1.1.4多边形的外角和-课件(共30张PPT)--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

(共30张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.1.4多边形的外角和第一章三角形的证明及其应用1. 掌握多边形外角和定理。
2. 能灵活运用多边形的内角和与外角和解决相关问题。
进行新课
如图，小刚在公园沿着五边形步道按逆时针方向慢跑。
（1）小刚每次从五边形步道的一条边转到下一条边时，跑步方向改变的角是哪个角？在图上标出这些角。
（2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角的总和是多少度？说说你的理由，并与同伴进行交流。
1.1.4 多边形的外角和 教学课件分页内容
第1页：情境导入，复习旧知
1. 回顾：什么是多边形的内角？三角形内角和是多少？n边形内角和公式是什么？（引导学生回答：180°；(n-2)×180°）
2. 情境提问：清晨散步时，从多边形广场的一个顶点出发，沿边走到另一个顶点，再转向下一条边，这个转向的角是什么角？这些角的和有什么规律？引出课题——多边形的外角和。
第2页：探究新知，定义辨析
1. 多边形外角的定义：多边形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做多边形的外角。强调：每个顶点处有2个外角，且互为对顶角，通常取1个研究。
2. 多边形外角和的定义：在每个顶点处取1个外角，这些外角的和叫做多边形的外角和。
第3页：实验探究，推导公式
1. 特殊多边形探究：分别计算三角形、四边形、五边形的外角和。
- 三角形：通过测量或内角与外角互补推导，每个顶点内角+外角=180°，3个顶点总和540°，减去内角和180°，得外角和360°。
- 四边形：同理，4×180° - (4-2)×180° = 360°。
2. 一般推导：n边形每个顶点内角+外角=180°，n个顶点总和n×180°，减去内角和(n-2)×180°，化简得外角和=360°。结论：任意多边形的外角和都是360°。
第4页：巩固应用，深化理解
例题1：一个多边形的每个外角都等于36°，求这个多边形的边数。（引导学生用360°÷36°=10，得出边数为10）
例题2：正五边形的每个外角是多少度？每个内角呢？（外角：360°÷5=72°；内角：180°-72°=108°）
思考：为什么多边形外角和恒为360°，与边数无关？
第5页：课堂小结，梳理脉络
1. 核心知识点：多边形外角定义、外角和定义；任意多边形外角和为360°。
2. 解题方法：已知外角求边数：边数=360°÷单个外角度数；已知边数求单个外角（正多边形）：单个外角度数=360°÷边数。
3. 思想方法：转化思想（将外角和转化为内角和与总互补角的差）、从特殊到一般的探究思想。
A
B
C
D
E
2
3
4
5
1
∵∠1+∠EAB=180°，∠2+∠ABC=180°，
∠3+∠BCD=180°，∠4+∠CDE=180°，
∠5+∠DEA=180°，
∴∠1+∠EAB+∠2+∠ABC+∠3+∠BCD+
∠4+∠CDE+∠5+∠DEA=900°。
∵五边形的内角和为(5－2)×180°=540°，
即∠EAB+∠ABC+∠BCD+∠CDE+
∠DEA=540°，
∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=900°－540°=360°。
（第1题）
1. 如图，已知 ，
则 ( )
B
A. B.
C. D.
（第2题）
2. 如图，小明沿一个五边
形的广场小道按 的方向
跑步健身，他每跑完一圈，身体转过的角度
之和是( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
3. 如图，，， 是某正多边形相邻的
三条边，延长，交于点 ，若
，则该正多边形的边数为( )
C
A. 6 B. 8 C. 10 D. 12
思考
如果公园步道的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样
所以公园步道的形状是六边形、八边形时，
改变的角的总和仍为360°.
知识点 多边形的外角及外角和定理
跑完一圈后方向和出发时方向一样，
所以跑步方向改变的角的总和是360°.
知识点 多边形的外角及外角和定理
多边形内角的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角，叫作这个多边形的外角.
如图，∠1，∠2，∠3，∠4，∠5分别是五边形ABCDE的外角.
你知道n边形有几个外角吗
如图，∠6也是五边形ABCDE的外角,
所以n边形有2n个外角.
6
知识点 多边形的外角及外角和定理
在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫作这个多边形的外角和.
通过前面的探究可以发现：
五边形、六边形、八边形的外角和为 360°.
如图，五边形ABCDE的外角和为∠1+∠2+∠3+∠4+∠5.
如果是n边形，它的外角和是多少呢
猜想：n边形的外角和都是360°.
理由：∵n边形的每个内角与它相邻的外角是互补的角，
它们的和是180°，
∴n边形的内角和+n边形的外角和=n·180°，
又∵n边形的内角和为(n-2)×180°，
∴n边形的外角和为n·180°-(n-2)·180°=360°．
知识点 多边形的外角及外角和定理
知识点 多边形的外角及外角和定理
定理 多边形的外角和等于360°.
注意：多边形的外角和恒等于360°，与边数的多少没有关系.
（第4题）
4. 如图，将五边形 沿虚线裁去一个角，
得到六边形 ，则下列说法正确的是
( )
D
A. 外角和减少 B. 外角和增加
C. 内角和减少 D. 内角和增加
（第5题）
5.如图所示，分别以 边形的顶点为圆心，
以为半径画圆，当 时，图中
阴影部分的面积之和为____ ．
（注：结果用含 的式子表示）
例1 一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形
解：设这个多边形是n边形，则它的内角和等于(n-2)·180°，外角和等于360°，根据题意，得
(n-2)·180°=3×360°.
解得 n=8.
所以，这个多边形是八边形.
知识点 多边形的外角及外角和定理
思考
研究多边形的内角和与外角和的过程中，采用了哪些方法
转化方法，即将一个多边形转化为多个三角形，由三角形的内角和求多边形的内角和.
多边形的外角与和它相邻的内角构成平角，由平角和与内角和求出外角和.
知识点 多边形的外角及外角和定理
（第6题）
6. 冰裂纹是苏州园林花窗的
一种装饰纹样，看似杂乱，实则有序，象征着
冰消雪融，春回大地.如图是拙政园宜两亭中的
冰裂纹梅花窗中的部分图案.已知 ，
， ，则
_____ .
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7.如图，求 的度数.
【解】 ,
,
, ，
又 ，
.
.
（第8题）
8. 如图，一束太阳光线平行照射在放置
于地面的正六边形上，若 ，则
的度数为( )
D
A. B. C. D.
【点拨】如图， 正六边形的一个外角的
度数为 ，即 , 正六
边形的一个内角的度数为
，即 .
由题意得 . .
.
（第9题）
9. 如图①，在中， ，若
将与 全等的三角形按图①所示的方式
放置，则可以拼成一个五边形，若将与
全等的三角形按图②所示的方式放置
下去，则拼出来的多边形的边数是( )
C
A. 18 B. 19 C. 20 D. 21
10.[2025唐山期末] 如图，在平面直角坐标
系中，一只小蚂蚁从原点出发，沿 轴负
半轴向前爬行2个单位长度到达点 ，然后向
右转 再向前爬行2个单位长度到达点 ，
然后再向右转 继续向前爬行2个单位长度到达点 ，这样
爬行12次后恰好回到原点 处.
（1） ____；
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小蚂蚁爬行后形成的图形是正十二边形，于是得到
；
（2）连接，则 ______.
【点拨】
由题易知， ，
.
11.如图①，作 的平分线的反向延长
线，分别以，， 为内
角作正多边形，且边长均为1.例如，若以
为内角，可作出一个边长为1的正方
形，此时 ，而 是
（多边形外角和）的 ，这样就恰好可作出两个边长均
为1的正八边形，如图②.
（1）图②的外轮廓周长是____；
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（2）若某协会在所有符合要求的图案中
选一个外轮廓周长最大的定为会标，求
会标的外轮廓周长.
【解】设， 以 为内角的正多边形的边数
为 ，
以,为内角的正多边形的边数均为 ，
会标的外轮廓周长是 ，
， ， ，
易知当 时，周长最大，此时会标的外轮廓周长是
.
根据题意可知的值只能为 ，
课堂小结
定理 多边形的外角和等于360°。
正多边形每个外角的度数：
1.多边形的外角和
2.正多边形