式的乘除；根据二次根式的乘除法运算法则进行求解逐一判断即可．
【详解】A． ，故本选项错误；
B． ，故本选项错误；
C． ，正确；
D． ，故本选项错误．
故选： C．
8．（2025·广东深圳·二模）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为 ．
【答案】
【知识点】二次根式的应用
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，根据题意求出阴影部分的面积进而得出答案．
【详解】解：如图所示：
由题意可得：，，
故两个阴影部分面积和为：，
故答案为：．
类型3 二次根式的混合运算
【例题】
9．（2025·广东惠州·三模）计算：．
【答案】5
【知识点】二次根式的乘法、零指数幂
【分析】本题考查二次根式的乘法，零指数幂，根据二次根式的乘法法则，零指数幂的法则，有理数的除法法则，进行计算即可．
【详解】解：原式．
【变式】
10．（2025·广东梅州·模拟预测）计算∶
【答案】
【知识点】实数的混合运算、二次根式的乘法、零指数幂、负整数指数幂
【分析】此题考查了实数的混合运算，二次根式的乘法，零指数幂和负整数指数幂等知识．根据有理数的乘法、二次根式的乘法、零指数幂和负整数指数幂等法则计算，再进行加减法即可．
【详解】解：
11．（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（ ）
A．2 B． C．0 D．
【答案】A
【知识点】二次根式的混合运算、无理数整数部分的有关计算
【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用，解题的关键是求出、的值．根据的范围，求出的范围，从而确定、的值，代入所求式子计算即可．
【详解】解：
的整数部分为a，小数部分为b，
，
故选：A．
12．（2025·广东东莞·模拟预测）已知，则 ．
【答案】/
【知识点】二次根式的混合运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式；
直接利用完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
．
类型4 二次根式的化简求值
【例题】
13．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中．
【答案】
【知识点】分式化简求值、二次根式的混合运算、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算
【分析】此题考查了分式的化简求值，完全平方公式，平方差公式，二次根式的运算，先把分式化成最简，然后把代入，通过二次根式的运算法则即可求解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：
，
当时，
原式
．
【变式】
14．（2025·广东清远·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】
【知识点】二次根式的混合运算、分式化简求值
【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值，二次根式的运算．先把分子、分母因式分解，再根据分式混合运算法则计算得出最简结果，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
15．（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【知识点】分母有理化、分式化简求值
【分析】先计算括号内，并对各项分式分子分母进行因式分解，将除法转化为乘法，通过约分完成化简，再把的值代入化简后的式子计算求值即可．
本题主要考查了分式的化简求值，以及二次根式的运算，熟练掌握分式的相关运算法则是解题的关键．
【详解】解：原式．
当时，
原式．
16．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中．
【答案】，
【知识点】分式化简求值、分母有理化
【分析】本题考查了分式的化简求值，分母的有理化，括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，代入计算即可得解．
【详解】解：
，
当时，原式．
17．（2025·广东广州·二模）已知 ．
(1)化简；
(2)若点在一次函数 的图象上，求的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】二次根式的混合运算、求一次函数自变量或函数值、分式加减乘除混合运算
【分析】本题考查了分式的化简求值以及一次函数的性质；
（1）根据分式的减法进行计算即可求解；
（2）根据一次函数的性质得出，代入（1）中的化简结果，即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）点在一次函数的图像上
，
18．（2025·广东广州·二模）已知．
(1)化简A；
(2)若点是直线上的一点，求A的值．
【答案】(1)
(2)
【知识点】一次函数与几何综合、已知条件式，化简求值、分式化简求值
【分析】（1）根据分式的混合运算进行化简即可；
（2）根据解析式，确定，代入求A的值即可．
本题考查了分式的化简求值，整体思想求代数式的值，熟练掌握分式的化简求值是解题的关键．
【详解】（1）解：A
；
（2）解：∵，
∴，
∴A．
满分：36分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共9分）
1．（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平方根有意义的条件，掌握根号下的式子必须为非负数是解题关键．
逐项判断每一个选项中，根号下的式子是否一定是非负数即可．
【详解】解：选项A：，故一定有意义；
选项B：当时，，故不一定有意义；
选项C：当时，，故不一定有意义；
选项D：，故仅在时有意义，
故选：A．
2．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则分别判断即可．
【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误；
B．，运算正确；
C．，运算正确；
D．，运算正确；
故选：A．
3．（2025·河北·中考真题）计算：（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，利用平方差公式直接计算，即可求解．
【详解】解：
故选：B．
二、填空题（每题9分，共27分）
4．（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查二次根式有意义的条件；二次根式有意义的条件是被开方数要大于等于0，即，据此求解即可.
【详解】解：若在实数范围内有意义，则，
解得.
故答案为：.
5．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二次根式，掌握二次根式的乘法法则是解决本题的关键．先利用乘法法则，再化简二次根式，最后加减．
【详解】解：
．
故答案为：2．
6．（2025·吉林·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的加减运算，先化简，再合并同类二次根式即可．
【详解】解：，
故答案为：．
7．（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据二次根式的乘法运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
8．（2025·广西·中考真题） ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，根据二次根式的乘法运算法则计算即可，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键．
【详解】解：，
故答案为：．
9．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ．
【答案】60
【分析】本题主要考查了利用平方差公式进行二次根式的运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式．
利用平方差公式进行计算即可．
【详解】解：
，
故答案为：60．
10．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的整数部分问题的理解，化为最简二次根式，由，，从而可得答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴实数的整数部分为，
故答案为：
11．（2025·四川自贡·中考真题）计算： ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次根式的减法，先化简，再合并即可.
【详解】解：；
故答案为：．
12．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题给出了利用三角形三边求面积的公式，已知三角形三边的长度，直接将数值代入公式，通过计算即可求出三角形面积．本题主要考查了实数的运算以及根据给定公式进行代数计算．熟练掌握实数的运算法则以及代入公式求值的步骤是解题的关键．
【详解】解：
将，，代入上式：
故答案为：．
二次根式验收卷
满分：90分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．
根据二次根式的定义逐项分析即可．
【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意；
B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意；
C．是二次根式，故符合题意；
D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意；
故选C．
2．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了最简二次根式的定义，掌握最简二次根式的两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式是解题关键．
根据最简二次根式的定义对选项逐一判断即可．
【详解】解：A. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；
B.该选项是最简二次根式，故符合题意；
C. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；
D. ，该选项不是最简二次根式，故不符合题意；
故选：B．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的运算法则，逐一进行计算即可．
【详解】解：A、，原运算错误，不符合题意；
B、，原运算错误，不符合题意；
C、，原运算正确，符合题意；
D、，原运算错误，不符合题意；
故选C．
4．下列与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查同类二次根式的定义，先化简再根据二次根式的定义判断是解题关键． 先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可．
【详解】A． 与不是同类二次根式；
B． 与不是同类二次根式；
C． 与是同类二次根式；
D． 与不是同类二次根式；
故选C
5．计算结果为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除法则计算即可．
【详解】解：
，
故选：B．
6．当，时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．4
【答案】C
【分析】本题考查了整式的化简求值，因式分解，实数的运算，涵盖二次根式的加减乘除、平方差公式应用．解题关键是通过因式分解简化表达式，再利用实数运算法则（尤其二次根式运算）逐步求值，体现了实数运算中 “先化简再计算” 的策略．先对因式分解，提取公因式得，再用平方差公式进一步分解为．接着代入，分别计算的值，最后相乘得出结果．
【详解】解：
，
，
当，时，
，原式=，
故选；．
7．根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】C
【分析】本题考查了程序框图的循环计算与根式运算，解题的关键是按照程序框图的逻辑，逐步代入计算，直到满足输出条件．
先将输入的代入表达式计算，判断结果是否小于2，若不满足则将该结果作为新的再次代入计算，直至结果小于2时输出．
【详解】解：当输入时，
第一次计算：，不成立，将作为新的；
第二次计算：，成立，输出结果．
故选：C．
8．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出．如果运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
【答案】A
【分析】本题考查二次根式的运算，通过计算每种运算的结果并判断其是否为有理数来求解.
分别计算“”、“”、“”、“”四种运算的结果，判断是否为有理数.
【详解】解：加法：（无理数），不符合题意；
减法：（有理数），符合题意；
乘法：（有理数），符合题意；
除法：（无理数），不符合题意.
∴ “□”中的运算符号可能是或.
故选：A.
9．已知是正整数，是整数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次根式的化简及完全平方数的性质，关键是熟练应用知识点解题；先将化简，再根据结果为整数的条件确定的最小值.
【详解】解：∵，
又∵是整数，是正整数，
∴必须是整数，即为完全平方数，
∴最小为时，是完全平方数，
∴的最小值是，
故选：C．
10．已知，则化简的结果是（ ）
A． B． C．－ D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次根式的性质与化简；
由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简．
【详解】解：有意义，
，
，
又，
，
．
故选：A．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．比较大小： （填 、或）
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的大小比较，比较两个正无理数的大小，通过比较它们的平方值来判断即可
【详解】解：，，且
，
故答案为：
12．请写出一个无理数，使它与的积是有理数，这个无理数可以是 ．（写出一个即可）
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查了无理数的定义，二次根式的性质，二次根的乘法，熟练掌握二次根式的性质和乘法法则是解本题的关键．
先化简，再根据二次根式的乘法法则进行计算后确定这个符合条件的无理数．
【详解】∵，，
∴这个无理数可以是，（答案不唯一）
故答案为：（答案不唯一）．
13．已知，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，正确解出，的值是解答本题的关键．根据二次根式的定义，被开方数必须为非负数，从而确定的值，再代入求的值，最后计算即可．
【详解】解：由题意，得 且，
．
当时，，
．
故答案为：．
14．如图，若数轴上点，对应的实数分别为和，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点（在点的右侧），则点对应的实数是 ．
【答案】
【分析】本题考查数轴上两点之间的距离，用点表示数轴上的数，二次根式的加法法则，求出半径，即可解答．
【详解】解：∵数轴上点，对应的实数分别为和，
∴，
又∵以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点（在点的右侧），
∴，
∴点对应的实数是，
故答案为．
15．若，，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握整体代入思想是解题的关键．
先将原式利用多项式乘以多项式法则变形，再将、的值代入计算可得．
【详解】解：
，
当，时，
原式
，
故答案为：．
三、解答题（共45分）
16．（9分）计算：．
【答案】
【分析】本题考查的是实数的混合运算，二次根式的混合运算，分数指数幂的含义，先分母有理化，计算分数指数幂，绝对值，负整数指数幂，再合并即可.
【详解】解：
.
17．（9分）计算：.
【答案】
【分析】根据立方根、负整数指数幂及二次根式的运算可进行求解．
【详解】解：原式
．
【点睛】本题主要考查立方根、负整数指数幂及二次根式的运算，熟练掌握立方根、负整数指数幂及二次根式的运算是解题的关键．
18．（9分）计算
(1)；
(2)；
【答案】(1)
(2)6
【分析】此题主要考查实数与二次根式的混合运算，解题的关键是熟知其运算法则．
（1）首先计算平方根、立方根、绝对值，后算加减即可；
（2）首先计算乘法、开平方，后算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
19．（9分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算，零指数幂，负整数指数幂．
（1）先化简二次根式、绝对值，计算零指数幂、负整数指数幂，再计算加减即可；
（2）先化简二次根式，再计算括号里的加法，计算乘法，最后计算除法即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
20．（9分）计算
(1)；
(2)．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二次根式的运算，二次根式的性质，完全平方公式，熟练掌握这些知识点的应用是解题的关键．
（）先通过二次根式的性质，分母有理化进行化简，然后合并即可；
（）先由完全平方公式，二次根式的乘法法则进行化简，然后合并即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
21．（9分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先计算乘除，再化简二次根式即可；
（2）先计算乘法公式，再计算加减即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
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高频考点专练05 二次根式
（5个知识点+4个题型+1个专练+验收卷）
1．二次根式
式子(a≥0)叫做二次根式，二次根式必须满足：含有二次根号“”；被开方数a必须是非负数．
2．最简二次根式
若二次根式满足：被开方数的因数是整数，因式是整式；被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式叫做最简二次根式．
化二次根式为最简二次根式的方法和步骤：
（1）如果被开方数是分数（包括小数）或分式，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式的形式，然后利用分母有理化进行化简．
（2）如果被开方数是整数或整式，先将他们分解因数或因式，然后把能开得尽方的因数或因式开出来．
3．同类二次根式
几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式．
4．二次根式的性质
（1）()2=a(a≥0)
（2）=|a|=
（3）=(a≥0，b≥0)
（4）=(a≥0，b≥0)
5．二次根式混合运算
二次根式的混合运算与实数中的运算顺序一样，先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的（或先去括号）．
类型1 二次根式有意义的条件
【例题】
1．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ．
【变式】
2．（2025·广东韶关·二模）若在实数范围内有意义，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·广东深圳·三模）若代数式在实数范围内有意义，则实数x的值可能为 （写出一个符合条件的实数即可）
4．（2025·广东·模拟预测）已知，则的平方根为 ．
5．（2025·广东·模拟预测）如果，那么的值为 ．
类型2 二次根式的乘除
【例题】
6．（2025·广东·中考真题）计算的结果是（ ）
A．3 B．6 C． D．
【变式】
7．（2025·广东深圳·模拟预测）下列各式的计算中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2025·广东深圳·二模）如图，从一个大正方形中截去面积为和的两个小正方形后剩余部分（阴影部分）的面积为 ．
类型3 二次根式的混合运算
【例题】
9．（2025·广东惠州·三模）计算：．
【变式】
10．（2025·广东梅州·模拟预测）计算∶
11．（2025·广东佛山·一模）若的整数部分为，小数部分为，则（ ）
A．2 B． C．0 D．
12．（2025·广东东莞·模拟预测）已知，则 ．
类型4 二次根式的化简求值
【例题】
13．（2025·广东广州·中考真题）求代数式的值，其中．
【变式】
14．（2025·广东清远·二模）先化简，再求值：，其中．
15．（2025·广东佛山·三模）先化简，再求值：，其中．
16．（2024·广东深圳·中考真题）先化简，再代入求值：，其中．
17．（2025·广东广州·二模）已知 ．
(1)化简；
(2)若点在一次函数 的图象上，求的值．
18．（2025·广东广州·二模）已知．
(1)化简A；
(2)若点是直线上的一点，求A的值．
满分：36分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共9分）
1．（2025·四川绵阳·中考真题）若是任意实数，则下列各式一定有意义的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·河北·中考真题）计算：（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二、填空题（每题9分，共27分）
4．（2025·山东德州·中考真题）若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ．
5．（2025·江苏南京·中考真题）计算的结果是 ．
6．（2025·吉林·中考真题）计算： ．
7．（2025·江苏淮安·中考真题）计算： ．
8．（2025·广西·中考真题） ．
9．（2025·天津·中考真题）计算的结果为 ．
10．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ．
11．（2025·四川自贡·中考真题）计算： ．
12．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ．
二次根式验收卷
满分：90分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列各式中，一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）．
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．下列与是同类二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
5．计算结果为（ ）
A． B． C． D．
6．当，时，的值为（ ）
A．1 B． C． D．4
7．根据以下程序，当输入时，输出结果为（ ）
A．1 B． C． D．2
8．陈老师在黑板上写了一个式子：，“□”中的运算符号没有给出．如果运算结果是有理数，那么“□”中的运算符号可能是（ ）
A．或 B．或 C．或 D．或
9．已知是正整数，是整数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
10．已知，则化简的结果是（ ）
A． B． C．－ D．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．比较大小： （填 、或）
12．请写出一个无理数，使它与的积是有理数，这个无理数可以是 ．（写出一个即可）
13．已知，则 ．
14．如图，若数轴上点，对应的实数分别为和，以点为圆心，的长为半径画圆，交数轴于点（在点的右侧），则点对应的实数是 ．
15．若，，则代数式的值为 ．
三、解答题（共45分）
16．（9分）计算：．
（9分）计算：.
18．（9分）计算
(1)；(2)；
19．（9分）计算：
(1)；(2)．
20．（9分）计算
(1)；(2)．
21．（9分）计算：
(1)；(2)．
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