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高频考点专练07 二元一次方程组
（4个知识点+4个题型+1个专练+验收卷）
二元一次方程组的相关概念
1．二元一次方程的定义
方程中含有两个未知数（一般用x和应y），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
2．二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
3．二元一次方程组的定义
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组． 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数．
4．二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
二元一次方程组的解法
1．解二元一次方程组的思想
2．解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；
②将y=ax+b（或x=ay+b）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y（或x），得到一个关于x（或y）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④把x（或y）的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求y（或x）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解．
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可．
实际问题与二元一次方程组
三元一次方程组
1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
2．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
3．列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
类型1 二元一次方程（组）的解
【例题】
1．（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程的解．
直接将代入求解即可．
【详解】解：将代入得：
，
解得：．
故选：B．
【变式】
2．（2025·广东汕头·一模）若是方程组的解，则被遮盖的两个数的积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
将代入得到，求出，将代入得，所以被遮盖的两个数分别是，，即可得到答案．
【详解】解：将代入得，
，
将代入得，
被遮盖的两个数分别是，
，
故选：A．
3．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．
【答案】B
【分析】本题考查二次一次方程组含参问题，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键，利用得：，即可得到，再将，代入即可得到答案．
【详解】解：
得：，
∴，
∴，
∴，
∴，
故选：B．
4．（2025·广东珠海·三模）已知方程的一个解为，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，代数式求值，二元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程可得，再根据，利用整体代入法求解即可．
【详解】解：∵的一个解为，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
5．（2025·广东韶关·三模）已知是的解，则k的值是 ．
【答案】2
【分析】本题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．
把与的值代入方程计算即可求出的值．
【详解】解：把代入方程得：，
解得：，
则的值是．
故答案为：．
6．（2024·广东河源·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
【答案】7
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，把代入原方程组得，得：即可．注意整体思想的应用．
【详解】解：将代入原方程组得，
得：，
∴的值为7．
故答案为：7．
类型2 消元法解二元一次方程（组）
【例题】
7．（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【答案】B
【分析】此题考查了多项式的系数和次数，二元一次方程组的应用，正确列出二元一次方程组是关键．
根据多项式次数为2的条件，确定各项次数并建立方程组求解m和n的值．
【详解】解：∵多项式的次数为2，
∴
解得，，
验证：代入后多项式为，次数为2，符合条件，
∴，
故选：B．
【变式】
8．（2025·广东梅州·一模）已知，则（ ）
A．2025 B．1 C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组，代数式求值，几个非负数的和的结果为0，那么这几个非负数的值都为0，据此可得，解方程组即可得到答案．
【详解】解：∵，，
∴，
∴，
解得，
∴，
故选：D．
9．（2025·广东东莞·一模）二元一次方程组的解为 ．
【答案】
【分析】本题考查加减消元法解方程组，利用加减消元法解方程组即可．
【详解】解：，
，得，
解得，
把代入①，得，
解得，
所以方程组的解是．
故答案为：．
10．（2025·广东梅州·二模）已知代数式与是同类项，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了同类项，解二元一次方程组，熟练掌握同类项的定义，代入法解二元一次方程组，是解题关键．同类项是所含字母相同，相同字母的指数也相同的项．根据同类项的定义可得一个关于、的二元一次方程组，解方程组可得、的值，代入可得．
【详解】解：∵代数式与是同类项，
∴，，
∴，
由①得：③，
把③代入②得：，
解得：，
把代入③得：，
∴原方程组的解为：，
∴．
故答案为：．
11．（2025·广东深圳·三模）（1）解二元一次方程组：；
（2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下：
第1步，由，可设，，即；
第2步，将，代入中，得到______；
第3步，解得______；
第4步，即可求出方程组的解．
请你完成上面的填空．
【答案】（1）；（2），
【分析】本题考查了二元一次方程组的解、解一元一次方程、二元一次方程的解、解二元一次方程组，解决本题的关键是按照加减消元法解方程组．
（1）用加减消元法，求出，将代入①求出；
（2），代入中，得到，按照解一元一次方程的方法求出．
【详解】（1），
得：③，
得：，
解得，
将代入①得：，
∴方程组的解是：；
（2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下：
第1步，由，可设，，即；
第2步，将，代入中，得到；
第3步，解得；
第4步，即可求出方程组的解．
故答案为：；．
类型3 根据实际问题列二元一次方程组
【例题】
12．（2025·广东深圳·三模）学校组织学生参加户外拓展活动，需准备帐篷和睡袋．已知每顶大帐篷可住8名学生，每顶小帐篷可住5名学生．若租用大帐篷顶，小帐篷顶，刚好能住下150名学生，且大帐篷比小帐篷多5顶．则可列方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设租用大帐篷顶，小帐篷顶，根据租用大帐篷顶，小帐篷顶，刚好能住下150名学生，且大帐篷比小帐篷多5顶，再建立方程求解即可．
【详解】解：设租用大帐篷顶，小帐篷顶，
由题意得：．
故选A．
【变式】
13．（2025·广东东莞·模拟预测）近年来我国先后研发出“天河一号”和“天河二号”超级计算机．已知一台“天河一号”2秒计算的次数与一台“天河二号”1秒计算的次数之和为6.5亿亿次，一台“天河一号”3秒计算的次数与一台“天河二号”5秒计算的次数之和为29亿亿次．设一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数分别为x亿亿次和y亿亿次，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用．
设一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数分别为x亿亿次和y亿亿次，一台“天河一号”2秒计算的次数与一台“天河二号”1秒计算的次数之和为6.5亿亿次，一台“天河一号”3秒计算的次数与一台“天河二号”5秒计算的次数之和为29亿亿次．据此列出方程组即可．
【详解】解：设一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数分别为x亿亿次和y亿亿次，由题意，得：
，
故选：D．
14．（2025·广东广州·一模）记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有只羊，乙有只羊，可列出方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系．
设甲有只羊，乙有只羊，根据乙给甲一只羊，则甲的羊数为乙的两倍可得：甲的羊数乙的羊数；如果甲给乙一只羊，则两人的羊数相同可得等量关系：甲的羊数乙的羊数，进而可得方程组．
【详解】解：设甲有只羊，乙有只羊，根据题意得，
故选：A．
15．（2025·广东广州·二模）如图是由长方形和三角形组合而成的广告牌，重叠部分面积是，整个广告牌所占面积是，除重叠部分外，长方形剩余部分面积比三角形剩余部分的面积多．设长方形的面积为，三角形面积为，则根据题意可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组．根据题意找到等量关系：①矩形面积+三角形面积-阴影面积；②（矩形面积-阴影面积）-（三角形面积-阴影面积），据此列出方程组．
【详解】依题意得：
．
故选：A．
类型4 二元一次方程组的应用
【例题】
16．（2025·广东韶关·一模）如图，两灯泡与的电阻之和为，闭合开关S后，测得灯泡与两端的电压分别为2V、4V，则灯泡与的电阻与分别是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据串联电路的总电阻等于各电阻阻值之和，电压比等于电阻的阻值比，列出方程组进行求解即可．
【详解】解：由题意，得：，解得：；
故选：B．
【变式】
17．（2025·广东深圳·一模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【分析】设如图所示位置上的数分别是m，n，根据幻方，构造方程或方程组解答即可．
本题考查了方程组的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程组和解方程是解题的关键．
【详解】解：设如图所示位置上的数分别是m，n，根据题意，得
，
解得，
∴
∴，
∴，
故选：A．
18．（2025·广东深圳·模拟预测）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．由题意将代入，求出，进而可得出图2所表示方程组的解，设被墨水所覆盖的图形表示的数为,代入方程组的解，求出的值，再对照题意，即可得出结论．
【详解】解：将代入得：，
解得：，
图2所表示方程组的解为，
设被墨水所覆盖的图形表示的数为，
将代入得：，
解得：．
故选：A．
19．（2025·广东韶关·三模）“北风起，腊鸭香”，南雄板鸭已有千年历史，是广东人的年味密码．小美和小丽去某特产店购买了甲、乙两种不同包装的南雄板鸭产品，小美购买了袋甲产品和袋乙产品，共花费了元；小丽购买了袋甲产品和袋乙产品，共花费了元．这家特产店甲乙两种南雄板鸭产品的零售价分别是多少？
【答案】甲产品的零售价为元/袋，乙产品的零售价为 元/袋
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设甲产品的零售价为元/袋，乙产品的零售价为 元/袋，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解．
【详解】解：设甲产品的零售价为元/袋，乙产品的零售价为 元/袋，根据题意得，
解得：
答：甲产品的零售价为元/袋，乙产品的零售价为 元/袋
满分：60分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（ ）
A．7cm B．8 C．9 D．
【答案】B
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设每块小平行四边形地砖的长为，宽为，由图示可得等量关系：①2个长个长4个宽，②一个长一个宽，列出方程组，解方程组即可．
【详解】解：设每块小平行四边形地砖的长为，宽为，
由题意得：，
解得：，
则每块小平行四边形地砖的短边长为，
故选：B．
2．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查根据实际问题，列二元一次方程，根据题意，建立关于彩色纸和细木条用量的二元一次方程组．
【详解】解：每个手工艺品A用5张，每个B用2张，总用量为17张．因此可列方程为：；
每个手工艺品A用3捆，每个B用1捆，总用量为10捆．因此可列方程为：；
故方程组为：；
故选C．
3．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程的解，根据题意写出的正整数解，即可求解．
【详解】解：∵
∴
正整数解为：，；，；，共3个，
故选：C．
4．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（ ）
A．6 B．7 C．4 D．5
【答案】C
【分析】本题考查二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的二元一次方程，并求出方程的解，注意篮球和足球个数都是正整数．设购买足球x个，篮球y个，根据题意列出方程，找出满足x、y为非负整数的解的组数．
【详解】解：设购买足球x个，篮球y个，
根据题意得：，即，
则，
∵都是非负整数，
解得：（不符合题意，舍去）或或或或或（不符合题意，舍去），
∴共有4种购买方案，
故选：C．
5．（2025·四川南充·中考真题）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查根据实际问题列二元一次方程，熟练掌握从实际情境中找出等量关系是解题关键．根据题目中“每 3 个一数，剩余 2 个；每 5 个一数，剩余 3 个”这两个条件，分别找出物体总数与、的等式关系，进而列出方程．
【详解】解：∵每 3 个一数，数了次，剩余 2 个，
∴物体总数可表示为 ．
又∵每 5 个一数，数了次，剩余 3 个，
∴物体总数也可表示为 ．
由于物体总数是固定的，
∴
故选：A．
6．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查非负性，解二元一次方程组，求一个数的平方根，利用二次根式的性质进行化简，先根据非负性，得到关于的二元一次方程组，两个方程相减后求出的值，再根据平方根的定义，进行求解即可．熟练掌握非负性，平方根的定义，是解题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
，得：，
∴的平方根是；
故选：C．
7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【分析】本题考查二元一次方程的解，设租用45座客车x辆，60座客车y辆，根据题意列出方程并求解正整数解，确定符合条件的方案种数，即可．
【详解】解：设租用45座客车x辆，60座客车y辆，
由题意得：，
∴，
∵x、y均为正整数，
∴当时，；
当时，；
当时，；
当时，．
∴共4种满足条件的正整数解，对应4种租车方案．
故选B．
8．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（ ）
A．7组 B．21组 C．28组 D．42组
【答案】B
【分析】本题考查三元一次方程的问题，先把看作整体，得到的正整数解有组；再分析分别等于不同值，所对应的正整数解组数，把所有组数相加即为总的解组数．解题的关键是将三元一次方程里的两个未知数看作一个整体，再分层计算．
【详解】解：令，
则的正整数解中的值可以为：，，，9，11，13
∴的正整数解有组，
又∵的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
的正整数解有组；
∴方程的正整数解组数为：．
故选：B．
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ．
【答案】1
【分析】本题考查解二元一次方程组，求代数式的值，利用加减消元法求出方程组的解，进而即可求解．
【详解】解：
得，，
解得，
将代入得，，
解得，
该方程组的解为，
∴，，
，
故答案为：1．
10．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 （写出一种情况即可）．
【答案】（或或，写出一种即可 ）
【分析】设截成长的钢管根，长的钢管根，根据钢管总长为列出方程，再结合、为正整数求解，进而得到总根数．本题主要考查了二元一次方程的实际应用，熟练掌握根据实际问题列方程并求正整数解是解题的关键．
【详解】解：设截成长的钢管根，长的钢管根．
∵ 钢管总长，
∴ ，即 ．
又∵ 、为正整数，
当时，，总根数为；
当时，，总根数为；
当时，，总根数为 ．
故答案为：（或或，写出一种即可 ）．
11．（2025·福建·中考真题）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付 元．
【答案】100
【分析】本题考查了三元一次方程组的应用．设A、B、C的单价分别为x、y、z元．根据题意得到①，②，解方程组得到，即可求解．
【详解】解：设A、B、C的单价分别为x、y、z元．
由甲购3件，5件，1件，共200元，即①，
乙购4件，7件，1件，共250元，即②，
得③，
得④，
得，
∴丙购、、各1件，应付100元，
故答案为：100．
12．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值．
【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为．
设三阶幻方的9个数字分别为：
y
2 x
a b
根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得：
解①得，解②得：，则
再代入①得：
．
故答案为：1．
13．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ．
【答案】15
【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，；
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴
，
∵不含项，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∵均为的整数幂，为偶数，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：15．
三、解答题（共21分）
14．（2025·山东滨州·中考真题,7分）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解．
【答案】，
【分析】本题考查二元一次方程组的应用，正确列出方程组是解题的关键，根据题干中给出的方程组，获取信息，列出图2所表示的方程组，进行求解即可．
【详解】解：由题意，得方程组
，得③
，得．
把代入②，得
，
．
∴这个方程组的解是
15．（2025·海南·中考真题,7分）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元．
(1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确；
(2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法．
【答案】(1)每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；该销售经理的估计正确；
(2)解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
【分析】本题主要考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的等量等关系，并据此列出方程组，进行求解
（1）设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，根据题意列出方程组求解即可；
（2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
【详解】（1）解：设每辆A型汽车的进价为x万元，每辆B型汽车的进价为y万元，
根据题意可列出方程组，
解得：
∴每辆A型车的进价为20万元，每辆B型车的进价为12万元；
该销售经理的估计正确；
（2）解二元一次方程组的常用方法主要是加减消元法和代入消元法．
16．（2025·江西·中考真题,7分）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表：
类别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30%
芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20%
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．
(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
(2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
【答案】(1)第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤．
(2)需要准备公斤大米．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组、一元一次方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程组和方程是解题的关键．
（1）第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，然后根据题意列二元一次方程组求解即可；
（2）先求出两次得到粮食酒的总质量，设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，再根据题意列一元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是x、y公斤，则第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是公斤，
由题意可得：，解得：．
答：第一次实验用粮食糟醅和芋头糟醅的质量分别是40、20公斤．
（2）解：两次实验得到的粮食酒总量为公斤，
设需要准备z公斤大米，则粮食糟醅的质量为，
由题意可得：，解得：千克．
答：需要准备公斤大米．
二元一次方程组验收卷
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个未知数，且含未知数的项最高次数都是一次，方程的两边都是整式，那么这样的方程组叫做二元一次方程组．
根据二元一次方程组的定义逐一判断即可．
【详解】解：选项A：中为二次项，不符合二元一次方程组的定义；
选项B：含分式，不是整式方程，不符合二元一次方程组的定义；
选项C：符合二元一次方程组的定义；
选项D：含x、y、z三个未知数，不符合二元一次方程组的定义；
故选：C．
2．把方程改写成用含的式子表示的形式为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】把看作已知数求出即可．
【详解】解：∵
∴
∴
故选：B．
【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将看作已知数求出
3．用代入法解方程组，下列最合适的变形是（ ）
A．由①，得 B．由①，得
C．由②，得 D．由②，得
【答案】D
【分析】本题考查了代入法解方程组．代入法解方程组时，优先选择系数为的未知数进行变形，可避免分数运算，简化计算．观察方程组，方程②中的系数为，最适合变形．
【详解】解：∵方程②中，的系数为，变形时无需引入分数，计算简便，
∴由②移项得，此变形最合适，
对比其他选项，A、B、C变形后均含有分数，计算相对繁琐，
故选：D．
4．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用加减消元法解该二元一次方程组即可．
【详解】，
②-①得：，即，
∴．
将代入①得：，
∴．
故原二元一次方程组的解为．
故选B．
【点睛】本题考查解二元一次方程组．掌握解二元一次方程组的方法和步骤是解答本题的关键．
5．化学方程式是用化学式来表示物质化学反应的式子．化学方程式不仅表明了反应物、生成物和反应条件，同时化学计量数代表了各反应物、生成物物质的量关系．例如就表示两份（氢气）与一份（氧气）点燃生成两份的（水）．依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数一定相同．已知，由此可列出关于x，y的二元一次方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了列二元一次方程，正确找出等量关系是解题的关键，根据题意列出方程求解即可．
【详解】解：∵化学方程式等号左边和等号右边氧元素原子的个数一定相同，
∴．
故选∶D．
6．已知，是关于x，y的二元一次方程组，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】此题主要考查了二元一次方程组的求解，解题的关键是用整体法，把两式相加直接得出结论．
把方程组的两个方程相加得到，进而即可求得．
【详解】解：，
由，
可得，
解得，，
，
故选：A．
7．若是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键．
根据二元一次方程组的解的定义得出关于a，b的方程组，求出a，b的值，即可求出的值．
【详解】解：∵是二元一次方程组，
∴，
解得，
∴．
故选B．
8．已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（ ）
的运算
运算的结果 7
A．21 B． C．40 D．
【答案】D
【分析】本题考查解二元一次方程组，已知字母的值求代数式的值．根据题意先得出，，后将代入中即可得到本题答案．
【详解】解：∵，，
∴，，
∴将，代入得，
故选：D．
9．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用.用一根绳子去量一根长木，绳子剩余4.5尺可知：；绳子对折再量长木，长木剩余1尺可知：；从而可得答案.
【详解】解：由题意可得方程组为：
，
故选：A.
10．若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了解二元一次方程组，通过变量代换，将新方程组转化为已知解的原方程组形式，进而求解．
【详解】解：设，，
则新方程组化为：
∵原方程组的解为，
∴，，
即：，
解得，
故选D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．若是方程的解，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解．
将方程的解代入方程，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值．
【详解】解：∵是方程的解，
∴，
即，
解得：．
故答案为：．
12．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为
【答案】
【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组．将代入②得，，求得 ；将代入①得，，求得 ，构造新方程组是，再解方程组即可．
【详解】解：由题意知：将代入②得，，
，
将代入①得，，
方程组是，
得， ，
，
将代入得， ，
，
原方程组的解是．
故答案为：
13．已知关于的方程组无解，则 ．
【答案】1
【分析】本题考查了二元一次方程组的解，牢记二元一次方程组无解的条件是解题的关键．
由原方程组无解，可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值．
【详解】解：，
可得，
关于的方程组无解，
中，
解得：，
的值为1．
故答案为：1．
14．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ．
【答案】17
【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解．
由题意可知，方程组的解也是二元一次方程的解，说明这三个方程有公共解，因此可先联立方程求出公共解，再将解代入方程中求的值．
【详解】解：∵方程组的解也是二元一次方程的解，
∴这三个方程有公共解，
∴，
解得：，
将代入得，
解得：．
故答案为：17．
15．设，当时，；当时，．当时，求的值是 .
【答案】
【分析】本题考查了二元一次方程的解，把x与y的两对值代入等式列出方程组，求出方程组的解即可得到k与b的值．再代入求y的值．
【详解】解：把时，；当时，代入等式得：
，
解得：，．
即，
当时，．
故答案为：．
16．如图①是由编号为1，2，3，4，5的五个小长方形组成的大长方形．已知图①中编号为3，4，5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍，若，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查了整式加减的应用，二元一次方程组的应用．编号为1的小长方形，一边为，设另一边为，编号为2的小长方形，一边为，设另一边为，根据题意得到，，据此求解即可．
【详解】解：由题意，编号为1的小长方形，一边为，设另一边为，则面积为，
编号为2的小长方形，一边为，设另一边为，则面积为，
∵编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍，
∴，
∴，
∵大长方形的两对边相等，
∴，即，
∴，
∴，
故答案为：2．
三、解答题（共72分）
17．（9分）解二元一次方程组：
(1)；(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键．
（1）利用加减消元法解方程组即可得；
（2）先将方程组中的第一个方程的两边同乘以6去分母进行化简，再利用加减消元法解方程组即可得．
【详解】（1）解：，
由①②得：，
解得，
将代入②得：，
解得，
所以方程组的解为．
（2）解：方程组可化为，
由①②得：，
解得，
将代入②得：，
解得，
所以方程组的解为．
18．（9分）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组．
让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法：
解：将②变形为，③
把①代入③，得，解得．
把代入①，解得．
方程组的解为．
这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组
【答案】
【分析】本题考查的是代入法解方程组，先把方程②化为，再利用代入法解方程组即可．
【详解】解：，
由②得：③，
把①代入③得：，
解得：，
把代入①得：，
∴方程组的解为；
19．（9分）3月14日为“国际数学日”，某校在这一天开展数学主题活动，活动分为“智趣挑战”和“巧手闯关”两个项目．若学生参加两个项目得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分，则可获得一份校园文创奖品．参加活动时，在正式计分前可先体验一次．小明在体验两个项目时共得90分；在正式计分时，“智趣挑战”项目的得分比体验时增加了，“巧手闯关”项目的得分比体验时增加了，共得104分．请判断小明是否可以获得校园文创奖品，并说明理由．
【答案】小明可以获得校园文创奖品，见解析
【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设在体验环节中，小明在“智趣挑战”项目中得到了分，在“巧手闯关”项目中得到了分．根据题意列出二元一次方程组并解方程组即可．
【详解】判断：小明可以获得校园文创奖品．
理由：设在体验环节中，小明在“智趣挑战”项目中得到了分，在“巧手闯关”项目中得到了分．
依题意，得
解得
∴在体验环节中，小明分别在“智趣挑战”和“巧手闯关”这两个项目中得到了50分和40分．
∴在正式计分时，小明在“智趣挑战”中得到了分．
∴小明的得分满足得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分．
答：小明可以获得校园文创奖品．
20．（9分）“呼和浩特盛乐国际机场”坐落于呼和浩特市和林格尔县巧什营镇，是内蒙古自治区首座4F级国际民用机场，距呼和浩特市中心约千米．为高效推进机场配套建设，甲、乙两个工程队接力承担一段长为29000米的机场快速路修建任务，甲工程队每天修建100米，乙工程队每天修建150米，两队接力施工共用260天完成，求甲、乙两个工程队各自修建机场快速路的长度．
七年级学生盛盛和乐乐根据题意分别列出了下面尚不完整的方程组：
盛盛： 乐乐：
(1)请把盛盛和乐乐所列的方程组补充完整；
(2)请分别写出盛盛和乐乐所列方程组中未知数x，y表示的意义．
盛盛：x表示________，y表示________；
乐乐：x表示________，y表示________；
(3)请你从两位同学的方法中任选一种进行解答．
【答案】(1)260，29000；
(2)甲工程队修建快速路的长度，乙工程队修建快速路的长度，甲工程队修建快速路的天数，乙工程队修建快速路的天数；
(3)甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．
（1）根据所列方程组补全即可；
（2）由（1）作答即可；
（3）任选其一求解二元一次方程组即可．
【详解】（1）解：盛盛：由， ，可知x表示甲工程队修建快速路的长度，y表示乙工程队修建快速路的长度，
∴表示甲、乙两个工程队施工总时间，
即；
乐乐：由，， ，可知x表示甲工程队修建快速路的天数，y表示乙工程队修建快速路的天数，
∴表示甲、乙两个工程队施工总长度，
即；
故答案为：260，29000；
（2）解：由（1）可知：盛盛：x表示甲工程队修建快速路的长度，y表示乙工程队修建快速路的长度；
乐乐：x表示甲工程队修建快速路的天数，y表示乙工程队修建快速路的天数；
故答案为：甲工程队修建快速路的长度，乙工程队修建快速路的长度，甲工程队修建快速路的天数，乙工程队修建快速路的天数；
（3）解：选择盛盛的方法解答：
解：设甲工程队修建快速路长度为x米，乙工程队修建快速路长度为y米．
；
解得
答：甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米；
选择乐乐的方法解答：
解：设甲工程队修建快速路时间为x天，乙工程队修建快速路时间为y天．
；
解得
则甲工程队修建快速路长度为（米）
则乙工程队修建快速路长度为（米）
答：甲工程队修建快速路长度为20000米，乙工程队修建快速路长度为9000米．
21．（9分）在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙．
(1)你能求出甲、乙两人的速度吗？
(2)若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？
【答案】(1)甲、乙两人的速度分别为：6米/秒，4米/秒
(2)丙在甲乙前方50米，丙的速度是3.5米/秒
【分析】（1）设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒；反向而行，两人相遇时所走的路程之和为400米；同向而行，两人相遇时甲比乙多走400米，据此列出方程组求解即可；
（2）设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒，根据题意列方程组即可得到结论．
【详解】（1）解：设甲、乙两人的速度分别为：x米/秒，y米/秒；
根据题意得，，
解得：，
答：甲、乙两人的速度分别为：6米/秒，4米/秒；
（2）解：设丙在甲乙前方a米，丙的速度是m米/秒，
根据题意得，，
解得：，
答：丙在甲乙前方50米，丙的速度是3.5米/秒．
【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，正确的理解题意找到等量关系是解题的关键．
22．（9分）为积极响应国家关于“推动人工智能与教育深度融合”的号召，全面提升学生的数字素养与创新能力，某校计划采购一批核心设备．已知市场报价如下：购进2台学习机器人和3套智能编程套装，总计花费90万元；购进3台学习机器人和2套智能编程套装，总计花费85万元．
(1)每台学习机器人和每套智能编程套装的进价分别为多少万元
(2)若该校计划出资125万元资金全部用于购进学习机器人和智能编程套装两种设备（两种设备均购买）供学生使用，请问共有几种购进方案
【答案】(1)
每台学习机器人进价为15万元，每套智能编程套装进价为20万元
(2)
共有2种购进方案，购进学习机器人台，智能编程套装套；或购进学习机器人台，智能编程套装套．
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及不等式组的整数解问题，解决本题的关键在于根据等量关系建立方程并正确求解．
（1）通过设立两个未知数，根据题目给出的两种购买组合及其总价，建立方程并求解即可．
（2）根据总预算和两种设备的单价，得到关于m和n的关系式，然后找出满足该方程的所有正整数解组合，这些组合即为可行的购进方案．
【详解】（1）解：设每台学习机器人的进价为万元，每套智能编程套装的进价为万元，
已知购进台学习机器人和套智能编程套装，总计花费万元，可列方程；
购进台学习机器人和套智能编程套装，总计花费万元，可列方程，
得到方程组，解得，
所以，每台学习机器人的进价为万元，每套智能编程套装的进价为万元．
（2）解：设购进学习机器人台，购进智能编程套装套．
已知该校计划出资万元资金全部用于购进两种设备，
可列方程，可得．
因为、均为正整数，
当时，；
当时，，不是正整数，舍去；
当时，，不是正整数，舍去；
当时，；
当时，，不是正整数，舍去；
当时，，不是正整数，舍去；
当时，，不符合题意．
所以共有种购进方案，即方案一：购进学习机器人台，智能编程套装套；
方案二：购进学习机器人台，智能编程套装套．
23．（9分）综合与实践
【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系．
【素材】如图．
①若干个体积相同的大球和体积相同的小球；
②原始水面高度是的高为的圆柱形烧杯．
【实践操作】如图．
步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为；
步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计）
【实践探索】
(1)放入一个小球水面升高 ；
(2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数．
【答案】(1)2
(2)放入4个大球，6个小球
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，解题时要能读懂题意，找到相等关系是关键．
（1）根据“3个小球使水面上升”列式计算；
（2）设放入x个大球，y个小球，根据放入大球、小球共10个，使水面上升到，进而可列方程组求解．
【详解】（1）解：由题意，根据图中数据可得，．
故答案为：2；
（2）解：由步骤二可知，放入一个大球水面升高，
设放入x个大球，y个小球，
根据题意，得，
解得，
答：放入4个大球，6个小球．
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高频考点专练07 二元一次方程组
（4个知识点+4个题型+1个专练+验收卷）
二元一次方程组的相关概念
1．二元一次方程的定义
方程中含有两个未知数（一般用x和应y），并且未知数的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程．
2．二元一次方程的解
使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解．
3．二元一次方程组的定义
把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组． 此外，组成方程组的各个方程也不必同时含有两个未知数．
4．二元一次方程组的解
定义：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解．
二元一次方程组的解法
1．解二元一次方程组的思想
2．解二元一次方程组的基本方法：代入消元法和加减消元法
（1）用代入消元法解二元一次方程组的一般过程：
①从方程组中选定一个系数比较简单的方程进行变形，用含有x（或y）的代数式表示y（或x），即变成y=ax+b（或x=ay+b）的形式；
②将y=ax+b（或x=ay+b）代入另一个方程（不能代入原变形方程）中，消去y（或x），得到一个关于x（或y）的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x（或y）的值；
④把x（或y）的值代入y=ax+b（或x=ay+b）中，求y（或x）的值；
⑤用“”联立两个未知数的值，就是方程组的解．
（2）用加减消元法解二元一次方程组的一般过程：
①根据“等式的两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，等式仍然成立”的性质，将原方程组化成有一个未知数的系数绝对值相等的形式；
②根据“等式两边加上（或减去）同一个整式，所得的方程与原方程是同解方程”的性质，将变形后的两个方程相加（或相减），消去一个未知数，得到一个一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；
④把求得的未知数的值代入原方程组中比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；
⑤将两个未知数的值用“”联立在一起即可．
实际问题与二元一次方程组
三元一次方程组
1．定义：含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是1的方程叫做三元一次方程；含有三个相同的未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，并且一共有三个方程，像这样的方程组叫做三元一次方程组．
2．三元一次方程组的解法
解三元一次方程组的基本思想仍是消元，一般的，应利用代入法或加减法消去一个未知数，从而化三元为二元，然后解这个二元一次方程组，求出两个未知数，最后再求出另一个未知数．解三元一次方程组的一般步骤是：
（1）利用代入法或加减法，把方程组中一个方程与另两个方程分别组成两组，消去两组中的同一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；
（2）解这个二元一次方程组，求出两个未知数的值；
（3）将求得的两个未知数的值代入原方程组中的一个系数比较简单的方程，得到一个一元一次方程；
（4）解这个一元一次方程，求出最后一个未知数的值；
（5）将求得的三个未知数的值用“{”合写在一起．
3．列三元一次方程组解应用题的一般步骤：
（1）弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x，y，z)表示题目中的两个(或三个)未知数；
（2）找出能够表达应用题全部含义的相等关系；
（3）根据这些相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组；
（4）解这个方程组，求出未知数的值；
（5）写出答案(包括单位名称)．
类型1 二元一次方程（组）的解
【例题】
1．（2025·广东广州·二模）若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【变式】
2．（2025·广东汕头·一模）若是方程组的解，则被遮盖的两个数的积是（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东汕头·一模）若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（ ）
A．8 B． C．6 D．
4．（2025·广东珠海·三模）已知方程的一个解为，则 ．
5．（2025·广东韶关·三模）已知是的解，则k的值是 ．
6．（2024·广东河源·一模）已知是二元一次方程组的解，则的值为 ．
类型2 消元法解二元一次方程（组）
【例题】
7．（2025·广东惠州·三模）已知多项式的次数为2，则的值为（ ）
A．8 B．9 C．10 D．11
【变式】
8．（2025·广东梅州·一模）已知，则（ ）
A．2025 B．1 C． D．
9．（2025·广东东莞·一模）二元一次方程组的解为 ．
10．（2025·广东梅州·二模）已知代数式与是同类项，则 ．
11．（2025·广东深圳·三模）（1）解二元一次方程组：；
（2）小明在解第（1）问的二元一次方程组时，过程如下：
第1步，由，可设，，即；
第2步，将，代入中，得到______；
第3步，解得______；
第4步，即可求出方程组的解．
请你完成上面的填空．
类型3 根据实际问题列二元一次方程组
【例题】
12．（2025·广东深圳·三模）学校组织学生参加户外拓展活动，需准备帐篷和睡袋．已知每顶大帐篷可住8名学生，每顶小帐篷可住5名学生．若租用大帐篷顶，小帐篷顶，刚好能住下150名学生，且大帐篷比小帐篷多5顶．则可列方程组为（ ）
A． B．C．D．
【变式】
13．（2025·广东东莞·模拟预测）近年来我国先后研发出“天河一号”和“天河二号”超级计算机．已知一台“天河一号”2秒计算的次数与一台“天河二号”1秒计算的次数之和为6.5亿亿次，一台“天河一号”3秒计算的次数与一台“天河二号”5秒计算的次数之和为29亿亿次．设一台“天河一号”与一台“天河二号”每秒平均计算次数分别为x亿亿次和y亿亿次，则可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
14．（2025·广东广州·一模）记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有只羊，乙有只羊，可列出方程组是（ ）
A． B．
C． D．
15．（2025·广东广州·二模）如图是由长方形和三角形组合而成的广告牌，重叠部分面积是，整个广告牌所占面积是，除重叠部分外，长方形剩余部分面积比三角形剩余部分的面积多．设长方形的面积为，三角形面积为，则根据题意可列二元一次方程组为（ ）
A． B．
C． D．
类型4 二元一次方程组的应用
【例题】
16．（2025·广东韶关·一模）如图，两灯泡与的电阻之和为，闭合开关S后，测得灯泡与两端的电压分别为2V、4V，则灯泡与的电阻与分别是（ ）
A． B． C． D．
【变式】
17．（2025·广东深圳·一模）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”，把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方如图1所示，三阶幻方的每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，图2是另一个未完成的三阶幻方，则x与y的和为（ ）
A． B．2 C．4 D．
18．（2025·广东深圳·模拟预测）《九章算术》中的算筹图是竖排的，为看图方便，我们把它改为横排，如图1，图2图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数x，y的系数与相应的常数项．把图1所示的算筹图用我们现在所熟悉的方程组形式表述出来，就是在图2所示的算筹图中有一个图形被墨水覆盖了，如果图2所表示的方程组中x的值为3，则被墨水所覆盖的图形为（ ）
A． B． C． D．
19．（2025·广东韶关·三模）“北风起，腊鸭香”，南雄板鸭已有千年历史，是广东人的年味密码．小美和小丽去某特产店购买了甲、乙两种不同包装的南雄板鸭产品，小美购买了袋甲产品和袋乙产品，共花费了元；小丽购买了袋甲产品和袋乙产品，共花费了元．这家特产店甲乙两种南雄板鸭产品的零售价分别是多少？
满分：60分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共24分）
1．（2025·四川自贡·中考真题）某小区人行道地砖铺设图案如图所示．用10块相同的小平行四边形地砖拼成一个大平行四边形．若大平行四边形短边长．则小地砖短边长（ ）
A．7cm B．8 C．9 D．
2．（2025·浙江·中考真题）手工社团的同学制作两种手工艺品A和B，需要用到彩色纸和细木条，单个手工艺品材料用量如下表．
材料类别 彩色纸（张） 细木条（捆）
手工艺品A 5 3
手工艺品B 2 1
如果一共用了17张彩色纸和10捆细木条，问他们制作的两种手工艺品各有多少个？设手工艺品A有x个，手工艺品B有y个，则x和y满足的方程组是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·四川泸州·中考真题）《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程（组）解的问题．例如方程恰有一个正整数解．类似地，方程的正整数解的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2025·黑龙江·中考真题）为促进学生德智体美劳全面发展，某校计划用1200元购买足球和篮球(两种都要买)用于课外活动，其中足球80元/个，篮球120元/个，共有多少种购买方案（ ）
A．6 B．7 C．4 D．5
5．（2025·四川南充·中考真题）我国宋代数学家秦九韶发明的“大衍求一术”阐述了多元方程的解法，大衍问题源于《孙子算经》中“物不知数”问题：“今有物，不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三……，问物几何？”意思是：有一些物体不知个数，每3个一数，剩余2个；每5个一数，剩余3个……．问这些物体共有多少个？设3个一数共数了x次，5个一数共数了y次，其中x，y为正整数，依题意可列方程（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·四川凉山·中考真题）若，则的平方根是（ ）
A．8 B． C． D．
7．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）神舟二十号发射窗口时间恰逢第十个“中国航天日”．为激发青少年探索浩瀚宇宙的兴趣，学校组织900名师生乘车前往航空科技馆参观，计划租用45座和60座两种客车（两种客车都要租），若每名学生都有座位且每辆客车都没有空座位，则租车方案有（ ）
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
8．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（ ）
A．7组 B．21组 C．28组 D．42组
二、填空题（每题3分，共15分）
9．（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组的解为则的值为 ．
10．（2025·江苏南通·中考真题）把一根长的钢管截成长和长两种规格的钢管．为了不造成浪费，可能截得钢管的总根数为 （写出一种情况即可）．
11．（2025·福建·中考真题）有、、三种货物，甲购3件，5件，1件，共200元．乙购4件，7件，1件，共250元，则丙购、、各1件，应付 元．
12．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则 ．
13．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ．
三、解答题（共21分）
14．（2025·山东滨州·中考真题,7分）我国古代很早就开始研究一次方程组，在《九章算术》的“方程”章中，古人用算筹表示一次方程组．例如，算筹图1表示的方程组为，图中省略了未知数x和y，各行从左到右用算筹依次表示未知数x，y的系数与相应的常数项．请写出算筹图2所表示的方程组，并求出该方程组的解．
15．（2025·海南·中考真题,7分）某汽车销售公司分两批次采购新能源汽车．第一批购进1辆A型汽车、4辆B型汽车，共花费68万元；第二批购进2辆A型汽车、3辆B型汽车，共花费76万元（同类型汽车进价不变）．某销售经理估计每辆A型汽车的进价约为19~21万元，每辆B型汽车的进价约为万元．
(1)求A、B型汽车的进价，并判断该销售经理的估计是否正确；
(2)现实生活中的很多问题可以用方程（组）解决，请写出解二元一次方程组的常用方法．
16．（2025·江西·中考真题,7分）某文物考古研究院用复原的青铜蒸馏器进行了蒸馏酒实验．用复原的青铜蒸馏器蒸馏粮食酒和芋头酒，需要的原材料与出酒率（）如下表：
类别 原材料 出酒率
粮食酒 粮食糟醅（含大米、糯米、谷壳、大曲和蒸馏水 30%
芋头酒 芋头糟醅（含芋头、小曲和蒸馏水） 20%
如果第一次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共16公斤；第二次实验分别蒸馏出粮食酒和芋头酒共36公斤，且所用的粮食糟醅量是第一次的2倍，芋头糟醅量是第一次的3倍．
(1)求第一次实验分别用了多少公斤粮食糟醅和芋头糟醅？
(2)受限于当时的生产条件，古代青铜装馏器的出酒量约为现代复原品的80%．若粮食糟醅中大米占比约为，请问，在古代要想蒸馏出这两次实验得到的粮食酒总量，需要准备多少公斤大米？
二元一次方程组验收卷
满分：120分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ）
A． B． C． D．
2．把方程改写成用含的式子表示的形式为（ ）
A． B． C． D．
3．用代入法解方程组，下列最合适的变形是（ ）
A．由①，得 B．由①，得
C．由②，得 D．由②，得
4．方程组的解是（ ）
A． B． C． D．
5．化学方程式是用化学式来表示物质化学反应的式子．化学方程式不仅表明了反应物、生成物和反应条件，同时化学计量数代表了各反应物、生成物物质的量关系．例如就表示两份（氢气）与一份（氧气）点燃生成两份的（水）．依据化学反应过程中的质量守恒定律，在化学方程式等号左边和等号右边同一元素原子的个数一定相同．已知，由此可列出关于x，y的二元一次方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．已知，是关于x，y的二元一次方程组，则（ ）
A． B． C． D．
7．若是二元一次方程组的解，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知，都是实数，观察表中的运算，则的值为（ ）
的运算
运算的结果 7
A．21 B． C．40 D．
9．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长尺，绳子长尺，则可以列出的方程组为（ ）
A． B．
C． D．
10．若关于x，y的二元一次方程组的解是则关于m、n的二元一次方程组的解是（）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共18分）
11．若是方程的解，则 ．
12．甲、乙两人同时解关于x，y的方程组，甲、乙两人都解错了，甲看错了方程①中的m，解得，乙看错了方程②中的n，解得，则原方程组的解为
13．已知关于的方程组无解，则 ．
14．若关于x，y的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为 ．
15．设，当时，；当时，．当时，求的值是 .
16．如图①是由编号为1，2，3，4，5的五个小长方形组成的大长方形．已知图①中编号为3，4，5的小长方形大小都如图②，且编号为1的小长方形面积是编号为2的小长方形面积的两倍，若，则 ．
三、解答题（共72分）
17．（9分）解二元一次方程组：(1)；(2)．
18．（9分）学习完“代入消元法”解二元一次方程组后，老师在黑板上写下一个方程组．
让同学们解答，爱动脑筋的小敏想到一种新的方法：
解：将②变形为，③
把①代入③，得，解得．
把代入①，解得．方程组的解为．
这种把某个式子看成一个整体，从而使问题得到简化的方法叫做“整体代换”法，请你模仿小敏的“整体代换”法解方程组
19．（9分）3月14日为“国际数学日”，某校在这一天开展数学主题活动，活动分为“智趣挑战”和“巧手闯关”两个项目．若学生参加两个项目得分之和不低于100分，且“智趣挑战”得分不低于55分，则可获得一份校园文创奖品．参加活动时，在正式计分前可先体验一次．小明在体验两个项目时共得90分；在正式计分时，“智趣挑战”项目的得分比体验时增加了，“巧手闯关”项目的得分比体验时增加了，共得104分．请判断小明是否可以获得校园文创奖品，并说明理由．
20．（9分）“呼和浩特盛乐国际机场”坐落于呼和浩特市和林格尔县巧什营镇，是内蒙古自治区首座4F级国际民用机场，距呼和浩特市中心约千米．为高效推进机场配套建设，甲、乙两个工程队接力承担一段长为29000米的机场快速路修建任务，甲工程队每天修建100米，乙工程队每天修建150米，两队接力施工共用260天完成，求甲、乙两个工程队各自修建机场快速路的长度．
七年级学生盛盛和乐乐根据题意分别列出了下面尚不完整的方程组：
盛盛： 乐乐：
(1)请把盛盛和乐乐所列的方程组补充完整；
(2)请分别写出盛盛和乐乐所列方程组中未知数x，y表示的意义．
盛盛：x表示________，y表示________；
乐乐：x表示________，y表示________；
(3)请你从两位同学的方法中任选一种进行解答．
21．（9分）在400米的环形跑道上，甲、乙两人从同一起点同时出发做匀速运动，若反向而行，40秒后两人第一次相遇；若同向而行，200秒后甲第一次追上乙．
(1)你能求出甲、乙两人的速度吗？
(2)若甲、乙同向而行时，丙也在跑道上匀速前行，且与甲、乙的方向一致，出发后20秒甲追上丙，出发后100秒乙追上丙，请问出发时，丙在甲、乙前方多少米？丙的速度是多少？
22．（9分）为积极响应国家关于“推动人工智能与教育深度融合”的号召，全面提升学生的数字素养与创新能力，某校计划采购一批核心设备．已知市场报价如下：购进2台学习机器人和3套智能编程套装，总计花费90万元；购进3台学习机器人和2套智能编程套装，总计花费85万元．
(1)每台学习机器人和每套智能编程套装的进价分别为多少万元
(2)若该校计划出资125万元资金全部用于购进学习机器人和智能编程套装两种设备（两种设备均购买）供学生使用，请问共有几种购进方案
23．（9分）综合与实践
【主题】探究大球、小球数量与水面高度的变化关系．
【素材】如图．
①若干个体积相同的大球和体积相同的小球；
②原始水面高度是的高为的圆柱形烧杯．
【实践操作】如图．
步骤一：将3个小球放入烧杯中，测得此时水面高度为；
步骤二：将步骤一的小球取出，放入2个大球，测得此时水面高度也为．（误差均忽略不计）
【实践探索】
(1)放入一个小球水面升高 ；
(2)若放入大球、小球共10个，要使水面高度为，求放入大球和小球的个数．
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