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第十六章 二次根式
16.2.1.1二次根式的运算
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
理解二次根式的乘法法则
01
会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算
02
通过对二次根式性质3和积的算术平方根的性质的应用,体会逆向思维的作用
03
02
复习旧知
平方，
一个非负数的
算术平方根的
等于它本身.
即:=a
（a≥0）
即:
性质2：
算术平方根，
一个数的
平方的
等于它的绝对值.
性质 1：
02
创设情境
正方形面积=
长方形面积=
03
新知讲解
= ，
；
= ，
；
思 考
计算下列各题：
你能发现什么规律？
2×5=10
0.5×10=5
两个二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘，根指数不变.
03
新知讲解
归纳
一般地，对于二次根式的乘法是
语言表述：
算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根.
二次根式的乘法法则:
二次根式相乘，________不变，________相乘.
根指数
被开方数
注意：a,b都必须是非负数.
在本章中，如果没有特别说明，所有的字母都表示非负数．
=()
03
新知讲解
∵ 当a≥0，b≥0时，
又∵ ab的算术平方根只有一个
证明：
∴
03
新知讲解
例1
计算:
.
解：(1)
9.
表示与的乘积，即=.
03
新知讲解
由等式的对称性，反过来：
利用上述性质，可以化简二次根式，也就是把被开方数中的“完全平方数”从根号内移到根号外，并用它的算术平方根代替。
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.计算 × 的结果是（ C ）
A.16 B.±16 C.4 D.±4
2. 下列计算正确的是（ D ）
A. 2 ×3 ＝6 B. 3 ×3 ＝3
C. 4 ×2 ＝8 D. 2 ×6 ＝12
C
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
3.二次根式 是一个整数，那么正整数 的最小值是___.
2
4. ＝ ＝ × ＝ 4 .
4
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
5. 计算：
（1）－ ；
解：原式＝－
＝－12
＝－24 .
（2） ×4 × .
解：原式＝ ×4 ×
＝4× ×
＝－4.
05
课堂小结
二次根式的运算
法则
性质
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1.若a，b，则 可以表示为（ C ）
A. B. a
C. a2b D. ab
2.若把－4 根号外的因式移到根号内，得到的结果为（ C ）
A. B. －
C. － D.
C
C
06
作业布置
3.若，则 的值为____.
4. 一组按规律排列的二次根式如下： ， ，2 ，2 ， ，….
（1）第6个二次根式是 ；根据你发现的规律，猜想第n个二次
根式是 （n为正整数）.
（2）求第8个与第9个二次根式的积.
10
解：（2）由题意，得 × ＝36 .
【知识技能类作业】选做题：
06
作业布置
【综合拓展类作业】
5. 已知一个三角形的三边长分别为a,b，c，可以求出这个三角形的面积.古希腊几何学家海伦的公式为S＝ （其中p＝ ）.我国南宋著名数学家秦九韶的公式为S＝ （其中a＞b＞c）.请你利用公式解答下列问题：
06
作业布置
【综合拓展类作业】
解：（1）∵一个三角形的三边长a，b，c依次为3，5，6，
∴p＝ （a＋b＋c）＝ ×（3＋5＋6）＝7.
由海伦公式，得
S＝
＝ ＝2 .
（1）在△ABC中，已知AB＝3，BC＝5，AC＝6，求△ABC的面积；
06
作业布置
【综合拓展类作业】
（2）在△ABC中，已知AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，求△ABC的面积.
解：（2）∵a＞b＞c，
∴a＝ ，b＝ ，c＝ ，
∴a2＝6，b2＝5，c2＝3.
由秦九韶公式，得
S＝ ＝ .
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 沪科版 册、章 下册第十六章
课标要求 1.了解二次根式、最简二次根式的概念.2.了解二次根式(根号下仅限于数)加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。
内容分析 二次根式是初中阶段代数学习的重要转折点，它标志着学生从有理数运算向更为复杂的无理数领域的跨越。本章从平方根的定义出发，通过类比归纳引出二次根式的概念，重点研究二次根式的性质、四则运算法则及化简，并建立实际应用与数学形式之间的联系。学习本章能帮助学生初步形成处理非负实数及代数式变换的思维方式，培养严谨的运算习惯与逻辑推理能力，为后续学习一元二次方程、锐角三角函数及函数定义域等奠定至关重要的基础。
学情分析 学生已具备有理数运算、整式加减乘除运算的基础，并初步认识了平方根与算术平方根的概念。但对二次根式的化简、四则运算及其隐含的条件（如被开方数的非负性）尚属初次系统学习，容易在符号处理与运算顺序上出现混淆。学生的抽象思维能力和形式化运算能力仍在发展中，教学应注重从具体的平方根运算入手，通过类比整式运算引导学生逐步抽象出二次根式的性质与法则，帮助其克服对“根号”这一新运算符号的畏难情绪。
单元目标 （一）教学目标1.理解二次根式的概念，掌握二次根式有意义的条件。2.掌握二次根式的性质，包括双重非负性、平方与算术平方根的关系等。3.熟练进行二次根式的化简和四则运算（加、减、乘、除），包括分母有理化等技巧。4.能够利用二次根式解决实际问题，建立数学模型并求解。5.通过观察、分析、归纳和推理等数学活动，发展学生的逻辑思维能力和数学表达能力。（二）教学重点、难点重点：1.二次根式的概念与最简二次根式的判定。2.二次根式乘除、加减运算的算理与算法。难点：1.最简二次根式化简的彻底性（尤其含字母参数时）。2.复杂混合运算中的符号处理与运算顺序。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数16.1 二次根式及其性质116.2 二次根式的运算4
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务16.1二次根式及其性质1.了解二次根式的概念，会判断一个式子是否为二次根式。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。3.掌握二次根式的两条核心性质。1.能够判断一个式子是否为二次根式。2.能利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。3.能利用二次根式的两条核心性质进行计算。任务一：情境导入，初步接触二次根式。任务二：探究新知，理解二次根式的概念。任务三：例题精讲，探究二次根式有意义的条件。任务四：独立思考，探究二次根式的性质。16.2.1二次根式的乘除(第一课时)1.理解并掌握二次根式乘法法则，能正确计算及含系数的乘法。2.能逆向应用法则化简二次根式，确保结果为最简形式。能正确计算及含系数的乘法。任务一：复习导入，回顾积的算术平方根的性质。任务二：探究新知，观察猜想.任务三：例题精讲，运用法则进行计算。16.2.1二次根式的乘除(第二课时)掌握商的算术平方根的性质：2.理解二次根式除法法则，能准确计算含系数及字母的除法。3.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式或整式。1.能准确计算含系数及字母的除法。2.能够将结果化为最简二次根式或整式。任务一：认真思考，探索商的算术平方根的性质。任务二：探究新知，探究二次根式除法法则.任务三：例题精讲，进行通分。16.2.2二次根式的加减(第一课时)1.理解同类二次根式的定义，能准确判断并合并同类二次根式。2.掌握二次根式加减的运算步骤（化简→合并），能规范书写运算过程。3.经历“类比整式→迁移根式”的探究，体会“数式通性”。会正确计算二次根式的加法和减法。任务一：复习巩固，回顾整式的加减法。任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的加法和减法。任务三：例题精讲，进行加减运算。16.2.2二次根式的加减(第二课时)1.理解二次根式混合运算顺序，能正确运用乘法公式（如平方差公式、完全平方公式）和分配律进行化简。2.掌握分母有理化方法，将结果化为最简二次根式。能熟练进行二次根式的混合运算任务一：复习巩固，回顾整式的混合运算。任务二：探究新知，类比整式探究二次根式的混合运算。任务三：例题精讲，进行混合运算。
《二次根式》单元教学设计
活动1：引入课题
16.1二次根式及其性质
活动2：探究二次根式有意义的条件
活动3：探究二次根式的性质
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：探究二次根式的乘法法则
16.2.1二次根式的乘除 (第一课时)
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
16.2.1二次根式的乘除 (第二课时)
二次根式
活动2：探究二次根式的除法法则
活动3：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：理解最简二次根式的概念
16.2.2二次根式的加减(第一课时)
活动3：探究二次根式加减的运算法则
活动4：例题讲解
活动1：引入课题
活动2：探究二次根式的混合运算法则
16.2.2二次根式的加减(第二课时)
活动3：例题讲解
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16.2.1.1二次根式的运算教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 16
课题 16.2.1二次根式的运算 课时 1
教材分析 二次根式的乘法法则是“数的开方”与“实数运算”的衔接点，教材通常先回顾算术平方根的性质，再通过具体计算归纳法则 (a≥0，b≥0)，并强调化简要求。内容结构清晰，但例题梯度需教师补充，以强化应用能力。
学情分析 学生已掌握平方根概念和实数运算，但易忽略二次根式成立的条件。部分学生在字母取值范围、运算化简上存在困难，需通过具体数字到字母的过渡练习，突破思维定式，理解法则的本质是算术平方根性质的延伸。
核心素养目标 1. 理解二次根式的乘法法则. 2. 会运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算. 3. 通过对二次根式性质3和积的算术平方根的性质的应用，体会逆向思维的作用
教学重点 理解二次根式的乘法法则
教学难点 运用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行简单运算
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 复习提问，温故孕新 性质 1：一个非负数的算术平方根的平方，等于它本身。 即：=a （a≥0） 性质2：一个数的平方的算术平方根，等于它的绝对值. 即： 学生回顾旧知，回答问题 通过复习重新巩固以前学的内容，为后面的学习进行铺垫。
二、引新 创设情境，引入课题 正方形面积= 长方形面积= 学生思考回答问题 让学生带着疑问进入课堂，激发学习本节课的兴趣
三、探究 合作探究，活动领悟 思考 计算下列各题： = ， ； = ， ； 你能发现什么规律？ 两个二次根式相乘，等于把它们的被开方数相乘，根指数不变. 归纳 二次根式的乘法法则： 一般地，对于二次根式的乘法是 =() 二次根式相乘，________不变，________相乘. 语言表述： 算术平方根的积等于各个被开方数积的算术平方根. 注意：a，b都必须是非负数. 证明： ∵ 当a≥0，b≥0时， 又∵ ab的算术平方根只有一个 ∴ 教师引导学生自主思考，可以进行讨论交流 小组讨论，证明性质 通过探索的方式学习新知，培养学生独立思考，解决问题的态度.
三、变式 师生互动，变式深化 例1、计算： . 解：(1) 9. 点拨：表示与的乘积，即=. 一般地， 由等式的对称性，反过来： 利用上述性质，可以化简二次根式，也就是把被开方数中的“完全平方数”从根号内移到根号外，并用它的算术平方根代替。 学生思考解答 通过例题的讲解，巩固所学知识
四、尝试 尝试练习，巩固提高 1.计算 × 的结果是（ ） A.16 B.±16 C.4 D.±4 2. 下列计算正确的是（ ） A. 2 ×3 ＝6 B. 3 ×3 ＝3 C. 4 ×2 ＝8 D. 2 ×6 ＝12 3.二次根式 是一个整数，那么正整数 的最小值是___. 4. ＝ ＝ × ＝ . 5. 计算： （1）－ ； （2） ×4 × 自主完成练习，然后集体交流评价. 通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯.
五、提升 适时小结，兴趣延伸 回顾这节课你学到了什么？ 二次根式的乘法法则 各小组思考，代表总结本节课内容 学生回顾所学知识并内化，熟练掌握。
板书 设计
作业 设计 1.若a，b，则 可以表示为（ ） A. B. a C. a2b D. ab 2.若把－4 根号外的因式移到根号内，得到的结果为（ ） A. B. － C. － D. 3.若，则 的值为____. 4. 一组按规律排列的二次根式如下： ， ，2 ，2 ， ，…. （1）第6个二次根式是 ；根据你发现的规律，猜想第n个二次
根式是 （n为正整数）. （2）求第8个与第9个二次根式的积. 5. 已知一个三角形的三边长分别为a，b，c，可以求出这个三角形的面积.古希腊几何学家海伦的公式为S＝ （其中p＝ ）.我国南宋著名数学家秦九韶的公式为S＝ （其中a＞b＞c）.请你利用公式解答下列问题： （1）在△ABC中，已知AB＝3，BC＝5，AC＝6，求△ABC的面积； （2）在△ABC中，已知AB＝ ，BC＝ ，AC＝ ，求△ABC的面积.
教学反思 本节课通过具体例子归纳法则，学生易于理解，但在运用时易漏条件或化简不彻底。未来需增加变式训练，如系数与根式混合运算，强化步骤规范。同时应渗透类比思想，将二次根式乘法与整式运算对比，提升迁移能力。
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