1.2.2等腰三角形的判定及反证法-课件(共30张PPT)--2025-2026学年北师大版数学八年级下册

(共30张PPT)
北师大版数学8年级下册培优精做课件授课教师：Home .班级：8年级（*）班.时间：.1.2.2等腰三角形的判定及反证法第一章三角形的证明及其应用边：有两边相等的三角形是等腰三角形。
（定义）
问题：如何判定一个三角形是等腰三角形？
角：等腰三角形 两底角相等
性质
进行新课
前面已经证明了等腰三角形的两底角相等。反过来，有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
A
B
C
已知：在△ABC 中，∠B =∠C。
求证：AB = AC。
要想证明AB=AC，只要能构造全等的三角形，使AB与AC成为对应边就可以了。
分析：
知识点1 等腰三角形的判定
可以发现：有两个角相等的三角形是等腰三角形.
如何证明这一结论呢
如图，在△ABC中，∠B=∠C，要想证明AB=AC，
只要能构造两个全等的三角形，使AB与AC成为
对应边就可以了.
A
B
C
如图所示，过点A作AD⊥BC，垂足为D，则∠ADB=∠ADC=90°.
在△ABD和△ACD中，
∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD，
∴ △ABD≌△ACD(AAS)，
∴ AB=AC(全等三角形的对应边相等).
知识点1 等腰三角形的判定
A
B
C
D
知识点1 等腰三角形的判定
等腰三角形的判定定理：
有两个角相等的三角形是等腰三角形(简称“等角对等边”).
B
C
A
符号语言：在△ABC中，∵ ∠B =∠C ，∴ AB =AC .
注意：（1）“等角对等边”的运用前提是在同一个三角形中.
（2）在未判定出三角形是等腰三角形时，不能用“底角”“顶角”“腰”“底边”这些名词.
等腰三角形判定方法归纳：
知识点1 等腰三角形的判定
判定方法
边 两条边相等的三角形是等腰三角形
角 两个角相等的三角形是等腰三角形
1. 下列条件中，不能判定 是等腰三角形的是( )
D
A. B.
C. , D.
2. 用反证法证明命题“同旁内角互补，两直线平行”时，第一
步应假设( )
A
A. 两直线不平行 B. 同旁内角不互补
C. 同旁内角相等 D. 同旁内角不相等
（第3题）
3. 如图，等腰三角形共有( )
B
A. 4个 B. 5个 C. 3个 D. 2个
例1 已知：如图，AB=DC，BD=CA，BD与CA相交于点E.
求证：△AED是等腰三角形.
证明：∵ AB=DC，BD=CA，AD=DA，
∴ △ABD≌△DCA(SSS).
∴ ∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等).
∴ AE=DE(等角对等边).
∴ △AED是等腰三角形.
知识点1 等腰三角形的判定
知识点1 等腰三角形的判定
解题通法
“等角对等边”是证明两条线段相等的常用方法
在证明时，往往通过计算三角形各角的度数、利用角的关系或全等三角形得到同一个三角形中的两个角相等，进而得到边相等.
（第4题）
4. 教材P21习题 如图，在
中，，点在 的延长线上，
于点，交于点，若 ，
，则 的长度为____.
10
（第4题）
【点拨】 ，
，
.
， .
，
， .
5. 如图，一条船上午8时从
处以的速度向北偏西 方向
航行，上午11时到达处，处在灯塔 的
正南方向，从处测得灯塔在北偏西
方向上，则处离灯塔 的距离为____
60
15
.若船接着从处以的速度向灯塔 航行，当
船到达灯塔 时是____时.
小明认为，在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等.
你认为小明这个结论成立吗
知识点2 反证法
小明的思考过程如下.你能理解他的推理过程吗
如图，在△ABC中，已知∠B≠∠C，此时AB与AC要么相等，要么不相等.
假设AB=AC，那么根据定理“等边对等角”可得∠C=∠B，
这与已知条件∠B≠∠C相矛盾，因此AB≠AC.
知识点2 反证法
B
C
A
知识点2 反证法
像小明那样，在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
注意：用反证法证明时，如果结论的反面不止一种情况，那么必须把各种可能的情况一一加以否定，才能肯定原结论是正确的;
例2 用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
已知：△ABC.
求证：∠A，∠B，∠C中不能有两个角是直角.
证明：假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°，∠B=90°.
于是 ∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°.
这与三角形内角和定理相矛盾，因此“∠A和∠B是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
知识点2 反证法
注意：用反证法证明时，否定的是命题的结论，而不是条件.
知识点2 反证法
解题通法 用反证法证明的一般步骤
(1) 先假设结论的反面是正确的；
(2) 然后通过逻辑推理，得出与基本事实、已有定理、定义或已知条件相矛盾的结果；
(3) 从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.
6.如图，在中，，点，，分别在 ，
，上，且， .
（1）求证： 是等腰三角形；
【证明】 ，
.
， .
又， .
是等腰三角形.
（2）用反证法证明 不可能是直角三角形.
假设是直角三角形，则 ，
.由（1）知
，
.
.
. .
，与三角形内角和
定理相矛盾.
不可能是直角三角形．
7. 下列三角形中，若 ，则不能被一条直
线分成两个小等腰三角形的是( )
B
A. B. C. D.
（第8题）
8. 如图，在中，与
的平分线交于点，过点作
交于点，交于点 ，那么下列
结论：和 都是等腰三
角形；；
D
A. ①②⑤ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①②③⑤
的周长等于边与的和； ；
. 其中一定正确的是( )
（第9题）
9. 如图，直线， 交于
点， ，点是直线 上的一个
定点，点在直线上运动，当
_______________________时，以点 ，
， 为顶点的三角形是等腰三角形.
或 或 或
10.如图，在四边形中，,平分 ，
于点,为的中点，连接交于点 ，则图中
两个阴影三角形与 的面积之差的最大值为__.
【点拨】如图，延长, 交于点
, .
,
又,, .又
, ,
.平分, .
为 的中点，
, 易知, .
, 当时， 的面积最大，最大
面积为 .
课堂小结
等腰三角形的判定：
有两个角相等的三角形是等腰三角形。（等角对等边）
反证法：
在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立。
A
B
C