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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第十六章
课标要求 1.了解二次根式、最简二次根式的概念.2.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
内容分析 二次根式是初中阶段代数学习的重要转折点，它标志着学生从有理数运算向更为复杂的无理数领域的跨越。本章从平方根的定义出发，通过类比归纳引出二次根式的概念，重点研究二次根式的性质、四则运算法则及化简，并建立实际应用与数学形式之间的联系。学习本章能帮助学生初步形成处理非负实数及代数式变换的思维方式，培养严谨的运算习惯与逻辑推理能力，为后续学习一元二次方程、锐角三角函数及函数定义域等奠定至关重要的基础。
学情分析 学生已具备有理数运算、整式加减乘除运算的基础，并初步认识了平方根与算术平方根的概念。但对二次根式的化简、四则运算及其隐含的条件（如被开方数的非负性）尚属初次系统学习，容易在符号处理与运算顺序上出现混淆。学生的抽象思维能力和形式化运算能力仍在发展中，教学应注重从具体的平方根运算入手，通过类比整式运算引导学生逐步抽象出二次根式的性质与法则，帮助其克服对“根号”这一新运算符号的畏难情绪。
单元目标 （一）教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件。2.掌握二次根式的性质，包括双重非负性、平方与算术平方根的关系等。3.熟练进行二次根式的化简和四则运算（加、减、乘、除），包括分母有理化等技巧。4.能够利用二次根式解决实际问题，建立数学模型并求解。5.通过观察、分析、归纳和推理等数学活动，发展学生的逻辑思维能力和数学表达能力。（二）教学重点、难点重点：1.二次根式的概念与最简二次根式的判定。2.二次根式乘除、加减运算的算理与算法。难点：1.最简二次根式化简的彻底性（尤其含字母参数时）。2.复杂混合运算中的符号处理与运算顺序。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数16.1 二次根式及其性质116.2 二次根式的运算4
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务16.1二次根式及其性质1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。3.掌握二次根式的两条核心性质。1.能够判断一个式子是否为二次根式。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。3.能利用二次根式的两条核心性质进行计算。任务一：情境导入，初步接触二次根式。任务二：探究新知，理解二次根式的概念。任务三：例题精讲，探究二次根式有意义的条件。任务四：独立思考，探究二次根式的性质。16.2.1二次根式的乘除(第一课时)1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。任务二：探究新知，观察猜想.任务三：例题精讲，运用法则进行计算。16.2.1二次根式的乘除(第二课时)掌握商的算术平方根的性质：2.理解二次根式除法法则，能准确计算含系数及字母的除法。3.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式或整式。1.能准确计算含系数及字母的除法。2.能够将结果化为最简二次根式或整式。任务一：认真思考，探索商的算术平方根的性质。任务二：探究新知，探究二次根式除法法则.任务三：例题精讲，进行通分。16.2.2二次根式的加减(第一课时)1.理解同类二次根式的定义，能准确判断并合并同类二次根式。2.掌握二次根式加减的运算步骤（化简→合并），能规范书写运算过程。3.经历“类比整式→迁移根式”的探究，体会“数式通性”。会正确计算二次根式的加法和减法。任务一：复习巩固，回顾整式的加减法。任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的加法和减法。任务三：例题精讲，进行加减运算。16.2.2二次根式的加减(第二课时)1.理解二次根式混合运算顺序，能正确运用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）和分配律进行化简。2.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式。能熟练进行二次根式的混合运算任务一：复习巩固，回顾整式的混合运算。任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的混合运算。任务三：例题精讲，进行混合运算。
《二次根式》单元教学设计
活动1：引入课题
16.1二次根式及其性质
活动2：探究二次根式有意义的条件
活动3：探究二次根式的性质
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：探究二次根式的乘法法则
16.2.1二次根式的乘除 (第一课时)
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
16.2.1二次根式的乘除 (第二课时)
二次根式
活动2：探究二次根式的除法法则
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：理解最简二次根式的概念
16.2.2二次根式的加减(第一课时)
活动3：探究二次根式加减的运算法则
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：探究二次根式的混合运算法则
16.2.2二次根式的加减(第二课时)
活动3：例题讲解
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第十六章 二次根式
16.2.1.2二次根式的运算
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
了解二次根式的除法运算法则，并能利用它进行有关实数的运算
01
经历利用二次根式除法法则进行运算的过程，了解最简二次根式的概念，体会数学的严谨性
02
通过观察、讨论、计算等活动，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想
03
02
复习旧知
二次根式的乘法法则:
=()
由等式的对称性，反过来：
02
创设情境
如图，一个长方形游泳池的长为m，且长是宽
的倍，则长方形游泳池的宽为多少？
如何计算这个式子呢？
03
新知探究
思考
计算下列各题，观察有何规律？
(1) , ;
(2)= , .
猜想
分母不能为0！
03
新知探究
你能仿照二次根式的乘法法则（性质3）证明二次根式的除法法则（性质4）吗？
证明：因为当a≥0，b＞0时，
又 ，
的算术平方根只有一个，所以
03
新知探究
归纳
一般地，有性质4
如果a≥0，b＞0，那么有
性质4也可以写成
两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数.
03
新知探究
当二次根式根号外因数不为 1 时，根据单项式除以单项式法则类比，可得
因此观察者从观察高度为 n m 的山腰登上观察高度为 2n m 的山顶，此时的可见水平距离是原来的倍.
现在你知道本章引言中问题的答案了吗？
03
新知探究
例1 计算：
除式是分数或分式时，先要转化为乘法再进行运算
03
新知探究
二次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行，如本节例2（1）． 把分母中的根号化去，就是分母有理化．
对于二次根式运算的结果，我们通常还需把它化简． 如例2（1）中将化为．
03
新知探究
满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式
（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；
（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
化简时应注意：
（1）有时需将被开方数分解因式；
（2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母有理化．
03
新知探究
例2 比较与的大小：
解：方法一
∵ 12＜18，
∴＜.
∴＜3.
分析：对于两个正数，若 a＞b，则
转化法
为什么把根号外的正因数移到根号内？
03
新知探究
方法三
∵
∴＜3.
方法二
∵
∴＜3.
作差法
作商法
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是 ( )
A. B. C. D.
2.若, ，则化简 等于( )
A. B. C. D.
A
B
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3. 对于任意的两个不相等的正实数 ,,
定义一种新运算 ,，那8 6么____.
4.计算：_____ .
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5. 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为 a，b. 已知 S=16，b =，求 a.
解：因为S =ab，所以
=
05
课堂小结
二次根式的除法
法则
性质
相关概念
分母有理化
最简二次根式
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.若成立，则 的值可以是( )
A. B.0 C.2 D.3
2. 下列各式的化简正确的是( )
A. B.
C. D.
B
C
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
3.若为正整数， 是最简二次根式，则 的最小值为___.
4.已知和 是相等的最简二次根式，则
的值为_____.
2
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5. 在物理学中有公式 W=I2Rt，其中 W 表示电功 (单位：焦耳)，I 表示电流(单位：安培)，R 表示电阻 (单位：欧姆)，t 表示时间(单位：秒)，如果已知 W、R、t，求 I，那么 . 若 W = 2400 焦耳，R = 100 欧姆，t = 15 秒，试求电流 I．
解：当 W = 2400，R = 100，t = 15 时，
(安培)
Thanks!
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16.2.1.2二次根式的运算教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 16
课题 16.2.1.2二次根式的运算 课时 1
教材分析 本节“二次根式的除法”在教材中承上启下，是继乘法运算后的重要内容。教材通过从具体数字到字母的运算归纳，引导学生自主发现商的算术平方根性质及除法法则，并最终指向最简二次根式的化简要求，为后续混合运算奠定基础。结构清晰，层次分明，注重知识体系的连贯性。
学情分析 学生已掌握二次根式的乘法及性质，具备一定类比迁移能力。但部分学生对字母表示数的抽象性、运算结果化简到“最简”形式的要求可能感到困难，易混淆乘、除法法则的适用条件。教学中需强化算理理解，通过对比练习澄清误区，并关注运算习惯的规范化。
核心素养目标 1. 了解二次根式的除法运算法则，并能利用它进行有关实数的运算. 2. 经历利用二次根式除法法则进行运算的过程，了解最简二次根式的概念，体会数学的严谨性. 3. 通过观察、讨论、计算等活动，了解从特殊到一般再到具体的处理数学问题的思想
教学重点 了解二次根式的除法运算法则，并能利用它进行有关实数的运算
教学难点 利用二次根式除法法则进行运算的过程，了解最简二次根式的概念
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 二次根式的乘法法则： =() 由等式的对称性，反过来： 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固以前学的内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 如图，一个长方形游泳池的长为m，且长是宽 的倍，则长方形游泳池的宽为多少？ 如何计算这个式子呢？ 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 思考 计算下列各题，观察有何规律？ (1) ， ; (2)= ， . 猜想： 分母不能为0！ 你能仿照二次根式的乘法法则（性质3）证明二次根式的除法法则（性质4）吗？ 证明：因为当a≥0，b＞0时， 又 ， 的算术平方根只有一个，所以 归纳： 一般地，有性质4 如果a≥0，b＞0，那么有 两个二次根式相除，等于把被开方数相除，作为商的被开方数。 性质4也可以写成 当二次根式根号外因数不为 1 时，根据单项式除以单项式法则类比，可得 尝试解答本章引言中的问题=？ 因此观察者从观察高度为 n m 的山腰登上观察高度为 2n m 的山顶，此时的可见水平距离是原来的倍。 二次根式的除法运算，通常采用分子、分母同乘以一个式子化去分母中的根号的方法来进行，如本节例2（1）。 把分母中的根号化去，就是分母有理化。 对于二次根式运算的结果，我们通常还需把它化简。 如例2（1）中将化为． 满足下列两个条件的二次根式就是最简二次根式 （1）被开方数的因数是整数，因式是整式； （2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式。 化简时应注意： （1）有时需将被开方数分解因式； （2）当一个式子的分母中含有二次根式时，一般应把分母有理化。 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，归纳法则 学生思考，归纳最简二次根式 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度和能力.
三、变式 师生互动，变式深化 例1 计算： 例2 比较与的大小： 解：方法一 ∵ 12＜18，∴＜. ∴＜3. 方法二：∵ ∴＜3. 方法三:∵ ∴＜3. 学生思考解答 通过例题的讲解，巩固所学知识
四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是 ( ) A. B. C. D. 2.若， ，则化简 等于( ) A. B. C. D. 3. 对于任意的两个不相等的正实数 ，， 定义一种新运算 ，那么86 ____. 4.计算：_____ . 5. 设长方形的面积为S，相邻两边长分别为 a，b. 已知 S=16，b =，求 a. 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 二次根式的除法法则 最简二次根式 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.若成立，则 的值可以是( ) A. B.0 C.2 D.3 2. 下列各式的化简正确的是( ) A. B. C. D. 3.若为正整数， 是最简二次根式，则 的最小值为___. 4.已知和 是相等的最简二次根式，则 的值为_____. 5. 在物理学中有公式 W=I2Rt，其中 W 表示电功 (单位：焦耳)，I 表示电流(单位：安培)，R 表示电阻 (单位：欧姆)，t 表示时间(单位：秒)，如果已知 W、R、t，求 I，那么 . 若 W = 2400 焦耳，R = 100 欧姆，t = 15 秒，试求电流 I．
教学反思 本节课通过类比乘法引导学生自主探究法则，效果良好。但部分学生在化简时对分母有理化步骤不够熟练，易在“最简”标准上出错。今后需增加针对性变式训练，强化运算细节，并设计更多联系实际的问题情境，提升学生应用意识与运算信心。
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