正弦定理

2009年下学期高二第一章◆解三角形◆ 月 日 班级： 姓名：
山大华特卧龙学校 高二数学◆必修5◆导学案 编写：牛杰 审核：牛杰
§1.1.1正弦定理
学习目标
1、理解掌握利用正弦定理解三角形的两种题型
2、掌握利用正弦定理完成边角互化。
学习过程
1、 课前准备
1.
2.在任意三角形中有边与角的关系如何？
2、 新课导学
※ 学习探究
探究 1：在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系. 如图
根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有
，
从而
探究 2：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：
当是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，
有 CD= ，
则 ，
同理得 ，
从而 。
类似可推出，当是钝角三角形时，以上关系式仍然成立．请你试试.
新知：正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的 的
比相等，即
试试：
1.在中，一定成立的等式是：( )
A． B．C． D．
2.已知 中，a＝4，b＝8，∠A＝30°，则∠B 等于 ．
[理解定理]
（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的 正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k,a=ksinA,b= c=
（2）等价于 ，
（3）正弦定理的基本作用为：
①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边， 如,b = ．
②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以 求其他角的正弦值，
如，sinC = ．
（4）一般地，已知三角形的某些边和角，求其它
的边和角的过程叫作解三角形．
※ 典型例题
例1.中，求及的值。
变式：中，解三角形。
例2.中，解三角形.
变式：
1.在中，分别根据给定条件指出解的个数
（1）
（2）
（3）
（4）
2.不解三角形，下列判断正确的是（ ）
A．，两解
B．，一解
C．，两解
D．，无解
例3.中，，
则的形状为（ ）
A.等边三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等腰直角三角形
变式练习：
1.中，，
则的形状为
2.中，，
则的形状为
3.中，，且为锐角，试判断此三角形的形状。
探索与发现
证明：1.设三角形的外接圆半径是，则
，
即
2.三角形ABC的面积为，
试证：
练习:
1.在中，外接圆半径为2，，则的长为____
2.在中，求
三、总结提升
※ 学习小结
1. 正弦定理：
2. 正弦定理的证明方法：①三角函数的定义，还有
②等积法，③外接圆法，④向量法
3．应用正弦定理解三角形：
①已知两角和一边；
②已知两边和其中一边的对角．
※ 知识拓展
1.
2.
学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为 （ ） .
A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差
※ 当堂检测
1. 在△ABC 中，若 ，则是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰三角形或直角三角形
C．直角三角形 D．等边三角形
2. 已知△ABC 中，A∶B∶C＝1∶1∶4， 则 a∶b∶c 等于（ ）.
A．1∶1∶4 B．1∶1∶2
C．1∶1∶ 3 D．2∶2∶ 3
3. 在△ABC 中，若sin A > sin B，则A与B 的大小 关系为（ ）.
A. A > B B. A < B
C. A≥B D. A、B 的大小关系不能确定
4. 已知 中，sin A:sin B:sin C =1:2:3 ，则 a:b:c=
5.在中，
则的值为
课后作业
1.中，
则
2.在中，若三角形有两解，则的范围是______
3.在中，，求
4.在中，求的值
5.在中,，判断三角形形状
6.已知三角形的周长为面积为，，求边的长。
数学本没有法，做的题多了，也便有了法。-----山寨鲁迅 4
世上本没有路，走的人多了，也便成了路。----鲁迅 3