☆ 问题解决活动：最短距离-课件(共20张PPT)--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

(共20张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.☆问题解决活动：最短距离第三章图形的平移与旋转问题 如图，居民区和工厂分别在一条城铁线路的南、北两侧，现要沿着城铁线路修建一条地下通道，居民区的居民经过该地下通道去工厂上班.
知识点 最短距离
思考
已知该地下通道长度为a m，那么地下通道的两个出入口应该设计在何处，才能使居民经过该地下通道去工厂上班的路线最短 请画出这条最短路线并说明理由(不考虑地面到地下通道地面的高度).
理解问题
上述问题可以抽象成怎样的数学问题
如图所示，定点A，B分别位于直线l的两侧，动点M，N(点M居左)在直线l上且MN=a，
求使AM+MN+NB取得最小值时点M，N的位置.
知识点 最短距离
拟定计划
(1) 你以前遇到过类似的问题吗
以前遇到过两点之间的最短路线问题、与垂线段最短有关的最短路线问题、将军饮马问题等.
知识点 最短距离
(2) 解决这个问题最大的困难是什么
最大的困难是整条路线中需要“弯折”一段距离无法通过直接连接A，B两点来得到所求点的位置.
知识点 最短距离
(3) 地下通道将居民区到工厂的路从中间分成了两段，你能设法将居民区、通道或工厂“移动”位置，让前后两段路连起来吗
可以通过将居民区沿铁路方向向右平移a m，将中间地下通道的路程“先行”，再连接居民区平移后的位置与工厂的位置，即可使前后两段路连起来.
知识点 最短距离
实施计划
(1) 写出你的解决方案.
在由原问题转化的数学问题上说明解决方案.
如图，将点A沿l向右平移a个单位长度得到点A′，连接A′B交l于点N，在直线l上点N的左侧截取MN=a，
连接AM，此时AM +MN+NB取得最
小值.
知识点 最短距离
a
(2) 说明你的方案的合理性.
如图所示，连接A′M.
由平移作图可知AA′=MN， AA′∥MN，
∴ ∠AA′M=∠NMA′.
在△AA′M和△NMA′中，
∴ △AA′M≌△NMA′(SAS)，
知识点 最短距离
∴ AM = A′N，
∴ AM + MN + NB = MN + A′N + NB = MN+A′B.
根据“两点之间线段最短”可得，
此时A′N+NB最小，
故此时AM+MN+NB取得最小值.
知识点 最短距离
回顾反思
通过解决上述问题，你获得了哪些经验 你认为解决这类问题的关键是什么
“将军遛马”类问题可以将固定要行的一段路线进行平移，将问题转化为两点之间线段最短问题进行解答.
知识点 最短距离
回顾反思
通过解决上述问题，你获得了哪些经验 你认为解决这类问题的关键是什么
解决最短距离类问题的关键要善于利用图形的变换，构造相关点的对称点、平移点或旋转点，将复杂的图形转化为简单的图形，化“折”为“直”，进而利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”等进行解决.
知识点 最短距离
（第3题）
3.[2025南京期中] 如图，在平面直
角坐标系中，点， 的坐标分别为
，.若 轴上有两个动点
,（在的左侧），且 ，
则 的最小值为_____.
（第4题）
4.[2025淄博二模] 如图，护城河在, 处
直角转弯，宽度保持4米，从处往 处，
经过两座桥， （桥与河岸垂直）.护
城河是东西方向和南北方向，， 在东西
方向上相距64米，在南北方向上相距84米，
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恰当地架桥可使，，的距离最短，则从处到 处
的最短距离是_____米.
【点拨】如图，将点向下平移至点 ，
使的长等于河宽，将点 向右平移至
点，使的长等于河宽.连接 ，与河
岸相交于点，.过点作 于
点，过点作于点，则易知四边形 和四边
形都是平行四边形，， 当，
，，四点共线时， 有最小值，即此时
，，的距离最短.， 在东
西方向上相距64米，在南北方向上相距
84米，且河宽为4米，
点与点的东西距离为
（米），南北距离为 （米）
点与点 的距离为
（米） 从点 到点
的最短距离是 （米）.
5.如图①，， 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥
，桥造在何处才能使从到的路径 最短？
（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）
【解】如图①所示，从到
的路径 最短.
【思考】 如图②，如果， 两地之间有两条平行的河流，
我们要建的桥都是要与河岸垂直的，我们应该如何找到这个
最短的距离？
如图②所示，从到的路径 最短.
【进一步思考】 如图③，如果， 两地之间有三条平行的
河流，该如何确定桥的位置？
如图③所示，从到 的路径
最短.
【拓展】 如图④，如果在【思考】中其他条件不变的情况
下，两条河并不平行，又该如何确定桥的位置？
请将你的思考在下面准备好的图形中表示出来，保留作图痕
迹，将行走的路线用粗实线画出来.
如图④所示，从到 的路径
最短.