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高频考点专练08 一元二次方程
（3个知识点+6个题型+1个专练+验收卷）
一元二次方程的相关概念
（1）一元二次方程的定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
注意一下几点：
①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程．
（2）一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项．
（3）一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义就是解方程过程中验根的依据．
一元二次方程的解法
1．直接开平方法解一元二次方程
（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数，可以直接开平方．一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解的x1=，x2=；
（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法．
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根就是零；负数没有平方根．
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根．
2．配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开．
（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4） 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解．
3．公式法解一元二次方程
（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a，b，c的值直接求的方程的解，这种解方程的方法叫做公式法．
（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程．
（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：
①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值； ②确定公式中a，b，c的值，注意符号；
③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a，b，c与b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根．
4．一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4a．
一元二次方程根的判别式
△>0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
5．因式分解法解一元二次方程
（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法．
（2）因式分解法的详细步骤：
①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式；
③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程；
④解一元一次方程即可的到原方程的解．
6．一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则有x1+x2=-p，x1x2=q；
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则有x1+x2=， x1x2=．
实际问题与一元二次方程
1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间的等量关系．
（2）设：就是指设元，也就就是设出未知数．
（3）列：就就是列方程，这就是关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就的到含有未知数的等式，即方程．
（4）解：就就是解方程，求出未知数的值．
（5）验：就是指检验方程的解就是否保证实际问题有意义，符合题意．
（6）答：写出答案．
2．列一元二次方程解应用题的几种常见类型
（1）数字问题
三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1．
三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2．
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数就是100a+10b+c、
（2）增长率问题
设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b．
（3）利润问题
利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率
（4）图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程．
类型1 由一元二次方程的解求字母的值
【例题】
1．（2025·广东珠海·一模）若是方程的一个根，则的值为
【变式】
2．（2025·广东深圳·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
3．（2025·广东广州·一模）已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为 ．
4．（2025·广东珠海·一模）设是方程的一个实根，则（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
类型2 由判别式判断根的情况
【例题】
5．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【变式】
6．（2025·广东揭阳·三模）关于方程中，实数，满足，则方程的根情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
7．（2025·广东广州·一模）正比例函数的图象过二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况描述准确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
8．（2025·广东广州·一模）对于任意4个实数，，，，定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
9．（2025·广东佛山·二模）关于x的一元二次方程的一个根为，设，则M与方程根的判别式△之间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
类型3 由一元二次方程根的情况求参数
【例题】
10．（2025·广东中山·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式】
11．（2025·广东广州·二模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12．（2025·广东广州·一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围在数轴上可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
13．（2025·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则代数式化简的结果是 ．
类型4 一元二次方程根与系数的关系
【例题】
14．（2025·广东惠州·三模）方程的一个根为2，则另一个根为（ ）
A． B．1 C． D．
【变式】
15．（2025·广东江门·三模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于（ ）
A．2 B． C．3 D．
16．（2025·广东清远·一模）一元二次方程的两根为，则（ ）
A． B． C． D．
17．（2025·广东广州·一模）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（ ）
A． B．1 C． D．
18．（2025·广东深圳·模拟预测）小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式：，这让他联想起数学课堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若、，连接和相交于，过作于，则．若，且以、为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（ ）
A． B．
C． D．
类型5 增长率问题
【例题】
19．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
20．（2025·广东珠海·二模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
21．（2025·广东深圳·一模）深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
22．（2025·广东韶关·模拟预测）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
类型6 与图形有关的问题
【例题】
23．（2025·广东中山·二模）某中学计划在一个长为，宽为的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的 地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的入口宽度为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【变式】
24．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
25．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
26．（2025·广东珠海·三模）如图1，将面积为36的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为 ．
27．（2025·广东清远·一模）在欧几里得的《几何原本》中提到，形如的方程的图解法是：如图，以和为直角边作，再在斜边上截取，则的长为所求方程的正根．若关于的一元二次方程，当图中，那么的值为 ．
满分：42分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共21分）
1．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
2．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
4．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．25 C．26 D．
二、填空题（每题3分，共21分）
8．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ．
9．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
10．（2025·青海西宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值 ．
11．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则 ．
12．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则
13．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ．
14．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ．
一元二次方程验收卷
满分：90分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．课堂上，数学王老师让同学各自写出一个一元二次方程：甲、乙两位同学分别给出自己的结果：甲：；乙：，其中正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
2．已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（ ）
A．9 B．1 C．0 D．
3．以下是四位同学接力用配方法求解一元二次方程的过程，在每人只负责传递到自己的这一步的解答中，出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁
4．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的存在情况
6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．
7．化学实验室需购买烧杯和导管两种耗材（如图），已知烧杯的单价比导管贵8元，购买这两种耗材的总金额为195元，且总金额恰好等于烧杯与导管单价乘积的3倍．设导管的单价为元，则列出的方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
8．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
9．已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的3倍，则的值为（ ）
A．或1 B．或 C． D．1
10．张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（ ）
A．20米 B．24米 C．28米 D．32米
二、填空题（每题3分，共15分）
11．王老师在批改作业时发现，一位同学在用配方法解一元二次方程时，配方后等号右边的数字不小心被墨水污染了如下：▊．若该方程的一个根为，则另一个根为 ．
12．某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为 ．
13．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要 s能到达终点．
14．小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程 ．
15．小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有 人．
三、解答题（共75分）
16．（8分）习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程
解：方程两边同时除以得
第一步
第二步
第三步
淇淇：解方程
解：移项： 第一步
分解因式 第二步
即或 第三步
所以 第四步
(1)分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的；
(2)请给出这道题的正确解答过程．
17．（8分）如图，每个表格内包含一个运算，选定一个数后按照相应顺序运算得出结果．
甲 乙 丙 丁
取倒数 平方 取相反数 加2
(1)若选取数字2，按照丙乙丁甲的运算顺序列算式算出结果；
(2)如选取一个非负数后，按照丁乙丙的顺序运算后，结果为，求选取的数字．
18．（10分）如图，甲、乙两个图形都由长方形或正方形拼成，边长数据如图所示．
(1)若甲、乙两图的外轮廓周长相等，求x的值；
(2)求甲图的面积（用含x的代数式表示）；
(3)若甲图的面积比乙图的面积大1，求乙图的面积．
19．（9分）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识．
(1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？
(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？
20．（10分）小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型．
(1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和；
(2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由．
21．（10分）汉服，是汉民族的传统服饰，是中国“衣冠上国”“礼仪之邦”“锦绣中华”的体现，是中华优秀传统文化的重要载体．某汉服馆销售一款汉服，经过市场调研发现：这款汉服平均每天可销售30件，每件盈利50元，每件汉服每降价1元，日销售量可增加2件．为了尽快减少库存，商家决定采取适当的降价措施．
(1)若某天该款汉服降价3元，则该商家当天销售这款汉服______件；
(2)这款汉服每件降价多少元时，该商家销售这款汉服日盈利可达到2000元？
22．（10分）为践行五育并举的教育理念．某中学组织学生前往成都周边的生态农场实地探访养鸡场，学习其中蕴含的数学规划与设计智慧．
(1)该农场今年养殖有跑山鸡1000只，为实现规模化发展，计划明、后两年以相同的年增长率扩大养殖规模，预计后年养殖跑山鸡达到1210只，求该农场跑山鸡数量的年增长率；
(2)为优化养鸡环境，农场对鸡舍进行重建．重建后的鸡舍为长方形，一边靠墙（墙长22米），其余的边用环保板材围成．板材上开有两处宽1米的门（门宽不计入板材用量），共用去板材42米，且重建后鸡舍面积为161平方米（墙体厚度忽略不计）．求重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长．
23．（10分）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加．
(1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表：
t（秒） 0 1 2 3 …
（米/秒） 0 2 a b …
由题意可知：______，______；
(2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N，
①求钢球在此运动中滚动的时间；
②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度）
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高频考点专练08 一元二次方程
（3个知识点+6个题型+1个专练+验收卷）
一元二次方程的相关概念
（1）一元二次方程的定义
等号两边都就是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数就是2（二次）的方程，叫做一元二次方程．
注意一下几点：
①只含有一个未知数；②未知数的最高次数就是2；③就是整式方程．
（2）一元二次方程的一般形式
一般形式：ax2 + bx + c = 0(a ≠ 0)、其中，ax2就是二次项，a就是二次项系数；bx就是一次项，b就是一次项系数；c就是常数项．
（3）一元二次方程的根
使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根．方程的解的定义就是解方程过程中验根的依据．
一元二次方程的解法
1．直接开平方法解一元二次方程
（1）如果方程的一边可以化成含未知数的代数式的平方，另一边就是非负数，可以直接开平方．一般地，对于形如x2=a(a≥0)的方程，根据平方根的定义可解的x1=，x2=；
（2）直接开平方法适用于解形如x2=p或(mx+a)2=p(m≠0)形式的方程，如果p≥0，就可以利用直接开平方法．
（3）用直接开平方法求一元二次方程的根，要正确运用平方根的性质，即正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根就是零；负数没有平方根．
（4）直接开平方法解一元二次方程的步骤就是：①移项；②使二次项系数或含有未知数的式子的平方项的系数为1；③两边直接开平方，使原方程变为两个一元二次方程；④解一元一次方程，求出原方程的根．
2．配方法解一元二次方程
通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法，配方的目的就是降次，把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．
配方法的一般步骤可以总结为：一移、二除、三配、四开．
（1）把常数项移到等号的右边；（2）方程两边都除以二次项系数；（3）方程两边都加上一次项系数一半的平方，把左边配成完全平方式；（4） 若等号右边为非负数，直接开平方求出方程的解．
3．公式法解一元二次方程
（1）一般地，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，如果b2-4ac≥0，那么方程的两个根为x=，这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用求根公式，我们可以由一元二方程的系数a，b，c的值直接求的方程的解，这种解方程的方法叫做公式法．
（2）一元二次方程求根公式的推导过程，就就是用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的过程．
（3）公式法解一元二次方程的具体步骤：
①方程化为一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0)，一般a化为正值； ②确定公式中a，b，c的值，注意符号；
③求出b2-4ac的值；④若b2-4ac≥0，则把a，b，c与b-4ac的值代入公式即可求解，若b2-4ac＜0，则方程无实数根．
4．一元二次方程根的判别式
式子b2-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母△表示它，即△=b2-4a．
一元二次方程根的判别式
△>0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不相等的实数根；
△=0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根；
△＜0，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根．
5．因式分解法解一元二次方程
（1）把一元二次方程的一边化为0，而另一边分解成两个一次因式的积，进而转化为求两个求一元一次方程的解，这种解方程的方法叫做因式分解法．
（2）因式分解法的详细步骤：
①移项，将所有的项都移到左边，右边化为0；
②把方程的左边分解成两个因式的积，可用的方法有提公因式、平方差公式与完全平方公式；
③令每一个因式分别为零，的到一元一次方程；
④解一元一次方程即可的到原方程的解．
6．一元二次方程的根与系数的关系
若一元二次方程x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则有x1+x2=-p，x1x2=q；
若一元二次方程a2x+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1，x2，则有x1+x2=， x1x2=．
实际问题与一元二次方程
1．列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）审：就是指读懂题目，弄清题意，明确哪些就是已知量，哪些就是未知量以及它们之间的等量关系．
（2）设：就是指设元，也就就是设出未知数．
（3）列：就就是列方程，这就是关键步骤，一般先找出能够表达应用题全部含义的一个相等含义，然后列代数式表示这个相等关系中的各个量，就的到含有未知数的等式，即方程．
（4）解：就就是解方程，求出未知数的值．
（5）验：就是指检验方程的解就是否保证实际问题有意义，符合题意．
（6）答：写出答案．
2．列一元二次方程解应用题的几种常见类型
（1）数字问题
三个连续整数：若设中间的一个数为x，则另两个数分别为x-1，x+1．
三个连续偶数（奇数）：若中间的一个数为x，则另两个数分别为x-2，x+2．
三位数的表示方法：设百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c，则这个三位数就是100a+10b+c、
（2）增长率问题
设初始量为a，终止量为b，平均增长率或平均降低率为x，则经过两次的增长或降低后的等量关系为a（1）2=b．
（3）利润问题
利润问题常用的相等关系式有：①总利润=总销售价-总成本；②总利润=单位利润×总销售量；③利润=成本×利润率
（4）图形的面积问题
根据图形的面积与图形的边、高等相关元素的关系，将图形的面积用含有未知数的代数式表示出来，建立一元二次方程．
类型1 由一元二次方程的解求字母的值
【例题】
1．（2025·广东珠海·一模）若是方程的一个根，则的值为
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的意义，求代数式的值，正确理解一元二次方程根的意义是解题的关键．根据一元二次方程根的意义，得到，整理得，然后将变形后即可求得答案．
【详解】解：是方程的一个根，
，
，
，
故答案为：．
【变式】
2．（2025·广东深圳·模拟预测）已知是一元二次方程的一个根，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，代数式求值，由一元二次方程根的定义可得，再整体代入代数式计算即可求解，掌握一元二次方程根的定义是解题的关键．
【详解】解：∵是一元二次方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
3．（2025·广东广州·一模）已知2，4，a分别是等腰三角形三边的长，且a是关于x的一元二次方程的根，则k的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了三角形的三边关系以及等腰三角形的定义，一元二次方程的根，分情况讨论：当时，当时，分别讨论求解即可．
【详解】解：2，4，a分别是等腰三角形三边的长，
当时，2，4，2不能构成三角形，不符合题意；
当时，
∴，
，
故答案为：．
4．（2025·广东珠海·一模）设是方程的一个实根，则（ ）
A．2025 B．2024 C．2023 D．2022
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此可得，则，，再把，代入所求式子中计算求解即可．
【详解】解：∵是方程的一个实根，
∴，
∴，，
∴
，
故选：B．
类型2 由判别式判断根的情况
【例题】
5．（2025·广东广州·中考真题）关于x的方程根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．无实数根 D．只有一个实数根
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．通过计算判别式并分析其符号即可确定根的情况．
【详解】解：对于方程，其判别式为：
由于，则，因此．
故判别式恒为负数，方程无实数根，
故选：C．
【变式】
6．（2025·广东揭阳·三模）关于方程中，实数，满足，则方程的根情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．无法确定
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据条件，将方程的判别式用表示，化简后判断其符号即可确定根的情况．
【详解】解：方程的判别式为，
由条件，得，代入中：，
由于，故，即．
因此，方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
7．（2025·广东广州·一模）正比例函数的图象过二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况描述准确的是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有实数根
C．有两个相等的实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查了正比例函数的性质，一元二次方程根的判别式的意义，根据题意得出，进而计算判别式，根据判别式的意义，即可求解．
【详解】解：∵正比例函数的图象过第二、四象限，
，
，
，
∴方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
8．（2025·广东广州·一模）对于任意4个实数，，，，定义一种新的运算，例如：，则关于的方程的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根
C．没有实数根 D．无法判断
【答案】B
【分析】本题考查的是根的判别式，实数的运算，熟知一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根是解题的关键．根据题意得出关于的一元二次方程，再利用根的判别式解答即可．
【详解】解：，
关于的方程可化为，即，
，，，
，
有两个不相等的实数根．
故选：B．
9．（2025·广东佛山·二模）关于x的一元二次方程的一个根为，设，则M与方程根的判别式△之间的数量关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的根、完全平方公式．根据题意可以先对M化简，从而可以得到M和的关系，本题得以解决．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程的一个根，
∴，，
∴，
∴
，
故选：A．
类型3 由一元二次方程根的情况求参数
【例题】
10．（2025·广东中山·模拟预测）已知关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了根的判别式，代数式求值，正确掌握根的判别式公式是解题的关键．
根据题意可得到，化简得，由得到，，整理后即可得到的答案．
【详解】解：根据题意得：，
整理得：，
，
方程是一元二次方程，
，
等式两边同时除以得：，
则．
故选B．
【变式】
11．（2025·广东广州·二模）若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根的判别式判断方程的根的情况．一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．
根据方程有两个相等的实数根，计算根的判别式得关于的方程，求解方程即可．
【详解】解：，
方程有两个相等的实数根，
，
，
解得：．
故选：B．
12．（2025·广东广州·一模）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围在数轴上可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．
利用根与系数的关系得到，然后解不等式进行判断．
【详解】解：根据题意得：，
解得：．
故选：A ．
13．（2025·广东广州·二模）若关于x的一元二次方程有实数根，则代数式化简的结果是 ．
【答案】1
【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及二次根式的性质，熟练掌握一元二次方程根的判别式及二次根式的性质是解题的关键；由题意易得，然后根据二次根式的性质进行化简即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴，
∴，
∴；故答案为：1．
类型4 一元二次方程根与系数的关系
【例题】
14．（2025·广东惠州·三模）方程的一个根为2，则另一个根为（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，得到两根之积为，进而求出方程的另一根即可．
【详解】解：∵方程的一个根为 2 ，且两根之积为，
∴另一个根为；
故选：C．
【变式】
15．（2025·广东江门·三模）已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，可得的值．
【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，
∴
故选：C．
16．（2025·广东清远·一模）一元二次方程的两根为，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，再代值计算即可得到答案．
【详解】解：∵一元二次方程的两根为，
∴
∴
．
故选：B．
17．（2025·广东广州·一模）若关于的方程有两个实数根，且两根之和不小于，则代数式化简的结果是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，二次根式化简，解题的关键在于正确掌握相关知识．
根据一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，建立不等式推出的取值范围，再结合完全平方公式变形，以及二次根式性质，绝对值性质化简求解，即可解题．
【详解】解：关于的方程有两个实数根，
，
两根之和不小于，
，
解得，
综上，
， ，
，
故选：D．
18．（2025·广东深圳·模拟预测）小明在学习电路图时，通过实验探究得到并联电路的电阻公式：，这让他联想起数学课堂上曾经证明过的一个结论和这一公式有惊人的相似：若、，连接和相交于，过作于，则．若，且以、为宽和长的矩形的面积等于，则以、的长度为根的一元二次方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】根据题意得到，进一步得到，，则根据根与系数的关系得到以、的长度为根的一元二次方程为．
本题考查了根与系数的关系，若已知方程的两根为，，则以，为根的一元二次方程为．
【详解】解：由题意可知，，
，
以、为宽和长的矩形的面积等于，
，
，
以、的长度为根的一元二次方程为，
故选：．
类型5 增长率问题
【例题】
19．（2025·广东·中考真题）广东省统计局的相关数据显示，近年来高技术制造业呈现快速增长态势．某公司工业机器人在今年5月产值达到2500万元，预计7月产值将增至9100万元．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，可列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，根据连续两个月的月均增长率建立方程即可．
【详解】解：设该公司6，7两个月产值的月均增长率为，
根据题意，得．
故选：A．
【变式】
20．（2025·广东珠海·二模）近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动．某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，则所列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的增长率问题，根据某款燃油汽车今年2月份售价为25万元，4月份售价为20.25万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是，列方程，即可作答．
【详解】解：根据题意得：．
故选：A．
21．（2025·广东深圳·一模）深圳书城湾区域，高空俯瞰像两只眼睛，也被称为“湾区之眼”，是深圳新时代重大文化设施之一，预计2025年6月启用．预计第一年进书城672万人次，进书城人次逐年增加，第三年进书城1050万人次，若进书城人次的年平均增长率相同．设进书城人次的年平均增长率为，则根据题意，可列方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程方程的应用，理解题意找到等量关系是解题的关键．
根据第一年的人次和第三年的人次，增长率为，用复利增长公式列方程即可．
【详解】解：设进书城人次的年平均增长率为，
根据题意得：，
故选：C．
22．（2025·广东韶关·模拟预测）中国“一带一路”战略给沿线国家和地区带来很大的经济效益，沿线某地区居民2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准数量关系，正确列出一元二次方程是解答关键．设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，根据2015年年收入200美元，预计2017年年收入将达到1000美元，列出方程即可．
【详解】解：设2015年到2017年该地区居民年人均收入平均增长率为x，依据题意得：
．
故选：D．
类型6 与图形有关的问题
【例题】
23．（2025·广东中山·二模）某中学计划在一个长为，宽为的矩形花园中修建入口等宽的小道，剩余的 地方种植花草，如图所示，要使种植花草的面积为，设小道的入口宽度为，则根据题意可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设小道入口的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，根据矩形的面积计算公式，结合种植花草的面积为，即可得出关于的一元二次方程．
【详解】解：设小道入口的宽度应为，则剩余部分可合成长为，宽为的矩形，
依题意得：，
故选：A．
【变式】
24．（24-25九年级上·广东深圳·开学考试）两千多年前，古希腊数学家欧多克索斯发现了黄金分割，黄金分割在日常生活中处处可见，例如：主持人在舞台上主持节目时，站在黄金分割点上，观众看上去感觉最好．若舞台长20米，主持人从舞台一侧进入，设他至少走x米时恰好站在舞台的黄金分割点上，则x满足的方程是（ ）
A． B．
C． D．以上都不对
【答案】A
【分析】根据黄金分割点的定义即点把线段分成两条线段，较长线段是较短线段和全长线段的比例中项，这个点就是线段的黄金分割点，列式判断即可．
本题考查了一元二次方程的实际应用及黄金分割点的定义，熟练掌握黄金分割是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得设他至少走x米，则较长线段长为，
则，
故选A．
25．（24-25九年级上·广东深圳·月考）如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键．
由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解．
【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故选：C．
26．（2025·广东珠海·三模）如图1，将面积为36的正方形分为①②③④四部分，分成的4部分恰好拼成如图2所示的矩形，则长为 ．
【答案】
【分析】本题考查了关于图形的剪拼的一元二次方程的应用．已知图中的①和②，③和④形状大小分别完全相同，结合图中数据可知①④能拼成一个直角三角形，②③能拼成一个直角三角形，并且这两个直角三角形形状大小相同，利用这两个直角三角形即可拼成矩形；利用拼图前后的面积相等列出方程求解即可得出答案．
【详解】解：如图
图1中的正方形面积为36，
正方形边长为6，
直角三角形①中的长直角边为6，
，整理得，
解得：（负值已舍去）
，
故答案为：．
27．（2025·广东清远·一模）在欧几里得的《几何原本》中提到，形如的方程的图解法是：如图，以和为直角边作，再在斜边上截取，则的长为所求方程的正根．若关于的一元二次方程，当图中，那么的值为 ．
【答案】12
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，勾股定理，根据题意可得，设，，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案．
【详解】解：由题意得，，
，
∴可设，，
∴，
在中，由勾股定理得，即，
解得或（舍去），
，
∴，
∴，
故答案为：12．
满分：42分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共21分）
1．（2025·河南·中考真题）一元二次方程的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】A
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，掌握，方程有两个不相等的实数根；，方程有两个相等的实数根；，方程没有实数根是解题关键．根据一元二次方程根的判别式求解即可．
【详解】解：一元二次方程，
，
方程有两个不相等的实数根，
故选：A．
2．（2025·山东潍坊·中考真题）若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】此题考查了根的判别式，根据根的情况确定参数的范围，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等的实数根时，；当方程有两个相等的实数根时，；当方程没有实数根时，．
【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：，
故选：．
3．（2025·四川内江·中考真题）若关于x的一元二次方程有实数根，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，根据一元二次方程根的判别式进行判断即可求解．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式求解．首先确保二次项系数不为零，再计算判别式并使其非负．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实数根，
∴二次项系数，即．
令，即，
解得．
∴且
故选：C．
4．（2025·黑龙江·中考真题）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可．
【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即．
根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：．
故选B．
5．（2025·四川广元·中考真题）如图，在长为，宽为的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪．如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程在几何图形面积问题中的应用，解题的关键是根据花卉带宽度相同的条件，正确表示出中间草坪的长和宽，再结合草坪面积与总面积的关系列出方程．
确定矩形总面积：矩形地面长、宽总面积为分析草坪的长和宽：花卉带宽度为且在四周，因此草坪的长需减去左右两侧花卉带宽度（共即草坪的宽需减去上下两侧花卉带宽度（共即列面积关系方程：草坪面积为且等于总面积的，由此确定方程形式．
【详解】解：根据题意，矩形地面的总面积为，草坪面积为总面积的，即草坪面积为．
∵花卉带宽度为，且分布在矩形四周，
∴中间草坪的长应等于原矩形的长减去左右两侧花卉带的总宽度（每侧宽即
草坪的宽应等于原矩形的宽减去上下两侧花卉带的总宽度（每侧宽即．
因此，草坪的面积可表示为结合面积关系可列方程：
故选：D．
6．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限．
【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式：
其中 ，，．
∴，．
∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限．
故选：C．
7．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（ ）
A．0 B．25 C．26 D．
【答案】C
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可．
【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根，
∴，，
∴，
∴
，
故选：C．
二、填空题（每题3分，共21分）
8．（2025·四川绵阳·中考真题）若关于的一元二次方程的一个根为1，则的值为 ．
【答案】
5
【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程的解的含义是解题关键．
将方程的根代入原方程中，得到关于a的方程，解这个关于a的方程即可．
【详解】解：将 代入方程 ，得 ，即 ，
解得 ．
故答案为：5．
9．（2025·四川广元·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的定义，根据判别式可得，根据一元二次方程的定义可得，据此求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，
∴，
故答案为：．
10．（2025·青海西宁·中考真题）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，请写出一个满足条件的k的值 ．
【答案】（答案不唯一）
【分析】本题考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到，结合一元二次方程的二次项的系数不为0，进行求解即可．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴且，
∴且，
∴k的值可以为（答案不唯一）；
故答案为：（答案不唯一）．
11．（2025·江苏南京·中考真题）设方程的正根介于整数与之间，则 ．
【答案】2
【分析】本题考查解一元二次方程，估算无理数的大小，熟练掌握解方程的方法是解题的关键．利用配方法解出的方程后利用夹逼法求得正根在哪两个连续整数之间即可．
【详解】解：，
移项得：，
配方得：，
即，
直接开平方得：，
解得，，
，
，
，
则，
故答案为：2．
12．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则．
根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解．
【详解】解：∵方程的两个根分别是，
∴，，
∴，，
∴
，
故答案为：．
13．（2025·四川广安·中考真题）已知方程的两根分别为和，则代数式的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据方程的两根分别为和，可得：，，把整理可得：，再利用整体代入法求值即可．
【详解】解：方程的两根分别为和，
，，
，
．
故答案为：．
14．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了乘法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相加减，得到，，进而得出，再代入 计算即可．
【详解】解：由题意可知，，，
将两式相减得
，
，
，
，
，
将两式相加得，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
一元二次方程验收卷
满分：90分 得分：_____
一、单选题（每题3分，共30分）
1．课堂上，数学王老师让同学各自写出一个一元二次方程：甲、乙两位同学分别给出自己的结果：甲：；乙：，其中正确的是（ ）
A．甲对 B．乙对
C．甲、乙都对 D．甲、乙都不对
【答案】B
【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义判定即可．
【详解】解：甲：，是一元一次方程；
乙：，是一元二次方程．
所以甲不对，乙对．
故选：B
2．已知方程没有实数解，你认为代表的数字可能是（ ）
A．9 B．1 C．0 D．
【答案】D
【分析】本题考查了解一元二次方程，由于平方数具有非负性，当为负数时，方程无实数解，熟练掌握平方数具有非负性是解此题的关键．
【详解】解：∵对于所有实数，，
∴当时，方程没有实数解，
故选：D．
3．以下是四位同学接力用配方法求解一元二次方程的过程，在每人只负责传递到自己的这一步的解答中，出现错误的是（ ）
A．只有甲 B．甲和乙 C．甲和丙 D．丙和丁
【答案】C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程．根据配方法解一元二次方程判断作答即可．
【详解】解：甲：应化为，甲错误；
乙：应化为，乙正确；
丙：应化为，丙错误；
丁：应化为，丁正确；
可知，接力中，自己负责的计算出现错误的是甲和丙．
故选：C．
4．若是方程的两个根，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系即可得．
【详解】解：方程中的，
是方程的两个根，
，，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．
5．已知互不相等的实数a，b，c满足，则关于x的一元二次方程根的情况为（ ）
A．没有实数根 B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根 D．无法确定根的存在情况
【答案】C
【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，因为整理，结合，故，所以，即可作答．
【详解】解：
，
，
，
，
即，
，
，
，
∴一元二次方程有两个不相等的实数根．
故选：C．
6．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（ ）
A． B． C．0 D．
【答案】D
【分析】根据一元二次方程根的判别式计算即可．
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根，
∴，即，解得，
∴m的值可能是，
故选：D．
7．化学实验室需购买烧杯和导管两种耗材（如图），已知烧杯的单价比导管贵8元，购买这两种耗材的总金额为195元，且总金额恰好等于烧杯与导管单价乘积的3倍．设导管的单价为元，则列出的方程可化为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，根据题意可得烧杯的单价为元，根据购买这两种耗材的总金额为195元，且总金额恰好等于烧杯与导管单价乘积的3倍，即可列出方程．
【详解】解：设导管的单价为元，则烧杯的单价为元，
根据题意，得，即．
故选：D．
8．淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则（ ）
A．1 B． C． D．1或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解一元二次方程，熟练掌握知识点是解题的关键．
由题意得方程，利用公式法求解即可．
【详解】解：由题意得：，
解得：或（舍）
故选：C．
9．已知关于的一元二次方程，其中一根是另一根的3倍，则的值为（ ）
A．或1 B．或 C． D．1
【答案】D
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握根与系数的关系．
先设，，根据根与系数的关系得到，解这个方程，求出的值，再求得：，，从而可得，求出．
【详解】解：设关于的一元二次方程的两个根，
∵其中一根是另一根的3倍，
∴设，，
，
解得：，，
∴，
，
故选：D．
10．张伟计划用家里现有的篱笆围建一个矩形羊圈．他计算了一下，如果把10米长的墙作为所围的矩形的一边，则这个矩形的面积是单纯利用篱笆围成的最大矩形面积的2倍．张伟家里现有的篱笆总共长度是（ ）
A．20米 B．24米 C．28米 D．32米
【答案】A
【分析】本题考查一元二次方程与几何综合，设现有的篱笆总共长度是米，分别表示出两个矩形的面积，然后列方程求解即可．
【详解】解：设现有的篱笆总共长度是米，
∴把10米长的墙作为所围的矩形的一边，这个矩形的另一边长为，面积为；
设单纯利用篱笆围成的矩形一边长为米，则矩形的另一边长为，面积为，
∴当时，单纯利用篱笆围成的最大矩形面积为，
∴，
解得，
故选：A．
二、填空题（每题3分，共15分）
11．王老师在批改作业时发现，一位同学在用配方法解一元二次方程时，配方后等号右边的数字不小心被墨水污染了如下：▊．若该方程的一个根为，则另一个根为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程解的定义，先把代入原方程，求出▊，进而解方程即可得到答案．
【详解】解：∵方程▊的一个根为，
∴▊，即▊，
∴原方程为，
解得，
故答案为：．
12．某数学兴趣小组在“探究关于x的方程的实数根”时发现需要先对a、b、c的取值作出分类讨论．他们把最终的探究结果整理成为如下的思维导图（如图，该思维导图不完整），请根据你所学的知识，在该思维导图中缺失的部分为 ．
【答案】方程有两个实数根
【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的时，方程有2个实数根，进行作答即可．
【详解】解：当，时，方程有两个实数根；
故答案为：方程有两个实数根．
13．新疆阿勒泰有“中国雪都”之称，很多滑雪爱好者都到将军山滑雪场滑雪．已知滑行距离（单位：m）与滑行时间（单位：s）之间的关系是．若某滑雪者在山坡上的出发点和终点的距离是176m，他需要 s能到达终点．
【答案】
8
【分析】本题考查了一元二次方程的应用；根据滑行距离与时间的关系式，将已知距离代入方程，解一元二次方程求时间．
【详解】解：由题意，滑行距离S与时间t的关系为．
当时，有．
整理得．
为方便计算，方程两边同乘2，得．
．
因为，
所以．
解得，．
由于时间不能为负数，故．
故答案为8．
14．小茗同学改编了苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》，改编后的大意为：“周瑜去世时年龄为两位数，该数的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于该数．”若设周瑜去世时年龄的个位数字为，则可列方程 ．
【答案】
【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意；设周瑜去世时年龄的个位数字为，则十位数字为，年龄可表示为，根据个位数字的平方等于年龄，列出方程即可．
【详解】解：设个位数字为，则十位数字为，年龄为，由条件，个位数字的平方等于年龄，即；
故答案为．
15．小川在春节期间和亲朋好友团圆相聚，他们之间都互相赠送一份礼物，一共赠送了72份，则他们一共有 人．
【答案】
【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，熟练掌握根据互赠礼物的数量关系建立方程是解题的关键．
设总人数为，由于每个人都要给除自己之外的其他人赠送1份礼物，所以每人赠送份礼物，总赠送份数等于人数乘以每人赠送的份数，由此建立方程，解方程并舍去不符合实际的解即可得到人数．
【详解】解：设共有人．
，
，
，
解得或（人数不能为负，舍去）
故答案为：．
三、解答题（共75分）
16．（8分）习题课上，数学老师展示嘉嘉和淇淇解同一道题的错误解答过程：
嘉嘉：解方程
解：方程两边同时除以得
第一步
第二步
第三步
淇淇：解方程
解：移项： 第一步
分解因式 第二步
即或 第三步
所以 第四步
(1)分别写出嘉嘉和淇淇的解答过程从第几步开始出现错误的；
(2)请给出这道题的正确解答过程．
【答案】(1)嘉嘉是第一步；淇淇是第二步
(2)见解析．
【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）根据解一元二次方程的计算的步骤检查即可；
（2）根据因式分解法解答即可．
【详解】（1）解：嘉嘉是第一步；淇淇是第二步；
（2）解：移项：，
分解因式，
即或，
所以，．
17．（8分）如图，每个表格内包含一个运算，选定一个数后按照相应顺序运算得出结果．
甲 乙 丙 丁
取倒数 平方 取相反数 加2
(1)若选取数字2，按照丙乙丁甲的运算顺序列算式算出结果；
(2)如选取一个非负数后，按照丁乙丙的顺序运算后，结果为，求选取的数字．
【答案】(1)
(2)0
【分析】本题涉及到倒数、平方、相反数等数学概念的运算及解一元二次方程，熟练掌握概念解一元二次方程的解法是解题的关键。
（1）按照给定的运算顺序逐步计算即可。
（2）通过设未知数，根据运算顺序列出一元二次方程来求解。
【详解】（1）解：若选取数字2，按照丙乙丁甲的顺序运算得：
，
（2）解;设所选数字为x，根据运算程序所以列出方程：
，
∴，
解得，，
∵所选数为非负数，
∴所选数为0．
18．（10分）如图，甲、乙两个图形都由长方形或正方形拼成，边长数据如图所示．
(1)若甲、乙两图的外轮廓周长相等，求x的值；
(2)求甲图的面积（用含x的代数式表示）；
(3)若甲图的面积比乙图的面积大1，求乙图的面积．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了求长方形的周长和面积、整式的乘法运算、解一元二次方程．核心素养表现为抽象能力和运算能力．
（1）根据长方形的周长公式列式计算即可求解；
（2）利用长方形的面积公式列式即可；
（3）根据，得到，解一元二次方程即可求解．
【详解】（1）解：由题意，得，
解得；
（2）解：；
（3）解：由题意，得，
∴，
∴，
∴，
解得或，
∵，
∴，
∴．
19．（9分）学校为了提高学生的安全意识，准备安排小小宣讲员的活动，一个人宣讲后，接受安全宣讲的学生要再给同样多且不重复的人宣讲，经过两轮宣讲后共有人获得了安全意识．
(1)问这种宣讲活动，一个人会给多少人宣讲？
(2)按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有多少人？
【答案】(1)人
(2)人
【分析】本题考查了一元二次方程的应用．
（1）设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，根据题意列方程求解即可；
（2）用已有接受宣讲的人数乘以（1）中结果加上已有接受宣讲的人数即为经过三轮后接受宣讲的人数．
【详解】（1）解：设这种宣讲活动，一个人会给人宣讲，
依题意，得即，
解得，舍去，
故这种宣讲活动，一个人会给人宣讲；
（2）解：（人），
故按照这样的宣讲速度，经过三轮后接受宣讲的人数共有人．
20．（10分）小颖同学积极参加“垃圾分类”宣传，为防止遗忘，她把要参加的日期在月历表上涂黑．已知这个月她要参加8天，将要参加的日期涂黑后恰好得到如图中的一个“回”字型．
(1)若涂黑的8个数中最小数与最大数的积为161，求这8个数字的和；
(2)这8个数字的和能否是192？请简要说明理由．
【答案】(1)120
(2)不能，理由见解析
【分析】本题考查了一元二次方程在月历日期问题中的应用，解题的关键是找出月历中“回”字型8个数的数量关系，通过设未知数建立方程求解．
（1）设最小数为，则最大数为，根据最小数与最大数的积为161列一元二次方程，求解得最小数，进而确定8个数并求和．
（2）设最小数为，表示出8个数的和为，令其等于192，求解，再根据月历最大日期判断是否符合实际．
【详解】（1）解：设最小的数为，则最大的数为．
根据题意，，
解得或（日期不能为负，舍去）．
所以这个数分别是、、、14、16、21、22、23．
它们的和为．
（2）设最小的数为，则这个数的和为
化简得．
若和为192，则
解得．
此时最大的数为，但月历中最大日期为31，不符合实际，
所以这个数字的和不能是192．
21．（10分）汉服，是汉民族的传统服饰，是中国“衣冠上国”“礼仪之邦”“锦绣中华”的体现，是中华优秀传统文化的重要载体．某汉服馆销售一款汉服，经过市场调研发现：这款汉服平均每天可销售30件，每件盈利50元，每件汉服每降价1元，日销售量可增加2件．为了尽快减少库存，商家决定采取适当的降价措施．
(1)若某天该款汉服降价3元，则该商家当天销售这款汉服______件；
(2)这款汉服每件降价多少元时，该商家销售这款汉服日盈利可达到2000元？
【答案】(1)36
(2)25元
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确列出方程是解题关键．
（1）根据“每天可售出30件；售价每降低1元，日销售量增加2件”即可求解；
（2）结合（1）中的销售额和单件的利润，根据“单件的销售利润×日销售量=每天销售的总利润”即可列出方程并求解，结合题意，取符合题意的值即可；
【详解】（1）解：根据题意可得：每天可销售量为（件），
故答案为：36；
（2）解：设每件降价元，
根据题意，得：，
解得：，，
∵为了尽快减少库存，
∴，
答：每件降价25元．
22．（10分）为践行五育并举的教育理念．某中学组织学生前往成都周边的生态农场实地探访养鸡场，学习其中蕴含的数学规划与设计智慧．
(1)该农场今年养殖有跑山鸡1000只，为实现规模化发展，计划明、后两年以相同的年增长率扩大养殖规模，预计后年养殖跑山鸡达到1210只，求该农场跑山鸡数量的年增长率；
(2)为优化养鸡环境，农场对鸡舍进行重建．重建后的鸡舍为长方形，一边靠墙（墙长22米），其余的边用环保板材围成．板材上开有两处宽1米的门（门宽不计入板材用量），共用去板材42米，且重建后鸡舍面积为161平方米（墙体厚度忽略不计）．求重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长．
【答案】(1)该农场跑山鸡数量的年增长率为
(2)重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为米
【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
（1）设增长率为x，根据农场今年养殖跑山鸡1000只，预计后年养殖跑山鸡1210只，列出一元二次方程即可求解；
（2）设重建后的养鸡场的宽的长为y米，则的长为米，根据养鸡场的面积是161平方米，列出一元二次方程，求解并判断满足米，即可求解；
【详解】（1）解：设该农场跑山鸡数量的年增长率为x，
由题意得：，
解得：，（不合题意舍去），
答：该农场跑山鸡数量的年增长率为．
（2）解：设重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为y米，则的长为米，
由题意得：，
整理得：，
解得，，
当时，（米）米，符合题意；
当时，（米）米，不符合题意，舍去；
∴米．
答：重建后鸡舍垂直于围墙的宽的长为米．
23．（10分）如图，钢球从斜面A顶端M由静止开始沿斜面滚下，速度每秒增加．
(1)设（单位：）是滚动时间t（单位：s）时的速度，t和数量关系见下表：
t（秒） 0 1 2 3 …
（米/秒） 0 2 a b …
由题意可知：______，______；
(2)若斜面A的坡面长为，此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N，
①求钢球在此运动中滚动的时间；
②当此钢球滚动到N处时，由于惯性作用，又沿斜面B向上滚动，速度每秒减少．若斜面B的坡面足够长，此钢球最多离N处多远就会返回往下滚？（友情提示：路程，，是开始时速度，是t秒时的速度）
【答案】(1)4；6
(2)①4秒；②20米
【分析】本题主要查了一元二次方程的应用：
（1）根据速度每秒增加，完成表格，即可求解；
（2）①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程，即可求解；②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，列出方程，即可求解．
【详解】（1）解：；
故答案为：4；6
（2）解：①设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过t秒，
则到N处时钢球速度为米/秒，据题意列方程为：
，解得：，
∵，
∴，
答：设此钢球由静止开始从顶端M滚到底端N需经过4秒；
②设钢球滚动x秒就会返回往下滚，则往回滚时速度为0米/秒，
由题意可知钢球到N处时速度为8米/秒，
∴，
解得：，
则（米）
答：钢球最多离N处20米就会返回往下滚．
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