广东省广州第四中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题
1．（2026高三上·广州期末）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得或，即集合或，
解不等式，可得，即集合，
则，或.
故答案为：A.
【分析】分别解二次不等式和指数不等式求得集合A，B，再根据集合的交集、并集运算求解判断即可.
2．（2026高三上·广州期末）样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：易知样本数据共有10个，上四分位数即第75百分位数，
由，则样本数据的上四分位数为第8个数据7.
故答案为：C.
【分析】直接根据第百分位数的定义求解即可.
3．（2026高三上·广州期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则.故答案为：A.
【分析】根据的周期性先求，再根据复数代数形式的除、乘法运算化简即可.
4．（2026高三上·广州期末）正项等比数列的前n项和为，，则（ ）
A．6 B．9 C．8 D．11
【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
由，可得，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】设等比数列的公比为，由题意，根据等比数列的求和公式列关于的方程组，求得等比数列的首项和公比，再根据等比数列的通项求即可.
5．（2026高三上·广州期末）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
若，则，
设，则，即，，
，
函数单调递增，当取最小值时，有最小值，
，当且仅当，即时等号成立，
故.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，设，由，结合对数的运算求得，化简根据可得，由指数函数的单调性可知：当取最小值时，有最小值， 利用基本不等式求的最小值即可求得的最小值.
6．（2026高三上·广州期末）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．“”的必要条件是“”
B．“”的必要条件是“”
C．“”的充分条件是“”
D．“”的充分条件是“”
【答案】D
【知识点】充分条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，
若，则，解得或，
若，则，解得，
A、，则“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
B、，则“”是“”的充分不必要条件，故B错误；
C、当时，，，
则与不垂直，即“”不是“”的充分条件，故C错误；
D、当时，，
，则，即“”是“”的充分条件，故D正确.
故答案为：D.
【分析】先根据向量垂直和平行的坐标表示求得相应的x值，再根据集合的关系结合充分、必要条件的定义逐项判断即可.
7．（2026高三上·广州期末）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个，所以，解得，
则r的取值范围是．
故答案为：C．
【分析】由圆的方程易知圆心和半经，再利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，由题意得，解不等式求半径的取值范围即可．
8．（2026高三上·广州期末）已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由题意可得：，
当时，，，
因为存在唯一实数，使得，所以是的子集，且唯一，
函数的图象，如图所示：
由图像可知，，
，
则实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数图象的平移、伸缩变换得到，由，根据正弦函数的性质求得，作出函数的图象，数形结合求解即可.
9．（2026高三上·广州期末）下列说法中正确的有（ ）
A．若样本数据的方差，则所有的都相等
B．在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和
D．样本数据的平均数，则样本数据的平均数为
【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；回归分析；可线性化的回归分析
【解析】【解答】解：A、令数据的平均数为，
由，可得，则，
即，则所有的都相等，故A正确；
B、在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄，说明选用的模型拟合精度越高，表示回归效果越好，故B正确；
C、，左右两边取对数得，设，求得线性回归方程为，则，，故C错误；
D、样本数据的平均数，则对于样本数据，
其平均数为，
故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】令数据的平均数为，根据方差极端公式求解即可判断A；根据残差分析得定义即可判断B；两边取对数，根据对数的运算可得，设，结合分别求的值，即可判断C；根据样本平均数计算公式求解即可判断D.
10．（2026高三上·广州期末）已知抛物线的焦点为是抛物线上两动点，下列说法正确的有（ ）
A．抛物线的焦点坐标为
B．若，则线段的中点到轴的距离为6
C．以线段为直径的圆与轴相切
D．以点为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切
【答案】C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】A、抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误；
B、设点，由抛物线的定义可得，
解得，则线段的中点到轴的距离为，故B错误；
C、易知的中点为， 则点到轴的距离为，
即以线段为直径的圆与轴相切，故C正确；
D、，则以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，故D正确．
故答案为：CD.
【分析】根据抛物线方程求焦点坐标即可判断A；设点，根据抛物线的焦点弦公式以及中点坐标公式求解即可判断B；根据抛物线的定义，中点坐标公式，再利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离等于半径即可判断C、D.
11．（2026高三上·广州期末）已知正方体的棱长为，点为的中点，点为底面的边界及其内部任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A．点为中点时，平面
B．点为中点时，过三点作正方体的截面，则截面周长为
C．与交于，则四面体的外接球的表面积为
D．当在线段上运动时，四面体体积的最大值为
【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】A、由题意知：，
平面，平面，，
，，平面，
平面，又平面，；
，，，
，；
，平面，平面，故A正确；
B、连接，如图所示：
分别为中点，，又，，四点共面，
则过三点的正方体的截面为梯形，
，，，
梯形的周长为，故B错误；
C、取中点，连接，交于点，连接，过作的平行线，
平面，为的外接圆圆心，
四面体的外接球球心在过点的的平行线上，
作，垂足为，如图所示：
设，则，设四面体的外接球半径为，
由，可得，解得，
即四面体的外接球球心即为点，半径，
则四面体外接球表面积，故C正确；
D、，，，
，；
若三棱锥体积最大，则点到平面的距离最大，
以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
则，，，，
设，则，
设平面的法向量，
则，令，解得，，，
则点到平面的距离，
，当时，，
则四面体体积的最大值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，根据线面垂直性质推得，利用勾股定理证得，再根据线面垂直的判定定理证明平面 即可判断A；连接，作出截面梯形，根据长度关系求得截面的周长即可判断B；根据外接球的性质可确定球心位于过点且平行于的直线上，利用可构造方程组求得，代入球的表面积公式可知C正确；在中，利用余弦定理求得，再利用同角三角函数基本关系求得，求得的面积，若三棱锥体积最大，则点到平面的距离最大，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可求得点到平面距离的最大值，结合三棱锥体积公式求解即可判断D.
12．（2026高三上·广州期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为 .
【答案】
【知识点】棱台的结构特征；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：取正四棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，为侧棱，，如图所示：
，
因为上下底面边长分别为2和4，所以，，，
则，即棱台的高为，
棱台的体积.
故答案为：.
【分析】取正棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，作，由题意，利用勾股定理求棱台的高，再根据棱台的体积公式求解即可.
13．（2026高三上·广州期末）已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点（点位于第二象限），为的中点，直线为双曲线的一条渐近线，且，则双曲线的离心率为 .
【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设双曲线右焦点为，连接，如图所示：
易知关于原点对称，
则，，
由双曲线定义，
因为中点，O为中点，则，
设，因直线为双曲线渐近线，则，
则，解得，，
又，为中点，则，将B坐标代入，
可得，
则，即，即，则.
故答案为：.
【分析】设双曲线右焦点为，连接，作出图形，根据双曲线的对称性可知关于原点对称，由双曲线定义，结合为中点，O为中点求得，设，根据直线为双曲线渐近线，结合求得点，据此可得，将点B的坐标代入化简，结合双曲线离心率公式求解即可.
14．（2026高三上·广州期末）已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则 若，对于任意都成立，则的最大值为 .
【答案】0；e
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，求导可得，
函数定义域为，求导可得，
依题意得，即，，
则；
，
即时，对于任意都成立，
令，，则在上单调递增，
又因为，所以，
由函数的单调性，可得对于任意恒成立，
又因为，
即为在上恒成立，所以，
令，，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，且，则，
即的最大值为.
故答案为：.
【分析】分别求函数的定义域以及导函数，由题意可得，利用对数运算化简求解即可得第一空的答案；不等式等价于，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，将不等式转化为在上恒成立，再令，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最小值即可求的最大值.
15．（2026高三上·广州期末）已知点，，为坐标原点，函数
（1）求的解析式及最小正周期
（2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积
【答案】（1）解：，，
，
则的最小正周期；
（2）解：由（1）可得，即，
，，则或，或；
当时，，，
，，，，
又为的角平分线，，，
，，；
当时，，，，
为的角平分线，，
在中，由正弦定理得，
，在中，由正弦定理得，
，
.
综上所述：的面积为或.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的周期；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标表示，结合正弦、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简求得函数，再根据正弦型函数最小正周期公式求最小正周期即可；
（2） 由（1）可得 ，结合的范围求得或；再分情况讨论，当时，利用余弦定理和勾股定理可证得，根据角度关系可求得，进而求得；当时，在中，根据正弦定理求得，利用两角和差正弦公式和三角形面积公式求.
（1），，
，
则的最小正周期.
（2），，
，，则或，
或；
当时，，，
，，，，
又为的角平分线，，，
，，
；
当时，，，，
为的角平分线，，
在中，由正弦定理得：，
，在中，由正弦定理得：，
，
.
综上所述：的面积为或.
16．（2026高三上·广州期末）如图，在四棱锥中，平面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若.
①求平面与平面夹角的正弦值；
②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
为中点，，且，
又，，，且，∴四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，平面；
（2）解：①平面，且，
以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
，，，，
因为平面，且平面，
所以平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
，
∴平面与平面所成角的正弦值为；
②存在点满足题意，
易知，，
假设存在点满足题意，设，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
点到平面的距离，
化简可得，解得或（舍去），即.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取中点，连接， 利用中位线，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）① 、以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量法，结合同角三角函数的基本关系求解即可；
②、设，由题意，利用空间向量法表示点到平面的距离列方程求解即可.
（1）
取中点，为中点，
，且，
又，，
，且，
∴四边形为平行四边形，即，
平面，平面，
平面；
（2）①平面，且，
则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
得，，，，，
，，，，
因为平面，且平面，
所以平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
，
∴平面与平面所成角的正弦值为；
②存在点满足题意，
易知，，
假设存在点满足题意，设，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以点到平面的距离，
化简可得，
解得或（舍去），即.
17．（2026高三上·广州期末）人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为.
（1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；
（2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率；
（3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望.
【答案】（1）解：设A，B，C三款模型通过算法设计评审分别为事件，
A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件，
则；
（2）解：设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件，
则；
由条件概率公式可得；
（3）解：设A，B，C三款模型能成功上线为事件，
则，，，
的可能取值为，
则，
，
，
，
X的分布列如下：
0 1 2 3
数学期望为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先记事件，利用独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式求解即可；
（2）先记事假件，根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式求，再根据条件概率公式求解即可；
（3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，由题意可知的可能取值为， 独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式求对应概率，列分布列，再求数学期望即可.
（1）设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件，
A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件，
则
；
（2）设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件，
则
；
由条件概率公式可得
；
（3）设A，B，C三款模型能成功上线为事件，
则，，，
的可能取值为，
则，
，
，
，
所以X的分布列如下：
0 1 2 3
数学期望为.
18．（2026高三上·广州期末）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）证明：对任意的；
（3）若函数有且仅有一个零点，证明：方程 无实数根.
【答案】（1）解：函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得极大值，无极小值；
（2）证明：不等式，
令函数，依题意，，
求导得，令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，所以对任意的；
（3）证明： 函数定义域为R，求导得，
由，即，得，函数有唯一零点，
当时，；当时，，函数在上单调递增，在上递减，
函数在处取得最大值，且当时，；当时，，
由函数有且仅有一个零点，得，即，
消去得，令函数，显然函数在R上单调递增，
而，则，，
又函数在上单调递增，因此，
方程中，，
所以方程无实数根.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，并求函数的极值即可；
（2）不等式等价于，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求出最小值证明即可；
（3）求函数的定义域，再求导，令，解得，函数有唯一零点，利用导数判断函数的单调性，结合函数有唯一零点的条件求出的大致范围，再利用一元二次方程判别式推理证明即可.
（1）函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，
所以当时，函数取得极大值，无极小值.
（2）不等式，
令函数，依题意，，
求导得，令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，所以对任意的.
（3）函数定义域为R，求导得，
由，即，得，函数有唯一零点，
当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，
函数在处取得最大值，且当时，；当时，，
由函数有且仅有一个零点，得，即，
消去得，令函数，显然函数在R上单调递增，
而，则，，
又函数在上单调递增，因此，
方程中，，
所以方程无实数根.
19．（2026高三上·广州期末）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2），求数列的前项和；
（3）将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和
【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由，解得，；
，
，
当且时，，
，则；
当时，，满足；
综上所述：；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
；
（3）解：当为奇数时，；当为偶数时，；
，均为递增数列，，，，，
的前项中，包含数列的前项和数列的前项，
的前项和为.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列与函数的综合；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意列关于的方程组，求得等差数列的通项；两边同除以可得，再根据前项和与通项之间关系可得，由此可得；
（2）由（1）得：，再利用错位相减法求和即可；
（3）通过分析可确定前项中，包含数列的前项和数列的前项，结合并项求和法以及等比数列求和公式求解即可.
（1）设等差数列的公差为，
由得：，；
，
，
当且时，，
，则；
当时，，满足；
综上所述：.
（2）由（1）得：，
，
，
，
.
（3）当为奇数时，；当为偶数时，；
，均为递增数列，，，，
的前项中，包含数列的前项和数列的前项，
的前项和为.
1 / 1广东省广州第四中学2025-2026学年高三上学期期末数学试题
1．（2026高三上·广州期末）已知集合，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2026高三上·广州期末）样本数据：3，3，4，4，5，6，6，7，7，8的上四分位数为（ ）
A．6 B．6.5 C．7 D．7.5
3．（2026高三上·广州期末）若，则（ ）
A． B． C． D．
4．（2026高三上·广州期末）正项等比数列的前n项和为，，则（ ）
A．6 B．9 C．8 D．11
5．（2026高三上·广州期末）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．4
6．（2026高三上·广州期末）已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A．“”的必要条件是“”
B．“”的必要条件是“”
C．“”的充分条件是“”
D．“”的充分条件是“”
7．（2026高三上·广州期末）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2026高三上·广州期末）已知函数，将图象上点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若，总存在唯一实数，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．（2026高三上·广州期末）下列说法中正确的有（ ）
A．若样本数据的方差，则所有的都相等
B．在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄表示回归效果越好
C．以模型去拟合一组数据时，为了求出回归方程，设，求得线性回归方程为，则的值分别是和
D．样本数据的平均数，则样本数据的平均数为
10．（2026高三上·广州期末）已知抛物线的焦点为是抛物线上两动点，下列说法正确的有（ ）
A．抛物线的焦点坐标为
B．若，则线段的中点到轴的距离为6
C．以线段为直径的圆与轴相切
D．以点为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切
11．（2026高三上·广州期末）已知正方体的棱长为，点为的中点，点为底面的边界及其内部任意一点，则下列选项正确的是（ ）
A．点为中点时，平面
B．点为中点时，过三点作正方体的截面，则截面周长为
C．与交于，则四面体的外接球的表面积为
D．当在线段上运动时，四面体体积的最大值为
12．（2026高三上·广州期末）已知正四棱台的上下底面边长分别为2和4，侧棱长为，则其体积为 .
13．（2026高三上·广州期末）已知双曲线的左焦点为，过原点的直线与双曲线交于两点（点位于第二象限），为的中点，直线为双曲线的一条渐近线，且，则双曲线的离心率为 .
14．（2026高三上·广州期末）已知函数，，若曲线在点处的切线与曲线在点处的切线平行，则 若，对于任意都成立，则的最大值为 .
15．（2026高三上·广州期末）已知点，，为坐标原点，函数
（1）求的解析式及最小正周期
（2）三角形中，角所对的边分别为，为的角平分线，，.若，求的面积
16．（2026高三上·广州期末）如图，在四棱锥中，平面，是的中点.
（1）求证：平面；
（2）若.
①求平面与平面夹角的正弦值；
②在线段上是否存在点，使得点到平面的距离为1？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.
17．（2026高三上·广州期末）人工智能，是引领新一轮科技革命与产业变革的战略技术，其研发过程融合了算法创新与工程实践的深度智慧.某科技公司计划开发三款不同的大语言模型.每款模型的研发分为两个主要阶段：算法设计评审和工程部署验收.只有算法设计评审通过后，才能进入工程部署验收，两个阶段相互独立.只有同时通过这两个阶段，模型才能正式上线发布.已知三款模型通过算法设计评审的概率依次为，通过工程部署验收的概率依次为.
（1）求三款中恰有两款通过算法设计评审的概率；
（2）若已知三款中恰有一款通过算法设计评审，求通过的模型为的概率；
（3）经过算法设计评审和工程部署验收两个阶段后，三款模型能成功上线的数量为随机变量，求的分布列及数学期望.
18．（2026高三上·广州期末）已知函数.
（1）求函数的极值；
（2）证明：对任意的；
（3）若函数有且仅有一个零点，证明：方程 无实数根.
19．（2026高三上·广州期末）已知等差数列的前项和为，且，；数列满足，.
（1）求数列和的通项公式；
（2），求数列的前项和；
（3）将数列和数列各取前项，按从小到大排成一个新的数列，其中重复的数按照出现的个数重复排列，求的前项和
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】解：解不等式，可得或，即集合或，
解不等式，可得，即集合，
则，或.
故答案为：A.
【分析】分别解二次不等式和指数不等式求得集合A，B，再根据集合的交集、并集运算求解判断即可.
2．【答案】C
【知识点】用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：易知样本数据共有10个，上四分位数即第75百分位数，
由，则样本数据的上四分位数为第8个数据7.
故答案为：C.
【分析】直接根据第百分位数的定义求解即可.
3．【答案】A
【知识点】虚数单位i及其性质；复数代数形式的乘除运算
【解析】【解答】解：，则.故答案为：A.
【分析】根据的周期性先求，再根据复数代数形式的除、乘法运算化简即可.
4．【答案】B
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】解：设等比数列的公比为，
由，可得，解得，
则.
故答案为：B.
【分析】设等比数列的公比为，由题意，根据等比数列的求和公式列关于的方程组，求得等比数列的首项和公比，再根据等比数列的通项求即可.
5．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；对数的性质与运算法则；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：函数的定义域为，
若，则，
设，则，即，，
，
函数单调递增，当取最小值时，有最小值，
，当且仅当，即时等号成立，
故.
故答案为：B.
【分析】先求函数的定义域，设，由，结合对数的运算求得，化简根据可得，由指数函数的单调性可知：当取最小值时，有最小值， 利用基本不等式求的最小值即可求得的最小值.
6．【答案】D
【知识点】充分条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断；平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解： 向量，
若，则，解得或，
若，则，解得，
A、，则“”是“”的充分不必要条件，故A错误；
B、，则“”是“”的充分不必要条件，故B错误；
C、当时，，，
则与不垂直，即“”不是“”的充分条件，故C错误；
D、当时，，
，则，即“”是“”的充分条件，故D正确.
故答案为：D.
【分析】先根据向量垂直和平行的坐标表示求得相应的x值，再根据集合的关系结合充分、必要条件的定义逐项判断即可.
7．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：易知圆的圆心为，半径为，
圆心到直线的距离为，
因为圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个，所以，解得，
则r的取值范围是．
故答案为：C．
【分析】由圆的方程易知圆心和半经，再利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，由题意得，解不等式求半径的取值范围即可．
8．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：由题意可得：，
当时，，，
因为存在唯一实数，使得，所以是的子集，且唯一，
函数的图象，如图所示：
由图像可知，，
，
则实数的取值范围为.
故答案为：B.
【分析】根据三角函数图象的平移、伸缩变换得到，由，根据正弦函数的性质求得，作出函数的图象，数形结合求解即可.
9．【答案】A,B,D
【知识点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差；回归分析；可线性化的回归分析
【解析】【解答】解：A、令数据的平均数为，
由，可得，则，
即，则所有的都相等，故A正确；
B、在做回归分析时，残差图中残差点均匀分布在横轴两侧，且分布的带状区域的宽度越窄，说明选用的模型拟合精度越高，表示回归效果越好，故B正确；
C、，左右两边取对数得，设，求得线性回归方程为，则，，故C错误；
D、样本数据的平均数，则对于样本数据，
其平均数为，
故D正确.
故答案为：ABD.
【分析】令数据的平均数为，根据方差极端公式求解即可判断A；根据残差分析得定义即可判断B；两边取对数，根据对数的运算可得，设，结合分别求的值，即可判断C；根据样本平均数计算公式求解即可判断D.
10．【答案】C,D
【知识点】抛物线的定义；抛物线的简单性质；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【解答】A、抛物线的准线方程为，焦点为，故A错误；
B、设点，由抛物线的定义可得，
解得，则线段的中点到轴的距离为，故B错误；
C、易知的中点为， 则点到轴的距离为，
即以线段为直径的圆与轴相切，故C正确；
D、，则以为圆心，线段的长为半径的圆与准线相切，故D正确．
故答案为：CD.
【分析】根据抛物线方程求焦点坐标即可判断A；设点，根据抛物线的焦点弦公式以及中点坐标公式求解即可判断B；根据抛物线的定义，中点坐标公式，再利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离等于半径即可判断C、D.
11．【答案】A,C,D
【知识点】棱柱的结构特征；球内接多面体；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质；空间向量的夹角与距离求解公式
【解析】【解答】A、由题意知：，
平面，平面，，
，，平面，
平面，又平面，；
，，，
，；
，平面，平面，故A正确；
B、连接，如图所示：
分别为中点，，又，，四点共面，
则过三点的正方体的截面为梯形，
，，，
梯形的周长为，故B错误；
C、取中点，连接，交于点，连接，过作的平行线，
平面，为的外接圆圆心，
四面体的外接球球心在过点的的平行线上，
作，垂足为，如图所示：
设，则，设四面体的外接球半径为，
由，可得，解得，
即四面体的外接球球心即为点，半径，
则四面体外接球表面积，故C正确；
D、，，，
，；
若三棱锥体积最大，则点到平面的距离最大，
以为坐标原点，正方向为轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，，，
则，，，，
设，则，
设平面的法向量，
则，令，解得，，，
则点到平面的距离，
，当时，，
则四面体体积的最大值为，故D正确.
故答案为：ACD.
【分析】由题意，根据线面垂直性质推得，利用勾股定理证得，再根据线面垂直的判定定理证明平面 即可判断A；连接，作出截面梯形，根据长度关系求得截面的周长即可判断B；根据外接球的性质可确定球心位于过点且平行于的直线上，利用可构造方程组求得，代入球的表面积公式可知C正确；在中，利用余弦定理求得，再利用同角三角函数基本关系求得，求得的面积，若三棱锥体积最大，则点到平面的距离最大，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用点到平面距离的向量求法可求得点到平面距离的最大值，结合三棱锥体积公式求解即可判断D.
12．【答案】
【知识点】棱台的结构特征；台体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：取正四棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，为侧棱，，如图所示：
，
因为上下底面边长分别为2和4，所以，，，
则，即棱台的高为，
棱台的体积.
故答案为：.
【分析】取正棱台过侧棱且过上下底面中心的截面，作，由题意，利用勾股定理求棱台的高，再根据棱台的体积公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】双曲线的定义；双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：设双曲线右焦点为，连接，如图所示：
易知关于原点对称，
则，，
由双曲线定义，
因为中点，O为中点，则，
设，因直线为双曲线渐近线，则，
则，解得，，
又，为中点，则，将B坐标代入，
可得，
则，即，即，则.
故答案为：.
【分析】设双曲线右焦点为，连接，作出图形，根据双曲线的对称性可知关于原点对称，由双曲线定义，结合为中点，O为中点求得，设，根据直线为双曲线渐近线，结合求得点，据此可得，将点B的坐标代入化简，结合双曲线离心率公式求解即可.
14．【答案】0；e
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：函数定义域为，求导可得，
函数定义域为，求导可得，
依题意得，即，，
则；
，
即时，对于任意都成立，
令，，则在上单调递增，
又因为，所以，
由函数的单调性，可得对于任意恒成立，
又因为，
即为在上恒成立，所以，
令，，
当时，，当时，，
则在上单调递减，在上单调递增，且，则，
即的最大值为.
故答案为：.
【分析】分别求函数的定义域以及导函数，由题意可得，利用对数运算化简求解即可得第一空的答案；不等式等价于，构造函数，求导，利用导数判断其单调性，将不等式转化为在上恒成立，再令，求导，利用导数判断函数的单调性，并求最小值即可求的最大值.
15．【答案】（1）解：，，
，
则的最小正周期；
（2）解：由（1）可得，即，
，，则或，或；
当时，，，
，，，，
又为的角平分线，，，
，，；
当时，，，，
为的角平分线，，
在中，由正弦定理得，
，在中，由正弦定理得，
，
.
综上所述：的面积为或.
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；含三角函数的复合函数的周期；解三角形；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）根据向量数量积坐标表示，结合正弦、余弦的二倍角公式以及辅助角公式化简求得函数，再根据正弦型函数最小正周期公式求最小正周期即可；
（2） 由（1）可得 ，结合的范围求得或；再分情况讨论，当时，利用余弦定理和勾股定理可证得，根据角度关系可求得，进而求得；当时，在中，根据正弦定理求得，利用两角和差正弦公式和三角形面积公式求.
（1），，
，
则的最小正周期.
（2），，
，，则或，
或；
当时，，，
，，，，
又为的角平分线，，，
，，
；
当时，，，，
为的角平分线，，
在中，由正弦定理得：，
，在中，由正弦定理得：，
，
.
综上所述：的面积为或.
16．【答案】（1）证明：取中点，连接，如图所示：
为中点，，且，
又，，，且，∴四边形为平行四边形，即，
又平面，平面，平面；
（2）解：①平面，且，
以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，，，，，
，，，，
因为平面，且平面，
所以平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
，
∴平面与平面所成角的正弦值为；
②存在点满足题意，
易知，，
假设存在点满足题意，设，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
点到平面的距离，
化简可得，解得或（舍去），即.
【知识点】直线与平面平行的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量研究直线与直线的位置关系；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1） 取中点，连接， 利用中位线，结合线面平行的判定定理证明即可；
（2）① 、以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 利用空间向量法，结合同角三角函数的基本关系求解即可；
②、设，由题意，利用空间向量法表示点到平面的距离列方程求解即可.
（1）
取中点，为中点，
，且，
又，，
，且，
∴四边形为平行四边形，即，
平面，平面，
平面；
（2）①平面，且，
则以点为坐标原点，，，方向为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
得，，，，，
，，，，
因为平面，且平面，
所以平面平面，
又因为平面平面，，平面，
所以平面，
所以平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则，令，则，
，
∴平面与平面所成角的正弦值为；
②存在点满足题意，
易知，，
假设存在点满足题意，设，，
，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以点到平面的距离，
化简可得，
解得或（舍去），即.
17．【答案】（1）解：设A，B，C三款模型通过算法设计评审分别为事件，
A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件，
则；
（2）解：设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件，
则；
由条件概率公式可得；
（3）解：设A，B，C三款模型能成功上线为事件，
则，，，
的可能取值为，
则，
，
，
，
X的分布列如下：
0 1 2 3
数学期望为.
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）先记事件，利用独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式求解即可；
（2）先记事假件，根据独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式求，再根据条件概率公式求解即可；
（3）先求出A，B，C三款模型能成功上线的概率，由题意可知的可能取值为， 独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率加法公式求对应概率，列分布列，再求数学期望即可.
（1）设A，B，C三款模型通过算法设计评审为事件，
A，B，C三款中恰有两款通过算法设计评审为事件，
则
；
（2）设A，B，C三款中恰有一款通过算法设计评审为事件，
则
；
由条件概率公式可得
；
（3）设A，B，C三款模型能成功上线为事件，
则，，，
的可能取值为，
则，
，
，
，
所以X的分布列如下：
0 1 2 3
数学期望为.
18．【答案】（1）解：函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，
即函数在上单调递增，在上单调递减，
故当时，函数取得极大值，无极小值；
（2）证明：不等式，
令函数，依题意，，
求导得，令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，所以对任意的；
（3）证明： 函数定义域为R，求导得，
由，即，得，函数有唯一零点，
当时，；当时，，函数在上单调递增，在上递减，
函数在处取得最大值，且当时，；当时，，
由函数有且仅有一个零点，得，即，
消去得，令函数，显然函数在R上单调递增，
而，则，，
又函数在上单调递增，因此，
方程中，，
所以方程无实数根.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数最大（小）值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【分析】（1）先求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，并求函数的极值即可；
（2）不等式等价于，构造函数，求导，利用导数判断函数的单调性，求出最小值证明即可；
（3）求函数的定义域，再求导，令，解得，函数有唯一零点，利用导数判断函数的单调性，结合函数有唯一零点的条件求出的大致范围，再利用一元二次方程判别式推理证明即可.
（1）函数的定义域为R，求导得，
当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，
所以当时，函数取得极大值，无极小值.
（2）不等式，
令函数，依题意，，
求导得，令函数，求导得，
因此函数在上单调递增，，函数在上单调递增，
则，所以对任意的.
（3）函数定义域为R，求导得，
由，即，得，函数有唯一零点，
当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，
函数在处取得最大值，且当时，；当时，，
由函数有且仅有一个零点，得，即，
消去得，令函数，显然函数在R上单调递增，
而，则，，
又函数在上单调递增，因此，
方程中，，
所以方程无实数根.
19．【答案】（1）解：设等差数列的公差为，
由，解得，；
，
，
当且时，，
，则；
当时，，满足；
综上所述：；
（2）解：由（1）得：，
，
，
，
；
（3）解：当为奇数时，；当为偶数时，；
，均为递增数列，，，，，
的前项中，包含数列的前项和数列的前项，
的前项和为.
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列与函数的综合；数列的前n项和
【解析】【分析】（1）设等差数列的公差为，由题意列关于的方程组，求得等差数列的通项；两边同除以可得，再根据前项和与通项之间关系可得，由此可得；
（2）由（1）得：，再利用错位相减法求和即可；
（3）通过分析可确定前项中，包含数列的前项和数列的前项，结合并项求和法以及等比数列求和公式求解即可.
（1）设等差数列的公差为，
由得：，；
，
，
当且时，，
，则；
当时，，满足；
综上所述：.
（2）由（1）得：，
，
，
，
.
（3）当为奇数时，；当为偶数时，；
，均为递增数列，，，，
的前项中，包含数列的前项和数列的前项，
的前项和为.
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