湖北恩施土家族苗族自治州来凤县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题（含答案）

湖北恩施土家族苗族自治州来凤县2025-2026学年九年级上学期1月期末数学试题
第I卷（选择题）
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
2.下列事件中是必然事件的是( )
A. 明天太阳从东方升起
B. 从地面发射一枚导弹，未击中空中目标
C. 购买一张体育彩票中奖
D. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数
3.已知的半径为，，则点在( )
A. 内 B. 上 C. 外 D. 外或上
4.一元二次方程的一次项系数是( )
A. B. C. D.
5.如图，是的直径，是的弦，，若，则的度数等于( )
A. B. C. D.
6.如图，在平面直角坐标系中，，在轴上，，，将绕点顺时针旋转，则点的对应点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.二次函数在时有最大值，则这个函数的图象可以是( )
A. B.
C. D.
8.随着生态环境变好，各湿地越冬水鸟种类逐年增多，如中华秋沙鸭、白鹤等珍稀物种，据统计，湖北荆州地区的湿地越冬水鸟种类从年种增至年种，设从年到年鸟的种类数量的年平均增长率为，依据题意可列方程是( )
A. B. C. D.
9.如图，是的直径，点、、、在上，且点、和点、分别是半圆的三等分点，点、在上，连接，若的半径为，则图中阴影部分图形的面积和为( )
A. B. C. D.
10.如下数表、数表均是由从开始的连续自然数组成，观察数表，探究规律，计算数表中第行第个数与数表中第行第个数的和为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.写出一个函数图象开口向上的二次函数的解析式 ．
12.点关于原点对称的点的坐标是 ．
13.某校为了让学生更多的了解，计划举办手抄报展览，确定了“即梦”、“”“豆包”“星图”四个主题，若各班随机选择其中两个主题，则各班恰好选中“”与“星图”的概率是 ．
14.如图，一次物理实验中，利用一个半径是定滑轮提起一物体，小明拉起绳子一端，使定滑轮绕点逆时针旋转，此时重物上升 结果保留
15.如图，将与正方形按如图所示的方式摆放，边在直线上，，，，以的速度沿着方向运动，初始时点与点重合，当点与点重合时停止运动，在运动过程中，与正方形重叠部分面积与运动时间的函数图象如图所示，则 ， ， ．
三、计算题：本大题共1小题，共6分。
16.解方程：
．
四、解答题：本题共8小题，共49分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知，点、和．
画出绕点旋转后的图形，并写出点的坐标为______．
请在轴上找出一点，使的值最大，并直接写出点的坐标______．
18.本小题分
为促进学生全面有个性的发展，某校开设了内容丰富的社团活动，如“三味蔬屋”“鲁班传人”“花式编织”等，大受同学们的欢迎，李亮参加了“三味蔬屋”社团，该社团准备种植一批油麦菜，他与社团几个成员经过大量的种子发芽实验对种子的发芽率进行了统计，得到数据如表：
实验种子数量粒
发芽种子数量粒
种子发芽率精确到
根据表中数据，估计这批油麦菜种子的发芽率为 精确到．
社团成员在农场播种粒该批油麦菜种子，估计大约能有多少粒种子发芽？
19.本小题分
某景区内有一块的矩形郁金香园地如图所示，单位：米，现在其中修建长方形和平行四边形花道阴影部分所示，供游人散步赏花，若改造后种植郁金香的面积为平方米，求图中的值．
20.本小题分
已知关于的方程，求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21.本小题分
如图，是的直径，为外的一点，与相交于点，为上的一点，分别连接、、，且．
求证：为的切线：
若，求图中阴影部分的面积．
22.本小题分
根据以下销售情况，解决销售任务．
销售情况分析
总公司将一批衬衫由甲、乙两家分店共同销售，它们的销售情况如下：
店面 甲店 乙店
日销售情况 每天可售出件，每件盈利元 每天可售出件，每件盈利元
市场调查 每件衬衫每降价元，甲店一天可多售出件，乙店一天可多售出件．
情况设置 设甲店每件衬衫降价元，乙店每件衬衫降价元．
任务解决
任务 甲店每天的销售量______件用含的代数式表示；乙店每天的销售量______件用含的代数式表示．
任务 总公司规定：在保证两家分店都不亏损的情况下，两家分店下降的价格必须相同，请求出每件衬衫下降多少元时，两家分店一天的盈利额相等．
23.本小题分
如图，在中，，，在边的延长线上，在边上，，连接．
如图，连接，，可以由通过逆时针旋转变换得到，请写出旋转中心及旋转角的大小．
将图中的绕点旋转，连接，，如图．
探究与的位置关系，并说明理由；
当直线经过的中点时，求证：．
24.本小题分
如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于点，连接，若点是直线下方抛物线上一动点，其横坐标为．
求该抛物线的解析式；
是否存在点，使得是以为底边的等腰三角形，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由；
设该抛物线在点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，设．
直接写出关于的函数解析式；
当时，直接写出的取值范围．
答案
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】 答案不唯一
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】（1）
解：移项，得，
开方，得，
即或，
；
（2）
解：由，
得，
，
．

17.【答案】（1）
解：连接，并延长到点，使，同理可得，顺次连接，如图所示：即为所求，
；
故答案为：；
（2）
解：当三点共线时，的值最大，
延长交轴于点，点即为所求，由图可知：；
故答案为：．
18.【答案】（1）
解：根据表中数据，当实验的种子越来越多时，这批油麦菜种子的发芽率越接近，
所以估计这批油麦菜种子的发芽率为；
（2）
解：粒，
故大约能有粒种子发芽．
19.【答案】解：由题意得：，
整理得：，
解得：舍，
答：的值是．

20.【答案】证明：在方程中，，
不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．
21.【答案】（1）
证明：连接，
是直径，
，
，
，
，
，
即：，
为的切线；
（2）
解：连接，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
．
22.【答案】解：任务：每件衬衫每降价元，甲店一天可多售出件，乙店一天可多售出件，
甲店每天的销售量为：件，
乙店每天的销售量为：件．
故答案为：，
任务：设每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利额相等，
两家分店下降的价格必须相同，
，
整理得：，
解得：，
要保证两家分店都不亏损，
不符合题意，舍去，
，
答：每件衬衫下降元时，两家分店一天的盈利额相等．

23.【答案】（1）
解：可以由绕点逆时针旋转得到，
旋转中心是点，旋转角是；
（2）
解：，
理由如下，
由旋转可知，
，
，
，
在中，，，
，
在中，，
；
证明：如下图所示，过点作，交的延长线于点，
则有，
点是的中点，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，，
，
，
，
，
，
，
．
24.【答案】（1）
解：抛物线与轴交于点，与轴交点，
解得
抛物线的解析式；
（2）
解：存在，理由如下：
点，点，
，
，
是的垂直平分线，
平分两坐标轴的夹角，
解得，，
即，
点是直线下方抛物线上一动点，
；
（3）
解：该抛物线在点与点之间包含点和点的部分的最高点和最低点到轴的距离分别为，，，
当时，最高点为点，最低点为点，
，，
；
当时，最高点为点，最低点为顶点，
，
；
当时，最高点为点，最低点为顶点，
，
，
综上所述，解析式为；
根据题意，当时，解得，不符合题意，舍去，
当时，，
当时，解得不合题意，舍去，，
综上所述，的取值范围为．

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